2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 下列命題正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)零向量的定義，可判斷A項(xiàng)正確；根據(jù)共線向量和相等向量的定義，可判斷B，C，D項(xiàng)均錯(cuò).
【詳解】模為零的向量是零向量，所以A項(xiàng)正確；
時(shí)，只說(shuō)明向的長(zhǎng)度相等，無(wú)法確定方向，
所以B，C均錯(cuò)；
時(shí)，只說(shuō)明方向相同或相反，沒(méi)有長(zhǎng)度關(guān)系，
不能確定相等，所以D錯(cuò).
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查有關(guān)向量的基本概念的辨析，屬于基礎(chǔ)題.
2. 若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及虛部概念即可求解；
【詳解】，
，
則復(fù)數(shù)的虛部為2．
故選：B．
3. 已知向量，，則的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解即可
【詳解】，，∴．
故選：B．
4. 已知，，與的夾角為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)及向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；
【詳解】解：因?yàn)椋?，與的夾角為，所以，
所以
故選：B
5. 如圖，正方形中，、分別是、的中點(diǎn)，若，則（ ）

A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量基本定理選擇和作為一組基底，表示出，根據(jù)列出方程組即可求解.
【詳解】由已知可得
,
由圖可知,所以，解得,
所以，
故選：.
6. 已知向量，，若向量滿足，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)向量，根據(jù)、的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.
【詳解】設(shè)向量，則，，
因?yàn)?，?br>所以，，解得，，
則.
故選：A.
7. 在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，的面積為，，，則的值為（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)三角形面積為，得到，利用余弦定理得到，最后根據(jù)正弦定理求.
【詳解】由，得，
因?yàn)椋?，所?
由余弦定理得，解得，
所以.
故選：C.
8. 在中， ，，，點(diǎn)滿足 ，則（ ）
A. 0B. 2C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】用，，表示和，最后代入進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算即可。
【詳解】由題可得：，
，
所以
由于，，，
則，，
所以，
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以三角形為背景，把平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算巧妙的結(jié)合在一起，用基底，，表示和是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知i為虛數(shù)單位，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，以下說(shuō)法正確的是（ ）
A. 復(fù)數(shù)z的虛部是B.
C. 復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是D. 復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得，再利用復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的幾何意義逐一判斷即可.
【詳解】，
對(duì)于A，復(fù)數(shù)z的虛部是，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是，故C正確；
對(duì)于D，，在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故D正確.
故選：CD
10. 已知向量，，則（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則與的夾角為
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示判斷A，根據(jù)向量平行和數(shù)量積的坐標(biāo)表示判斷B，根據(jù)向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示判斷C，根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示判斷D.
【詳解】選項(xiàng)A，若，則，解得，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，若，則，解得，
則，故B項(xiàng)正確；
選項(xiàng)C，若，則，所以，故C項(xiàng)正確；
選項(xiàng)D，，則，，，
所以，所以與的夾角不是，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：BC
11. 在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A B.
C. 面積的最小值為D. 的取值范圍為
【答案】BD
【解析】
【分析】由三角形內(nèi)角和，根據(jù)正弦定理以及二倍角公式，可得A的正誤；利用余弦定理整理等式，可得B的正誤；由正弦定理可得角與邊的等量關(guān)系，三角形面積與的函數(shù)解析式，利用整體思想，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得CD的正誤.
【詳解】由，且，則，即，
由正弦定理可得，則，由，則，
即，可得，解得，故A錯(cuò)誤；
由，根據(jù)余弦定理，則，解得，故B正確；
由，則，，
所以的面積，由，
則
，
，
由，則，即，
易知當(dāng)時(shí)，取得最大值，為，故C錯(cuò)誤；
，
，
，
由，則，即，
可得，故D正確.
故選：BD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若，則實(shí)數(shù)_________．
【答案】.
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)相等則實(shí)部和虛部都相等，得到方程組求解即得.
【詳解】由已知得,解得,
故答案為：.
13. 已知向量，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量公式進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】由題意得：在上的投影向量的坐標(biāo)為
故答案為：
14. 在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，解三角形時(shí)有兩解，則邊b的取值范圍是_______
【答案】
【解析】
【分析】利用作圖法，根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)分析即可求解.
