注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式以及復(fù)數(shù)運(yùn)算求復(fù)數(shù)，即可得共軛復(fù)數(shù).
【詳解】由題意可得：，
所以.
故選：D.
2. 已知，，，則與的夾角為（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)模長(zhǎng)結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得，即可得向量夾角.
【詳解】因?yàn)椋?，?br>則，即，可得，
則，
且，所以.
故選：A.
3. 在中，為邊上的中線，若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，以及向量加減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，即可得出答案.
【詳解】如圖，
因?yàn)?，所?br>由已知可得，，
所以，，
所以，.
故選：D
4. 在中，角所對(duì)的邊分別為，是邊的中點(diǎn)，， 若，則邊（ ）.
A. 16B. C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦定理整理可得，代入數(shù)據(jù)運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)?，可知?br>由余弦定理可得，
且，可得，
即，解得.
故選：C.
5. 某課外興趣小組研究發(fā)現(xiàn)，人們?cè)萌菧y(cè)量法對(duì)珠穆朗瑪峰高度進(jìn)行測(cè)量，其方法為：首先在同一水平面上選定兩個(gè)點(diǎn)并測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離，然后分別測(cè)量其中一個(gè)點(diǎn)相對(duì)另一點(diǎn)以及珠峰頂點(diǎn)的張角，再在其中一點(diǎn)處測(cè)量珠峰頂點(diǎn)的仰角，最后計(jì)算得到珠峰高度．該興趣小組運(yùn)用這一方法測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，已知該旗桿（C在水平面）垂直于水平面，水平面上兩點(diǎn)的距離為，測(cè)得，其中，在點(diǎn)處測(cè)得旗桿頂點(diǎn)的仰角為，則該旗桿的高度為（單位：）（ ）
A 9B. 12C. 15D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】作出示意圖，在中解出，在中解出.
【詳解】
在中，，，，
因?yàn)椋?br>所以，
在中，.
故選：B.
6. 是所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，，則點(diǎn)為的（ ）.
A. 重心B. 內(nèi)心C. 垂心D. 外心
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量的四則運(yùn)算結(jié)合垂直關(guān)系可知，，即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋芍?br>又因?yàn)?，可知?br>所以點(diǎn)為的垂心.
故選：C.
7. 如圖，在平面四邊形ABCD中，．若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與C、D重合），則的最小值為（ ）

A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)，即可求得答案.
【詳解】由于，
如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸建立直角坐標(biāo)系，
連接,由于，則≌,

