一．選擇題


1．用一段20米長的鐵絲在平地上圍成一個長方形，求長方形的面積y（平方米）和長方形的一邊的長x（米）的關(guān)系式為（ ）


A．y＝﹣x2+20xB．y＝x2﹣20xC．y＝﹣x2+10xD．y＝x2﹣10x


2．羽毛球運動是一項非常受人喜歡的體育運動．某運動員在進行羽毛球訓(xùn)練時，羽毛球飛行的高度h（m）與發(fā)球后球飛行的時間t（s）滿足關(guān)系式h＝﹣t2+2t+1.5，則該運動員發(fā)球后1s時，羽毛球飛行的高度為（ ）


A．1.5mB．2mC．2.5mD．3m


3．如圖，一邊靠校園圍墻，其他三邊用總長為40米的鐵欄桿圍成一個矩形花圃，設(shè)矩形ABCD的邊AB為x米，面積為S平方米，要使矩形ABCD面積最大，則x的長為（ ）





A．10米B．15米C．20米D．25米


4．如圖所示，在一個直角三角形的內(nèi)部作一個長方形ABCD，其中AB和BC分別在兩直角邊上，設(shè)AB＝xm，長方形的面積為ym2，要使長方形的面積最大，其邊長x應(yīng)為（ ）





A．mB．6mC．15mD．m


5．如圖1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以拋物線為模型設(shè)計而成，且成軸對稱圖形．從正面看葡萄酒杯的上半部分是一條拋物線，若AB＝4，CD＝3，以頂點C為原點建立如圖2所示的平面直角坐標系，則拋物線的表達式為（ ）





A．B．C．D．


6．如圖是拋物線形拱橋，當拱頂高離水面2m時，水面寬4m，水面下降2.5m，水面寬度增加（ ）





A．1 mB．2 mC．3 mD．6 m


7．小明乘坐摩天輪轉(zhuǎn)一圈，他距離地面的高度y（米）與旋轉(zhuǎn)時間x（分）之間的關(guān)系可以近似地用二次函數(shù)來刻畫．經(jīng)側(cè)試得部分數(shù)據(jù)如下表：


下列選項中，最接近摩天輪轉(zhuǎn)一圈的時間的是（ ）





A．7分B．6.5分C．6分D．5.5分


8．把一個足球垂直于水平地面向上踢，該足球距離地面的高度h（米）與所經(jīng)過的時間t（秒）之間的關(guān)系為h＝10t﹣t2（0≤t≤14）．若存在兩個不同的t的值，使足球離地面的高度均為a（米），則a的取值范圍（ ）


A．0≤a≤42B．0≤a＜50C．42≤a＜50D．42≤a≤50


9．黃山市某塑料玩具生產(chǎn)公司，為了減少空氣污染，國家要求限制塑料玩具生產(chǎn)，這樣有時企業(yè)會被迫停產(chǎn)，經(jīng)過調(diào)研預(yù)測，它一年中每月獲得的利潤y（萬元）和月份n之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣n2+14n﹣24，則沒有盈利的月份為（ ）


A．2月和12月B．2月至12月


C．1月D．1月、2月和12月


10．如圖是一款拋物線型落地燈筒示意圖，防滑螺母C為拋物線支架的最高點，燈罩D距離地面1.5米，最高點C距燈柱的水平距離為1.6米，燈柱AB＝1.5米，若茶幾擺放在燈罩的正下方，則茶幾到燈柱的距離AE為多少米（ ）





A．3.2B．0.32C．2.5D．1.6


二．填空題


11．加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率y與加工時間x（單位：min）滿足函數(shù)表達式y(tǒng)＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，則最佳加工時間為 min．


12．某商店銷售一批頭盔，售價為每頂80元，每月可售出200頂．在“創(chuàng)建文明城市”期間，計劃將頭盔降價銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價1元，每月可多售出20頂．已知頭盔的進價為每頂50元，則該商店每月獲得最大利潤時，每頂頭盔的售價為 元．


13．有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬為20m，拱頂距水面4m，在如圖的直角坐標系中，該拋物線的解析式為 ．





14．如圖，在噴水池的中心A處豎直安裝一個水管AB，水管的頂端B處有一個噴水孔，噴出的拋物線形水柱在與池中心A的水平距離為1m處達到最高點C，高度為3m，水柱落地點D離池中心A處3m，則水管AB的長為 m．





15．某幢建筑物，從5米高的窗口A用水管向外噴水，噴的水流呈拋物線，拋物線所在平面與墻面垂直（如圖所示），如果拋物線的最高點M離墻1米，離地面米，則水流下落點B離墻距離OB是 m．





