一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．
1. 已知復(fù)數(shù)，其中a，，i虛數(shù)單位，則（ ）
A. -5B. -1C. 1D. 5
2. 已知向量，，當(dāng)取最大值時，銳角的值為（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，滿足，，，則向量與的夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
4. 中，，，則（ ）
A. B. C. D. -11
5. 在中，，，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
6. 騎自行車是一種既環(huán)保又健康的運(yùn)動，如圖是某自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓（前輪），圓（后輪）的半徑均為，、、均是邊長為的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動該自行車的過程中，的最大值為（ ）
A. B. C. D.
7. 對向量 ， 定義一種運(yùn)算“”： ，已知動點(diǎn)P在定義域為的曲線上，點(diǎn)Q在曲線上運(yùn)動，且（其中為O坐標(biāo)原點(diǎn)），若，，若，則的值是（ ）
A. B.
C. D.
8. 在銳角中，角的對邊分別為，的面積為，若，則的最小值為（ ）
A. B. 2C. 1D.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用．如圖，一個半徑為的筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)1.5圈，筒車的軸心距離水面的高度為2米．設(shè)筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：）（在水面下則為負(fù)數(shù)），若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，則與時間（單位：）之間的關(guān)系為（，，）．則以下說法正確的有（ ）
A. B.
C. D. 盛水筒出水后到達(dá)最高點(diǎn)的最小時間為
11. 如圖，在平行四邊形中，對角線與交于點(diǎn)O，則以下說法正確的有（ ）
A. 恒有成立
B. 恒有成立
C. 若，，則
D. 若，，則
12. 在中，，M是中點(diǎn)，以下說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，，則
D 若，則當(dāng)取得最大值時，
三、填空題（每題5分，共20分）
13. 已知單位向量，夾角為60°，與垂直，則k的值為________．
14. 設(shè)，是平面內(nèi)的一組基底，若，、，則________；復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的模是________．
15. 已知外接圓半徑為，且滿足，，則的值為________．
16. 設(shè)函數(shù)，若對于任意實(shí)數(shù)，在區(qū)間上至少有2個零點(diǎn)，至多有3個零點(diǎn)，則取值范圍是________．
四、解答題（17題10分，18-22題12分，共70分）
17. 已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．
（1）請從下面兩個條件中選擇一個作為已知條件，求的值；
①，；②，.
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.
（2）若，，求的面積．
18. 如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上.
（1）若點(diǎn)F是CD上靠近C的三等分點(diǎn)，設(shè)，求的值；
（2）若，求的取值范圍.
19. 已知，，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
20. 由于2020年1月份國內(nèi)疫情爆發(fā)，經(jīng)濟(jì)活動大范圍停頓，餐飲業(yè)受到重大影響．6月初政府在個別地區(qū)推行地攤經(jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)以刺激消費(fèi)和促進(jìn)就業(yè)．某商場經(jīng)營者吳某準(zhǔn)備在商場門前“擺地攤”，經(jīng)營冷飲生意．已知該商場門前是一塊角形區(qū)域，如圖所示，其中，且在該區(qū)域內(nèi)點(diǎn)R處有一個路燈，經(jīng)測量點(diǎn)R到區(qū)域邊界，的距離分別為，，（m為長度單位）．吳某準(zhǔn)備過點(diǎn)R修建一條長椅（點(diǎn)M，N分別落在，上，長椅的寬度及路燈的粗細(xì)忽略不計），以供購買冷飲的人休息．
（1）求線段長；
（2）為優(yōu)化經(jīng)營面積，當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r，該三角形區(qū)域面積最??？并求出面積的最小值．
21. 函數(shù)的部分圖像如圖所示，將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象．
（1）求函數(shù)的解折式；
（2）在中，角滿足，且其外接圓的半徑，求的面積的最大值．
22. 設(shè)偶函數(shù)（為常數(shù)）且的最小值為．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）設(shè)，，，且的圖象關(guān)于直線對稱和點(diǎn)對稱，若在上單調(diào)遞增，求和的值．
