一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知向量，向量滿足，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)出，根據(jù)題意利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算列式運(yùn)算求解.
【詳解】設(shè)，則，
由，得，
又，得，即，
聯(lián)立，解得.
.
故選：C.
2. 向量，，為第三象限角，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平面向量平行的性質(zhì)可得，再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，即可得解.
【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且?br>所以，所以，
所以，
又為第三象限角，所以，
所以.
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量平行、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
3. 已知單位向量，滿足，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用投影向量公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以在上的投影向量為
故選：C.
4. 如圖，在等腰直角三角形中，斜邊，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），為的中點(diǎn)．將線段繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到線段，則的最小值為（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用轉(zhuǎn)化法，將轉(zhuǎn)化為或，進(jìn)而求得的最小值.
【詳解】解法一：
連接，則
，
當(dāng)時(shí)，最小，即，
結(jié)合，得的最小值為．
解法二（極化恒等式法）：
依題意，為線段的中點(diǎn)，
則
,
由于，，所以的最小值為．
故選:D

5. 若角是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】由角是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角可知，且均為銳角，再利用誘導(dǎo)公式及充分必要條件的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)榻鞘卿J角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，所以，
所以，且均為銳角，
所以，即，
，即，
所以“”是“”的充分必要條件，
故選：C
6. 已知是單位向量，且的夾角為，若，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量模與夾角的公式得，進(jìn)而結(jié)合向量的夾角范圍求解即可.
【詳解】因?yàn)槭菃挝幌蛄?，且的夾角為，
所以，
又，
所以，
又，所以，所以.
故選：C.
7. 已知是平面內(nèi)三個(gè)非零向量，且，則當(dāng)與的夾角最小時(shí)，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，以為原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出的坐標(biāo)，利用數(shù)量積關(guān)系表示出夾角即可求出.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)?，所以，即是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，
因?yàn)?，則可以為原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，
，
，
則，
，
則，
令，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí).
故選：B.
8. 將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，再把所得的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后再把所得的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若，且，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換,先求得的解析式.根據(jù),可知,即.根據(jù)可分別求得的最大值和的最小值,即可求得的最大值.
【詳解】根據(jù)平移變換將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的,縱坐標(biāo)不變,再把所得的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,然后再把所得的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,
可得
由,
可知
即
所以
的最大值為,的最小值為
則的最大值為,的最小值為
所以的最大值為
故選:A
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖象的平移變換,三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,利用函數(shù)的最值求參數(shù)的取值情況,屬于難題.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 設(shè)，是兩個(gè)非零向量，下列四個(gè)命題為真命題的是（ ）
A. 若，則和的夾角為
B. 若，則和的夾角為
C. 若，則和方向相同
D. 若，則和b的夾角為鈍角
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用向量加減法的幾何意義，判斷A、B的正誤；兩向量模的性質(zhì)判斷C，由向量的夾角與數(shù)量積間的關(guān)系判定判斷D.
【詳解】解：，，，構(gòu)成等邊三角形，A正確；
由向量加法的平行四邊形法則可知，和的夾角為，B正確；，則與同向，C正確；
若，則和的夾角為鈍角或者，D錯(cuò)誤，
故選：ABC.
10. 如圖，已知正八邊形的邊長(zhǎng)為1，是它的中心，是它邊上任意一點(diǎn)，則（ ）
A. 與不能構(gòu)成一組基底B.
C. 在上的投影向量的模為D. 的取值范圍為
【答案】AD
【解析】
【分析】連接，建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到與平行，即可判斷A；根據(jù)平面向量加法法則計(jì)算判斷B；利用投影向量公式進(jìn)行計(jì)算C；利用向量線性運(yùn)算及向量數(shù)量積的運(yùn)算法則結(jié)合圖形得到的最值，即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A：連接，，，
，
，
，
以所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則
，
，
與平行，不能構(gòu)成一組基底，故A正確；
對(duì)于B：，，
，
，
，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，，，
，，
在向量上的投影向量的模長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：取的中點(diǎn)，則，，
，，
