數(shù)學(xué)
命題人：鮮雙燕
第Ⅰ卷
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共40 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的. 請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1．集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知，則（ ）
A．B．C．D．
3．設(shè)，向量，，則是的 （ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．已知為角終邊上一點(diǎn)，則（ ）
A．B．-2C．D．
5．若，，，則（ ）
A．B．
C．D．
6．泰姬陵于1631年開(kāi)始建造，用時(shí)22年，距今已有366年歷史.如圖所示，為了估算泰姬陵的高度，現(xiàn)在泰姬陵的正東方向找一參照物，高約為，在它們之間的地面上的點(diǎn)Q（B，Q，D三點(diǎn)共線(xiàn)）處測(cè)得A處、泰姬陵頂端處的仰角分別是和，在A(yíng)處測(cè)得泰姬陵頂端處的仰角為，則估算泰姬陵的高度為（ ）

A．B．C．D．
7．已知，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上（不包括端點(diǎn)），向量，則 的最小值為（ ）
A．2B．C．D．
8．已知函數(shù)為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱(chēng)軸，且在單調(diào)，則的最大值為
A．11B．9
C．7D．5
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，滿(mǎn)分18分.每小題給出的備選答案中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題意的.全部選對(duì)得 6 分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9．若復(fù)數(shù)，則下列正確的是（ ）
A．當(dāng)或時(shí)，為實(shí)數(shù)
B．若為純虛數(shù)，則或
C．若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則
D．若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于直線(xiàn)上，則或
10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)
C．函數(shù)是偶函數(shù)
D．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象
11．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為是中點(diǎn)，如圖，點(diǎn)是以為直徑的半圓上任意點(diǎn)；，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．最大值為1B．最大值為1
C．最大值是2D．最大值是
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．在中，是邊上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足， 則在方向上的投影向量是 （用表示）
13．
14．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，則的最大值為 .
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15．已知向量.
(1)求的值；
(2)若向量與垂直，求k的值.
16．在中，點(diǎn)D在上，，.
(1)求的值；
(2)若，求的長(zhǎng).
17．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行．
(1)求的值及切線(xiàn)的方程；
(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值．
18．已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若將的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；
(3)在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，若的面積為，求邊a的長(zhǎng)
19．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f′x，若對(duì)任意恒成立，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上的“一階有界函數(shù)”．
(1)判斷函數(shù)和是否為上的“一階有界函數(shù)”，并說(shuō)明理由；
(2)若函數(shù)為上的“一階有界函數(shù)”，且在上單調(diào)遞增，設(shè)，為函數(shù)圖象上相異的兩點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率為，試判斷“”是否正確，并說(shuō)明理由；
(3)若函數(shù)為區(qū)間0,1上的“一階有界函數(shù)”，求的取值范圍．
1．C
【分析】先解不等式求出集合，，再根據(jù)交集的定義求解即可．
【詳解】由，
，
則，
即，
故選：C.
2．B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得，進(jìn)而可得.
【詳解】由，
所以，
故選：B.
3．A
【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，結(jié)合充分必要條件定義即可判斷.
【詳解】若，則，，則，所以；
若，則，得.
所以是的充分不必要條件.
故選：A.
4．B
【分析】先應(yīng)用任意角三角函數(shù)的定義求出正切，再應(yīng)用同角三角函數(shù)把弦化切得出等式的值.
【詳解】因?yàn)闉榻墙K邊上一點(diǎn)，所以，
所以.
故選：B.
5．C
【分析】利用三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，放縮求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?，即?br>綜上，
故選：C
6．A
【分析】作出輔助線(xiàn)，得到各角度及，在中利用正弦定理得到，進(jìn)而得到.
【詳解】由題設(shè)且，
過(guò)點(diǎn)作平行于，則，，

