清麗、優(yōu)美的芭蕾舞劇《睡美人》序曲奏響了，一名女演員雙手撫摸著短裙，眼里閃爍著倔強和自信的目光．只見她踮起腳尖，一個優(yōu)雅的旋轉(zhuǎn)，輕盈地提著舞裙，飄然來到臺上，在追光燈下飄起舞裙，那飄灑翩躚的舞姿，把整個舞臺化成一片夢境……她為什么要踮起腳尖呢？因為一般的人，下半身長x與全身長y的比值eq \f(x,y)在0.57～0.6之間．設(shè)人的腳尖立起提高了m，則下半身長與全身長度的比由eq \f(x,y)變成了eq \f(x＋m,y＋m)，這個比值非常接近黃金分割值0.618.這便是不等式在實際生活中的應(yīng)用．
[問題] 不等式還有哪些重要的性質(zhì)呢？



知識點一 比較實數(shù)a，b的大小
1．a(chǎn)－b0?a>b．
1．在比較兩實數(shù)a，b大小的依據(jù)中，a，b兩數(shù)是任意實數(shù)嗎？
提示：是．
2．p?q的含義是什么？
提示：p?q的含義是：p可以推出q，q也可以推出p，即p與q可以互推(等價)．
當(dāng)m>1時，m3與m2－m＋1的大小關(guān)系為________．
解析：∵m3－(m2－m＋1)
＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)
＝(m－1)(m2＋1)．
又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.
∴m3>m2－m＋1.
答案：m3>m2－m＋1
知識點二 不等式的性質(zhì)
性質(zhì)1：如果a>b，那么a＋ceq \a\vs4\al(>)b＋c.
性質(zhì)2：如果a>b，c>0，那么aceq \a\vs4\al(>)bc.
性質(zhì)3：如果a>b，cc，那么aeq \a\vs4\al(>)c.(傳遞性)
性質(zhì)5：a>b?bc，那么aeq \a\vs4\al(>)c－b.(不等式的移項法則)
推論2：如果a>b，c>d，那么a＋ceq \a\vs4\al(>)b＋d.(同向可加性)
推論3：如果a>b>0，c>d>0，那么aceq \a\vs4\al(>)bd.
推論4：如果a>b>0，那么aneq \a\vs4\al(>)bn(n∈N，n>1)．
推論5：如果a>b>0，那么eq \r(a)eq \a\vs4\al(>)eq \r(b).
1．若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立嗎？a－c>b－d呢？
提示：a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立．
2．若a>b，c>d，那么ac>bd成立嗎？
提示：不一定，但當(dāng)a>b>0，c>d>0時，一定成立．
1．下列命題正確的是( )
A．a(chǎn)>b，c≠0?ac2>bc2
B．a(chǎn)b?a2>b2
答案：A
2．設(shè)a，b，c∈R，且a>b，則下列不等關(guān)系正確的是________(填序號)．
①a＋1>b－3； ②ac>bc；
③a2>b2; ④a－b>0.
答案：①④
3．已知a＋b>0，b－b>b>－a
[例1] 對于實數(shù)a，b，c，下列命題中的真命題是( )
A．若a＞b，則ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，則eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)
C．若a＜b＜0，則eq \f(b,a)＞eq \f(a,b)
D．若a＞b，eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，則a＞0，b＜0
[解析] ∵c2≥0，∴c＝0時，有ac2＝bc2，故A為假命題；
由a＞b＞0，有ab＞0?eq \f(a,ab)＞eq \f(b,ab)?eq \f(1,b)＞eq \f(1,a)，故B為假命題；
由a＜b＜0?－a＞－b＞0?－eq \f(1,b)＞－eq \f(1,a)＞0?eq \f(a,b)＞eq \f(b,a)，故C為假命題；
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＞b?b－a＜0，,\f(1,a)＞\f(1,b)?\f(1,a)－\f(1,b)＞0?\f(b－a,ab)＞0))?ab＜0.
∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D為真命題．
[答案] D
eq \a\vs4\al()
運用不等式性質(zhì)判斷命題的真假時，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．
[跟蹤訓(xùn)練]
(多選)下列命題正確的是( )
A．若a2＞b2，則a＞b B．若eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，則a＜b
C．若ac2＞bc2，則a＞b D．若eq \r(a)＜eq \r(b)，則a＜b
解析：選CD A錯，例如(－3)2＞22；B錯，例如eq \f(1,2)＞eq \f(1,－3)；C、D正確.
[例2] 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：eq \f(e,（a－c）2)＞eq \f(e,（b－d）2).
[證明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
兩邊同乘以eq \f(1,（a－c）2（b－d）2)，得eq \f(1,（a－c）2)＜eq \f(1,（b－d）2).
又e＜0，∴eq \f(e,（a－c）2)＞eq \f(e,（b－d）2).
[母題探究]
(變設(shè)問)本例條件不變的情況下，求證：eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d).
證明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴0＜eq \f(1,a－c)＜eq \f(1,b－d).
又∵e＜0，∴eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d).
eq \a\vs4\al()
利用不等式的性質(zhì)證明不等式的注意事項
(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用；
(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，切不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．
[跟蹤訓(xùn)練]
