?第2課時(shí)　不等式的證明方法
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握綜合法、分析法證明問(wèn)題的過(guò)程和推理特點(diǎn)，能靈活選用綜合法、分析法證明簡(jiǎn)單問(wèn)題.2.了解反證法的定義，掌握反證法的推理特點(diǎn)．掌握反證法證明問(wèn)題的一般步驟，能用反證法證明一些簡(jiǎn)單的命題．
導(dǎo)語(yǔ)
數(shù)學(xué)家給出了“上帝不是萬(wàn)能的”的證明過(guò)程．
證明：假設(shè)上帝是萬(wàn)能的，那么上帝能做任何事，就讓他制造一塊自己都搬不動(dòng)的大石頭，如果他造不出來(lái)，就說(shuō)明他不是萬(wàn)能的，如果他造出來(lái)了，但他又搬不動(dòng)，這與假設(shè)矛盾．所以，上帝不是萬(wàn)能的．
數(shù)學(xué)家采用了哪種證明命題的方法？常見(jiàn)的證明方法有哪些呢？這節(jié)課我們一起來(lái)研究不等式的證明方法．
一、綜合法
問(wèn)題1　閱讀下面的證明過(guò)程，證明方法有何特點(diǎn)？
求證：－>－.
證明：因?yàn)?－.
提示　由已知00，c0，∴a－c>b－d>0.
∴(a－c)2>(b－d)2>0.
兩邊同乘以，
得.
證明　∵c0.
∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，
∴0f，c>0.求證：f－ac0.求證：≤.
證明　(1)∵a>b，c>0，
∴ac>bc，∴－ac－，
只需證＋>＋，
只需證(＋)2>(＋)2，只需證8＋2>8＋2.
而上式顯然成立，所以結(jié)論成立．
提示　證明過(guò)程是由結(jié)論出發(fā)，逆推尋求條件．
知識(shí)梳理
從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、公理、定理等)為止．分析法最重要的推理形式為p?q，其中p是需要證明的結(jié)論，所以分析法的實(shí)質(zhì)就是不斷尋找結(jié)論成立的充分條件．
注意點(diǎn)：
1．用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為：
→→→…→
2．分析法實(shí)際上是尋求使結(jié)論成立的充分條件，即執(zhí)果索因．
3．綜合法和分析法為直接證明法．
例2　已知a>0，證明：－≥a＋－2.
證明　要證－≥a＋－2，
只需證≥－(2－)．
因?yàn)閍>0，所以－(2－)＝＋>0，
所以只需證2≥2，
即2(2－)≥8－4，只需證a＋≥2.
因?yàn)閍>0，所以a＋－2＝＝≥0，
所以a＋≥2顯然成立(當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)等號(hào)成立)，
所以要證的不等式成立．
反思感悟　分析法證明數(shù)學(xué)命題的過(guò)程是逆向思維，即結(jié)論?…?…?…已知，因此，在敘述過(guò)程中，“要證”“只需證”“即證”等詞語(yǔ)必不可少，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．
跟蹤訓(xùn)練2　若a，b∈(1，＋∞)，證明：不成立，即≤成立，
即b矛盾，
若.
提示　假設(shè)結(jié)論不成立，逐步推出矛盾．
知識(shí)梳理
首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立．這種得到數(shù)學(xué)結(jié)論的方法通常稱為反證法，反證法是一種間接證明的方法．
注意點(diǎn)：
1．假設(shè)結(jié)論不成立，即結(jié)論的否定成立，可將其作為條件．
2．常見(jiàn)的主要矛盾有：與數(shù)學(xué)公理、定理、公式、定義或已被證明了的結(jié)論相矛盾；與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾．
3．反證法適宜證明存在性、唯一性、帶有“至少有一個(gè)”或“至多有一個(gè)”等字樣的一些數(shù)學(xué)問(wèn)題．
例3　已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，試證明a，b，c至少有一個(gè)不小于1.
證明　假設(shè)a，b，c均小于1，即a0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，
兩式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)．
∴x＋y≤2，這與已知中x＋y>2矛盾．
∴假設(shè)不成立，原命題成立．
故與至少有一個(gè)小于2.

