高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修第一冊(cè)4.3 對(duì)數(shù)優(yōu)質(zhì)教案-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

4．3.1 對(duì)數(shù)的概念

1．了解對(duì)數(shù)的概念．

2．會(huì)進(jìn)行對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化．

3．會(huì)求簡單的對(duì)數(shù)值．

1．對(duì)數(shù)的定義

一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝lgaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．

2．常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

通常我們將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，記為lgN.在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e＝2.71828…為底的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，并記為lnN.

3．指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化

當(dāng)a>0，a≠1時(shí)，ax＝N?x＝lgaN.

4．對(duì)數(shù)的性質(zhì)

(1)lga1＝0；

(2)lgaa＝1；

(3)零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)．

1．指數(shù)方程3x＝eq \r(3)如何求解？

[答案] 化為3x＝3 eq \s\up15( eq \f (1,2)) ，求得x＝eq \f(1,2)

2．如何求解3x＝2?

[答案] x＝lg32

3．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)

(1)lgaN是lga與N的乘積．( )

(2)(－2)3＝－8可化為lg(－2)(－8)＝3.( )

(3)對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是求冪指數(shù)．( )

(4)等式lga1＝0對(duì)a∈R均成立．( )

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×

題型一指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化

【典例1】將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：

(1)3－2＝eq \f(1,9)；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))－2＝16；

(3)lg eq \s\d8(\f(1,3)) 27＝－3；(4)lg eq \s\d8(eq \r(x)) 64＝－6.

[思路導(dǎo)引] 借助ab＝N?b＝lgaN(a>0，且a≠1)轉(zhuǎn)化．

[解] (1)∵3－2＝eq \f(1,9)，∴l(xiāng)g3eq \f(1,9)＝－2.

(2)∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))－2＝16，∴l(xiāng)geq \f(1,4)16＝－2.

(3)∵lg eq \s\d8(\f(1,3)) 27＝－3，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－3＝27.

(4)∵lg eq \s\d8(eq \r(x)) 64＝－6，∴(eq \r(x))－6＝64.

指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的方法

(1)將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，只需要將冪作為真數(shù)，指數(shù)當(dāng)成對(duì)數(shù)值，底數(shù)不變，寫出對(duì)數(shù)式；

(2)將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，只需將真數(shù)作為冪，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式．

[針對(duì)訓(xùn)練]

1．將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：

(1)2－7＝eq \f(1,128)；(2)3a＝27；

(3)10－1＝0.1；(4)lg eq \s\d8(\f(1,2)) 32＝－5；

(5)lg0.001＝－3.

[解] (1)lg2eq \f(1,128)＝－7.

(2)lg327＝a.

(3)lg0.1＝－1.

(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－5＝32.

(5)10－3＝0.001.

題型二對(duì)數(shù)的計(jì)算

【典例2】求下列各式中的x的值：

(1)lg64x＝－eq \f(2,3)；(2)lgx8＝6；

(3)lg100＝x；(4)－lne2＝x.

[思路導(dǎo)引] 把對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式求解．

求對(duì)數(shù)值的3個(gè)步驟

(1)設(shè)出所求對(duì)數(shù)值．

(2)把對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式．

(3)解有關(guān)方程，求得結(jié)果．

[針對(duì)訓(xùn)練]

2．求下列各式中的x值：

(1)lgx27＝eq \f(3,2)；(2)lg2x＝－eq \f(2,3)；

(3)x＝lg27eq \f(1,9)；(4)x＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) 16.

(3)由x＝lg27eq \f(1,9)，可得27x＝eq \f(1,9)，

∴33x＝3－2，∴x＝－eq \f(2,3).

(4)由x＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) 16，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＝16.

∴2－x＝24，∴x＝－4.

題型三對(duì)數(shù)的性質(zhì)

[思路導(dǎo)引] 首先利用對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)化“繁”為“簡”，再求值．

[解] (1)由lg(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1

得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x2＋2x－1＝2x2－1，,3x2＋2x－1>0，,2x2－1>0且2x2－1≠1，))

解得x＝－2.

(2)由lg2[lg3(lg4x)]＝0可得lg3(lg4x)＝1，故lg4x＝3，所以x＝43＝64.

對(duì)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用要點(diǎn)

(1)使用對(duì)數(shù)的性質(zhì)時(shí)，有時(shí)需要將底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形后才能運(yùn)用；對(duì)于多重對(duì)數(shù)符號(hào)的，可以先把內(nèi)層視為整體，逐層使用對(duì)數(shù)的性質(zhì)．

(2)對(duì)于指數(shù)中含有對(duì)數(shù)值的式子進(jìn)行化簡，應(yīng)充分考慮對(duì)數(shù)恒等式的應(yīng)用．這就要求首先要牢記對(duì)數(shù)恒等式algaN＝N及其格式．

[針對(duì)訓(xùn)練]

3．求下列各式中x的值：

(1)lg2(lg4x)＝0；

(2)lg3(lgx)＝1.

[解] (1)∵lg2(lg4x)＝0，∴l(xiāng)g4x＝20＝1，

∴x＝41＝4.

(2)∵lg3(lgx)＝1，∴l(xiāng)gx＝31＝3，∴x＝103＝1000.

課堂歸納小結(jié)

1．對(duì)數(shù)概念的理解

(1)規(guī)定a>0且a≠1.

(2)由于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，所以ab＝N中，N總是正數(shù)，即零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù).

(3)對(duì)數(shù)概念與指數(shù)概念有關(guān)，指數(shù)式和對(duì)數(shù)式是互逆

的，即ab＝N?lgaN＝b(a>0且a≠1，N>0)，據(jù)此可得兩個(gè)常用恒等式：①lgaab＝b；②algaN＝N.

2.在關(guān)系式ax＝N中，已知a和x求N的運(yùn)算稱為求冪運(yùn)算，而如果已知a和N求x的運(yùn)算就是對(duì)數(shù)運(yùn)算，兩個(gè)式子實(shí)質(zhì)相同而形式不同，互為逆運(yùn)算.

1．下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化不正確的一組是( )

A．e0＝1與ln1＝0

B．8 eq \s\up15(－eq \f(1,3)) ＝eq \f(1,2)與lg8eq \f(1,2)＝－eq \f(1,3)

C．lg39＝2與9 eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＝3

D．lg77＝1與71＝7

[解析] 由lg39＝2，得32＝9，故選C.

[答案] C

2．已知lgx16＝2，則x等于( )

A．4B．±4

C．256D．2

[解析] ∵lgx16＝2，∴x2＝16，又x>0，∴x＝4.

[答案] A

3．設(shè)5lg5(2x－1)＝25，則x的值等于( )

A．10B．13

C．100D．±100

[解析] 由5 lg5(2x－1)＝2x－1＝25，得x＝13.

[答案] B

4．式子2lg25＋lg eq \s\d8(\f(3,2)) 1的值為________．

[解析] 原式＝5＋0＝5.

[答案] 5

課后作業(yè)(二十九)

復(fù)習(xí)鞏固

一、選擇題

1．使對(duì)數(shù)lga(5－a)有意義的a的取值范圍為( )

A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,5)

C．(0,1)∪(1,5)D．(－∞，5)

[解析] 由對(duì)數(shù)的概念可知a需滿足a>0且a≠1且5－a>0，解得0

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