知識點1 全集


在研究集合與集合之間的關系時，如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集，那么稱這個給定的集合為全集，全集通常用U表示.


[微思考]


全集一定是實數集R嗎？


提示 全集是一個相對概念，因研究問題的不同而變化，如在實數范圍內解不等式，全集為實數集R，而在整數范圍內解不等式，則全集為整數集Z.


知識點2 補集


1.定義：如果集合A是全集U的一個子集，則由U中不屬于A的所有元素組成的集合，稱為A在U中的補集，記作?UA，讀作“A在U中的補集”. 由全集U及其子集A得到?UA，通常稱為補集運算.


2.圖形表示





3.補集的性質


(1)A∪(?UA)＝U；


(2)A∩(?UA)＝?；


(3)?U(?UA)＝A.





[微體驗]


1.思考辨析


(1)集合?RA＝?QA.( )


(2)一個集合的補集一定含有元素.( )


答案 (1)× (2)×


2.已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，則?UA＝( )


A.{6,8} B.{5,7}


C.{1,3,5,7} D.{2,4,6,8}[來源:]


D [因為U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，


所以?UA＝{2,4,6,8}.]


3.設全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，則?UP等于( )


A.{x|0≤x＜1，或x＞1} B.{x|x＜1}


C.{x|x＜1或x＞1} D.{x|x＞1}


A [因為U＝{x|x≥0}，P＝{1}，所以?UP＝{x|x≥0，且x≠1}＝{x|0≤x＜1或x＞1}.]


4.已知全集為R，集合A＝{x|x＜1，或x≥5}，則?RA＝________.





{x|1≤x＜5} [如圖所示，集合A＝{x|x＜1，或x≥5}的補集是?RA＝{x|1≤x＜5}.]


[來源:ZXXK]


探究一 補集運算


已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}.求集合B.


解 方法一：因為A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，


所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}.


又?UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}.


方法二：借助Venn圖，如圖所示：





由圖可知B＝{2,3,5,7}.


[方法總結]


求集合補集的基本方法及處理技巧


(1)基本方法：定義法.


(2)兩種處理技巧：


①當集合用列舉法表示時，直接套用定義或借助Venn圖求解.


②當集合是用描述法表示的連續(xù)數集時，可借助數軸，利用數軸分析求解.


[跟蹤訓練1] 設U＝{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}.求?UA，?UB.


解 方法一：在集合U中，


因為x∈Z，所以x的值為－5，－4，－3,3,4,5.


所以U＝{－5，－4，－3,3,4,5}.


又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，


所以?UA＝{－5，－4,3,4}，


?UB＝{－5，－4,5}.


方法二：借助Venn圖，如圖所示：





則?UA＝{－5，－4,3,4}，?UB＝{－5，－4,5}.


探究二 集合的交、并、補綜合運算


設全集為R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求?RB，?R(A∪B)，(?RA)∩B.


解 把集合A，B在數軸上表示如下：





由圖知?RB＝{x|x≤2，或x≥10}，


A∪B＝{x|2＜x＜10}，


所以?R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}.


因為?RA＝{x|x＜3，或x≥7}，


所以(?RA)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}.


[方法總結]


(1)求解與不等式有關集合問題的方法


解決與不等式有關的集合問題時，借助于數軸(這也是集合語言轉化為圖形語言的常用方法)可以使問題變得形象直觀，要注意求解時端點的值是否能取到.


(2)求解集合混合運算問題的一般順序


解決集合的混合運算時，一般先運算括號內的部分，然后再運算其他，如求(?RA)∩B時，可先求出?RA，再求交集.


[跟蹤訓練2] (1)(2019·全國卷Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，則B∩?UA＝( )


A.{1,6} B.{1,7}


C.{6,7} D.{1,6,7}


C [因為U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，則?UA＝{1,6,7}，又因為B＝{2,3,6,7}，則B∩?UA＝{6,7}.]


