( 本試卷滿分 150 分，考試時間 120 分鐘．)
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．
1．下列與角的終邊相同的角的表達式中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函數(shù)中最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（ ）
A． B． C． D．
3．求值：（ ）
A．B．4C．D．2
4.給出下列各式的值：①；②；③；④
其中符號為負(fù)的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
5.已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
6．把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向左平移個的長度單位，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A．B．C．D．
7．已知為三角形的兩個內(nèi)角，，則＝（ ）
A．B．C．D．
8．若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．計算下列各式的值，其結(jié)果為1的有（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函數(shù)，則下列四個結(jié)論中不正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個零點
D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
11．如圖，一圓形摩天輪的直徑為100米，圓心O到水平地面的距離為60米，最上端的點記為Q，現(xiàn)在摩天輪開始逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，30分鐘轉(zhuǎn)一圈，以摩天輪的中心為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是（ ）
A．點Q距離水平地面的高度與時間的函數(shù)為
B．點Q距離水平地面的高度與時間的函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)為
C．經(jīng)過10分鐘點Q距離地面35米
D．摩天輪從開始轉(zhuǎn)動一圈，點Q距離水平地面的高度不超過85米的時間為20分鐘
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．設(shè)、，、是一元二次方程的兩個根，則= .
13.公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值（記為m）也可以表示為．若，則 ．
14．已知，若在內(nèi)恰有兩個零點，則的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）已知函數(shù)的圖象如圖所示.
（1）求這個函數(shù)的解析式，并指出它的振幅和初相；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，并指出取得最值時的的值；
（3）求這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和對稱中心.
16.（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點．
（1）求；
（2）的值．
（3）求的值．
17．（15分）如圖，一個直角走廊的寬分別為a，b，一鐵棒與廊壁成θ角，該鐵棒長度為L，若想要通過該直角走廊，
（1）用含θ的表達式表示鐵棒的長度L；
（2）當(dāng)a=b=2 m時，求能夠通過這個直角走廊的鐵棒長度的最大值.
18．（17分）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小正周期及函數(shù)圖象的對稱軸；
（2）若函數(shù)在上不單調(diào)，求的取值范圍；
（3）若，，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
19．（17分）定義：若函數(shù)的定義域為D，且存在非零常數(shù)，對任意，恒成立，則稱為線周期函數(shù)，為的線周期.
（1）下列函數(shù)（其中表示不超過x的最大整數(shù)），是線周期函數(shù)的是____________（直接填寫序號）；
（2）若為線周期函數(shù)，其線周期為，求證：為周期函數(shù)；
（3）若為線周期函數(shù)，求的值.
梁豐高中2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一年級自主學(xué)習(xí)檢測試卷
數(shù)學(xué) 學(xué)科答案 2025.03
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．
1．下列與角的終邊相同的角的表達式中正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根據(jù)終邊相同的角以及角度值，弧度制表示角即可.
【詳解】與角的終邊相同的角表達式為：，或.
故選：C.
2．下列函數(shù)中最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】結(jié)合三角函數(shù)圖象的對稱變換，確定各選項中三角函數(shù)的周期性與單調(diào)性，一一判斷各選項，即可求解.
【詳解】依題意，對于AC，最小正周期為：，
所以AC選項不符合題意；
對于B：的圖象可由的圖象將x軸下方部分翻折到x軸上方，
原來在x軸和x軸上方部分不變；故周期為：，
且在上單調(diào)遞增，所以B選項不符合題意；
對于D：的圖象可由的圖象將x軸下方部分翻折到x軸上方，
原來在x軸和x軸上方部分不變；故周期為：，
且在上單調(diào)遞減，所以D選項符合題意；
故選：D
3．求值： （ ）
A．B．4C．D．2
【答案】B
【分析】利用誘導(dǎo)公式、輔助角公式、二倍角的正弦公式化簡計算即得.
【詳解】.
故選：B
4.4.給出下列各式的值：①②③④其中符號為負(fù)的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
A
【分析】首先判斷出各角所處的象限，再根據(jù)不同象限三角函數(shù)值的符號即可得出①②③符號為負(fù)，利用三角函數(shù)單調(diào)性即可求得，即可得出結(jié)論.
【詳解】對于①，易知，即5弧度的角位于第三象限，其正弦值為負(fù)，符合題意；
對于②，易知是第二象限角，其余弦值為負(fù)，正弦值為正，
所以可得符號為負(fù)，符合題意；
對于③，易知弧度的角與弧度的角終邊相同，
又弧度的角位于第二象限，其正切值為負(fù)，即的符號為負(fù)，符合題意；
對于④，由三角函數(shù)單調(diào)性可知，
所以，符號為正，不符合題意.
