第四課時 公式法和一元二次方程根的判別式


教學目標：


知識技能目標


1.讓學生熟練應用一元二次方程求根公式解一元二次方程；


2.通過公式的引入，培養(yǎng)學生抽象思維能力．


過程性目標


1.讓學生經(jīng)歷一元二次方程求根公式的推導過程，感受分類思想；


2.讓學生在實踐中運用公式法解一元二次方程，體會求根公式的結構特點．


情感態(tài)度目標


1. 通過一元二次方程求根公式的推導，培養(yǎng)學生數(shù)學推理的嚴密性及嚴謹性，滲透分類的思想；


2. 培養(yǎng)學生尋求簡便方法的探索精神及創(chuàng)新意識．


重點和難點：


重點：讓學生掌握一元二次方程求根公式解一元二次方程；


難點：對字母系數(shù)二次三項式進行配方．


教學過程：


一、創(chuàng)設情境


問題1 用配方法解方程：x2-4x+2＝0．


問題2 思考如何用配方法解下列方程？


(1)4x2-12x-1＝0，(2)3x2+2x-3=0．


二、探究歸納


讓學生獨立解決問題1，并思考：用配方法解一元二次方程的步驟怎樣？關鍵是什么？


用配方法解一元二次方程的步驟：(1)移項，將含有未知數(shù)的項移到方程的一邊，不含有未知數(shù)的項移到方程的另一邊；(2)配方，方程的兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；(3)用直接開平方法求解．其中(2)是關鍵．


問題1的結果是：．


讓學生仿問題1，討論嘗試求解問題2；當二次項系數(shù)不為1時，如何應用配方法？


指出 當二次項系數(shù)不為1時，只要在方程兩邊同除以二次項的系數(shù)，將方程轉化為二次項系數(shù)為1的方程．


問題2的結果是：(1)；(2)．


探索


我們來討論一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．


用配方法來解一般形式的一元二次方程


ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．


因為a≠0，所以可以把方程的兩邊都除以二次項的系數(shù)a，得


，


移項，得


，


配方，得


，


即


．


因為a≠0，所以4a2＞0，當b2-4ac≥0時，得


，


即


．


所以


，


即


．


上面的式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．





用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．


從上面的結論可以發(fā)現(xiàn)：


(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系數(shù)a、b、c確定的．


(2)在解一元二次方程時，可先把方程化為一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入(b2-4ac≥0)中，可求得方程的兩個根．


思考(1)當b2-4ac＝0時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根怎樣？


(2)當 b2-4ac＜0時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根怎樣？


例 用公式法解下列方程，根據(jù)方程根的情況你有什么結論？


（1）；


（2）；


（3）．


學生獨立利用公式法解上述3個方程，然后觀察方程的解的情況，觀察解題過程，總結一元二次方程根的規(guī)律和的關系．


鼓勵學生獨立解方程，在解出方程后引導學生觀察方程的解，經(jīng)過討論得出下列結論：


（1）當時，一元二次方程有實數(shù)根


，；


（2）當時，一元二次方程有實數(shù)根 ；


（3）當時，一元二次方程無實數(shù)根．


這里的叫做一元二次方程根的判別式，通常用符號“△”來表示，用它可以直接判斷方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的實數(shù)根的情況。


當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；


當△＜0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；


當△=0時，方程沒有實數(shù)根。


三、實踐應用


例1 解下列方程：


(1)2x2＋x-6＝0； (2)x2＋4x＝2；


(3)5x2-4x-12＝0； (4)4x2＋4x＋10＝1-8x．


解 (1)這里 a＝2，b＝1，c＝-6．


因為b2-4ac＝(1)2-4×2×(-6)＝1＋48＝49＞0，


所以 x=


即原方程的解是x1＝-2，x2.


(2)將方程化為一般式，得x2＋4x-2＝0.


因為 b2-4ac＝24,


所以 ．


原方程的解是x1＝-2＋,x2＝-2-.


(3)因為b2-4ac＝256，


所以．


原方程的解是，x2＝2.


(4)整理，得4x2-12x＋9＝0.


因為b2-4ac＝0,所以，


原方程的解是.


在教師的引導下，學生回答，教師板書，提醒學生一定要先“代”后“算”．不要邊代邊算，易出錯．并引導學生總結步驟 ：(1)確定a、b、c的值；(2)算出b2-4ac的值；(3)代入求根公式求出方程的根．


對于(4)b2-4ac＝0，方程有兩個相等的實數(shù)解，而不是一個實數(shù)解，不能寫成．





例2 運用適當方法解下列方程：


(1)； (2)；


(3)(2x-5)(x-3)＝0； (4)．


分析 (1)適宜用直接開平方法；(2)化簡后，得，可選擇用公式法；(3)用因式分解法簡單；(4)用公式法．


解 (1)化為，


直接開平方，得，


所以原方程的解是．


(2)化為,


因為b2-4ac＝12,


所以,


原方程的解是x1＝，x2＝.


(3)移項并因式分解，得(2x-5)(x-3)＝0,


所以2x-5＝0或x-3＝0．


原方程的解是x1＝，x2＝3.


(4)因為b2-4ac＝-4＜0,


所以這個方程沒有實數(shù)解.


例3 不解方程，判斷下列方程的根的情況：


(1)x2＋4x-6＝0； (2)2x2＋6x＝-7；


(3)2x2+4x-2＝0； (4)4x2＋4x＋5＝1-8x．


解 （1）因為△=42-4×1×（-6）=40，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根。


（2）原方程變形為2x2＋6x+7=0，因為△=62-4×2×7=-20，所以方程沒有實數(shù)根。


（3）因為△=42-4×2×2=0，所以方程有兩個相等的實數(shù)根。


（4）原方程可變形為4x2＋12x＋4＝0，因為△=122-4×4×4=80，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根。





四、交流反思


1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式


(b2-4ac≥0)．


利用公式法求一元二次方程的解的步驟：(1)化方程為一般式；(2)確定a、b、c的值；(3)算出b2-4ac的值；(4)代入求根公式求根．


2.通過上面的例1和例2，可以發(fā)現(xiàn)，在應用求根公式時，一定要先算b2-4ac的值．


3.解一元二次方程的方法有：直接開平方法、因式分解法、配方法和公式法，對于各種類型的一元二次方程，可以用不同的方法求解，在具體求解時，應當根據(jù)方程的特點，靈活運用各種方法．


五、檢測反饋


1.應用求根公式解方程：


(1)x2-6x＋1＝0； (2)2x2-x＝6；


(3)4x2-3x-1＝x-2； (4)3x(x-3)＝2(x-1)(x＋1) ．


2.運用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br/>

(1) (x-1)(x＋3)＝15； (2) 2x2+3＝6x；


(3)； (4)(2x+1)2＝2(2x+1)．


六、布置作業(yè)


習題22．2的第4(5)\(6\(7)\(8)，5,6,7,8,9題.

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