(2)設全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(?UN)＝{2,4}，則N＝( )


A.{1,2,3} B.{1,3,5}


C.{1,4,5} D.{2,3,4}


B [畫出Venn圖，陰影部分為M∩(?UN)＝{2,4}，所以N＝{1,3,5}.


]


探究三 交、并、補運算的應用


設集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且(?UA)∩B＝?，求實數m的取值范圍.


解 由已知A＝{x|x≥－m}，得?UA＝{x|x＜－m}，


因為B＝{x|－2＜x＜4}，(?UA)∩B＝?，在數軸上表示如圖





所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范圍是m≥2.


[變式探究] 將典例中條件“(?UA)∩B＝?”改為“(?UA)∩B≠?”，其他條件不變，則m的取值范圍又是什么？


解 由已知得A＝{x|x≥－m}，所以?UA＝{x|x＜－m}，又(?UA)∩B≠?，所以－m＞－2，解得m＜2.


[方法總結]


由集合的補集求解參數的方法


(1)有限集：由補集求參數問題，若集合中元素個數有限時，可利用補集定義并結合集合知識求解.


(2)無限集：與集合交、并、補運算有關的求參數問題，若集合中元素有無限個時，一般利用數軸分析法求解.


[跟蹤訓練3] 已知集合A＝{x|1≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}，全集為實數集R.


(1)求A∪B，(?RA)∩B；


(2)如果A??RC，求a的取值范圍.


解 (1)因為A＝{x|1≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，


所以A∪B＝{x|1≤x＜10}，(?RA)∩B＝{x|x＜1，或x≥7}∩{x|2＜x＜10}＝{x|7≤x＜10}.


(2)由題意知?RC＝{x|x≥a}，又A?(?RC)，故a≤1.





1.全集與補集的互相依存關系


(1)全集并非是包羅萬象，含有任何元素的集合，它是對于研究問題而言的一個相對概念，它僅含有所研究問題中涉及的所有元素，如研究整數，Z就是全集，研究方程的實數解，R就是全集.因此，全集因研究問題而異.


(2)補集是集合之間的一種運算.求集合A的補集的前提是A是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的，因此，它們是互相依存、不可分割的兩個概念.


(3)?UA的數學意義包括兩個方面：首先必須具備A?U；其次是定義?UA＝{x|x∈U，且x?A}，補集是集合間的運算關系.


2.補集思想


做題時“正難則反”策略運用的是補集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困難，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A，求A.[來源:Z。xx。k.Cm]








課時作業(yè)(四) 補集及集合運算綜合





1.已知全集U＝{0,1,2}，且?UA＝{2}，則A等于( )


A.{0} B.{1}


C.? D.{0,1}


D [因為?UA＝{2}，所以A＝{0,1}.]


2.已知U＝R，集合A＝{x|x＜－2，或x＞2}，則?UA＝( )


A.{x|－2＜x＜2} B.{x|x＜－2或x＞2}


C.{x|－2≤x≤2} D.{x|x≤－2或x≥2}


C [根據補集的定義并結合數軸可得?UA＝{x|－2≤x≤2}.


]


3.已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，則實數a等于( )


A.0或2 B.0


C.1或2 D.2


D [由題意，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,a2－2a＋3＝3，))則a＝2.]


4.圖中的陰影部分表示的集合是( )





A.A∩(?UB) B.B∩(?UA)


C.?U(A∩B) D.?U(A∪B)


B [陰影部分表示集合B與集合A的補集的交集.因此，陰影部分所表示的集合為B∩(?UA).]


5.(多選題)設全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}.?UA＝{x|ax－1＝0}，則實數a的值為( )


A.0 B.eq \f(1,3)


C.eq \f(1,5) D.2


ABC [U＝{3,5}，若a＝0，則?UA＝?，此時A＝U；若a≠0，則?UA＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,a))).


此時eq \f(1,a)＝3或eq \f(1,a)＝5，


所以a＝eq \f(1,3)或a＝eq \f(1,5).