16．某公司新產(chǎn)品上市30天全部售完，圖1表示產(chǎn)品的市場日銷售量與上市時間之間的關(guān)系，圖2表示單件產(chǎn)品的銷售利潤與上市時間之間的關(guān)系，則最大日銷售利潤是 元．





三．解答題


17．某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件．每件盈利120元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價10元，商場平均每天可多售出1件，為了擴大銷售，減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．


（1）若商場每天要盈利2070元，請你幫助商場算一算，每件襯衫應(yīng)降價多少元？


（2）這次降價活動中，2070元是最高日盈利嗎？若是，請說明理由；若不是，試求最高盈利值．


18．文具店某種文具進價為每件20元．市場調(diào)查反映：當售價為每件30元時，平均每星期可售出140件；而當每件的售價漲1元時，平均每星期少售出10件．設(shè)每件漲價x元，平均每星期的總利潤為y元．


（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值范圍；


（2）如何定價才能使每星期的利潤最大？且每星期的最大利潤是多少？


19．小明將小球沿地面成一定角度的方向擊出，在不考慮空氣阻力的條件下，小球的飛行高度y（m）與它的飛行時間x（s）滿足二次函數(shù)關(guān)系，y與x的幾組對應(yīng)值如表所示：





（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不要求寫x的取值范圍）；


（2）問：小球的飛行高度能否達到20.5m？請說明理由．


20．新冠肺炎期間，某超市將購進一批口罩進行銷售，已知購進4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，購進5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元．兩種口罩以相同的售價銷售，甲口罩的銷量y1（盒）與售價x（元）之間的關(guān)系為y1＝400﹣8x；當售價為40元時，乙口罩可銷售100盒，售價每提高1元，少銷售5盒．


（1）求甲、乙兩種口罩每盒的進價分別為多少元？


（2）當乙口罩的售價為多少元時，乙口罩的銷售總利潤最大？此時兩種口罩的銷售利潤總和為多少？


（3）已知甲的銷售量不低于乙口罩的銷售量的，若使兩種口罩的利潤總和最高，此時的定價應(yīng)為多少？


21．在一場籃球比賽中，一名球員在關(guān)鍵時刻投出一球，已知球出手時離地面高2米，與籃圈中心的水平距離為7米，當球出手后水平距離為4米時到達最大高度4米，已知籃球運行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3.19米．





（1）以地面為x軸，籃球出手時垂直地面所在直線為y軸建立平面直角坐標系，求籃球運行的拋物線軌跡的解析式；


（2）通過計算，判斷這個球員能否投中？


22．某地準備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用周長為30米的籬笆圍成．已知墻長為a米，設(shè)苗圃園垂直于墻的一邊長為x米，苗圃園的面積為y平方米．


（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；


（2）若a＝18，求x的取值范圍；


（3）當a＝12時，求y的最大值．





23．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，點P從點A開始沿邊AB向終點B以1cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿邊BC向終點C以2cm/s的速度移動．如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，當點Q運動到點C時，兩點停止運動，設(shè)運動時間為t秒．


（1）填空：BQ＝ ，PB＝ ；（用含t的代數(shù)式表示）


（2）當t為何值時，PQ的長度等于3cm？


（3）當t為何值時，五邊形APQCD的面積有最小值？最小值為多少？









































參考答案


一．選擇題


1．解：∵長方形一邊的長度為x米，周長為20米，


∴長方形的另外一邊的長度為（10﹣x）米，


則長方形的面積y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x，


故選：C．


2．解：∵h＝﹣t2+2t+1.5，


∴t＝1時，h＝﹣1+2+1.5＝2.5m，


故選：C．


3．解：設(shè)矩形ABCD的邊AB為x米，則寬為（40﹣2x）米，


S＝（40﹣2x）x＝﹣2x2+40x．


要使矩形ABCD面積最大，


則x＝﹣＝﹣＝10米，


即x的長為10米．


故選：A．


4．解：根據(jù)題意得：y＝30﹣（5﹣x）﹣x（12﹣），


整理得y＝﹣x2+12x，


＝﹣[x2﹣5x+（）2﹣]，


＝﹣（x﹣）2+15，


∵


∴長方形面積有最大值，此時邊長x應(yīng)為m．


故選：D．


5．解：∵AB＝4，CD＝3，


∴B（2，3），


設(shè)拋物線解析式為：y＝ax2，


則3＝4x，


解得：a＝，


故拋物線的表達式為：y＝x2．


故選：A．


6．解：建立平面直角坐標系，設(shè)橫軸x通過AB，縱軸y通過AB中點O且通過C點，則通過畫圖可得知O為原點，


拋物線以y軸為對稱軸，且經(jīng)過A，B兩點，OA和OB可求出為AB的一半2米，拋物線頂點C坐標為（0，2），


設(shè)頂點式y(tǒng)＝ax2+2，把A點坐標（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，


