高中人教B版 (2019)3.1.1 函數(shù)及其表示方法精品第2課時2課時導(dǎo)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

知識點(diǎn) 函數(shù)的表示方法[來源:ZXXK]

1.解析法：用代數(shù)式(或解析式)表示函數(shù)的方法.

[微體驗(yàn)]

y與x成反比，且當(dāng)x＝2時，y＝1，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為( )[來源:學(xué)*科*網(wǎng)]

A.y＝eq \f(1,x) B.y＝－eq \f(1,x)

C.y＝eq \f(2,x) D.y＝－eq \f(2,x)

C [設(shè)y＝eq \f(k,x)(k≠0)，由題意知1＝eq \f(k,2)，所以k＝2，所以y＝eq \f(2,x).]

2.圖像法

(1)圖像法：用函數(shù)的圖像表示函數(shù)的方法.

(2)函數(shù)圖像：一般地，將函數(shù)y＝f(x)，x∈A中的自變量x和對應(yīng)的函數(shù)值y，分別看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，則滿足條件的點(diǎn)(x, y)組成的集合F稱為函數(shù)的圖像，即F＝{(x，y)|_y＝f(x)，x∈A}.

注意：如果F是函數(shù)y＝f(x)的圖像，則圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都滿足函數(shù)關(guān)系y＝f(x)；反之，滿足函數(shù)關(guān)系y＝f(x)的點(diǎn)(x，y)都在函數(shù)圖像F上.

3.兩種特殊函數(shù)

(1)分段函數(shù)：如果一個函數(shù)，在其定義域內(nèi)，對于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對應(yīng)方式，則稱其為分段函數(shù).

(2)常數(shù)函數(shù)：值域只有一個元素的函數(shù)，也就是說，常數(shù)函數(shù)中所有自變量對應(yīng)的函數(shù)值都相等.

[微體驗(yàn)]

1.已知f(x)＝π(x∈R)，則f(π2)等于( )

A.π2 B.π

C.eq \r(π) D.不確定

答案 B

2.下列圖像是函數(shù)y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x＜0，,x－1，x≥0))的圖像的是( )

C [由于f(0)＝0－1＝－1，所以函數(shù)圖像過點(diǎn)(0，－1)；當(dāng)x＜0時，y＝x2，則函數(shù)圖像是開口向上的拋物線y＝x2在y軸左側(cè)的部分.因此只有圖像C符合.]

3.函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x>1，))則f(f(4))＝________.

0 [因?yàn)閒(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0，

所以f(f(4))＝f(－1)＝0.]

探究一函數(shù)解析式的求法

(1)已知反比例函數(shù)f(x)滿足f(3)＝－6.求f(x)的解析式；

(2)已知f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x).求f(x)的解析式.

解 (1)設(shè)反比例函數(shù)f(x)＝eq \f(k,x)(k≠0)，

則f(3)＝eq \f(k,3)＝－6，解得k＝－18. 所以f(x)＝－eq \f(18,x).

(2)方法一：換元法.令eq \r(x)＋1＝t(t≥1)，則x＝(t－1)2.[來源:]

所以f(t)＝(t－1)2＋2eq \r(?t－1?2)＝t2－1.

所以f(x)＝x2－1(x≥1).

方法二：配湊法.因?yàn)閤＋2eq \r(x)＝(eq \r(x)＋1)2－1，

所以f(eq \r(x)＋1)＝(eq \r(x)＋1)2－1.

又因?yàn)閑q \r(x)＋1≥1，所以f(x)＝x2－1(x≥1).

[變式探究] 將本例(2)中的已知條件改為feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x2)呢？

解方法一：換元法.設(shè)t＝eq \f(1,x)，則x＝eq \f(1,t)(t≠0)，

代入feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x2)，得f(t)＝eq \f(\f(1,t),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)))2)＝eq \f(t,t2－1).

故f(x)＝eq \f(x,x2－1)(x≠0，且x≠±1).

方法二：因?yàn)閒eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x2)＝eq \f(\f(1,x),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2－1)，

所以f(x)＝eq \f(x,x2－1)(x≠0，且x≠±1).

[方法總結(jié)]

求函數(shù)解析式的兩種方法

方法一：待定系數(shù)法.

適用條件：函數(shù)的類型已知，如一次函數(shù)、二次函數(shù)等.

操作過程：

方法二：換元法.

適用條件：已知y＝f(g(x))，求f(x)的解析式.

操作過程：[來源:]

提醒：利用換元法求函數(shù)解析式要注意函數(shù)的定義域.

探究二函數(shù)圖像的畫法及應(yīng)用

作出下列函數(shù)的圖像，并指出其值域.

(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；

(2)y＝eq \f(2,x)(－2≤x≤1，且x≠0).

解 (1)用描點(diǎn)法可以作出所求函數(shù)的圖像如圖①所示. 由圖可知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域?yàn)閑q \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2)).

(2)用描點(diǎn)法可以作出函數(shù)的圖像如圖②所示.

由圖可知y＝eq \f(2,x)(－2≤x≤1, 且x≠0)的值域?yàn)?－∞，－1]∪[2，＋∞).

[方法總結(jié)]

描點(diǎn)法作函數(shù)圖像的三個關(guān)注點(diǎn)

(1)畫函數(shù)圖像時首先關(guān)注函數(shù)的定義域，即在定義域內(nèi)作圖.

