1. 設 是第一象限的角，若 ，則 _____.
【答案】##
【解析】
【分析】由是第一象限角，，利用平方關系求得，進而可求，根據(jù)商數(shù)關系即可求得的值.
【詳解】∵是第一象限角，，
∴，
∴
故答案為：.
2. 已知一個扇形的面積和周長均為16，則該扇形的圓心角大小為______．（用弧度制）
【答案】2
【解析】
【分析】設出圓心角和半徑，根據(jù)弧長和面積公式得到周長，得到答案.
【詳解】設扇形的半徑為，圓心角為，
故扇形的弧長為，周長為，
扇形的面積，解得.
故答案為：2
3. 已知函數(shù)（）是偶函數(shù)，則的最小值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的性質即可求解.
【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，
所以，解得，
又，
所以當時，的最小值是.
故答案為：.
4. 在中，，則這個三角形一定是__________三角形
【答案】等腰
【解析】
【分析】利用正弦定理邊化角，進而利用進行化簡可得的關系，從而可判斷三角形的形狀.
【詳解】因為，利用正弦定理邊化角，得，
又，
所以，即，
化簡得，又，得，
所以△ABC為等腰三角形.
故答案為：等腰.
5. 已知三角形內角滿足，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先將兩邊平方求出，再根據(jù)計算可得.
【詳解】因為為三角形的內角，所以，
又，所以，即，所以，
所以，
所以.
故答案為：
6. 已知，則的值為______．
【答案】-4
【解析】
【分析】利用誘導公式化簡，再結合齊次式法求值，即得答案.
【詳解】由題意知，
故
，
故答案為：-4
7. 函數(shù)，則的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】把作為一個整體，結合二次函數(shù)性質求最小值．
【詳解】，
因為，
所以時，，
故答案為：．
8. 函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則的初相為______．
【答案】##
【解析】
【分析】由圖象利用“五點法”求出函數(shù)的解析式，從而可求出初相.
【詳解】由圖可知，
周期，所以，所以，
因為點在函數(shù)圖象上，
所以，所以，
所以，
因為，所以，
所以，
所以初相為，
故答案為：
9. 如圖，為測量河對岸A，B兩點間的距離，沿河岸選取相距40m的C，D兩點，測得，，，，則A，B兩點的距離是__________m.
【答案】
【解析】
【分析】先求出所需角度，再由正弦定理，得，進而由余弦定理求解即可.
【詳解】在中，，，
，
，.
在中，，，
.
由正弦定理，得.
在中，由余弦定理，得，，
故A，B兩點之間距離為.
故答案為：
10. 設函數(shù)，的圖象在區(qū)間內恰有一條對稱軸，且的最小正周期大于，則的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由題意可得，利用正弦函數(shù)的性質可得對稱軸為，，結合條件即可求解.
【詳解】，,
令，則，，
當時，，則，解得，
此時，可驗證此時恰有一條對稱軸在內，符合題意，
當時，，則，解得，
此時，不符合題意，
當取其它整數(shù)時，不符合題意，所以.
故答案為：.
11. 在△ABC中，，，點M滿足，則________．
【答案】
【解析】
【分析】設，根據(jù)可得，在中分別利用余弦定理可得，再求出可得答案.
【詳解】設，
因為，，所以，
因為，所以,
因為，
所以，得，
在分別由余弦定理得
，，，
所以，
所以，得，
所以，
所以，
即.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：此題考查余弦定理的應用，考查三角形的面積公式的應用，解題的關鍵是在中分別利用余弦定理找出的關系，再結合又得到的關系，考查數(shù)形結合的思想和計算能力，屬于較難題.
12. 設函數(shù)，若恰有個零點，.
則下述結論中:
①若恒成立，則的值有且僅有個；
②在上單調遞增；
③存在和，使得對任意恒成立；
④“”是“方程在恰有五個解”的必要條件.
所有正確結論的編號是______________；
【答案】①③④
【解析】
【分析】根據(jù)條件畫出的圖像，結合圖像和逐一判斷即可.