1．知識(shí)清單：三種證明方法的步驟．
2．方法歸納：綜合法、分析法、反證法．
3．常見(jiàn)誤區(qū)：綜合法證明中不等式性質(zhì)使用不當(dāng)，反證法中假設(shè)不正確．

1．用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)是(　　)
A．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)
B．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)
C．自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù)
D．自然數(shù)a，b，c都是偶數(shù)
答案　B
解析　“恰有一個(gè)”否定是“至少有兩個(gè)或一個(gè)也沒(méi)有”，故選B.
2．求證：－1>－.
證明：要證－1>－，
只需證＋>＋1，
即證7＋2＋5>11＋2＋1，即證>，
∵35>11，∴原不等式成立．
以上證明應(yīng)用了(　　)
A．分析法
B．綜合法
C．分析法與綜合法配合使用
D．反證法
答案　A
解析　該證明方法符合分析法的定義，故選A.
3．(多選)應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過(guò)程中，可以把下列哪些作為條件使用(　　)
A．結(jié)論的反設(shè) B．已知條件
C．定義、公理、定理等 D．原結(jié)論
答案　ABC
解析　反證法的“歸謬”是反證法的核心，其含義是：從命題結(jié)論的反設(shè)(即把“反設(shè)”作為一個(gè)新的已知條件)及原命題的條件出發(fā)，引用一系列論據(jù)進(jìn)行正確推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的結(jié)果．
4．(多選)下列命題中，不正確的是(　　)
A．若abc，則a>b
C．若d，則a－c>b－d
答案　ABD
解析　∵a0，能推得0,1＋>0，
∴要證0,1＋>0，
∴1＋x≥1＋x＋，即0≥，
∴x＝0，與條件x>0矛盾．
∴假設(shè)不成立，故0”是“P，Q，R同時(shí)大于0”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案　C
解析　首先，若P，Q，R同時(shí)大于0，則必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P，Q，R不都大于0，則必有兩個(gè)為負(fù)，不妨設(shè)Pa>m>0，則________.
答案　(1)0，
∴bc－ad>0
∴ada>m>0，∴a－b0，
∴a＋b?a－a>b－b?a(－)>b(－)?(a－b)(－)>0?(＋)(－)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．

15．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：
①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.
其中能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是______．(填序號(hào))
答案　③
解析　若a＝，b＝，則a＋b＝1，但a2，則a，b中至少有一個(gè)大于1.
反證法：假設(shè)a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b>2矛盾，因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個(gè)大于1.
16．已知a，b，c是互不相等的非零實(shí)數(shù)，用反證法證明三個(gè)方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根．
證明　假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根．
則Δ1＝4b2－4ac≤0，
Δ2＝4c2－4ab≤0，
Δ3＝4a2－4bc≤0，上述三個(gè)式子相加得，
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，
即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.
所以a＝b＝c這與a，b，c是互不相等的非零實(shí)數(shù)相矛盾．
因此假設(shè)不成立，故三個(gè)方程ax2＋2bx＋c＝0，
bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根．

相關(guān)學(xué)案

高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)2.6.1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案：

這是一份高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)2.6.1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案，共11頁(yè)。學(xué)案主要包含了平行或垂直的直線系方程，過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程，過(guò)定點(diǎn)的直線系方程等內(nèi)容，歡迎下載使用。

數(shù)學(xué)人教B版 (2019)3.1.1 函數(shù)及其表示方法第2課時(shí)學(xué)案設(shè)計(jì)：

這是一份數(shù)學(xué)人教B版 (2019)3.1.1 函數(shù)及其表示方法第2課時(shí)學(xué)案設(shè)計(jì)，共12頁(yè)。學(xué)案主要包含了函數(shù)的三種表示方法，函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)圖像的作法及應(yīng)用等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高中人教B版 (2019)第二章 等式與不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其應(yīng)用第1課時(shí)導(dǎo)學(xué)案：

這是一份高中人教B版 (2019)第二章 等式與不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其應(yīng)用第1課時(shí)導(dǎo)學(xué)案，共16頁(yè)。學(xué)案主要包含了對(duì)均值不等式的理解，利用均值不等式求最值，利用均值不等式證明不等式等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

高中2.2.4 均值不等式及其應(yīng)用第2課時(shí)學(xué)案

高中2.2.4 均值不等式及其應(yīng)用第2課時(shí)學(xué)案
高中數(shù)學(xué)2.2.1 不等式及其性質(zhì)第1課時(shí)學(xué)案

高中數(shù)學(xué)2.2.1 不等式及其性質(zhì)第1課時(shí)學(xué)案
2021學(xué)年第二章 等式與不等式2.1 等式2.1.3 方程組的解集學(xué)案設(shè)計(jì)

2021學(xué)年第二章 等式與不等式2.1 等式2.1.3 方程組的解集學(xué)案設(shè)計(jì)
數(shù)學(xué)必修 第一冊(cè)1.1.1 集合及其表示方法第2課時(shí)導(dǎo)學(xué)案

數(shù)學(xué)必修 第一冊(cè)1.1.1 集合及其表示方法第2課時(shí)導(dǎo)學(xué)案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

2.2.1 不等式及其性質(zhì)

版本： 人教B版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部