2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（    ）A． B． C． D．1【答案】C【分析】先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求的虛部.【詳解】，則的虛部為.故選：C.2．是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的（    ）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】D【分析】利用平面向量數(shù)量積的性質(zhì)推導(dǎo)出，進(jìn)一步可得出，，即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?/span>，則，所以，，同理可得，，故是的垂心.故選：D.3．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由題意可得，由此可知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上及圓內(nèi)部，而表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，進(jìn)而結(jié)合圓的知識(shí)即可求解.【詳解】設(shè)，則，即，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上及圓內(nèi)部，又表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，而到的距離為，所以的最小值為.故選：A.4．歐拉公式是由18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家?自然科學(xué)家萊昂哈德?歐拉發(fā)現(xiàn)的，被譽(yù)為數(shù)學(xué)上優(yōu)美的公式.已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】按已知公式展開，由等式列出方程組，解出，進(jìn)而求解.【詳解】 ，，，，，即，，.故選：A.5．在如圖所示的半圓中，為直徑，為圓心，點(diǎn)為半圓上一點(diǎn)且，，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意可得，，由，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，又，所以，又，所以.故選：C6．在中，若，則的形狀為（    ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理或三角恒等變換，記得判斷的形狀.【詳解】由正弦定理，以及二倍角公式可知，,即，整理為，即，得，或,所以的形狀為等腰三角形或直角三角形.故選：D7．點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（    ）①若，則點(diǎn)是邊的中點(diǎn)；②若點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則；③若點(diǎn)在邊的中線上且，則點(diǎn)是的重心；④若，則與的面積相等.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】①轉(zhuǎn)化為，即可判斷；②選項(xiàng)轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而根據(jù)平面向量基本定理即可判斷；③分析可得點(diǎn)為邊的中線的中點(diǎn)，即可判斷；④可得點(diǎn)在直線上，點(diǎn)與點(diǎn)到邊的距離相等即可判斷.【詳解】①若，則，即，即.即點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，故①正確；②由點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，即，即，所以，故②錯(cuò)誤；③因?yàn)辄c(diǎn)在邊的中線上，設(shè)為中點(diǎn)，設(shè)，又，所以，又，則，所以，即，所以點(diǎn)為邊的中線的中點(diǎn)，故不是重心，故③錯(cuò)誤；④設(shè)，，則，，故點(diǎn)在直線上，點(diǎn)與點(diǎn)到邊的距離相等，所以與的面積相等，故④正確.故選：B.8．在中，，邊上的高等于，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意設(shè)出，再利用銳角三角函數(shù)結(jié)合勾股定理，分別求出、的值，再由余弦定理即可求出的值.【詳解】由題意，設(shè)，那么邊上的高，，，，則，，在中，由余弦定理可得：.故選：B. 二、多選題9．若關(guān)于的方程的一個(gè)根是，則下列說(shuō)法中正確的是（    ）A．B．C．的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離為【答案】AD【分析】首先將方程的實(shí)數(shù)根代入方程，求，再分別根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義判斷選項(xiàng).【詳解】由條件可知，，整理為，則，，故A正確，B錯(cuò)誤；，其共軛復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第三象限，故C錯(cuò)誤；，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，兩點(diǎn)間的距離，故D正確.故選：AD10．下列命題正確的是（    ）A．非零向量和不共線，若，則、、三點(diǎn)共線B．已知和是兩個(gè)夾角為的單位向量，且，則實(shí)數(shù)C．若四邊形滿足，則該四邊形一定是矩形D．點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑經(jīng)過(guò)的重心【答案】BD【分析】計(jì)算出，即可判斷與不共線，從而判斷A，根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律判斷B，可得再結(jié)合平面幾何的性質(zhì)判斷C，設(shè)的中點(diǎn)為，得到，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)榉橇阆蛄?/span>和不共線，所以和可以作為平面內(nèi)的一組基底，因?yàn)?/span>，，所以，顯然不存在實(shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?