∴拋物線解析式為y＝﹣0.5x2+2，


當水面下降2.5米，通過拋物線在圖上的觀察可轉(zhuǎn)化為：


當y＝﹣2.5時，對應(yīng)的拋物線上兩點之間的距離，也就是直線y＝﹣2.5與拋物線相交的兩點之間的距離，


可以通過把y＝﹣2.5代入拋物線解析式得出：


﹣2.5＝﹣0.5x2+2，


解得：x＝±3，


2×3﹣4＝2，


所以水面下降2.5m，水面寬度增加2米．


故選：B．





7．解：最值在自變量大于2.66小于3.23之間，


所以最接近摩天輪轉(zhuǎn)一圈的時間的是6分鐘．


故選：C．


8．解：


∵a≥0，由題意得方程


10t﹣t2＝a有兩個不相等的實根


∴△＝b2﹣4ac＝102+4××a＞0得0≤a＜50


又∵0≤t≤14


∴當t＝14時，a＝h＝10×14﹣×142＝42


所以a的取值范圍為：42≤a＜50


故選：C．


9．解：∵y＝﹣n2+14n﹣24＝﹣（n﹣2）（n﹣12），1≤n≤12且n為整數(shù)，


∴當y＝0時，n＝2或n＝12，


當y＜0時，n＝1，


故選：D．


10．解：如圖所示，以AE所在直線為x軸、AB所在直線為y軸建立平面直角坐標系，





根據(jù)題意知，拋物線的頂點C的坐標為（1.6，2.5），


設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1.6）2+2.5，


將點B（0，1.5）代入得，2.56a+2.5＝1.5，


解得a＝﹣，


∴拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣1.6）2+2.5，


當y＝1.5時，﹣（x﹣1.6）2+2.5＝1.5，


解得x＝0（舍）或x＝3.2，


所以茶幾到燈柱的距離AE為3.2米，


故選：A．


二．填空題


11．解：根據(jù)題意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，


當x＝﹣＝3.75時，y取得最大值，


則最佳加工時間為3.75min．


故答案為：3.75．


12．解：設(shè)每頂頭盔的售價為x元，獲得的利潤為w元，


w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，


∴當x＝70時，w取得最大值，此時w＝8000，


故答案為：70．


13．解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為：y＝a（x﹣h）2+k，


∵由AB＝20，AB到拱橋頂C的距離為4m，


則C（10，4），A（0，0），B（20，0）


把A，B，C的坐標分別代入得a＝﹣0.04，h＝10，k＝4


拋物線的解析式為y＝﹣0.04（x﹣10）2+4．


故答案為：y＝﹣0.04（x﹣10）2+4．


14．解：以池中心為原點，豎直安裝的水管為y軸，與水管垂直的為x軸建立直角坐標系．


由于在距池中心的水平距離為1m時達到最高，高度為3m，


則設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x﹣1）2+3，


代入（3，0）求得：a＝﹣（x﹣1）2+3．


將a值代入得到拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）；


令x＝0，則y＝﹣+3＝2.25．


故水管AB的長為2.25m．


故答案為：2.25．





15．解：地面，墻面所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，





設(shè)拋物線解析式：y＝a（x﹣1）2+，


把點A（0，5）代入拋物線解析式得：


a＝﹣，


∴拋物線解析式：


y＝﹣（x﹣1）2+．


當y＝0時，x1＝﹣1（舍去），x2＝3．


∴OB＝3（m）．


故答案為3．


16．解：設(shè)日銷售量y與銷售天數(shù)t之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx，