而，故，則，
則，
設(shè)，則，，
故，
當(dāng)時(shí)，有最小值，
故選：B．
8. 在中，角所對(duì)的邊分別為，，，且，，則的最小值為（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直結(jié)合正、余弦定理可得，分析可知點(diǎn)在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)），結(jié)合數(shù)量積幾何意義運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)椋?，且?br>則，
利用正弦定理可得，
整理可得，
由余弦定理可得，
且，則，
又因?yàn)?，可得的外接圓半徑為，
可知點(diǎn)在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)），
過外接圓圓心作，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，在方向上的投影最小，
此時(shí)
根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可知：的最小值為.
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有錯(cuò)選的得0分.
9. 已知為虛數(shù)單位，則下列說法中正確是（ ）.
A. 復(fù)數(shù)的虛部為
B.
C.
D. 復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為
【答案】BD
【解析】
【分析】對(duì)于A：根據(jù)虛部的概念分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)運(yùn)算求解；對(duì)于C：舉反例說明即可；對(duì)于D：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合圓的性質(zhì)分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：復(fù)數(shù)的虛部為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：例如，則，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，
因?yàn)?，即，其中為坐?biāo)原點(diǎn)，可知點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)單位圓上，
可得，
所以的最大值為，故D正確；
故選：BD.
10. 在中，角所對(duì)的邊分別為，設(shè)的面積為，下列命題中正確的是（ ）.
A. 若，則是等邊三角形
B. 若，則是等腰三角形
C. 若，則是直角三角形
D. 若，且，則是等邊三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A：利用正弦定理邊化角，即可得結(jié)果；對(duì)于B：舉反例說明即可；對(duì)于C：利用余弦定理角化邊，即可得結(jié)果；對(duì)于D：根據(jù)數(shù)量積結(jié)合面積公式可得，在結(jié)合余弦定理分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，由正弦定理可得?br>即，可知，
所以是等邊三角形，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br>則，
例如，則，
符合題意，但不是等腰三角形，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，由余弦定理可得?br>整理可得，可知，
所以是直角三角形，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋瑒t，
整理可得，且，可得，
又因?yàn)?，即?br>由余弦定理可得，即，
整理可得，即，
所以是等邊三角形，故D正確；
故選：ACD.
11. 已知的外接圓的圓心為O，角，下列說法正確的是（ ）.
A. 若，則2
B. 若點(diǎn)是內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(不含邊界)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
C. 若點(diǎn)是內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(不含邊界)，且，則
D. 若，，則的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)于A：根據(jù)投影向量分析求解即可；對(duì)于B：根據(jù)向量線性運(yùn)算的結(jié)論直接可得結(jié)果；對(duì)于C：設(shè)，整理可得，進(jìn)而分析面積關(guān)系；對(duì)于D：整理可得，平方整理可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解即可.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：取的中點(diǎn)，連接，則，
可知在向量方向上的投影向量為，
所以，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：若點(diǎn)是內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(不含邊界)，
則，且，
又因?yàn)椋瑒t，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)，
因?yàn)?，可得?br>即，可得，
則，所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)的外接圓半徑為，
因?yàn)?，則，可得，
又因?yàn)椋?br>可得，
則，
即，
則，
整理可得，解得或（舍去），
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最大值為，故D正確；
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知向量在方向上的投影向量是是與同方向的單位向量），，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量的定義求出，再由數(shù)量積的定義求.
【詳解】因?yàn)橄蛄吭诜较蛏系耐队跋蛄繛?，所以?br>又，，
所以.
故答案為：.
13. 在中，角所對(duì)的邊分別為，，，，若三角形有兩解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理整理可得，構(gòu)建，可知在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布運(yùn)算求解.
【詳解】由余弦定理可得，即，
整理可得，
構(gòu)建，可知在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，
則，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
14. 在中，角所對(duì)的邊分別為，已知的外接圓的半徑為1，且則的面積為___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，，利用余弦定理可得，進(jìn)而可得，進(jìn)而可得面積.
【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得?br>整理可得，
且，
即，由正弦定理可得，
因?yàn)榈耐饨訄A的半徑為1，由正弦定理可知，
又因?yàn)椋?br>由余弦定理可得，
且，則，
可得，
所以的面積為.
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知向量.
（1）若向量與共線，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可知，即可求出參數(shù)值；
（2）利用兩向量夾角為銳角的充要條件是且與不共線，從而可得不等式組求解即可.
【小問1詳解】
由題意可得，，
若向量與共線，可得，
解得.
【小問2詳解】
若向量與的夾角為銳角可得且與不共線，
即可得，
解得且，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為且
16. 設(shè)復(fù)數(shù)．
（1）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，求；
（2）若是純虛數(shù)，且是方程的根，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意分析可知，即可得，進(jìn)而可求；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算結(jié)合純虛數(shù)概念可得，可知是方程的根，利用韋達(dá)定理運(yùn)算求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)?，則，
若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，則，
可得，即，
所以.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>若是純虛數(shù)，則，解得，
若是方程的根，則也是該方程的根，
由韋達(dá)定理可得，即，所以.
17. 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，．
（1）求；
（2）設(shè)為邊上一點(diǎn)，且，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由求得，再由余弦定理求得即可；
（2）先由余弦定理求得，再求出，最后由面積公式求解即可.
【小問1詳解】
因，所以，所以．在中，由余弦定理得，
即，解得（舍去），．
【小問2詳解】
因?yàn)?，由余弦定理得，又，即是直角三角形，所以?br>則，又，則，所以的面積為．
18. 如圖，在梯形中，已知，，，點(diǎn)、分別在直線和上，且，，連接交于點(diǎn)．
（1）設(shè)，用和表示，并求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，求實(shí)數(shù)值；
（3）求的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建系標(biāo)點(diǎn)，設(shè)，利用坐標(biāo)運(yùn)算求，結(jié)合向量共線的結(jié)論求實(shí)數(shù)的值；
（2）設(shè)，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可；
（3）求得，根據(jù)模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
【小問1詳解】
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，
可得，
則，可得，
設(shè)，
可得，解得，
所以，
若，
且三點(diǎn)共線，則，
可得，解得.
【小問2詳解】
因?yàn)?，設(shè)，
則，
若，則，解得.
【小問3詳解】
因?yàn)椋?br>則，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的取值范圍為.
19. 著名的費(fèi)馬問題是法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬（1601－1665）于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”，費(fèi)馬問題中的所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知對(duì)于每個(gè)給定的三角形，都存在唯一的費(fèi)馬點(diǎn)，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)．在中，角的對(duì)邊分別為，且．若是的“費(fèi)馬點(diǎn)”，．
（1）求角；
（2）若為銳角三角形，求的周長(zhǎng)的取值范圍；
（3）若，且.
①求的周長(zhǎng)
②求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合和差公式即可得；
（2）利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解即可；
（3）①設(shè)，由數(shù)量積定義可得，利用三角形面積公式，由可得，再結(jié)合余弦定理可求出可得周長(zhǎng)；②在中，根據(jù)余弦定理列方程組求解可得.
【小問1詳解】
由已知，得，
由正弦定理，得，
即，
即，
由于，所以，所以.
【小問2詳解】
由正弦定理可得，
則，
可得的周長(zhǎng)
，
又因?yàn)闉殇J角三角形，則，解得，
則，可得，，
所以的周長(zhǎng)的取值范圍為.
【小問3詳解】
①設(shè)，
則．
所以，由得：
，即，
由余弦定理得，，
即，即，
又，聯(lián)立解得．
所以的周長(zhǎng)為；
③由在中，由余弦定理得，
聯(lián)立求解可得，
則，
即，所以.

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