高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修第一冊2.2.1 不等式及其性質(zhì)教課課件ppt-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

課后素養(yǎng)落實(十四)　不等式的證明(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．要證－＜－成立，只需證明(　　)A．(－)2＜(－)2B．(－)2＜(－)2C．(＋)2＜(＋)2D．(－－)2＜(－)2C　[根據(jù)分析法的證明過程可知，要證－＜－，只需證明(＋)2＜(＋)2.]2．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求證＜a”索的因應(yīng)是(　　)A．a－b＞0B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0C　[由a＞b＞0，且a＋b＋c＝0可得b＝－a－c，a＞0，c＜0.要證＜a，只要證(－a－c)2－ac＜3a2，即證a2－ac＋a2－c2＞0，即證a(a－c)＋(a＋c)(a－c)＞0即證a(a－c)－b(a－c)＞0，也就是證(a－c)(a－b)＞0.故求證＜a索的因應(yīng)是(a－c)(a－b)＞0.]3．用反證法證明命題：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為(　　)A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除B　[由于反證法是命題的結(jié)論的否定的一個運用，故對“a，b中至少有一個能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．]4．①已知p3＋q3＝2，證明：p＋q≤2.用反證法證明時，可假設(shè)p＋q≥2；②若a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求證：方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對值都小于1．用反證法證明時可假設(shè)方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1．以下結(jié)論正確的是(　　)A．①與②的假設(shè)都錯誤B．①的假設(shè)正確；②的假設(shè)錯誤C．①與②的假設(shè)都正確D．①的假設(shè)錯誤；②的假設(shè)正確D　[對于①，結(jié)論的否定是p＋q＞2，故①的假設(shè)錯誤；對于②，其假設(shè)正確，故選D．]5．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，則P，Q的大小關(guān)系是(　　)A．P＞Q　　　　　 B．P＝QC．P＜Q D．由a的取值確定C　[要證P＜Q，只需證P2＜Q2.只要證2a＋7＋2＜2a＋7＋2，只要證a2＋7a＜a2＋7a＋12，只要證0＜12.又∵0＜12成立．∴P＜Q成立，故選C．]二、填空題6．用反證法證明命題“一個三角形中不能有兩個直角”的過程可以歸納為以下三個步驟．①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一個三角形中不能有兩個直角；③假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角，不妨設(shè)∠A＝∠B＝90°.其正確順序為________．③①②　[用反證法證明命題的步驟是：先假設(shè)命題不成立，然后通過推理得出矛盾，最后否定假設(shè)，從而得到正確的命題．故填③①②.]7．用反證法證明“a，b，c三個數(shù)中至少有一個不小于”時，假設(shè)內(nèi)容是________．a，b，c都小于　[“a，b，c中至少有一個不小于”的反面是“a，b，c都小于”．]8．要使－＜成立，a，b應(yīng)滿足的條件是______或者________．ab＞0且a＞b　ab＜0且a＜b　[－＜?a－b＋3－3＜a－b?(－)＞0?ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b.]三、解答題9．已知a≥b＞0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b.[證明]　要證明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，只需證2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.∵a≥b＞0，∴a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0，∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.10．已知x＞0，求用反證法證明：＜1＋.[證明]　假設(shè)≥1＋，∵x＞0，∴＞0,1＋＞0，∴1＋x≥1＋x＋，即0≥，∴x＝0，與條件x＞0矛盾．∴假設(shè)不成立，故＜1＋成立．1．(多選題)設(shè)a，b為正實數(shù)，有下列命題中正確的命題為(　　)A．若a2－b2＝1，則a－b<1B．若－＝1，則a－b<1C．若|－|＝1，則|a－b|<1D．若|a3－b3|＝1，則|a－b|<1AD　[對于A，由題意a，b為正實數(shù)，則a2－b2＝1?a－b＝?a－b>0?a>b>0，故a＋b>a－b>0.若a－b≥1，則≥1?a＋b≤1≤a－b，這與a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．對于B，取特殊值，a＝3，b＝，則a－b>1．對于C，取特殊值，a＝9，b＝4時，|a－b|>1．對于D，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，∴a≠b，不妨設(shè)a>b>0.∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2.即a3－b3>(a－b)3>0，∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，∴0<a－b<1，即|a－b|<1．因此D正確．]2．設(shè)a，b，c均為正實數(shù)，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR＞0”是“P，Q，R同時大于0”的(　　)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件C　[必要性顯然成立，PQR＞0包括P，Q，R同時大于0，或其中兩個為負兩種情況，假設(shè)P＜0，Q＜0，則P＋Q＝2b＜0，這與b為正實數(shù)矛盾．同理當(dāng)P，R同時小于0或Q，R同時小于0的情況亦得出矛盾．故P，Q，R同時大于0，所以選C．]3．如果a＋b＞a＋b，則實數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是________．a≥0，b≥0且a≠b　[a＋b－(a＋b)＝(a－b)(－)＝(－)(＋)(－)＝(－)2(＋)＞0，所以a≥0，b≥0且a≠b.]4．設(shè)a，b是兩個實數(shù)，給出下列條件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2.其中能推出“a，b中至少有一個大于1”的條件是________．(填序號)③　[假設(shè)a，b均不大于1，即a≤1，b≤1，則①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一個大于1”，故選③.](1)用分析法證明：已知n∈N*，求證－＞－；(2)已知a，b，c是互不相等的非零實數(shù)，用反證法證明三個方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一個方程有兩個相異實根．[解]　(1)證明：要證－＞－，只需證＋＞＋，只需證(＋)2＞(＋)2，即證2n＋3＋2＞2n＋3＋2，即證＞，即證n2＋3n＋2＞n2＋3n，即證2＞0，顯然成立，所以原不等式成立．(2)證明：假設(shè)三個方程都沒有兩個相異實根．則Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0，上述三個式子相加得，a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.所以a＝b＝c這與a，b，c是互不相等的非零實數(shù)相矛盾．因此假設(shè)不成立，故三個方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一個方程有兩個相異實根.