若bc－ad≥0，bd>0.求證：eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d).
證明：因為bc－ad≥0，所以ad≤bc，
因為bd>0，所以eq \f(a,b)≤eq \f(c,d)，所以eq \f(a,b)＋1≤eq \f(c,d)＋1，
所以eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d).
[例3] (1)已知1＜a＜4，2＜b＜8，試求2a＋3b與a－b的取值范圍；
(2)已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范圍．
[解] (1)∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24.
∴8＜2a＋3b＜32.
∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.
又∵1＜a＜4，
∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，
即－7＜a－b＜2.
故2a＋3b的取值范圍是(8，32)，a－b的取值范圍是(－7，2)．
(2)設(shè)a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，從而eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λ1＋λ2，,3＝λ1－2λ2，))解得λ1＝eq \f(5,3)，λ2＝－eq \f(2,3).
又－eq \f(5,3)≤eq \f(5,3)(a＋b)≤eq \f(5,3)，－2≤－eq \f(2,3)(a－2b)≤－eq \f(2,3)，
∴－eq \f(11,3)≤a＋3b≤1.
故a＋3b的取值范圍為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(11,3)，1)).
[母題探究]
(變設(shè)問)在本例(1)條件下，求eq \f(a,b)的取值范圍．
解：∵2＜b＜8，∴eq \f(1,8)＜eq \f(1,b)＜eq \f(1,2)，而1＜a＜4，
∴1×eq \f(1,8)＜a·eq \f(1,b)＜4×eq \f(1,2)，即eq \f(1,8)＜eq \f(a,b)＜2.
故eq \f(a,b)的取值范圍是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，2)).
eq \a\vs4\al()
利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式范圍的策略
(1)建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行運算，求得待求的范圍；
(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍．
[跟蹤訓(xùn)練]
已知－6＜a＜8，2＜b＜3，則eq \f(a,b)的取值范圍為________．
解析：∵－6＜a＜8，2＜b＜3.∴eq \f(1,3)＜eq \f(1,b)＜eq \f(1,2)，
①當(dāng)0≤a＜8時，0≤eq \f(a,b)＜4；
②當(dāng)－6＜a＜0時，得0＜－a＜6，即0＜－eq \f(a,b)＜3，
故－3＜eq \f(a,b)＜0.由①②得：－3＜eq \f(a,b)＜4.
故eq \f(a,b)的取值范圍為(－3，4)．
答案：(－3，4)
實際問題中的不等關(guān)系
糖水跟煲湯一樣，具有滋補養(yǎng)生功效．可以作為糖水的材料有很多，不同的材料具有不同的功效，有的具有清涼性，有的具有燥熱性．根據(jù)不同的主料來配搭不同輔料，可以達(dá)到相輔相成的效果．專家稱，喝糖水可緩解煩躁失眠．在煩躁而不容易入眠時，喝糖水可使體內(nèi)產(chǎn)生大量血清素，亦可助眠．
[問題探究]
下列關(guān)于糖水濃度的問題，能提煉出怎樣的不等關(guān)系呢？
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了；
(2)把原來的糖水(淡)與加糖后的糖水(濃)混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡；
(3)如果向一杯糖水里加水，糖水變淡了．
提示：(1)設(shè)糖水b克，含糖a克，糖水濃度為eq \f(a,b)，加入m克糖，即證明不等式eq \f(a＋m,b＋m)>eq \f(a,b)(其中a，b，m為正實數(shù)，且b>a)成立．
不妨用作差比較法，證明如下：
eq \f(a＋m,b＋m)－eq \f(a,b)＝eq \f(b（a＋m）－a（b＋m）,b（b＋m）)＝eq \f(m（b－a）,b（b＋m）).
∵a，b，m為正實數(shù)，且a0，b－a>0，
∴eq \f(m（b－a）,b（b＋m）)>0，
即eq \f(a＋m,b＋m)>eq \f(a,b).
(2)設(shè)原糖水b克，含糖a克，糖水濃度為eq \f(a,b)；另一份糖水d克，含糖c克，糖水濃度為eq \f(c,d)，且eq \f(a,b)c>0)．
證明：∵eq \f(a,b)a>0，d>c>0，
∴ad0，
eq \f(a,b)－eq \f(a＋c,b＋d)＝eq \f(ab＋ad－ab－bc,b（b＋d）)＝eq \f(ad－bc,b（b＋d）)0)．
證明：eq \f(a,b)－eq \f(a,b＋m)＝eq \f(ab＋am－ab,b（b＋m）)＝eq \f(am,b（b＋m）)>0，
∴eq \f(a,b)>eq \f(a,b＋m).
[結(jié)論] (1)如果一個分式eq \f(a,b)(b>a>0)的分子分母同時增大相同的值，則該分式的值變大；
(2)兩個分式中分子與分母分別相加所得的分式的大小介于這兩個分式之間；
(3)一個分式分子不變，分母變大，分式的值變小．以上證明過程考查了邏輯推理的核心素養(yǎng)．
[遷移應(yīng)用]
建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于10%，并且這個比例越大，采光條件越好，問同時增加相同的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了還是變壞了？
解：設(shè)窗戶面積為a m2，地板面積為b m2，增加的面積為n m2，顯然，a，b，n均為正實數(shù)，且a

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第一冊電子課本

2.2.1 不等式及其性質(zhì)

版本： 人教B版 (2019)

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