所以符號為負(fù)的是①②③.
故選：A
5.已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由利用兩角和的正切公式展開代入已知數(shù)據(jù)結(jié)合正切的二倍角公式，可得關(guān)于的方程，進而可得的值，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求的值.
【詳解】
因為，
所以，整理可得：，可得：，
又因為，所以，
由可得，
因為，所以，
故選：D.
6．把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向左平移個的長度單位，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】從函數(shù)出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法即可得到的解析式.
【詳解】由已知的函數(shù)逆向變換，
第一步：向右平移個單位長度，得到的圖象，
第二步：圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，即為的圖象，
所以，
故選：C.
7．已知為三角形的兩個內(nèi)角，，則＝（ ）
【答案】B
【分析】由已知數(shù)據(jù)可得和的值，而，代入值計算可得．
【詳解】∵為三角形的兩個內(nèi)角，且，
∴，，
∵，，
，
，
，，∴．
故答案為：B．
8．若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】令，則，
則原問題轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立，
即不等式在上恒成立，
又，
所以在上恒成立，
設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，得，
所以.
故選：B
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．計算下列各式的值，其結(jié)果為1的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】，所以A正確；
，所以B不正確；
，所以C錯誤；
，所以D正確；
故選：AD．
10．已知函數(shù)，則下列四個結(jié)論中不正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個零點
D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
【答案】ABD
【分析】令，求得，可判定A不正確；令，求得可判定B不正確；由時，可得，可判定C正確；由，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，可判定D不正確.
【詳解】對于函數(shù)，
對于A中，令，可得，
所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點中心對稱，所以A不正確；
對于B中，令，可得不是最值，
所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，所以B不正確；
對于C中，由，可得，
當(dāng)時，可得，
所以在上有4個零點，所以C正確；
對于D中，由，可得，
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，此時先減后增，所以D不正確.
故選：ABD.
11．如圖，一圓形摩天輪的直徑為100米，圓心O到水平地面的距離為60米，最上端的點記為Q，現(xiàn)在摩天輪開始逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，30分鐘轉(zhuǎn)一圈，以摩天輪的中心為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是（ ）
A．點Q距離水平地面的高度與時間的函數(shù)為
B．點Q距離水平地面的高度與時間的函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)為
C．經(jīng)過10分鐘點Q距離地面35米
D．摩天輪從開始轉(zhuǎn)動一圈，點Q距離水平地面的高度不超過85米的時間為20分鐘
【答案】CD
【分析】由題可知，摩天輪轉(zhuǎn)一圈用30分鐘，則OQ在分鐘轉(zhuǎn)過的角為，即可得OQ為終邊的角，進而判斷A選項；對稱中心的橫坐標(biāo)滿足，即可判斷B選項；將代入點Q距離水平地面的高度與時間的函數(shù)中，即可判斷C選項；令，求解即可判斷D選項.
【詳解】由題意知，OQ在分鐘轉(zhuǎn)過的角為，
所以以O(shè)Q為終邊的角為，
所以點Q距離水平地面的高度與時間的關(guān)系為，故A錯誤；
由，得，所以不是對稱中心，故B錯誤；
經(jīng)過10分鐘，，故C正確；
由，得，得，解得，共20分鐘，故D正確.
故選：CD
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．設(shè)、，、是一元二次方程的兩個根，則= .
【答案】
【分析】利用韋達定理求出，，即可得到、則，再求出，即可得解.
【詳解】因為、是一元二次方程的兩個根，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，，
所以，，
又、，所以、，所以，
所以，所以.
13.公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值（記為m）也可以表示為．若，則 ．
【答案】
【分析】先得到，故利用輔助角公式化簡得到.
【詳解】，，故，
故
.
故答案為：
14．已知，若在內(nèi)恰有兩個零點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】化簡的解析式，根據(jù)在區(qū)間上零點的個數(shù)列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】
，
要使在內(nèi)恰有兩個零點，
首先，即；
其次由得，
由得，，
由于在內(nèi)恰有兩個零點，
若，則，解得.
若，則，解得.
綜上所述，的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】方法點睛：首先需要化簡的解析式，利用的是三角恒等變換的知識，將三角函數(shù)的解析式化簡為的形式，然后由以及三角函數(shù)的性質(zhì)來列不等式來對問題進行求解.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．已知函數(shù)的圖象如圖所示.
