問題1　函數(shù)的表示方法有哪些呢？
前面我們所接觸到的函數(shù)y＝f（x）中，絕大多數(shù)f（x）都是用代數(shù)式（或解析式）來表示的，例如f（x）＝2x＋1，這種表示函數(shù)的方法稱為解析法．
前面給出的關(guān)于中國(guó)創(chuàng)新指數(shù)的函數(shù)，實(shí)際上是用列表的形式給出了函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種表示函數(shù)的方法稱為列表法．
如果將這個(gè)函數(shù)的定義域記為D，值域記為S，則有
　　D＝{2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}，
　　S＝{116.5，125.5，131.8，139.6，148.2，152.6，158.2，171.5}
前面給出的與心電圖有關(guān)的函數(shù)，實(shí)際上是用圖的形式給出了函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
問題3　函數(shù)的表示方法各有哪些優(yōu)勢(shì)？
【畫一畫】作出函數(shù)y＝－x＋1的圖像．
例1　已知函數(shù)f（x）、g（x）分別由下表給出．
（1）由表格可知f（g（1））＝ f（3）＝1；
（1）求f（g（1））；
（2）求不等式f（g（x））＞g（f（x））的解集．
（2）將x＝1，2，3依次代入f（g（x））＞g（f（x））中檢驗(yàn)，
可知滿足條件的x只有2，因此解集為{2}．
例2　北京市自2014年5月1日起，居民用水實(shí)行階梯水價(jià)：年用水量不超過180 m3的部分，水價(jià)為5元/m3；超過180 m3但不超過260 m3的部分，水價(jià)為7元/m3．如果北京市一居民年用水量為x m3，其要繳納的水費(fèi)為f（x）元．假設(shè)0≤x≤260，試寫出f（x）的解析式，并作出f（x）的圖像．
例2　假設(shè)0≤x≤260，試寫出f（x）的解析式，并作出f（x）的圖像．
注意到f（x）在不同的區(qū)間上，解析式都是一次函數(shù)的形式，因此y＝f（x）在每個(gè)區(qū)間上的圖像都是直線的一部分，
如果x∈[0，180]，則f（x）＝5x；
如果x∈（180，260]，按照題意有
f（x）＝5×80＋7（x－180）＝7x－360．
由此可作出函數(shù)圖像如圖所示．
f（180）＝5×180＝900，
f（260）＝7×60－360＝1460，
如果一個(gè)函數(shù)，在其定義域內(nèi)，對(duì)于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對(duì)應(yīng)方式，則稱其為分段函數(shù)．說明：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)．
問題4　函數(shù)　　　　　　　 被稱為秋利克雷函數(shù)，你能說出這個(gè)函數(shù)的定義域、值域嗎？你能作出這個(gè)函數(shù)的圖像嗎？
例3　設(shè)x為任意一個(gè)實(shí)數(shù)，y是不超過x的最大整數(shù)，判斷這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)．如果是，作出這個(gè)函數(shù)的圖像；如果不是，說明理由．
追問：依照題意填寫下表，然后判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)．
因?yàn)楫?dāng)n∈Z且x∈［n，n＋1）時(shí)，有y＝n，
因?yàn)槿魏我粋€(gè)實(shí)數(shù)x，都必定在某個(gè)形如［n，n＋1）的區(qū)間內(nèi)．因此給定一個(gè)x，有唯一的y與之對(duì)應(yīng)，所以這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)．
由上可看出，在每一個(gè)區(qū)間［n，n＋1）內(nèi)，函數(shù)的圖像是直線的一部分，由此可作出這個(gè)函數(shù)的圖像如圖所示．
該例中的函數(shù)通常稱為取整函數(shù)，記作y＝[x]，其定義域是R，值域是Z．這個(gè)函數(shù)早在18世紀(jì)就被“數(shù)學(xué)王子”高斯提出，因此也被稱為高斯取整函數(shù)．在以后的學(xué)習(xí)中，我們還會(huì)碰到值域只有一個(gè)元素的函數(shù)，這類函數(shù)通常稱為常數(shù)函數(shù)．也就是說，常數(shù)函數(shù)中所有自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都相等．例如f（x）＝7，x∈R是一個(gè)常數(shù)函數(shù)，它的值域是{7}，圖像是一條垂直于y軸的直線．
例4　已知函數(shù)　　　，指出這個(gè)函數(shù)的定義域、值域，并作出這個(gè)函數(shù)的圖像．
函數(shù)的定義域?yàn)椋?，＋∞）．
通過描點(diǎn)作圖法，可以作出這個(gè)函數(shù)的圖像如下圖所示．
例5　已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)（－1，4），（0，1），（1，2），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
設(shè)函數(shù)解析式為y＝ax2＋bx＋c（a≠0），則
由此可解得a＝2，b＝－1，c＝1，因此所求函數(shù)解析式為
例6　已知f（x）＝x2，求f（0），f（1），f（2），f（a），f（a－1），f（x－1）．
由已知可得f（0）＝0，　　　　　f（1）＝1，　　　　　f（2）＝4，　　　　　f（a）＝a2，　　　　　f（a－1）＝（a－1）2＝a2－2a＋1，
　　　　　f（x－1）＝（x－1）2＝x2－2x＋1．
如果設(shè)g（x）＝f（x－1），則有g(shù)（x）＝x2－2x＋1，因此g（x）與f（x）是不同的函數(shù)．
已知f（x－1）＝x2，你能求出f（x）的解析式嗎？試總結(jié)f（x）與f（x－1）的關(guān)系．
所以f（x）＝（ x ＋1）2．
f（x－1）的圖像可由f（x）的圖像向右平移一個(gè)單位得到．
方法總結(jié)：已知f（g（x））的解析式可利用換元法求f（x）的解析式．
解：令x－1＝t，則x＝t＋1，
所以f（t）＝（t＋1）2，
例4　求函數(shù)　　　　　 的值域．
所以f（x）可以取所有除3以外的實(shí)數(shù)，
方法總結(jié)：求函數(shù)值域常見方法有直接法、逆求法、觀察法、配方法、換元法等．
問題5　回顧本節(jié)課，你有什么收獲？
（1）函數(shù)的表示方法有哪些？
（2）什么叫解析法？什么叫列表法？什么叫圖像法？
（3）什么叫分段函數(shù)？
作業(yè)：教科書P93~94練習(xí)B 2、6、7、8、9、10
　　利用計(jì)算機(jī)軟件可以迅速作出函數(shù)的圖像，從而可以觀察函數(shù)的性質(zhì)等．
　　在GeGebra中，只要輸入函數(shù)的表達(dá)式，就可以得到對(duì)應(yīng)的圖像．例如，依次輸入以下各行內(nèi)容（每輸完一行之后按回車鍵）：
　　f（x）＝1/（x^2＋1）
　　g（x）＝sqrt（x）
即可得到如下圖所示的函數(shù)解析式和函數(shù)圖像（最后的命令實(shí)際上是畫出了分段函數(shù)的圖像）．
　　i（x）＝h（x－1）
　　j（x）＝if [0＜＝x＜＝1，x，if [1＜x＜＝2，2－x]]

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3.1.1 函數(shù)及其表示方法

版本： 人教B版 (2019)

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