兩式相減得：，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或重合時(shí)，最大，最大值為，
的最大值為，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小為，的最小值為，
的取值范圍為，故D正確.
故選：AD.
11. 已知兩個(gè)不相等非零向量，兩組向量和均由3個(gè)和2個(gè)排列而成，記，表示S所有可能取值中的最小值，則下列命題正確的是（ ）
A. 若，則與無(wú)關(guān)；B. 若，則與無(wú)關(guān)；
C. 若，則；D. 若，，則的夾角為.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)題意確定可能有三種情況，比較大小，確定，利用，可得，判斷A; 若，設(shè),求得，判斷B;若，則化簡(jiǎn)，判斷C, 若，，利用數(shù)量積定義求得，判斷D.
【詳解】因?yàn)閮山M向量和均由3個(gè)和2個(gè)排列而成，
故可能有三種情況;
;②;③,
，
，
故；
若，則,則與無(wú)關(guān),故A正確；
若，設(shè)，則，則與有關(guān)，B錯(cuò)誤；
若，則，故C正確；
若，，則，
故，由于，故，故D錯(cuò)誤；
故選：AC
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知，則______．
【答案】
【解析】
【分析】利用，利用誘導(dǎo)公式求解即可.
【詳解】，
故答案為:．
13. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽大約在公元222年為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）．類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造圖2所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形和中間的小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形．已知，若，則的值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】連接FB，在中，，即，在中，，在中，，代入上式得到，再由求解.
【詳解】如圖所示：
連接FB，在中，，即，
所以，在中，，
所以，
在中，，則，
因?yàn)椋?br>所以，則，所以，
故答案為：
14. 已知函數(shù)，若函數(shù)在有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】畫出函數(shù)圖象，設(shè)，根據(jù)函數(shù)圖象考慮方程有兩個(gè)解和一個(gè)解兩種情況，再根據(jù)函數(shù)圖象討論的解的情況，計(jì)算得到答案．
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
畫出函數(shù)圖象，如圖所示：
函數(shù)在,有6個(gè)不同零點(diǎn)有以下四種可能：
①方程有兩個(gè)不同的實(shí)根和且方程有兩個(gè)根，
且方程有四個(gè)不同的實(shí)根，
由函數(shù)的圖象知，且，
令，
則需，解得；
②方程有兩個(gè)不同的實(shí)根和且方程有零個(gè)根，
且方程有六個(gè)不同的實(shí)根，
函數(shù)的圖象知，,,且，
由于，則需，解得；
③方程有兩個(gè)不同的實(shí)根和且方程有1個(gè)根，
且方程有5個(gè)實(shí)根成立，則需，此時(shí)無(wú)解；
④方程有且只有1個(gè)根且方程有6個(gè)根，
計(jì)算得或，或，不合題意；
綜上所述：或．
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路
(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
四、解答題
15. 已知，，且與的夾角為120°，求：
（1）；
（2）若向量與平行，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平方的方法來(lái)求得正確答案.
（2）根據(jù)向量平行列方程來(lái)求得.
【小問(wèn)1詳解】
，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
由于向量與平行，
所以存在實(shí)數(shù)，使得，
所以，解得.
16. 在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，滿足．
（1）求角的大?。?br>（2）若，求周長(zhǎng)的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知結(jié)合余弦定理即可求解；
（2）由已知結(jié)合余弦定理可得，然后利用基本不等式即可求解的最小值，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
因，所以，
由余弦定理得，
因?yàn)?，所以?br>【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以周長(zhǎng)的最小值為.
17. 已知，記.
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）若求，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二倍角的正、余弦公式和輔助角公式計(jì)算可得，結(jié)合計(jì)算即可求解；
（2）由題意，利用同角的平方關(guān)系可得，根據(jù)二倍角的余弦公式可得，結(jié)合和兩角差的余弦公式計(jì)算即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?br>，
所以的最小正周期.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>可得，又因?yàn)?，則，
則，
則，
，
可得
，
所以.
18 已知向量，，，向量滿足，且．
（1）已知，且，求的值；
（2）若在上為增函數(shù)，求取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.
（2）根據(jù)向量模的求法可得，再由二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可得，設(shè)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，解不等式即可.
【詳解】（1）由，有，；
（2）
由在上為增函數(shù)，則對(duì)稱軸，即，
設(shè)，則，
又，且，則
，解得，，
于是，
即，，
即，
又，故．
19. 在ΔABC中，P為AB的中點(diǎn)，O在邊AC上，BO交CP于R，且，設(shè)AB=，AC=

（1）試用，表示；
（2）若，求∠ARB的余弦值
（3）若H在BC上，且RH⊥BC設(shè)，若，求的范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，三點(diǎn)共線結(jié)合平面向量基本定理可得答案；（2）由（1）及題目條件，結(jié)合兩向量夾角余弦公式可得答案.（3）設(shè)，結(jié)合及（1）可得，即可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
因P,R,C共線，則存在使，
則，整理得.
由共線，則存在使，
則，整理得.
根據(jù)平面向量基本定理，有，
則.
【小問(wèn)2詳解】
由（1），，，
則，，.
則；
【小問(wèn)3詳解】
由（1）知，則.
由共線，設(shè).
又.
則
.
因，則，則.

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