/span>和是兩個(gè)夾角為的單位向量，所以，又，且，所以，即，解得，故B正確；對(duì)于C：由可得ABCD為平行四邊形 ，，即，所以，即四邊形為對(duì)角線互相垂直的平行四邊形，則該四邊形可能是菱形或正方形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)的中點(diǎn)為，則，因?yàn)?/span>，所以，即，所以、、三點(diǎn)共線，即在上，又三角形重心在上，所以動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑經(jīng)過(guò)的重心，故D正確；故選：BD11．在中，，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．有兩解 B．邊上的高為C．的長(zhǎng)度為 D．的面積為【答案】BC【分析】根據(jù)正弦定理判斷A；根據(jù)條件直接求邊上的高，判斷B；根據(jù)余弦定理判斷C；根據(jù)三角形面積公式判斷D.【詳解】A.根據(jù)正弦定理可知，，則，解得:，且，所以角只有一解，故A錯(cuò)誤；B. 邊上的高，故B正確；C.根據(jù)余弦定理，即，解得：或（舍）即的長(zhǎng)度為，故C正確；D.，故D錯(cuò)誤.故選：BC12．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．的對(duì)稱軸是C．方程在的解為，且D．若，則【答案】ACD【分析】A.去絕對(duì)值后，化簡(jiǎn)函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；B.根據(jù)對(duì)稱性的性質(zhì)，判斷對(duì)稱性；C.去絕對(duì)值，寫成分段函數(shù)，根據(jù)圖象，判斷選項(xiàng)；D.根據(jù)函數(shù)的最值，結(jié)合圖象，判斷D.【詳解】，所以函數(shù)是周期函數(shù)，周期為，當(dāng)時(shí)，，，根據(jù)周期性可知，與的單調(diào)性一樣，在區(qū)間單調(diào)遞減，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，故A正確；若函數(shù)的對(duì)稱軸是，則其中一條對(duì)稱軸是，但，，，所以函數(shù)不關(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，如圖，畫出函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值2，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值2，方程在的解為，，，所以，故C正確；因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為2，最小值為-1，若，則，，,,,,所以，故D正確.故選：ACD. 三、填空題13．下面給出的幾個(gè)關(guān)于復(fù)數(shù)的命題，①若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)②復(fù)數(shù)是純虛數(shù)③復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限④如果復(fù)數(shù)滿足，則的最小值是2以上命題中，正確命題的序號(hào)是______.【答案】②③【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的幾何意義逐個(gè)檢驗(yàn)可得【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?/span>為純虛數(shù)，所以，解得，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)?/span>，所以，所以是純虛數(shù)，故②正確；對(duì)于③，因?yàn)?/span>，，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故③正確；對(duì)于④，由復(fù)數(shù)的幾何意義知，表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到點(diǎn)和到點(diǎn)的距離之和，又因?yàn)?/span>，所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在線段AB上， 而表示點(diǎn)Z到點(diǎn)的距離，所以其最小值為，故④錯(cuò)誤．故答案為：②③．14．已知的最大值為，則__________.【答案】2【分析】利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合輔助角公式列出關(guān)于a的方程，即可求得答案.【詳解】由，由于最大值為，故，解得，或（負(fù)值舍去），故答案為：215．是鈍角三角形，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則最大邊的取值范圍為__________.【答案】【分析】由題意可得，由余弦定理結(jié)合即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>是鈍角三角形，最大邊為，所以角為鈍角，在中，由余弦定理可得：，可得，又因?yàn)?/span>，所以，所以最大邊的取值范圍是：.故答案為：.16．根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長(zhǎng)作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊上作出的正方形面積之和．現(xiàn)在對(duì)直角三角形按上述操作作圖后，得如圖所示的圖形，若，則____________．【答案】/-0.5【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，標(biāo)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，分別以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則正方形的邊長(zhǎng)為，正方形邊長(zhǎng)為可知，，，則，，即又，即，即，化簡(jiǎn)得故答案為： 四、解答題17．已知復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位，）.