（1）求這個函數(shù)的解析式，并指出它的振幅和初相；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，并指出取得最值時的的值．
【答案】（1）函數(shù)的解析式為，其振幅是2，初相是（2）時，函數(shù)取得最大值0；時，函數(shù)取得最小值勤-2
【分析】（1）根據(jù)圖像寫出，由周期求出，再由點確定的值．
（2）根據(jù)的取值范圍確定的取值范圍，再由 的單調(diào)求出最值
【詳解】（1）由圖象知，函數(shù)的最大值為2，最小值為-2，∴，
又∵，∴，，∴.
∴函數(shù)的解析式為.
∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
∴，∴，
又∵，∴.
故函數(shù)的解析式為，其振幅是2，初相是.
（2）∵，∴.
于是，當(dāng)，即時，函數(shù)取得最大值0；
當(dāng)，即時，函數(shù)取得最小值為-2.
【點睛】本題考查由圖像確定三角函數(shù)、給定區(qū)間求三角函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．
16.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點．
(1)求；
(2)的值．
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）由三角函數(shù)定義，結(jié)合題意，可得，
即，所以；
（2）由誘導(dǎo)公式，結(jié)合題意可得：
，
又，則
（3）根據(jù)半角公式，則，
由，即，可得.
又因為，把代入可得.
即，，，則.
，且終邊與單位圓交點，終邊在第一象限，
則，則，
則終邊落在第一象限，則，則，；
則的值為.
如圖，一個直角走廊的寬分別為a，b，一鐵棒與廊壁成θ角，該鐵棒欲通過該直角走廊，（1）用含θ的表達式表示鐵棒的長度L；
（2）當(dāng)a=b=2 m時，求能夠通過這個直角走的鐵的長的最大值.
【答案】 （1） （2）
【分析】第一空：根據(jù)示意圖及三角函數(shù)定義，即可得長度L的表達式；
第二空：根據(jù)第一空的表達式，化簡可得，令，根據(jù)范圍，可得t的范圍，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，可得L的最小值，即可得答案.
【詳解】作出示意圖，鐵棒，，
在中，，
在中，，
所以；
當(dāng)時，
令，因為，，
所以，，
所以，且在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，即時，L的最小值為，
所以能夠通過這個直角走廊的鐵棒的長度的最大值為.
故答案為：；
18．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小正周期及函數(shù)圖象的對稱軸；
(2)若函數(shù)在上不單調(diào)，求的取值范圍；
(3)若，，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)， 對稱軸;
(2);
(3).
【分析】（1）利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式、兩角和正弦公式化簡，再求周期和對稱軸；
（2）利用區(qū)間里面一定有，所以去分析函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間中也有0，從而利用不單調(diào)來判斷區(qū)間端點的取值范圍；
（3）利用三角函數(shù)在區(qū)間的值域，結(jié)合任意變量都滿足不等式恒成立，可得，從而可得參數(shù)范圍.
【詳解】（1）函數(shù)
,
所以函數(shù)的最小正周期，
由，所以函數(shù)圖象的對稱軸為；
（2）由，
可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
由于區(qū)間里面一定有，而，
所以函數(shù)在上不單調(diào)的等價條件是，
即滿足或，解得：，
故的取值范圍；
（3）當(dāng)時，，則，
所以函數(shù)的值域為，
再由，，都有恒成立，
則有，即，
故實數(shù)的取值范圍．
19．定義：若函數(shù)的定義域為D，且存在非零常數(shù)，對任意，恒成立，則稱為線周期函數(shù)，為的線周期.
（1）下列函數(shù)（其中表示不超過x的最大整數(shù)），是線周期函數(shù)的是____________（直接填寫序號）；
（2）若為線周期函數(shù)，其線周期為，求證：為周期函數(shù)；
（3）若為線周期函數(shù)，求的值.
【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.
【分析】（1）根據(jù)新定義逐一判斷即可；
（2）根據(jù)新定義證明即可；
（3）若為線周期函數(shù)，則存在非零常數(shù)，對任意，都有
，可得，解得的值再檢驗即可.
【詳解】（1）對于，，所以不是線周期函數(shù)，
對于，，所以不是線周期函數(shù)，
對于，，所以是線周期函數(shù)；
（2）若為線周期函數(shù)，其線周期為，
則存在非零常數(shù)對任意，都有恒成立，
因為，
所以，
所以為周期函數(shù)；
（3）因為為線周期函數(shù)，
則存在非零常數(shù)，對任意，
都有，
所以，
令，得，
令，得，
所以，因為，所以，
檢驗：當(dāng)時，，
存在非零常數(shù)，對任意，
，
所以為線周期函數(shù)，
所以：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是對新定義的理解和應(yīng)用，以及特殊值解決恒成立問題.

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