二次根式的運(yùn)算 一、目標(biāo)與策略   明確學(xué)習(xí)目標(biāo)及主要的學(xué)習(xí)方法是提高學(xué)習(xí)效率的首要條件，要做到心中有數(shù)！ 學(xué)習(xí)目標(biāo)：?        理解二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)及二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，并能利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)；?        了解最簡(jiǎn)二次根式的概念，能運(yùn)用二次根式的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)；?        理解同類(lèi)二次根式的概念和二次根式的加減法法則，會(huì)合并同類(lèi)二次根式，進(jìn)行簡(jiǎn)單的二次根式加減運(yùn)算；?        會(huì)利用運(yùn)算律和運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算．重點(diǎn)難點(diǎn)：?        重點(diǎn)：理解，及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)；理解，及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)；最簡(jiǎn)二次根式的運(yùn)用；合并同類(lèi)二次根式；二次根式的混合運(yùn)算．?       難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的乘除法則；會(huì)判定一個(gè)二次根式是否是最簡(jiǎn)二次根式，及二次根式的化簡(jiǎn)．學(xué)習(xí)策略：對(duì)于本專(zhuān)題的學(xué)習(xí)應(yīng)注意以下幾方面問(wèn)題：?        首先要理解二次根式乘除法和積商的算術(shù)平方根的性質(zhì)之間的關(guān)系、性質(zhì)成立的條件以及最簡(jiǎn)二次根式的概念．?        在化簡(jiǎn)過(guò)程中，要熟練應(yīng)用約分、因式分解、分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間互化的知識(shí)，化簡(jiǎn)的最后結(jié)果必須是最簡(jiǎn)二次根式或整式．?        理解同類(lèi)二次根式的概念，熟練掌握合并同類(lèi)二次根式的方法．?        在進(jìn)行二次根式的加、減、乘、除及含有乘方的混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序和符號(hào)問(wèn)題． 二、學(xué)習(xí)與應(yīng)用     二次根式的性質(zhì)（1）；（2）；（3）；（4）積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：；（5）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：．   知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的乘法法則：，即兩個(gè)二次根式相乘，根指數(shù)        ，只把被開(kāi)方數(shù)         ．要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>（1）在運(yùn)用二次根式的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，一定要注意：公式中a、b都必須是         數(shù)；（在本章中，如果沒(méi)有特別說(shuō)明，所有字母都表示非負(fù)數(shù)）（2）該法則可以推廣到多個(gè)二次根式相乘的運(yùn)算：（3）若二次根式相乘的結(jié)果能寫(xiě)成的形式，則應(yīng)化簡(jiǎn)，如．知識(shí)點(diǎn)二：積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，即積的算術(shù)平方根等于積中           
                             ．要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>（1）在這個(gè)性質(zhì)中，a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無(wú)論是數(shù)，還是代數(shù)式，都必須滿(mǎn)足才能用此式進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn)，如果不滿(mǎn)足這個(gè)條件，等式右邊就沒(méi)有意義，等式也就不能成立了；（2）二次根式的化簡(jiǎn)關(guān)鍵是將被開(kāi)方數(shù)分解因數(shù)，把含有形式的a移到根號(hào)外面．知識(shí)點(diǎn)三：二次根式的除法法則：，即兩個(gè)二次根式相除，根指數(shù)         ，把被開(kāi)方數(shù)         ．要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>（1）在進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算時(shí)，對(duì)于公式中被開(kāi)方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別注意，其中，因?yàn)?/span>b在分母上，故b不能為0．（2）運(yùn)用二次根式的除法法則，可將分母中的根號(hào)去掉，二次根式的運(yùn)算結(jié)果要盡量化簡(jiǎn)，最后結(jié)果中分母         帶根號(hào)．知識(shí)點(diǎn)四：商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根   
        除式的算術(shù)平方根．要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>運(yùn)用次性質(zhì)也可以進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，運(yùn)用時(shí)仍要注意符號(hào)問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)五：最簡(jiǎn)二次根式（一）定義：當(dāng)二次根式滿(mǎn)足以下兩條：（1）被開(kāi)方數(shù)             ；（2）被開(kāi)方數(shù)中                      的因數(shù)或因式．我們把符合這兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．在二次根式的運(yùn)算中，最后的結(jié)果必須化為最簡(jiǎn)二次根式或有理式．