2.2.1 不等式及其性質(zhì)





知識點(diǎn)1 比較實(shí)數(shù)大小


1.不等式：用數(shù)學(xué)符號“≠”“>”“b或a＝b;a≤b?ab?a－b>0；,a＝b?a－b＝0；,a1


答案 C


2.設(shè)M＝4＋x2，N＝4x，則M與N的大小關(guān)系為( )


A.M ≥N B.M＝N


C.M≤N D.與x有關(guān)


A [因?yàn)镸－N＝4＋x2－4x＝(x－2)2≥0.所以M≥N.][來源:]


知識點(diǎn)2 不等式的性質(zhì)[來源:學(xué)&科&網(wǎng)]


1.不等式的性質(zhì)


性質(zhì)1 如果a>b，那么a＋c>b＋c.


性質(zhì)2 如果a>b，c>0，那么ac>bc.


性質(zhì)3 如果a>b，cc，那么a>c.(傳遞性)


性質(zhì)5 如果a>b?bc，則a_>c－b.


推論2 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.


推論3 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.


推論4 如果a>b>0，那么an> bn(n∈N，n>1).


推論5 如果a>b>0，那么eq \r(a) >eq \r(b)，eq \r(n,a)>eq \r(n,b).


[微體驗(yàn)]


1.思考辨析


(1)若a>b，則ac>bc一定成立.( )


(2)a>b?a＋c>b＋c.( )


(3)若a＋c>b＋d，則a>b，c>d.( )


答案 (1)× (2)√ (3)×


2.用反證法證明命題“如果a>b，那么eq \r(3,a)>eq \r(3,b)”時，假設(shè)的內(nèi)容是( )


A.eq \r(3,a)＝eq \r(3,b) B.eq \r(3,a)bc B.ac>bc


C.a－c>b－d D.a＋c>b＋d


D [a，b，c，d的符號未確定，排除A、B兩項(xiàng)；同向不等式相減，結(jié)果未必是同向不等式，排除C項(xiàng)，故選D項(xiàng).]


4.若a>b>0，n>0，則eq \f(1,an)_________eq \f(1,bn).(填“>”“b>0，n>0，所以an>bn>0. 因?yàn)閑q \f(1,an·bn)>0，


所以an·eq \f(1,anbn)>bn·eq \f(1,anbn)，所以eq \f(1,bn)>eq \f(1,an).]





探究一 比較大小問題


已知x∈R，比較x3－1與2x2－2x的大小.


解 (x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)


＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)，


因?yàn)閤2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)>0，


所以當(dāng)x>1時，(x－1)(x2－x＋1)>0，


即x3－1>2x2－2x；


當(dāng)x＝1時，(x－1)(x2－x＋1)＝0，即x3－1＝2x2－2x；


當(dāng)xa>b>0，求證：eq \f(a,c－a)>eq \f(b,c－b).


證明 因?yàn)閏＞a＞b＞0所以c－a＞0，c－b＞0，


eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(由a＞b＞0?\f(1,a)＜\f(1,b), c＞0))?eq \f(c,a)＜eq \f(c,b)


?eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(c－a,a)＜\f(c－b,b), c－a＞0, c－b＞0))?eq \f(a,c－a)＞eq \f(b,c－b).


[變式探究1] 將本例中的條件“c>a>b>0”變?yōu)椤癮>b>0，ceq \f(c,b).


證明 因?yàn)閍>b>0，所以ab>0，eq \f(1,ab)>0.


于是a×eq \f(1,ab)>b×eq \f(1,ab)，即eq \f(1,b)>eq \f(1,a).由ceq \f(c,b).


[變式探究2] 將本例中的條件“c>a>b>0”變?yōu)椤耙阎?

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第一冊電子課本

2.2.1 不等式及其性質(zhì)

版本： 人教B版 (2019)

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