人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊
第二十二章 二次函數(shù)
22.3.3 實(shí)際問題與二次函數(shù)
1.會(huì)根據(jù)實(shí)際問題建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.
2.能把實(shí)際問題的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)中的點(diǎn).
3.會(huì)用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式.
4.能利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析解決問題.
重點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系．
難點(diǎn)：能利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析解決問題．
如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2 m時(shí)，水面寬4m，水面下降1m，水面寬度增加多少？
實(shí)物模型判斷問題
?
解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
設(shè)這條拋物線表示的二次函數(shù)為y=ax2.
由拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(2，－2)，可得－2=22a，
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當(dāng)水面下降1m時(shí)，水面的縱坐標(biāo)為－3.
?
?
A
(2,－2)
解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax2+2 ，
∵B點(diǎn)坐標(biāo)(2，0) ，
代入拋物線解析式得出：a=－0.5 ，
∴拋物線解析式為y=－0.5x+2，
當(dāng)水面下降1米，通過拋物線在圖上的觀察y=－1，
把y=－1代入拋物線解析式得出：－1=－0.5x2+2 ，
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?
?
實(shí)物模型判斷問題的基本思路
①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯窍担?br>②把實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來；
③用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式；
④利用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)去分析解決問題.
②根據(jù)已知點(diǎn)所在的位置建立坐標(biāo)系求函數(shù)表達(dá)式比較簡單.
①所建立的平面直角坐標(biāo)系能使求出的二次函數(shù)的表達(dá)式比較簡單.
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∴c=5.
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∵點(diǎn)C(0，5)在拋物線上
?
解: (2)由(1)知，OC=5m，
?
∴地毯的總長度為：AB+2OC=20+2×5=30m，
∴30×1.5×20=900元
答：購買地毯需要900元.
解得x? =10，x? =－10(舍去)；
為歡迎中外游客來西藏旅游觀光，拉薩市旅游局決定對(duì)拉貢公路段的噶拉山隧道進(jìn)行美化施工，已知隧道的橫截面為拋物線，其最大高度為7米，底部寬度OE為14米，如圖以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OE所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)寫出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式.(2)施工隊(duì)計(jì)劃在隧道門口搭建一個(gè)矩形“腳手架”ABCD，使C，D點(diǎn)在拋物線上，A，B點(diǎn)在地面OE上，設(shè)長OA為x米，“腳手架”三根木桿AD，DC，CB的長度之和為l米，當(dāng)x為何值時(shí)，l最大，最大值是多少?
為歡迎中外游客來西藏旅游觀光，拉薩市旅游局決定對(duì)拉貢公路段的噶拉山隧道進(jìn)行美化施工，已知隧道的橫截面為拋物線，其最大高度為7米，底部寬度OE為14米，如圖以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OE所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)寫出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式.
解：(1) ∵拋物線最大高度7米，底部寬度OE為14米，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(7，7).
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x－7)2 +7，
將(0，0)代入可得：0=49a+7，
?
?
(2)施工隊(duì)計(jì)劃在隧道門口搭建一個(gè)矩形“腳手架”ABCD，使C，D點(diǎn)在拋物線上，A，B點(diǎn)在地面OE上，設(shè)長OA為x米，“腳手架”三根木桿AD，DC，CB的長度之和為l米，當(dāng)x為何值時(shí)，l最大，最大值是多少?
解：(2)由題意得A點(diǎn)坐標(biāo)為A(x，0)
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由拋物線和矩形的對(duì)稱性得，BE=AO=x，
∴AB=DC=14－2x，
故腳手架總長l = AD+DC+CB=2AD+AB
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例2 如圖，某足球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)射門，將足球從離地面0.5m的A處正對(duì)球門踢出(點(diǎn)A在y軸上)，足球的飛行高度y(單位:m)與飛行時(shí)間t(單位:s)之間滿足函數(shù)關(guān)系y=at2+5t+c，已知足球飛行0.8s時(shí)，離地面的高度為3.5m.(1)足球飛行的時(shí)間是多少時(shí)，足球離地面最高?最大高度是多少?(2)若足球飛行的水平距離x(單位:m)與飛行時(shí)間t(單位:s)之間具有函數(shù)關(guān)系x=10t，已知球門的高度為2.44m，如果該運(yùn)動(dòng)員正對(duì)球門射門時(shí)，離球門的水平距離為28m，他能否將球直接射入球門?