要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>（1）最簡(jiǎn)二次根式中被開(kāi)方數(shù)              ；（2）最簡(jiǎn)二次根式被開(kāi)方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)或因式的次數(shù)都         根指數(shù)2，即每個(gè)因數(shù)或因式從次數(shù)只能為1次．（二）把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式的一般步驟：（1）把根號(hào)下的代分?jǐn)?shù)或絕對(duì)值大于1的數(shù)化成         ，把絕對(duì)值小于1的小數(shù)化成         ；（2）被開(kāi)方數(shù)是多項(xiàng)式的要進(jìn)行                ；（3）使被開(kāi)方數(shù)             ；（4）將被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，用它們的算術(shù)平方根代替后移到根號(hào)外；（5）化去分母中的根號(hào)；（6）約分．知識(shí)點(diǎn)六：同類(lèi)二次根式（一）定義：幾個(gè)二次根式化成         二次根式后，如果               相同，那么這幾個(gè)二次根式就叫做同類(lèi)二次根式．要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>（1）判斷幾個(gè)二次根式是否是同類(lèi)二次根式，必須先將二次根式化成        二次根式，再看           是否相同；（2）幾個(gè)二次根式是否是同類(lèi)二次根式，只與            及          有關(guān)，而與根號(hào)外的因式無(wú)關(guān)．（二）合并同類(lèi)二次根式合并同類(lèi)二次根式，只把         相加減，         和             不變．（合并同類(lèi)二次根式的方法與整式加減運(yùn)算中的合并同類(lèi)項(xiàng)類(lèi)似）要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>（1）根號(hào)外面的因式就是這個(gè)根式的系數(shù)；（2）二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要變成假分?jǐn)?shù)的形式；（3）不是同類(lèi)二次根式，不能合并．知識(shí)點(diǎn)七：二次根式的加減二次根式的加減實(shí)質(zhì)就是         同類(lèi)二次根式，即先把各個(gè)二次根式化成  
         二次根式，再把其中的同類(lèi)二次根式進(jìn)行         ．對(duì)于沒(méi)有合并的二次根式，仍要寫(xiě)到結(jié)果中．在進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律及去括號(hào)、添括號(hào)法則仍然適用．二次根式加減運(yùn)算的步驟：（1）將每個(gè)二次根式都化簡(jiǎn)成為         二次根式；（2）判斷哪些二次根式是         二次根式，把同類(lèi)的二次根式結(jié)合為一組；（3）         同類(lèi)二次根式．知識(shí)點(diǎn)八：二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算是對(duì)二次根式的乘除及加減運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/span>（1）二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先         ，后         ，最后算         ，有括號(hào)要         括號(hào)里面的；（2）在實(shí)數(shù)運(yùn)算和整式運(yùn)算中的運(yùn)算律和乘法公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用；（3）二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)寫(xiě)成         形式，這個(gè)形式應(yīng)是最簡(jiǎn)二次根式，或幾個(gè)非同類(lèi)最簡(jiǎn)二次根式之和或差，或是有理式．   類(lèi)型一：二次根式的乘除運(yùn)算例1．計(jì)算（1）×；    （2）×；   （3）×；  （4）×．思路點(diǎn)撥：直接利用計(jì)算即可．解：        例2．計(jì)算（1）；  （2）；  （3）；  （4）．思路點(diǎn)撥：直接利用便可直接得出答案．解：    例3．化簡(jiǎn) （1）；   （2）；     （3）；    （4）；     （5）．思路點(diǎn)撥：利用直接化簡(jiǎn)即可．解：        舉一反三：【變式1】判斷下列各式是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正：（1）；（2）×=4××=4×=4=8．解：        例4．化簡(jiǎn)（1）；   （2）；    （3）；    （4） ．思路點(diǎn)撥：直接利用就可以達(dá)到化簡(jiǎn)之目的．解：       舉一反三：【變式1】已知，且x為偶數(shù)，求(1+x)的值．思路點(diǎn)撥：式子=，只有a≥0，b>0時(shí)才能成立．因此得到9-x≥0且x-6>0，即6<x≤9，又因?yàn)?/span>x為偶數(shù)，所以x=8．解：           例5．計(jì)算（1）·(-)÷(m>0，n>0)；（2）-3÷()× (a>0)．解：       類(lèi)型二：最簡(jiǎn)二次根式的判別例6．下列各式中，哪些是最簡(jiǎn)二次根式？哪些不是？請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）； （2）； （3）；（4）；（5）； （6）； （7） ．思路點(diǎn)撥：判斷一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式，就看它是否滿(mǎn)足最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式；不滿(mǎn)足其中任何一條的二次根式都不是最簡(jiǎn)二次根式．解：         總結(jié)升華：                                                                                                                                        ．例7．把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）思路點(diǎn)撥：把被開(kāi)方數(shù)分解因數(shù)或分解因式，再利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)及進(jìn)行化簡(jiǎn)．解：               類(lèi)型三：同類(lèi)二次根式例8．如果兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式和是同類(lèi)二次根式，那么a、b的值是（  ）A．