【詳解】恰有個零點，，，函數(shù)的圖像如圖：

①如圖，即有兩個交點，正確；
②結合右圖，且當時，在遞增，錯誤；
③，，
，存在為最小值，為最大值，正確；
④結合右圖，若方程在內恰有五個解，需滿足，即，同時結合左圖，當，不一定有五個解，正確.
故答案：①③④.
【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像和性質，考查了數(shù)形結合思想和分類討論思想，屬于難題.
二、選擇題（每題3分，共4題）
13. 將函數(shù)圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位長度，所得到的圖象的函數(shù)解析式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，準確運算，即可求解.
【詳解】將函數(shù)圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），
可得：，
再將得到的圖象向左平移個單位長度可得：，
故選：C
14. 銳角中，，，則a的值可以為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用余弦定理即可得到答案.
【詳解】若a為最大邊，由余弦定理可得,則，即，，
若c為最大邊，由余弦定理可得,則，即，，
故.
故選：B
15. 已知，順次連接函數(shù)與的任意三個相鄰的交點都構成一個等腰直角三角形，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先大致畫出正弦函數(shù)圖像和余弦函數(shù)圖像，通過觀察可知，三角形左右兩個頂點之間為一個周期，故只需求出等腰直角三角形的斜邊長即可，再根據(jù)可知等腰直角三角形的斜邊上的高，由此求得斜邊長即函數(shù)的周期，再由周期公式求得的值.
【詳解】
如圖所示，在函數(shù)與的交點中，
，
令，即，
不妨取，
即，
因為三個相鄰的交點構成一個等腰直角三角形，
當正弦值等于余弦值時，函數(shù)值為，
故等腰直角三角形斜邊上的高為，即，
所以，所以．
故選：．
16. 對于任意，不等式有以下兩個結論：①當時，對于任意實數(shù)，不等式成立；②對于任意實數(shù)，總存在，使不等式成立那么（ ）
A. ①正確②錯誤B. ①錯誤②正確C. ①正確②正確D. ①錯誤②錯誤
【答案】A
【解析】
【分析】利用的關系，換元化簡不等式左側為，根據(jù)二次函數(shù)的性質得出不等式左側的值域，再利用簡易邏輯用語及不等式的恒能成立一一判定結論即可.
【詳解】記
，
令，則，
因為，所以，，
所以，
令，上式化為，，
易知對稱軸，由二次函數(shù)的性質易知時單調遞增，
即，，
所以.
顯然恒成立，即當時，恒成立，
故①正確；
顯然當時，，
不存在使得成立，故②錯誤.
故選：A
【點睛】思路點睛：先利用同角三角函數(shù)的和積關系化簡不等式左側，再利用換元法轉化為求二次函數(shù)定區(qū)間的值域，結論①②分別對應恒能成立問題，結合集合包含關系判定即可.
三、解答題（共5題）
17. 已知角的終邊落在直線上，求，，的值．
【答案】答案見解析
【解析】
【分析】根據(jù)題意確定終邊可能在第二、四象限，在角終邊上取點，然后利用三角函數(shù)的定義求解.
【詳解】因為角的終邊落在直線上，而直線過第二、四象限，
當角的終邊在第二象限時，在直線上取一點，
則，
當角的終邊在第四象限時，在直線上取一點，
則.
18. 記內角所對的邊分別為，且．
（1）求；
（2）若，求外接圓面積的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，運用和角公式化簡求得，即得；
（2）由余弦定理，結合基本不等式和條件可得，再由正弦定理求得外接圓半徑的最小值即可.