(1)若在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在第三象限的角平分線上，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意可得，解之即可得解；（2）根據(jù)，可得，消去，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）若在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在第三象限的角平分線上，則，解得；（2）若，則，由②得③，將①③相加得，故，因?yàn)?/span>，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍為.18．已知函數(shù)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.(1)求的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)(2)， 【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)圖象的平移和變換公式得到，再利用正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）由，整理得：，由于相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，故函數(shù)的最小正周期為π，故．所以．（2）由題意，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)，令，，即，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，.19．設(shè)是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)且.(1)求的值以及實(shí)部的取值范圍；(2)若，求證：為純虛數(shù).【答案】(1)，(2)證明見解析 【分析】（1）待定系數(shù)法設(shè)出，代入到上式，利用共軛復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，由是實(shí)數(shù)可求得，且，故而，再根據(jù)，即可求得實(shí)部的范圍；（2）直接將（1）中代入，結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由，范圍即可得證.【詳解】（1）設(shè)(，且)，則，∵是實(shí)數(shù)，，∴，即，則，又∵，∴，即，∴的實(shí)部的取值范圍為；（2），因?yàn)?/span>，，所以為純虛數(shù).20．如圖，一個(gè)直徑為的水車按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)1.8圈，水車的中心距離水面的高度為，水車上的盛水筒到水面的距離為（單位：）（在水面下則為負(fù)數(shù)），若以盛水筒剛浮出水面時(shí)開始計(jì)時(shí)，則與時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系為.(1)求與的函數(shù)解析式；(2)求在一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)，盛水筒在水面以上的時(shí)長(zhǎng).【答案】(1)(2) 【分析】（1）依題意可得，，由周期求出，再結(jié)合圖形可得，即可求出，從而得到函數(shù)解析式；（2）令，即，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）依題意，， ，即，則， 由給定的圖形知，，又，即有， 所以與的函數(shù)解析式是；（2）令，即 所以，解得， 所以水車在一個(gè)旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)，盛水筒在水面以上的時(shí)長(zhǎng)為．21．在中，角的對(duì)邊分別是，滿足.(1)求角的余弦值；(2)若是邊的中點(diǎn)且，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理得到，即可求出，從而得解；（2）設(shè)，利用正弦定理表示出，，設(shè)，利用輔助角公式化簡(jiǎn)，最后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）在中，由正弦定理有，，，即，在中，由余弦定理，有，，則，即，，∴，則；（2）如圖，設(shè)，則，， 在中,根據(jù)正弦定理，有，，， 設(shè)， （其中，，易得）又，所以在上單調(diào)遞增，所以，又，所以的取值范圍為．22．設(shè)正的邊長(zhǎng)為為的外心，為邊上的等分點(diǎn)，為邊上的等分點(diǎn)，為邊上的等分點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)當(dāng)時(shí).（i）求的值（用表示）；（ii）求的最大值與最小值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）最大值為，最小值為． 【分析】（1）根據(jù)共線，將用表示，求和后再求模長(zhǎng)； （2）（i）根據(jù)數(shù)量積定義計(jì)算；（ii）將用表示，依次視為的函數(shù)討論單調(diào)求最值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，……，， 又為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，為外接圓的圓心，，且，，則，；(2)(ⅰ)為等邊三角形，為外接圓的圓心，，則，，又，分別為，的等分點(diǎn)，又，，； （ⅱ），；同理可得：；；；令 ①當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，時(shí)取最大值，則；時(shí)，，，時(shí)取最小值，則，則當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，時(shí)取最大值，則；時(shí)，，，時(shí)取最小值，則，則當(dāng)時(shí)，；綜上所述：的最大值為，最小值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求的最值利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，先整理為的形式，視為關(guān)于的一次函數(shù)， 討論的正負(fù)確定單調(diào)性，確定在或時(shí)取得最值，類似的，下一步再視為關(guān)于的一次函數(shù)求最值，最后再視為關(guān)于的一次函數(shù)求最值. 

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