1．嘗試將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型．


2．了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及一次函數(shù)等函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異．


3．會(huì)根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異選擇函數(shù)模型．





1．指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)








2.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的增長(zhǎng)差異


(1)在區(qū)間(0，＋∞)上，函數(shù)y＝ax(a>1)，y＝lgax(a>1)和y＝kx(k>0)都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，且不在同一個(gè)“檔次”上．


(2)在區(qū)間(0，＋∞)上隨著x的增大，y＝ax(a>1)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝kx(k>0)的增長(zhǎng)速度，而y＝lgax(a>1)的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來(lái)越慢．


(3)存在一個(gè)x0，使得當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)gax0)．





1．已知函數(shù)f(x)＝2x，g(x)＝2x，h(x)＝lg2x.


(1)函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)隨著x的增大，函數(shù)值有什么共同的變化趨勢(shì)？


(2)函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)增長(zhǎng)的速度有什么不同？


[答案] (1)函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)隨著x的增大，函數(shù)值增大


(2)各函數(shù)增長(zhǎng)的速度不同，其中f(x)＝2x增長(zhǎng)得最快，其次是g(x)＝2x，最慢的是h(x)＝lg2x


2．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)


(1)函數(shù)y＝3x比y＝2x增長(zhǎng)的速度更快些．( )


(2)當(dāng)x>100時(shí)，函數(shù)y＝10x－1比y＝lgx增長(zhǎng)的速度快．( )


(3)能用指數(shù)型函數(shù)f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0，b>1)表達(dá)的函數(shù)模型，稱(chēng)為指數(shù)型函數(shù)模型，也常稱(chēng)為“爆炸型”函數(shù)．( )


(4)當(dāng)a>1，k>0時(shí)，在區(qū)間(0，＋∞)上，對(duì)任意的x，總有l(wèi)gax1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快，即增長(zhǎng)速度急劇，形象地稱(chēng)為“指數(shù)爆炸”．


(3)對(duì)數(shù)函數(shù)模型


對(duì)數(shù)函數(shù)模型y＝lgax(a>1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越慢，即增長(zhǎng)速度平緩．


(4)冪函數(shù)模型


冪函數(shù)y＝xn(n>0)的增長(zhǎng)速度介于指數(shù)增長(zhǎng)和對(duì)數(shù)增長(zhǎng)之間．





[針對(duì)訓(xùn)練]


1．下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最慢的是( )


A．y＝6xB．y＝lg6x


C．y＝x6D．y＝6x


[解析] 對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢．選B.


[答案] B


2．有一組數(shù)據(jù)如下表：


現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿(mǎn)足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是( )


A．v＝lg2t


C．v＝eq \f(t2－1,2)D．v＝2t－2


[解析] 從表格中看到此函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，排除B，增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，排除A和D，選C.


[答案] C


函數(shù)模型的選擇問(wèn)題


【典例2】 蘆薈是一種經(jīng)濟(jì)作物，可以入藥，有美容、保健的功效．某人準(zhǔn)備栽培并銷(xiāo)售蘆薈，為了解行情，進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研．從4月1日起，蘆薈的種植成本Q(單位：元/千克)與上市時(shí)間t(單位：天)的數(shù)據(jù)情況如下表：


(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從下列選項(xiàng)中選取一個(gè)最能反映蘆薈種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系的函數(shù)式：


①Q(mào)＝at＋b，②Q＝at2＋bt＋c，③Q＝a·bt，④Q＝algbt；


(2)利用你選擇的函數(shù)，求蘆薈種植成本最低時(shí)的上市時(shí)間及最低種植成本．


[思路導(dǎo)引] 要選擇最能反映蘆薈種植成本與上市時(shí)間之間的變化關(guān)系的函數(shù)式，應(yīng)該分析各函數(shù)的變化情況，通過(guò)研究這些函數(shù)的變化趨勢(shì)與表格提供的實(shí)際數(shù)據(jù)是否相符來(lái)判斷哪個(gè)函數(shù)是最優(yōu)函數(shù)模型．


[解] (1)由表中所提供的數(shù)據(jù)可知，反映蘆薈種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系的函數(shù)不可能是常數(shù)函數(shù)，故用函數(shù)Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝algbt中的任意一個(gè)來(lái)反映時(shí)都應(yīng)有a≠0，而上面三個(gè)函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，這與表格提供的數(shù)據(jù)不符合，所以應(yīng)選用二次函數(shù)Q＝at2＋bt＋c進(jìn)行描述．將表格所提供的三組數(shù)據(jù)分別代入函數(shù)Q＝at2＋bt＋c，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(15.0＝2500a＋50b＋c，,10.8＝12100a＋110b＋c，,15.0＝62500a＋250b＋c，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2000)，,b＝－\f(3,20)，,c＝\f(85,4).))所以反映蘆薈種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系的函數(shù)為Q＝eq \f(1,2000)t2－eq \f(3,20)t＋eq \f(85,4).故選②.


