1．了解集合與元素的含義．


2．理解集合中元素的特征，并能利用它們進行解題．


3．理解集合與元素的關系．


4．掌握數(shù)學中一些常見的集合及其記法．





1．元素與集合的概念及表示


(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．


(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．


(3)集合相等：只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的．


2．元素的特性


(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．


(2)互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．


(3)無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．


溫馨提示：集合含義中的“研究對象”指的是集合的元素，研究集合問題的核心即研究集合中的元素，因此在解決集合問題時，首先要明確集合中的元素是什么．集合中的元素可以是數(shù)、點，也可以是一些人或一些物．


3．元素與集合的關系


(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A．


(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A．


溫馨提示：(1)符號“∈”“?”刻畫的是元素與集合之間的關系．對于一個元素a與一個集合A而言，只有“a∈A”與“a?A”這兩種結果．


(2)∈和?具有方向性，左邊是元素，右邊是集合，形如R∈0是錯誤的．


4．常用的數(shù)集及其記法








1．某中學2019年高一年級20個班構成一集合．


(1)高一(3)班、高一(2)班是這個集合的元素嗎？


(2)高二(3)班是這個集合中的元素嗎？


[答案] (1)是 (2)不是


2．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)


(1)本班的高個子同學組成集合．( )


(2)聯(lián)合國常任理事國組成集合．( )


(3)由1,2,2,4,1組成的集合有五個元素．( )


(4)由a，b，c組成的集合與由b，a，c組成的集合是同一個集合．( )


[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√








題型一 集合的基本概念


【典例1】 判斷下列每組對象的全體能否構成一個集合？


(1)接近于2019的數(shù)；


(2)大于2019的數(shù)；


(3)育才中學高一(1)班視力較好的同學；


(4)方程x2－2＝0在實數(shù)范圍內(nèi)的解；


(5)函數(shù)y＝x2圖象上的點．


[思路導引] 構成集合的關鍵是要有明確的研究對象，即元素不能模糊不清、模棱兩可．


[解] (1)(3)由于標準不明確，故不能構成集合；(2)(4)(5)能構成集合．











對集合含義的理解


給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了，所謂“確定”，是指所有被“研究的對象”都是這個集合的元素，沒有被“研究的對象”都不是這個集合的元素．





[針對訓練]


1．下列所給的對象能構成集合的是______．(填序號)


①所有的正三角形；


②比較接近1的數(shù)的全體；


③某校高一年級16歲以下的學生；


④平面直角坐標系內(nèi)到原點距離等于1的點的全體；


⑤我校教職員工中的年輕人；


⑥eq \r(2)的近似值的全體．


[解析] ①能構成集合，其中的元素需滿足三條邊相等；②不能構成集合，因為“比較接近1”的標準不明確，所以元素不確定，故不能構成集合；③能構成集合，其中的元素是“某校高一年級16歲以下的學生”；④能構成集合，其中的元素是“平面直角坐標系內(nèi)到原點距離等于1的點”；⑤不能構成集合，因為“年輕”的標準是模糊的、不確定的，故不能構成集合；⑥不能構成集合，因為“eq \r(2)的近似值”不明確精確到什么程度，所以不能構成集合．


[答案] ①③④


題型二 元素與集合的關系


【典例2】 (1)下列關系中，正確的有( )


①eq \f(1,2)∈R；②eq \r(2)?Q；③|－3|∈N；④|－eq \r(3)|∈Q.


A．1個 B．2個


C．3個 D．4個


(2)集合A中的元素x滿足eq \f(6,3－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素為________．


[思路導引] 判斷一個元素是否為某集合的元素，關鍵是抓住集合中元素的特征．


[解析] (1)eq \f(1,2)是實數(shù)；eq \r(2)是無理數(shù)；|－3|＝3，是自然數(shù)；|－eq \r(3)|＝eq \r(3)，是無理數(shù)．故①②③正確，選C．


(2)當x＝0時，eq \f(6,3－0)＝2；


當x＝1時，eq \f(6,3－1)＝3；


當x＝2時，eq \f(6,3－2)＝6；


當x≥3時不符合題意，故集合A中元素有0,1,2.


[答案] (1)C (2)0,1,2





判斷元素與集合關系的2種方法


(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．


(2)推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應首先明確已知集合中的元素具有什么特征．





[針對訓練]


2．已知集合A中有四個元素0,1,2,3，集合B中有三個元素0,1,2，且元素a∈A，a?B，則a的值為( )


A．0 B．1


C．2 D．3


[解析] ∵a∈A，a?B，∴由元素與集合之間的關系知，a＝3.


[答案] D


3．用適當?shù)姆柼羁眨?br/>

已知集合A中的元素x是被3除余2的整數(shù)，則有：17


________A；－5________A．


[解析] 由題意可設x＝3k＋2，k∈Z，令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A．


令3k＋2＝－5得，k＝－eq \f(7,3)?Z.所以－5?A．


[答案] ∈ ?


題型三 集合中元素的特性


【典例3】 已知集合A含有兩個元素a和a2，若1∈A，則實數(shù)a的值為________．


[思路導引] 由集合中元素的確定性和互異性切入．


[解析] 若a＝1，則a2＝1，此時集合A中兩元素相同，與互異性矛盾，故a≠1；


若a2＝1，則a＝－1或a＝1(舍去)，此時集合A中兩元素為－1,1，故a＝－1.