答案
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．
1. 已知復(fù)數(shù)，其中a，，i虛數(shù)單位，則（ ）
A. -5B. -1C. 1D. 5
答案：B
2. 已知向量，，當(dāng)取最大值時，銳角的值為（ ）
A. B. C. D.
答案：B
3. 已知向量，滿足，，，則向量與的夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
答案：A
4. 中，，，則（ ）
A. B. C. D. -11
答案：C
5. 在中，，，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
答案：C
6. 騎自行車是一種既環(huán)保又健康的運(yùn)動，如圖是某自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓（前輪），圓（后輪）的半徑均為，、、均是邊長為的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動該自行車的過程中，的最大值為（ ）
A. B. C. D.
答案：D
7. 對向量 ， 定義一種運(yùn)算“”： ，已知動點(diǎn)P在定義域為的曲線上，點(diǎn)Q在曲線上運(yùn)動，且（其中為O坐標(biāo)原點(diǎn)），若，，若，則的值是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
8. 在銳角中，角的對邊分別為，的面積為，若，則的最小值為（ ）
A. B. 2C. 1D.
答案：A
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. B.
C. D.
答案：ACD
10. 筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用．如圖，一個半徑為的筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)1.5圈，筒車的軸心距離水面的高度為2米．設(shè)筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：）（在水面下則為負(fù)數(shù)），若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，則與時間（單位：）之間的關(guān)系為（，，）．則以下說法正確的有（ ）
A. B.
C. D. 盛水筒出水后到達(dá)最高點(diǎn)的最小時間為
答案：ABD
11. 如圖，在平行四邊形中，對角線與交于點(diǎn)O，則以下說法正確的有（ ）
A. 恒有成立
B. 恒有成立
C. 若，，則
D. 若，，則
答案：AD
12. 在中，，M是中點(diǎn)，以下說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，，則
D 若，則當(dāng)取得最大值時，
答案：ABD
三、填空題（每題5分，共20分）
13. 已知單位向量，夾角為60°，與垂直，則k的值為________．
答案：
14. 設(shè)，是平面內(nèi)的一組基底，若，、，則________；復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的模是________．
答案： ①. 1 ②. 2
15. 已知外接圓半徑為，且滿足，，則的值為________．
答案：
16. 設(shè)函數(shù)，若對于任意實(shí)數(shù)，在區(qū)間上至少有2個零點(diǎn)，至多有3個零點(diǎn)，則取值范圍是________．
答案：
四、解答題（17題10分，18-22題12分，共70分）
17. 已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．
（1）請從下面兩個條件中選擇一個作為已知條件，求的值；
①，；②，.
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.
（2）若，，求的面積．
答案：（1）；（2）
18. 如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上.
（1）若點(diǎn)F是CD上靠近C的三等分點(diǎn)，設(shè)，求的值；
（2）若，求的取值范圍.
答案：（1）；（2）.
19. 已知，，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
答案：（1）；（2）.
20. 由于2020年1月份國內(nèi)疫情爆發(fā)，經(jīng)濟(jì)活動大范圍停頓，餐飲業(yè)受到重大影響．6月初政府在個別地區(qū)推行地攤經(jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)以刺激消費(fèi)和促進(jìn)就業(yè)．某商場經(jīng)營者吳某準(zhǔn)備在商場門前“擺地攤”，經(jīng)營冷飲生意．已知該商場門前是一塊角形區(qū)域，如圖所示，其中，且在該區(qū)域內(nèi)點(diǎn)R處有一個路燈，經(jīng)測量點(diǎn)R到區(qū)域邊界，的距離分別為，，（m為長度單位）．吳某準(zhǔn)備過點(diǎn)R修建一條長椅（點(diǎn)M，N分別落在，上，長椅的寬度及路燈的粗細(xì)忽略不計），以供購買冷飲的人休息．
（1）求線段長；
（2）為優(yōu)化經(jīng)營面積，當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r，該三角形區(qū)域面積最??？并求出面積的最小值．
答案：（1）；（2）當(dāng)時，三角形面積取最小值為．
21. 函數(shù)的部分圖像如圖所示，將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象．
（1）求函數(shù)的解折式；
（2）在中，角滿足，且其外接圓的半徑，求的面積的最大值．
答案：（1）sin（2）
22. 設(shè)偶函數(shù)（為常數(shù)）且的最小值為．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）設(shè)，，，且的圖象關(guān)于直線對稱和點(diǎn)對稱，若在上單調(diào)遞增，求和的值．
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ），．

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