a=2，b=1    B．a=1，b=2    C ．a=1，b=-1    D ．a=1，b=1思路點(diǎn)撥：根據(jù)同類(lèi)二次根式的識(shí)別方法，在最簡(jiǎn)二次根式的前提下，被開(kāi)方數(shù)相同．解：      總結(jié)升華：                                                                                                                                        ．舉一反三：【變式1】下列根式中，能夠與合并的是（   ）A．    B．    C．    D．思路點(diǎn)撥：首先要把不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最簡(jiǎn)二次根式，然后比較它們的被開(kāi)方數(shù)是否相同，如果相同，就能進(jìn)行合并，反之，則不能合并．解：     總結(jié)升華：                                                                                                                                        ．【變式2】若最簡(jiǎn)根式與根式是同類(lèi)二次根式，求a、b的值．思路點(diǎn)撥：同類(lèi)二次根式是指幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同；事實(shí)上，根式不是最簡(jiǎn)二次根式，因此把化簡(jiǎn)成|b|·，才由同類(lèi)二次根式的定義得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b．解：       類(lèi)型四：二次根式的加減運(yùn)算例9．計(jì)算（1）+   （2）-思路點(diǎn)撥：第一步，將不是最簡(jiǎn)二次根式的項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式；第二步，將相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并．解：     總結(jié)升華：                                                                                                                                        ．舉一反三：【變式1】計(jì)算（1）3-9+3；                （2）(+)+(-)；（3）；  （4）．解：                     【變式2】已知≈2.236，求(-)-(+)的值．（結(jié)果精確到0.01）解：   類(lèi)型五：二次根式的混合運(yùn)算例10．計(jì)算：（1）(+)×；    （2）(4-3)÷2．思路點(diǎn)撥：二次根式仍然滿(mǎn)足整式的運(yùn)算規(guī)律，所以直接可用整式的運(yùn)算規(guī)律．解：     例11．計(jì)算（1）(+6)(3-)；    （2）(+)(-)．思路點(diǎn)撥：二次根式的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算在乘法公式運(yùn)算中仍然成立．解：     類(lèi)型六：化簡(jiǎn)求值☆例12．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值．思路點(diǎn)撥：本題首先將已知等式進(jìn)行變形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3．其次，根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，先把各項(xiàng)化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類(lèi)二次根式，最后代入求值．解：                 舉一反三：【變式1】先化簡(jiǎn)，再求值．(6x+)-(4y+)，其中x=，y=27．解：     ☆【變式2】已知=2-，其中a、b是實(shí)數(shù)，且a+b≠0，化簡(jiǎn)
+，并求值．思路點(diǎn)撥：由于(+)(-)=1，因此對(duì)代數(shù)式的化簡(jiǎn)，可先將分母有理化，再通過(guò)解含有字母系數(shù)的一元一次方程得到x的值，代入化簡(jiǎn)得結(jié)果即可．解：                    類(lèi)型七：二次根式的應(yīng)用與探究例13．一個(gè)底面為30cm×30cm長(zhǎng)方體玻璃容器中裝滿(mǎn)水，現(xiàn)將一部分水倒入一個(gè)底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿(mǎn)水時(shí)，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長(zhǎng)是多少厘米？解：       ☆例14．如圖所示的Rt△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng)．問(wèn)：幾秒后△PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示）      思路點(diǎn)撥：設(shè)x秒后△PBQ的面積為35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根據(jù)三角形面積公式就可以求出x的值．解：        ☆例15．探究過(guò)程：觀察下列各式及其驗(yàn)證過(guò)程．（1）2=驗(yàn)證：2=×====（2）3=驗(yàn)證：
3=×====同理可得：45，……通過(guò)上述探究你能猜測(cè)出： a=_______(a>0)，并驗(yàn)證你的結(jié)論．解：        總結(jié)升華：                                                                                                                                        ． 三、總結(jié)與測(cè)評(píng)要想學(xué)習(xí)成績(jī)好，總結(jié)測(cè)評(píng)少不了！課后復(fù)習(xí)是學(xué)習(xí)不可或缺的環(huán)節(jié)，它可以幫助我們鞏固學(xué)習(xí)效果，彌補(bǔ)知識(shí)缺漏，提高學(xué)習(xí)能力。   二次根式的運(yùn)算，主要研究二次根式的乘除和加減．（1）二次根式的乘除，只需將被開(kāi)方數(shù)進(jìn)行乘除，其依據(jù)是：；；（2）二次根式的加減類(lèi)似于整式的加減，關(guān)鍵是合并同類(lèi)二次根式.通常應(yīng)先將二次根式化簡(jiǎn)，再把同類(lèi)二次根式合并．二次根式運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)盡可能化簡(jiǎn)． 