綜上所述a＝－1.


[答案] －1


[變式] (1)本例若將條件“1∈A”改為“2∈A”，其他條件不變，求實數(shù)a的值．


(2)本例若去掉條件“1∈A”，其他條件不變，則實數(shù)a的取值范圍是什么？


[解] (1)若a＝2，則a2＝4，符合元素的互異性；


若a2＝2，則a＝eq \r(2)或a＝－eq \r(2)，符合元素的互異性．


所以a的取值為2，eq \r(2)，－eq \r(2).


(2)根據(jù)集合中元素的互異性可知，a≠a2，所以a≠0且a≠1.














應用集合元素的特性解題的要點


(1)集合問題的核心即研究集合中的元素，在解決這類問題時，要明確集合中的元素是什么．


(2)構成集合的元素必須是確定的(確定性)，而且是互不相同的(互異性)，在書寫時可以不考慮先后順序(無序性)．


(3)利用集合元素的特性求參數(shù)問題時，先利用確定性解出字母所有可能值，再根據(jù)互異性對集合中元素進行檢驗，要注意分類討論思想的應用．





[針對訓練]


4．已知集合A由三個元素m，m2＋1,1組成，若2∈A，求實數(shù)m的值．


[解] ∵2∈A，∴m＝2或m2＋1＝2，


則m＝2或m＝±1.


當m＝2時，集合A中的元素為：2,5,1，符合題意；


當m＝1時，集合A中的元素為：1,2,1，不滿足互異性，舍去；


當m＝－1時，集合A中的元素為：－1,2,1，符合題意．


綜上知，m＝2或m＝－1.





課堂歸納小結


1．判斷一組對象的全體能否構成集合，關鍵是看研究對象是否確定．若研究對象不確定，則不能構成集合．


2．集合中的元素是確定的，某一元素a要么滿足a∈A，要么滿足a?A，兩者必居其一．這也是判斷一組對象能否


構成集合的依據(jù)．


3．集合中元素的三種特性：確定性、互異性、無序性．求集合中字母的取值時，一定要檢驗是否滿足集合中元素的互異性.





1．已知a∈R，且a?Q，則a可以為( )


A．eq \r(2) B．eq \f(1,2)


C．－2 D．－eq \f(1,3)


[解析] eq \r(2)是無理數(shù)，所以eq \r(2)?Q，eq \r(2)∈R.


[答案] A


2．若由a2,2019a組成的集合M中有兩個元素，則a的取值可以是( )


A．a(chǎn)＝0 B．a(chǎn)＝2019


C．a(chǎn)＝1 D．a(chǎn)＝0或a＝2019


[解析] 若集合M中有兩個元素，則a2≠2019a.即a≠0，且a≠2019.故選C．


[答案] C


3．下列各組對象能構成集合的有( )


①接近于0的實數(shù)；②小于0的實數(shù)；③(2019,1)與(1,2019)；④1,2,3,1.


A．1組 B．2組


C．3組 D．4組


[解析] ①中“接近于0”不是一個明確的標準，不滿足集合中元素的確定性，所以不能構成集合；②中“小于0”是一個明確的標準，能構成集合；③中(2019,1)與(1,2019)是兩個不同的對象，是確定的，能構成集合，注意該集合有兩個元素；④中的對象是確定的，可以構成集合，根據(jù)集合中元素的互異性，可知構成的集合為{1,2,3}．


[答案] C


4．若方程ax2＋ax＋1＝0的解構成的集合中只有一個元素，則a為( )


A．4 B．2


C．0 D．0或4


[解析] 當a＝0時，方程變?yōu)?＝0不成立，故a＝0不成立；當a≠0時，Δ＝a2－4a＝0，a＝4，故選A．


[答案] A


5．下列說法正確的是________．


①及第書業(yè)的全體員工形成一個集合；


②2019年高考試卷中的難題形成一個集合；


③方程x2－1＝0與方程x＋1＝0所有解組成的集合中共有3個元素；


④x，eq \r(3,x3)，eq \r(x2)，|x|形成的集合中最多有2個元素．


[解析] ①及第書業(yè)的全體員工是一個確定的集體，能形成一個集合，正確；②難題沒有明確的標準，不能形成集合，錯誤；③方程x2－1＝0的解為x＝±1，方程x＋1＝0的解為x＝－1，由集合中元素的互異性知，兩方程所有解組成的集合中共有2個元素1，－1，故錯誤；④x＝eq \r(3,x3)，eq \r(x2)＝|x|，故正確．


[答案] ①④


課后作業(yè)(一)


復習鞏固


一、選擇題


1．下列說法正確的是( )


A．某班中年齡較小的同學能夠形成一個集合


B．由1,2,3和eq \r(9)，1，eq \r(4)組成的集合不相等


C．不超過20的非負數(shù)組成一個集合


D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解構成的集合中有3個元素


[解析] A項中元素不確定．B項中兩個集合元素相同，因集合中的元素具有無序性，所以兩個集合相等．D項中方程的解分別是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互異性知，構成的集合含2個元素．


[答案] C


2．已知集合A由x0，,－a，a

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1.1 集合的概念

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