故，
所以，，
在中，由勾股定理可得，
在中，由正弦定理得，，即，
所以，故.
故選：A
7．D
【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算確定，且，再將化為，展開(kāi)后利用基本不等式，即可求得答案.
【詳解】由題意知向量且點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上（不包括端點(diǎn)），
則設(shè)，則,
則，結(jié)合，可得，且，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)取得等號(hào)，
即 的最小值為，
故選：D
8．B
【分析】根據(jù)已知可得ω為正奇數(shù)，且ω≤12，結(jié)合x(chóng)為f（x）的零點(diǎn)，x為y＝f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸，求出滿(mǎn)足條件的解析式，并結(jié)合f（x）在（，）上單調(diào)，可得ω的最大值．
【詳解】∵x為f（x）的零點(diǎn)，x為y＝f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸，
∴，即，（n∈N）
即ω＝2n+1，（n∈N）
即ω為正奇數(shù)，
∵f（x）在（，）上單調(diào)，則，
即T，解得：ω≤12，
當(dāng)ω＝11時(shí)，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此時(shí)f（x）在（，）不單調(diào)，不滿(mǎn)足題意；
當(dāng)ω＝9時(shí)，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此時(shí)f（x）在（，）單調(diào)，滿(mǎn)足題意；
故ω的最大值為9，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題將三角函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)性結(jié)合在一起進(jìn)行考查,題目新穎,是一道考查能力的好題.注意本題求解中用到的兩個(gè)結(jié)論：①的單調(diào)區(qū)間長(zhǎng)度是最小正周期的一半;②若的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),則或.
9．ACD
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的類(lèi)型、幾何意義，結(jié)合復(fù)數(shù)的具體形式，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.
【詳解】對(duì)A：當(dāng)，；當(dāng)，，故或時(shí)，均為實(shí)數(shù)，A正確；
對(duì)B：為純虛數(shù)，則，解得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則，解得，故C正確；
對(duì)D：復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于直線(xiàn)上，則，
即，解得或，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別為或，故D正確；
故選：ACD.
10．ABD
【分析】結(jié)合函數(shù)圖象依次求出,再根據(jù)選項(xiàng)，分別運(yùn)用代入檢驗(yàn)對(duì)稱(chēng)性，利用奇偶性定義判斷函數(shù)奇偶性，利用伸縮變換得到新函數(shù)逐一判斷即得.
【詳解】由圖可得，，，解得，故A正確；
又函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，即，
因，故，解得，故.
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)取得最小值，故B正確；
對(duì)于C，，是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，
將得到函數(shù)的圖象，故D正確.
故選：ABD.
11．ACD
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，且，,，再逐一分析各選項(xiàng)即可．
【詳解】以中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，，
設(shè)，則，,，
所以，，，
由，得，且，,，
對(duì)于A(yíng)，當(dāng)時(shí)，，故A正確；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，故C正確；
對(duì)于D，，故D正確．
故選：ACD．
12．
【分析】由數(shù)量積的運(yùn)算公式可以得到，再根據(jù)題中條件得到,
最后利用投影向量的公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】
由，則，
又，則，
又，則，即，
故，
又向量在方向上的投影向量是，
故答案為：.
13．
【分析】根據(jù)條件，利用兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求出結(jié)果.
【詳解】
，
故答案為：.
14．
【分析】根據(jù)題目所給的條件，利用正弦定理化簡(jiǎn)后得到，利用正弦定理“邊化角”化簡(jiǎn)得到，因此最大值即.
【詳解】中，，，
所以，所以，
根據(jù)正弦定理，，
即，
因?yàn)?，所以?br>由為三角形內(nèi)角可知，，
根據(jù)正弦定理，，
所以
，
其中，，
當(dāng)時(shí)取得最大值，所以的最大值為.
故答案為：
15．(1)5
(2)
【分析】（1）求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式，即得答案；
（2）求出向量與的坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算，即得答案.
【詳解】（1）由，得，
故；
（2）由題意得，
因?yàn)橄蛄颗c垂直，所以，
即，解得.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理與正弦定理依次求得，從而得解；
（2）利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算法則即可得解.
【詳解】（1）在中，，，則，
所以
，所以，
又，則.
（2）因?yàn)?，則，

所以，
又，
所以
，
則.
17．(1)，
(2)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值為，極小值為
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，即可求出，再由點(diǎn)斜式求出切線(xiàn)方程；
（2）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>則，故在處的切線(xiàn)斜率為，
，解得，即，
因此，
所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)：，即．
（2）由（1）可得，定義域?yàn)椋?br>又，
令，解得或；令，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則在處取得極大值，在處取得極小值，
即極大值為，極小值為，
綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值為，極小值為．
18．(1)；
(2)
(3)5
【分析】（1）利用兩角和差的正弦公式以及倍角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案；
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移可得的表達(dá)式，確定角的范圍，即可求得答案；
（3）結(jié)合（1）求出角A，利用面積公式求出bc的值，再利用余弦定理即可求得答案.
【詳解】（1）由，
得，
故函數(shù)的最小正周期為；
令，解得，
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）由題意得，
因?yàn)?，所以?br>故；
（3）由于，故，則，
而，故；
由若的面積為，得，則，
又，故，
故.
19．(1)是上的“一階有界函數(shù)”；不是上的“一階有界函數(shù)”；理由見(jiàn)解析
(2)正確；理由見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)“一階有界函數(shù)”的定義即可判斷選項(xiàng)；
（2）根據(jù)函數(shù)為上的“一階有界函數(shù)”，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)遞增的定義進(jìn)行列式，化簡(jiǎn)判斷；
（3）根據(jù)函數(shù)為區(qū)間0,1上的“一階有界函數(shù)”，求得大致滿(mǎn)足的范圍．在構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得最小值從而確定．
【詳解】（1）由，在上恒成立，故是上的“一階有界函數(shù)”；
由，，當(dāng)，，故不是上的“一階有界函數(shù)”；
（2）若函數(shù)為上的“一階有界函數(shù)”，則，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則f′x≥0，因此可得，
令，則，在上單調(diào)遞減，
設(shè)，，其中，
則，故；
又在上單調(diào)遞增，則，故，因此可得；
（3）由函數(shù)，則，
若hx為區(qū)間0,1上的“一階有界函數(shù)”，則，
即，恒成立，
故，即，則，
，即，則，因此．
令，則，
其中，，在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，
故在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，
又，，所以存在，
使，即，則，
當(dāng)x∈0,x0，， 當(dāng)，，
在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，
故，
又對(duì)稱(chēng)軸為，
因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，恒成立，
即，
故．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：新定義”主要是指定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類(lèi)比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好基礎(chǔ)，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.

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