相關(guān)教案

數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)16.2 二次根式的運(yùn)算教案：

這是一份數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)16.2 二次根式的運(yùn)算教案，共6頁(yè)。教案主要包含了教學(xué)內(nèi)容，課時(shí)安排，第一課時(shí)，教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重難點(diǎn)，教學(xué)過(guò)程，第二課時(shí)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

初中數(shù)學(xué)浙教版八年級(jí)下冊(cè)1.3 二次根式的運(yùn)算教案：

這是一份初中數(shù)學(xué)浙教版八年級(jí)下冊(cè)1.3 二次根式的運(yùn)算教案，共6頁(yè)。教案主要包含了學(xué)習(xí)內(nèi)容分析，學(xué)習(xí)者特征分析，學(xué)習(xí)環(huán)境選擇，流程規(guī)劃與活動(dòng)設(shè)計(jì)，評(píng)價(jià)方案設(shè)計(jì)，備注等內(nèi)容，歡迎下載使用。

數(shù)學(xué)浙教版1.3 二次根式的運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì)：

這是一份數(shù)學(xué)浙教版1.3 二次根式的運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì)，共6頁(yè)。教案主要包含了教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重難點(diǎn)，教學(xué)過(guò)程等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯(cuò)誤問(wèn)題請(qǐng)聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會(huì)補(bǔ)償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請(qǐng)先用軟件解壓，再使用對(duì)應(yīng)軟件打開(kāi)；軟件版本較低時(shí)請(qǐng)及時(shí)更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以?xún)?nèi)免費(fèi)重復(fù)下載
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)下冊(cè)電子課本

16.1 二次根式

版本： 人教版

年級(jí)： 八年級(jí)下冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

  • 0

    資料籃

  • 在線客服

    官方
    微信

    添加在線客服

    獲取1對(duì)1服務(wù)

  • 官方微信

    官方
    微信

    關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號(hào)

    打開(kāi)微信就能找資料

  • 免費(fèi)福利

    免費(fèi)福利
返回
頂部