【小問1詳解】
由整理得：，
由正弦定理，可得
即，
因為，所以，即，
又因為，所以．
【小問2詳解】
由正弦定理，外接圓的半徑，
要使外接圓的半徑最小，只需最小，
由余弦定理，，
當且僅當時取等號，此時，則．
故外接圓面積的最小值為．
19. 養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域，如圖所示，，為直線岸線，千米，千米，，該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧，過弧上一點P按線段和修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，已知．
（1）求岸線上點A與點B之間的直線距離；
（2）如果線段上的網(wǎng)箱每千米可獲得2萬元的經(jīng)濟收益，線段上的網(wǎng)箱每千米可獲得4萬元的經(jīng)濟收益．記，則這兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟總收益最高為多少萬元？
【答案】（1）千米
（2）萬元
【解析】
【分析】（1）由余弦定理計算即可；
（2）先由正弦定理計算出相關長度，再計算收益表達式，最后由輔助角公式求最值.
【小問1詳解】
在中，由余弦定理，得
即岸線上點與點之間的直線距離為 千米．
【小問2詳解】
在中， ，
則，
設兩段網(wǎng)箱獲得經(jīng)濟總收益為 萬元，則
因為，所以，所以
所以兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟總收益最高接近萬元．
20. 已知，最小正周期為，且對任意的，都有．
（1）求的解析式及單調遞增區(qū)間；
（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值
（3）設函數(shù)，若存在，使得方程有解，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；，
（2）函數(shù)在上的最大值為，最小值為
（3）
【解析】
【分析】（1）由函數(shù)的周期性與對稱性，建立方程，利用整體思想，結合正弦函數(shù)的單調性，建立不等式，可得答案；
（2）利用整體思想，結合正弦函數(shù)的單調性，可得答案；
（3）利用整體思想，結合正弦函數(shù)的單調性，再利用二次函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點，可得答案.
【小問1詳解】
由函數(shù)的最小正周期，則，
由函數(shù)滿足，則直線是函數(shù)圖象的對稱軸，
可得，，解得，，所以，
函數(shù)的解析式是，
令，，解得，，
所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，.
【小問2詳解】
由，則，
當時，；
當時，.
所以函數(shù)在上的最大值為，最小值為.
【小問3詳解】
由題意可得，
由，則，
當時，；當時，，
令，令，
由題意等價于函數(shù)在上存在零點，
由二次函數(shù)開口向上，且，則，
整理可得，解得，
所以的取值范圍為.
21. 我們知道：對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取其定義域D中的任意值時，有，且成立，那么函數(shù)叫做周期函數(shù)．對于一個周期函數(shù)，如果在它的所有周期中存在一個最小正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做函數(shù)的最小正周期．對于定義域為R的函數(shù)，若存在正常數(shù)T，使得是以T為周期的函數(shù)，則稱為正弦周期函數(shù)，且稱T為其正弦周期．
（1）驗證是以為周期的正弦周期函數(shù)．
（2）已知函數(shù)是周期函數(shù)，請求出它的一個周期．并判斷此周期函數(shù)是否存在最小正周期，并說明理由．
（3）已知存在這樣一個函數(shù)，它是定義在R上嚴格增函數(shù)，值域為R，且是以T為周期的正弦周期函數(shù)．若，，且存在，使得，求的值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）是它的一個周期且是最小正周期，證明見解析；
（3）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦周期函數(shù)的定義求解；
（2）結合正弦、余弦函數(shù)性質由周期函數(shù)定義求解．
（3）從是嚴格遞增函數(shù)，時，進行推理可得．
【小問1詳解】
，證畢．
【小問2詳解】
，易知是它的一個周期，
因為，
下面證明是的最小正周期，
時，是增函數(shù)，
時，是減函數(shù)，
又，
，
所以，即函數(shù)圖象關于直線對稱，
所以當時，不可能是函數(shù)的周期，
假設函數(shù)有小于的正周期，則，取，
與時，函數(shù)的單調性相同，但，而在這兩個區(qū)間上單調性相反，假設錯誤．
所以是的最小正周期．
【小問3詳解】
因為是周期函數(shù)，是它的一個周期，
，，又由題意，,
因為，，是嚴格遞增函數(shù)，
所以，
又時，，
，，
因為是嚴格遞增函數(shù)，
所以與是一一對應的，
因此，．

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