【詳解】
如圖，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，三角形有唯一解；
當(dāng)時(shí)，三角形無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，三角形有兩解；
當(dāng)時(shí)，三角形有唯一解；
當(dāng)時(shí)，三角形有唯一解.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15 已知復(fù)數(shù).
（1）若是純虛數(shù)，求；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）或1-2i.
【解析】
【詳解】分析：（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義得到，解不等式組即得a的值.(2)由題得，解之得a的值，再求.
詳解：（1）若是純虛數(shù)，
則，
所以
（2）因，
所以，
所以或.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
點(diǎn)睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和基本的運(yùn)算能力.(2) 復(fù)數(shù)為純虛數(shù)不要把下面的b≠0漏掉了.
16. 已知，是兩個(gè)不共線的向量.
（1）若，，，證明：三點(diǎn)共線；
（2）若向量，共線，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由平面向量共線定理，根據(jù)已知條件構(gòu)造，得到，且直線與直線有公共點(diǎn)，因此三點(diǎn)共線；
（2）由向量，共線，且向量為非零向量，所以存在實(shí)數(shù)，使得，進(jìn)而變形求解出即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?
，
所以，且直線與直線有公共點(diǎn)，
因此三點(diǎn)共線.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，不共線，所以向量為非零向量，
因向量，共線，
所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，
必有，由，不共線，
所以 解得 ，
因此，當(dāng)向量，共線時(shí)，.
17. 平面向量，．
（1）若，求；
（2）若，求與所成夾角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示，可得答案；
（2）根據(jù)向量線性運(yùn)算以及垂直向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求得參數(shù)，利用向量夾角的坐標(biāo)公式，可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
由，則，解得.
【小問(wèn)2詳解】
由題意可得，由，則，解得，
所以與所成夾角的余弦值.
18. 已知，，與的夾角為．
（1）求，值；
（2）若向量與的夾角是銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）1；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算及向量的運(yùn)算性質(zhì)即可求解；
（2）由題意得，且與不共線，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
；
.
【小問(wèn)2詳解】
向量與的夾角是銳角，
所以，且與不共線，
所以，
所以，即，解得，
與不共線，即，
解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
19. 緝私船在處測(cè)出某走私船在方位角為30°（航向），距離為10海里的處，并測(cè)得走私船正沿方位角150°的方向以海里/時(shí)的速度沿直線方向航行逃往相距25海里的陸地處，緝私船立即以海里/時(shí)的速度沿直線方向前去截獲.（方位角：從某點(diǎn)的指北方向線起，依順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的水平夾角）
（1）若，，求緝私船航行方位角的正弦值和截獲走私船所需的時(shí)間；
（2）在走私船到達(dá)陸地之前，若緝私船有兩種不同的航向均恰能成功截獲走私船，求與滿足的條件.
【答案】（1）小時(shí)
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)緝私船在處截獲走私船，在中，由余弦定理建立方程，即可求解；
（2）在由余弦定理整理可得，由于需在走私船到達(dá)陸地之前被截獲，即截獲需在小時(shí)之內(nèi)，設(shè)，轉(zhuǎn)化問(wèn)題為關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，設(shè)，轉(zhuǎn)化問(wèn)題為直線與拋物線在有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到的范圍，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)緝私船在處截獲走私船，所需的時(shí)間為小時(shí)，
依題意，得，
在中，由余弦定理得，，
即，解得（負(fù)值舍），
答：截獲走私船所需時(shí)間為小時(shí).
【小問(wèn)2詳解】
由余弦定理得，，
即，因?yàn)樽咚酱嚯x陸地25海里以海里/時(shí)的速度航行，
所以要能截獲需在小時(shí)之內(nèi)，
令，，若緝私船有兩種不同的航向均能成功截獲走私船，
則關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，
設(shè)，
則等價(jià)于直線與拋物線在有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
因?yàn)閽佄锞€開(kāi)口向上，對(duì)稱軸，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，
直線與拋物線在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
答：當(dāng)時(shí)，緝私船有兩種不同的航向均恰能成功截獲走私船.

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