30k＝60，得k＝2，


即日銷售量y與銷售天數(shù)t之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝2t，


當0＜t≤20時，設(shè)單件的利潤w與t之間的函數(shù)關(guān)系式為w＝at，


20a＝30，得a＝1.5，


即當0＜t≤20時，單件的利潤w與t之間的函數(shù)關(guān)系式為w＝1.5t，


當20＜t≤30時，單件的利潤w與t之間的函數(shù)關(guān)系式為w＝30，


設(shè)日銷售利潤為W元，


當0＜t≤20時，W＝1.5t×2t＝3t2，


故當t＝20時，W取得最大值，此時W＝1200，


當20＜t≤30時，W＝30×2t＝60t，


故當t＝30時，W取得最大值，此時W＝1800，


綜上所述，最大日銷售利潤為1800元，


故答案為：1800．


三．解答題


17．解：（1）設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元，由題意得：


（0.1x+20）（120﹣x）＝2070，


解得：x1＝﹣110（舍去），x2＝30．


答：每件襯衫應(yīng)降價30元．


（2）這次降價活動中，2070元不是最高日盈利，理由如下：


設(shè)盈利為w元，由題意得：


w＝（0.1x+20）（120﹣x）


＝﹣0.1（x+40）2+2560，


∵x≥0，


∴當x＝0時，w取得最大值，此時w＝2400．


即最高盈利是2400元．


18．解：（1）y＝（30+x﹣20）（140﹣10x）


＝﹣10x2+40x+1400（0≤x≤14）


答：y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣10x2+40x+1400．


自變量的取值范圍是0≤x≤14．


（2）∵y＝﹣10x2+40x+1400＝﹣10（x﹣2）2+1440


∴頂點坐標為（2，1440），﹣10＜0，


∴當x＝2時，y有最大值為1440


答：定價為32元時，每星期獲得的利潤最大，最大利潤為1440元．


19．解：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，可知：


拋物線過原點，


所以設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+bx


當x＝1時，y＝15，x＝2時，y＝20，得


解得


所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣5x2+20x．


（2）方法一：


y＝﹣5x2+20x＝﹣5（x﹣2）2+20，


因為a＝﹣5＜0，當x＝2時，y有最大值為20，


20＜20.5，所以小球的飛行高度不能能達到20.5m．


方法二：


令y＝2.05，則2.05＝﹣5x2+20x．△＜0，


此方程無解．所以小球的飛行高度不能能達到20.5m．


答：小球的飛行高度不能能達到20.5m．


20．解：（1）設(shè)甲、乙兩種口罩每盒的進價分別為x元、y元，由題意得：


，


解得：．


∴甲、乙兩種口罩每盒的進價分別為20元、30元．


（2）設(shè)乙口罩的銷售利潤為w元，由題意得：


w＝（x﹣30）[100﹣5（x﹣40）]


＝﹣5x2+450x﹣9000


＝﹣5（x﹣45）2+1125，


∴當乙口罩的售價為45元時，乙口罩的銷售總利潤最大，為1125元．


當售價為45元時，y1＝400﹣8x＝400﹣8×45＝40（盒）；


∴甲口罩的銷售利潤為：（45﹣20）×40＝1000（元），


∴此時兩種口罩的銷售利潤總和為：1125+1000＝2125（元）．


∴當乙口罩的售價為45元時，乙口罩的銷售總利潤最大，此時兩種口罩的銷售利潤總和為2125元．


（3）由題意得：400﹣8x≥[100﹣5（x﹣40）]，


解得：x≤36，


∵兩種口罩的利潤總和w總＝（400﹣8x）（x﹣20）+（﹣5x2+450x﹣9000）


＝﹣13x2+1010x﹣17000，


∴對稱軸為：x＝＞36，


∴當x＝36時，兩種口罩的利潤總和最高．


∴若使兩種口罩的利潤總和最高，此時的定價應(yīng)為36元．


21．解：（1）依題意得拋物線頂點為（4，4），


則設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣4）2+4


依題意得拋物線經(jīng)過點（0，2）


∴a（0﹣4）2+4＝2


解得


∴拋物線的解析式為


（2）當x＝7時，


∴這個球員不能投中．


22．解：（1）由題意可得，


y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，


即y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣2x2+30x；


（2）∵a＝18，


∴0＜30﹣2x≤18，


解得，6≤x＜15，


即x的取值范圍是6≤x＜15；


（3））∵a＝12，


∴0＜30﹣2x≤12，


解得，9≤x＜15，


∵y＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣）2+，


∴當x＝9時，y取得最大值，此時y＝108，


即當a＝12時，y的最大值是108．


23．解：（1）由題意：BQ＝2t cm，PB＝（6﹣t）cm，


故答案為2t，（6﹣t）．


（2）由題意，得．


解得（不合題意，舍去），t2＝3．


所以當t＝3秒時，PQ的長度等于；


（3）存在．理由如下：


設(shè)五邊形APQCD的面積為S．


∵S矩形ABCD＝6×8＝48（cm2），


∴，


∴當t＝3秒時，五邊形APQCD的面積有最小值，最小值為39cm2．





x/分
…
2.66
3.23
3.46
…
y/米
…
69.16
69.62
68.46
…
x（s）
0
0.5
1
2
2.5
…
y（m）
0
8.75
15
20
18.75
…

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22.3 實際問題與二次函數(shù)

版本： 人教版

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