(2)當(dāng)t＝150(天)時(shí)，蘆薈種植成本最低，為Q＝eq \f(1,2000)×1502－eq \f(3,20)×150＋eq \f(85,4)＝10(元/千克)．











不同函數(shù)模型的選取標(biāo)準(zhǔn)


(1)線(xiàn)性函數(shù)增長(zhǎng)模型適合于描述增長(zhǎng)速度不變的變化規(guī)律．


(2)指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)模型適合于描述增長(zhǎng)速度急劇的變化規(guī)律．


(3)對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)模型適合于描述增長(zhǎng)速度平緩的變化規(guī)律．


(4)冪函數(shù)增長(zhǎng)模型適合于描述增長(zhǎng)速度一般的變化規(guī)律．





[針對(duì)訓(xùn)練]


3．某學(xué)校為了實(shí)現(xiàn)60萬(wàn)元的生源利潤(rùn)目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)招生人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在生源利潤(rùn)達(dá)到5萬(wàn)元時(shí)，按生源利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元)隨生源利潤(rùn)x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)3萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的20%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x，其中哪個(gè)模型符合該校的要求？


[解] 作出函數(shù)y＝3，y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x的圖象(如下圖所示)．觀察圖象可知，在區(qū)間[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的圖象都有一部分在直線(xiàn)y＝3的上方，只有y＝lg5x的圖象始終在y＝3和y＝0.2x的下方，這說(shuō)明只有按模型y＝lg5x進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)才符合學(xué)校的要求．





題型三 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)模型的比較


【典例3】 函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)lg2x.


解法二：比較三個(gè)函數(shù)值的大小，作為選擇題，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，經(jīng)檢驗(yàn)易知選B.


[答案] B


5．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長(zhǎng)10.4%，要增長(zhǎng)到原來(lái)的x倍，需經(jīng)過(guò)y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是( )





[解析] 設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，


由題意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝lg1.104x(x≥1)，


∴y＝f(x)的圖象大致為D中圖象．


[答案] D


課堂歸納小結(jié)


1．四類(lèi)不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型


(1)增長(zhǎng)速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型．


(2)增長(zhǎng)速度最快即呈現(xiàn)爆炸式增長(zhǎng)的函數(shù)模型是指數(shù)型函數(shù)模型．


(3)增長(zhǎng)速度較慢的函數(shù)模型是對(duì)數(shù)型函數(shù)模型．


(4)增長(zhǎng)速度平穩(wěn)的函數(shù)模型是冪函數(shù)模型.


2.函數(shù)模型的應(yīng)用


(1)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計(jì)算、推理，且能得出正確結(jié)論．


(2)反映性原則：建立模型，應(yīng)與原型具有“相似性”，所得模型的解應(yīng)具有說(shuō)明問(wèn)題的功能，能回到具體問(wèn)題中解決問(wèn)題.





1．下圖反映的是下列哪類(lèi)函數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)( )





A．一次函數(shù)B．冪函數(shù)


C．對(duì)數(shù)函數(shù)D．指數(shù)函數(shù)


[解析] 從圖象可以看出這個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速率越來(lái)越慢，反映的是對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)．


[答案] C


2．四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向前運(yùn)動(dòng)，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)關(guān)于時(shí)間x(x>1)的函數(shù)關(guān)系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝lg2x，f4(x)＝2x.如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去，最終在最前面的物體具有的函數(shù)關(guān)系是( )


A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝2x


C．f3(x)＝lg2xD．f4(x)＝2x


[解析] 由增長(zhǎng)速度可知，當(dāng)自變量充分大時(shí)，指數(shù)函數(shù)的值最大，故選D.


[答案] D


3．某種產(chǎn)品今年的產(chǎn)量是a，如果保持5%的年增長(zhǎng)率，那么經(jīng)過(guò)x年(x∈N*)，該產(chǎn)品的產(chǎn)量y滿(mǎn)足( )


A．y＝a(1＋5%x)B．y＝a＋5%x


C．y＝a(1＋5%)x－1D．y＝a(1＋5%)x


[解析] 經(jīng)過(guò)1年，y＝a(1＋5%)，經(jīng)過(guò)2年，y＝a(1＋5%)2，…，經(jīng)過(guò)x年，y＝a(1＋5%)x.


[答案] D


4．某種病菌經(jīng)30分鐘繁殖為原來(lái)的2倍，且知這種病菌的繁殖規(guī)律為y＝ekt(k為常數(shù)，t為時(shí)間，單位：小時(shí))，y表示病菌個(gè)數(shù)，則k＝________，經(jīng)過(guò)5小時(shí)，1個(gè)病菌能繁殖為_(kāi)_______個(gè)．


[解析] 設(shè)病菌原來(lái)有1個(gè)，則半小時(shí)后為2個(gè)，得2＝，解得k＝2ln2，y(5)＝e(2ln2)·5＝e10ln2＝210＝1024(個(gè))．


[答案] 2ln2 1024


5．某債券市場(chǎng)發(fā)行三種債券，A種面值為100元，一年到期本息和為103元；B種面值為50元，半年到期本息和為51.4元；C種面值為100元，但買(mǎi)入價(jià)為97元，一年到期本息和為100元．作為購(gòu)買(mǎi)者，分析這三種債券的收益，如果只能購(gòu)買(mǎi)一種債券，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)買(mǎi)哪種？


[解] A種債券的收益是每100元一年到期收益3元；B種債券的半年利率為eq \f(51.4－50,50)，所以100元一年到期的本息和為100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(51.4－50,50)))2≈105.68(元)，收益為5.68元；C種債券的利率為eq \f(100－97,97)，100元一年到期的本息和為100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(100－97,97)))≈103.09(元)，收益為3.09元．通過(guò)以上分析，購(gòu)買(mǎi)B種債券．


課后作業(yè)(三十三)


復(fù)習(xí)鞏固


一、選擇題


1．在一次數(shù)學(xué)試驗(yàn)中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：


則x，y的函數(shù)關(guān)系與下列哪類(lèi)函數(shù)最接近(其中a，b為待定系數(shù))( )


A．y＝a＋bxB．y＝a＋bx


C．y＝ax2＋bD．y＝a＋eq \f(b,x)


[解析] 在坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，可知函數(shù)y＝a＋bx更接近．


[答案] B


2．甲從A地到B地，途中前一半路程的行駛速度是v1，后一半路程的行駛速度是v2(v1

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4.4 對(duì)數(shù)函數(shù)

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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