二次函數(shù)與幾何圖形
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解：(1)由題意得：函數(shù)y=at2+5t+c的圖象經(jīng)過(0，0.5)、(0.8，3.5)，
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例2 如圖，某足球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)射門，將足球從離地面0.5m的A處正對(duì)球門踢出(點(diǎn)A在y軸上)，足球的飛行高度y(單位:m)與飛行時(shí)間t(單位:s)之間滿足函數(shù)關(guān)系y=at2+5t+c，已知足球飛行0.8s時(shí)，離地面的高度為3.5m.(1)足球飛行的時(shí)間是多少時(shí)，足球離地面最高?最大高度是多少?
∴他能將球直接射入球門.
(2)若足球飛行的水平距離x(單位:m)與飛行時(shí)間t(單位:s)之間具有函數(shù)關(guān)系x=10t，已知球門的高度為2.44m，如果該運(yùn)動(dòng)員正對(duì)球門射門時(shí)，離球門的水平距離為28m，他能否將球直接射入球門?
解： (2)把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴當(dāng)t=2.8時(shí)，
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因此，演員彈跳離地面的最大高度是4.75米.
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解： (2)這次表演成功.
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因此這次表演成功.
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如圖，足球場上守門員在O處開出一高球，球從離地面1米的A處飛出(A在y軸上)，運(yùn)動(dòng)員乙在距O點(diǎn)6米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達(dá)到最高點(diǎn)M，距地面約4米高，球落地后又一次彈起.據(jù)實(shí)驗(yàn)測算，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半.(1)求足球開始飛出到第一次落地時(shí)，該拋物線的表達(dá)式；
解：(1)如圖，設(shè)足球開始飛出到第一次落地時(shí)，拋物線的表達(dá)式為y=a(x－h(huán)) 2+k，
∵h(yuǎn)=6，k=4，
∴y=a(x－6) 2+4，
由已知：當(dāng)x=0時(shí)y=1，
即1=36a+4，
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?
∴足球第一次落地距守門員約13米.
?
∴(x－6) 2=48，
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?
?
?
∴BD ≈ 13－6+10=17(米).
E
F
解： (3)如圖，第二次足球彈出后的距離為CD，根據(jù)題意CD=EF(即相當(dāng)于將拋物線AEMFC向下平移了2個(gè)單位)，
?
?
?
1.某涵洞是拋物線形，它的截面如圖所示.現(xiàn)測得水面寬AB=4 m，涵洞頂點(diǎn)O到水面的距離為1 m，根據(jù)圖中的平面直角坐標(biāo)系，你可推斷點(diǎn)A的坐標(biāo)是________，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_________，則涵洞所在的拋物線的解析式為________.
?
(2,－1)
(－2,－1)
2
2
1
設(shè)y=ax2
代入點(diǎn)(2,－1)得
－1=4a
?
2.如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給他做了一個(gè)簡易的秋千，拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時(shí)，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點(diǎn)距地面的距離為_____米.
0.5
x
y
O
設(shè)y=ax2+bx+c
c=2.5
0.25a+0.5b+c=1
4a+2b+c=2.5
所以y=2x2－4x+2.5
即y=2(x－1)2+0.5
3.小明學(xué)習(xí)了這節(jié)課后，課下豎直向上拋一個(gè)小球做實(shí)驗(yàn)，小球上升的高度h(m)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(s)的函數(shù)解析式為h=at2 +bt，圖象如圖所示，若小球在發(fā)射后第2秒與第6秒時(shí)的高度相等，則下列時(shí)刻中小球的高度最高的是( )A.第3秒 B.第3.9秒 C.第4.5秒 D.第6.5秒
B
4
(7,0)
4．小明學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，以二次函數(shù)y=2x2－8x+14的圖象的形狀為靈感設(shè)計(jì)了一款獎(jiǎng)杯，如下圖，若AB=6，DE=2，則獎(jiǎng)杯的高CE為( )
B
A．14 B．20 C．16 D．3
2
設(shè)y=2x2+c
代入點(diǎn)(3,0)得
0=18+c
所以c=－18
18
?
?
?
?
?
?
∴此球能過網(wǎng).
?
?
∵1.625＞1.55，
?
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①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯窍担?br>②把實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來；
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④利用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)去分析解決問題.
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