(2)圖像是實(shí)線或?qū)嶞c(diǎn)，定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖像.

(3)要標(biāo)出某些關(guān)鍵點(diǎn)，例如圖像的頂點(diǎn)、端點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等. 要分清這些關(guān)鍵點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)還是空心圈.

提醒：函數(shù)圖像既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等. ,

[跟蹤訓(xùn)練1] 作出下列函數(shù)圖像：

(1)y＝1－x(x∈Z，且|x|≤2)；

(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3).

解 (1)因?yàn)閤∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1,0,1,2}.

所以圖像為一直線上的孤立點(diǎn)，如圖①.

(2)因?yàn)閥＝2(x－1)2－5，

所以當(dāng)x＝0時，y＝－3；當(dāng)x＝3時，y＝3；

當(dāng)x＝1時，y＝－5. 所畫函數(shù)圖像如圖②.

探究三分段函數(shù)求值問題

已知函數(shù)f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2?x＜0?，,x2?0≤x＜2?，,\f(1,2)x?x≥2?.))

(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))))))的值；

(2)若f(x)＝2，求x的值.

解 (1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2＝eq \f(3,2)，

所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))))))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＝eq \f(9,4).

所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))))))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))＝eq \f(1,2)×eq \f(9,4)＝eq \f(9,8).

(2)當(dāng)f(x)＝x＋2＝2時，x＝0, 不符合x＜0.

當(dāng)f(x)＝x2＝2時，x＝±eq \r(2)，

其中x＝eq \r(2)符合0≤x＜2.

當(dāng)f(x)＝eq \f(1,2)x＝2時，x＝4，符合x≥2.

綜上，x的值是eq \r(2)或4.

[變式探究] 本例已知條件不變，若f(x)＝－2，求x的值.

解當(dāng)x＋2＝－2時，x＝－4，符合x＜0.當(dāng)x2＝－2時，無解.當(dāng)eq \f(1,2)x＝－2時，x＝－4，不符合x≥2.

綜上，x的值是－4.

[方法總結(jié)]

1.求分段函數(shù)的函數(shù)值的方法

(1)先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.

(2)然后代入該段的解析式求值.當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

2.已知函數(shù)值求字母取值的步驟

(1)先對字母的取值范圍分類討論.

(2)然后代入到不同的解析式中.

(3)通過解方程求出字母的值.

(4)檢驗(yàn)所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi).

[跟蹤訓(xùn)練2] 已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x＞0，,f?x＋1?，x≤0，))則f(2)＋f(－2)的值為( )

A.8 B.5

C.4 D.2

B [f(2)＝22＝4，f(－2)＝f(－2＋1)＝f(－1)＝f(－1＋1)＝f(0)＝f(0＋1)＝f(1)＝1，所以f(2)＋f(－2)＝4＋1＝5.]

1.如何求函數(shù)的解析式

求函數(shù)的解析式的關(guān)鍵是理解對應(yīng)關(guān)系f的本質(zhì)與特點(diǎn)(對應(yīng)關(guān)系就是對自變量進(jìn)行對應(yīng)處理的操作方法，與用什么字母表示無關(guān))，應(yīng)用適當(dāng)?shù)姆椒?，注意有的函?shù)要注明定義域.主要方法有：代入法、待定系數(shù)法、換元法、解方程組法(消元法).

2.如何作函數(shù)的圖像

一般地，作函數(shù)圖像主要有三步：列表、描點(diǎn)、連線.作圖像時一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式，然后列表描出圖像，畫圖時要注意一些關(guān)鍵點(diǎn)，如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，端點(diǎn)的虛實(shí)問題等.

3.對分段函數(shù)的四點(diǎn)說明

(1)分段函數(shù)在各段上自變量的取值范圍不可能有公共部分.

(2)分段函數(shù)是一個函數(shù)，只是各段上對應(yīng)法則不同而已.

(3)圖像：分段函數(shù)的圖像由幾部分構(gòu)成，有的可以是光滑的曲線，有的也可以是一些孤立的點(diǎn)、線段、射線、直線等.

(4)求值關(guān)鍵：求分段函數(shù)的某些函數(shù)值的關(guān)鍵是“分段歸類”，即自變量的取值屬于哪一段，就用哪一段的解析式，一定要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則.

課時作業(yè)(十七) 函數(shù)的表示方法

1.下列圖形是函數(shù)y＝－|x|(x∈[－2,2])的圖像的是( )

B [y＝－|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x， ?－2≤x0時，函數(shù)y＝ax2＋a的圖像開口方向朝上，頂點(diǎn)(0，a)在x軸上方，可排除C; 當(dāng)a1時，f(x)∈(0,1)，當(dāng)x≤1時，f(x)∈[－3，＋∞)，所以f(x)∈[－3，＋∞).]

7.已知函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x＞1，))若f(x)＝－1，則x＝________.

－2或4 [因?yàn)閒(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x＞1，))f(x)＝－1，所以當(dāng)x≤1時，由x＋1＝－1，解得x＝－2；當(dāng)x>1時，由－x＋3＝－1，解得x＝4，所以x＝－2或x＝4.]

8.某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況

“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程，在這段時間內(nèi)，該車每100 km平均耗油量為________L.

8 [由表格信息，得到該車加了48 L的汽油，跑了600 km，所以該車每100 km平均耗油量48÷6＝8.]

9.已知函數(shù)f(x)＝eq \f(|x|－x,2)＋1，(－2

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