1.2.1 命題與量詞








知識點1 命題


命題：能夠判斷真假的陳述句. 判斷為真的語句稱為真命題，判斷為假的語句稱為假命題.


[微體驗]


1.思考辨析


(1)“梯形是不是平面圖形？”是命題.( )


(2)“若a＝b，則ac＝bc”是命題.( )


(3)“x2－3x＋2＞0”不是命題.( )


(4)命題“直角三角形的兩個銳角互余”的條件是“若一個三角形是直角三角形”.( )


(5)命題“平行四邊形的對角線相交于一點，且互相平分”的結(jié)論是“對角線互相平分”.( )


答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)×


2.下列命題中，是真命題的是( )


A.{x∈R|x2＋1＝0}不是空集


B.若x2＝1，則x＝1


C.空集是任何集合的真子集


D.方程x2－5x＝0的根是自然數(shù)


答案 D


知識點2 量詞


1.全稱量詞與全稱量詞命題


(1)一般地，“任意”“所有”“每一個”在陳述中表示所述事物的全體，稱為全稱量詞，用符號“?”表示. 含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題.


(2)全稱量詞命題的一般形式：?x∈M，r(x).


2.存在量詞與存在量詞命題


(1)“存在”“有”“至少有一個”在陳述中表示所述事物的個體或部分，稱為存在量詞，用符號“?”表示.含有存在量詞的命題，稱為存在量詞命題.


(2)存在量詞命題的一般形式：?x∈M，s(x).


[微思考]


“有理數(shù)都是實數(shù)”是全稱量詞命題嗎？此命題是真命題還是假命題？


提示 是全稱量詞命題.是真命題.


[微體驗]


思考辨析


(1)“?x0∈R，xeq \\al(2,0)＜0”是存在量詞命題.( )


(2)“?x∈R，－x2－1＜0”是真命題.( )


(3)將“x2＋y2≥2xy”改寫為全稱量詞命題為“?x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy”.( )


(4)若命題“?x∈M，p(x)成立”是真命題，則“?x0∈M，使p(x0)成立”也是真命題.( )


答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√








探究一 命題及其真假判斷


(1)下列語句中，命題的個數(shù)為( )


①中國航天人真?zhèn)ゴ螅、诳占侨魏渭系恼孀蛹?；?x－2＞0；④把門關(guān)上；⑤自然數(shù)是偶數(shù)；⑥垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？⑦在2030年之前，人類能登上火星.


A.1 B.2


C.3 D.4


C [①是感嘆句，不能判斷真假，不是命題；③中含有未知數(shù)x，不能判斷真假，不是命題；④是祈使句，不能判斷真假，不是命題；⑥是疑問句，不能判斷真假，不是命題.②⑤可以判斷真假，都是命題.⑦雖然目前還不能確定真假，但隨著時間的推移，總能判斷它的真假，故也是命題.]


(2)判斷下列命題的真假：


①已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，則a＋b≠c＋d；


②對任意的x∈N，都有x3>x2成立；


③若m>1，則方程x2－2x＋m＝0無實數(shù)根；


④存在一個三角形沒有外接圓.


解 ①假命題.反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.[來源:Z&xx&k.Cm]


②假命題.反例：當x＝0時，x3>x2不成立.


③真命題.因為m>1?Δ＝4－4m0；②?x∈N，x4≥1；


③?x∈Z，x30，即x2＋2>0. 所以命題“?x∈R，x2＋2>0”是真命題.


②由于0∈N，當x＝0時，x4≥1不成立.


所以命題“?x∈N，x4≥1”是假命題.


③由于－1∈Z，當x＝－1時，x32；⑤這座山真險??！


A.①②③ B.①③④


C.①②⑤ D.②③⑤


A [④中語句不能判斷真假，⑤中語句為感嘆句，所以④⑤不是命題.]


2.下列命題中是存在量詞命題的是( )


A.所有的整數(shù)都是有理數(shù)


B.三角形的內(nèi)角和都是180°[來源:ZXXK]


C.有些三角形是等腰三角形


D.正方形都是菱形


C [ A、B、D為全稱量詞命題，C中含有存在量詞“有些”，故為存在量詞命題.]


3.下列命題中全稱量詞命題的個數(shù)為( )


①平行四邊形的對角線互相平分；②梯形有兩條邊互相平行；③存在一個菱形，它的四條邊不相等.


A.0 B.1


C.2 D.3


C [易知①②是全稱量詞命題，③是存在量詞命題.]


4.給出命題“方程x2＋ax＋1＝0沒有實數(shù)根”，則使該命題為真命題的a的一個值可以是( )


A.4 B.2


C.0 D.－3


C [方程無實數(shù)根時，應(yīng)滿足Δ＝a2－4＜0，故當a＝0時適合條件.]


5.下列語句不是全稱量詞命題的是( )


A.任何一個實數(shù)乘以零都等于零


B.自然數(shù)都是正整數(shù)


C.高二(一)班絕大多數(shù)同學(xué)是團員


D.每一個向量都有大小


C [ “高二(一)班絕大多數(shù)同學(xué)是團員”，即“高二(一)班有的同學(xué)不是團員”，是存在量詞命題.]


6.命題“對任意一個實數(shù)x，x2＋2x＋1都不小于零”用“?”或“?”符號表示為______________.


?x∈R，x2＋2x＋1≥0 [將文字語言用符號語言表示為?x∈R，x2＋2x＋1≥0.]


7.(多空題)下列命題中是全稱量詞命題的是________；是存在量詞命題的是________.


①正方形的四條邊相等；


②有些等腰三角形是正三角形；


③正數(shù)的平方根不等于0；[來源:學(xué)*科*網(wǎng)]


④至少有一個正整數(shù)是偶數(shù).


①③ ②④ [①③是全稱量詞命題，②④是存在量詞命題.]


8.判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題，并判斷其真假.


(1)沒有一個實數(shù)α，tan α無意義；


(2)所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑嗎？


(3)圓外切四邊形，其對角互補.


解 (1)中命題的實質(zhì)是“所有的實數(shù)α，tan α有意義”，含有全稱量詞，所以(1)為全稱量詞命題，是假命題.


(2)是疑問句，不是命題.


(3)“圓外切四邊形，其對角互補”的實質(zhì)是“所有圓的外切四邊形，其對角都互補”，所以該命題是全稱量詞命題，是假命題.


9.已知命題“ax2－2ax－3>0不成立”是真命題.求實數(shù)a的取值范圍.


解 因為ax2－2ax－3＞0不成立，


所以ax2－2ax－3≤0恒成立.


①當a＝0時，－3≤0成立；


②當a≠0時，應(yīng)滿足：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,Δ≤0，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,?－2a?2＋12a≤0，))解得－3≤a

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1.2.1 命題與量詞

版本： 人教B版 (2019)

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