綜上a的值為0或eq \f(1,3)或eq \f(1,5).]


6.已知全集S＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x2＋y2≠0}，用列舉法表示集合?SA是________.


{(0,0)} [?SA＝{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0,0)}.]


7.已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，則(?UA)∩B＝________.


{6,8} [(?UA)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}.]


8.已知全集U＝A∪B中有m個元素，(?UA)∪(?UB)中有n個元素.若A∩B非空，則A∩B的元素個數為________.


m－n [因為(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)，所以A∩B中的元素個數是(m－n)個.]


9.設全集I＝{2,3，x2＋2x－3}，A＝{5}，?IA＝{2，y}，求實數x，y的值.


解 因為A＝{5}，?IA＝{2，y}.


所以I＝{2,5，y}，又I＝{2,3，x2＋2x－3}，[來源]


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3＝5，,y＝3，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3.))


故x＝2，y＝3或x＝－4，y＝3.


10.已知集合A＝{4，a2＋4a＋2}，B＝{－2,7,2－a}.


(1)若A∩B＝{7}，求A∪B；


(2)若A?B，求A∩B.


解 (1)因為A∩B＝{7}，所以7∈A，


所以a2＋4a＋2＝7，解得a＝－5或1.


①若a＝－5，則2－a＝7，B中元素不滿足互異性；


②若a＝1，則A＝{4,7}，B＝{－2,7,1}，滿足題意.


所以A∪B＝{－2,1,4,7}.


(2)因為A?B，所以2－a＝4，解得a＝－2，


所以A＝{4，－2}，B＝{－2,7,4}，


所以A∩B＝{－2,4}.





1.設集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，則?Z(P∪Q)＝( )


A.M B.P


C.Q D.?


A [x＝3k，k∈Z表示被3整除的整數；x＝3k＋1，k∈Z表示被3整除余1的整數；x＝3k－1表示被3整除余2的整數，所以?Z(P∪Q)＝M.]


2.已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(?RB)＝R，則實數a的取值范圍是( )


A.a≤1 B.a＜1


C.a≥2 D.a＞2


C [如圖所示，





若能保證并集為R，則只需實數a在數2的右邊，注意等號的選取.]


3.全集U＝R，A＝{x|x＜－3或x≥2}，B＝{x|－1＜x＜5}，則集合C＝{x|－1＜x＜2}＝________(用A，B或其補集表示).


B∩(?UA) [如圖所示：





由圖可知C??UA，且C?B，所以C＝B∩(?UA).]


4.設全集U＝R，集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞a}，且(?UA)∪B＝R，則實數a的取值范圍是__________.


a≤1 [因為A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞a}，


所以?UA＝{x|x≤1}，由(?UA)∪B＝R，可知a≤1.]


5.已知集合A＝{x|2a－2＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A(?RB)，求a的取值范圍.


解 ?RB＝{x|x≤1，或x≥2}≠?，


因為A(?RB)，


所以分A＝?和A≠?兩種情況討論.


①若A＝?，此時有2a－2≥a，所以a≥2.


②若A≠?，則有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－2＜a,a≤1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－2＜a，,2a－2≥2))


所以a≤1.


綜上所述，a≤1，或a≥2.


6.(拓廣探索)某網店統(tǒng)計了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種，求該網店：


(1)第一天售出但第二天未售出的商品有多少種？


(2)這三天售出的商品最少有多少種？


解 (1)由Venn圖知，第一天售出但第二天未售出的商品為19－3＝16(種).





(2)而這三天售出的商品最少時有2＋18＋9＝29(種).





課程標準
學科素養(yǎng)
1.在具體情境中，了解全集的含義.



通過對補集概念的學習，提升“直觀想象”“邏輯推理”“數學運算”的核心素養(yǎng).
2.理解在給定集合中一個子集的補集的含義，能求給定子集的補集.
3.體會圖形對理解抽象概念的作用.

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1.1.3 集合的基本運算

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