1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.
2．作答時，務必將答案寫在答題卡上.寫在本試卷及草稿紙上無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 在復平面內(nèi)，復數(shù)滿足，則復數(shù)對應的點位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】利用復數(shù)的除法運算化簡，即可根據(jù)幾何意義求解.
【詳解】由可得，
故復數(shù)z對應的點為，位于第二象限.
故選：B
2. 已知是平面內(nèi)的一個基底，則可以與向量構(gòu)成平面另一個基底的向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判斷所給向量與已知向量是否共線可得結(jié)論.
【詳解】易得向量與向量平行，不能構(gòu)成空間的一個基底，
由題意及向量加法的平行四邊形法則與向量減法法則可知與不共線，
所以與可構(gòu)成平面的一個基底．
故選：C.
3. 在三角形中，，，，則（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理求解出角，然后由內(nèi)角和定理求解角即可.
【詳解】由可得：，
所以，又，
所以，
結(jié)合內(nèi)角和定理，所以.
故選：B
4. 若兩個非零向量的夾角為，且滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由可得，再根據(jù)向量的數(shù)量積運算律和夾角公式求解即可.
【詳解】因為，所以，
所以，所以，
所以.
故選:A.
5. 在平面直角坐標系中，，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求得，得到，結(jié)合投影向量的計算方法，即可求解.
【詳解】由平面直角坐標系中，，，可得，
則，
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：B.
6. 在藝術(shù)、建筑設計中，把短對角線與長對角線的長度之比為的菱形稱為“白銀菱形”.如圖，在白銀菱形ABCD中，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由結(jié)合數(shù)量積的運算性質(zhì)即可求解；
【詳解】解：設O是AC與BD的交點，則，
則
，
所以
故選：C
7. 設的內(nèi)角的對邊分別為，且，若角的內(nèi)角平分線，則的最小值為（ ）
A. B. C. D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】先由題中條件，結(jié)合余弦定理求出，再由是角平分線，利用求出，根據(jù)基本不等式求出最小值，再計算向量數(shù)量積即可.
【詳解】因為在中，，所以，則
又角的內(nèi)角平分線，則，
又，
則，
即，
化簡得：，即，當且僅當時，等號成立，
因此，當且僅當時，等號成立.
故選：D.
8. 如圖，邊長為的等邊，動點在以為直徑的半圓上.若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立平面直角坐標系，可得半圓弧的方程為：，設，根據(jù)向量的坐標運算法則算出關于的式子，利用三角換元與正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】由題意可以所在直線為x軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示：
結(jié)合已知得，，，
半圓弧的方程為：，
設，則，，，
由得：，
解得：，
所以，
因為在上，所以，
又，
則可設，，，
將，代入整理得：
，
由得，
所以，，
故取值范圍是.
故選：D.
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.
9. 已知，則（ ）
A. 若，則
B 若，則
C. 的最小值為
D. 向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)向量平行的坐標公式即可判斷A；根據(jù)向量垂直的坐標公式即可判斷B；根據(jù)向量的模的坐標公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；由向量與向量的夾角為鈍角，可得且不共線，進而可判斷D.
【詳解】對于A，若，則，故A正確；
對于B，若，則，故B正確；
對于C，，則，當時，，故C正確；
對于D，因為向量與向量的夾角為鈍角，所以且不共線，由，由得，所以的取值范圍為，故D錯誤.
故選：ABC.
10. 若的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 角一定為銳角B.
C. D. 的最小值為
【答案】BC
【解析】
【分析】結(jié)合降次公式、三角形內(nèi)角和定理、余弦定理、正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關系式化簡已知條件，然后對選項逐一分析，由此確定正確選項.
【詳解】依題意，
，，
為鈍角，A選項錯誤.
，
，B選項正確.
，由正弦定理得，
，，
由于，為鈍角，為銳角，所以兩邊除以得，.C選項正確.
，
，
整理得，
由于為鈍角，，所以，
當且僅當時等號成立.
所以，D選項錯誤.
故選：BC
11. 對于，有如下判斷，其中正確的判斷是（ ）
A. 若，則
B. 若，則符合條件的有兩個
C. 若點為所在平面內(nèi)的動點，且，則點的軌跡經(jīng)過的垂心
D. 已知是內(nèi)一點，若分別表示的面積，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理及比例的性質(zhì)判斷A，根據(jù)正弦定理及大邊對大角判斷B，根據(jù)數(shù)量積的運算得垂直判斷C，根據(jù)向量的運算得出比例關系判斷D.
【詳解】由正弦定理知，
所以可得，由可得，故A正確；
由正弦定理可知，即，解得，
又，所以，故只有一解，所以三角形一解，故B錯誤；
因為
，所以，所以點的軌跡經(jīng)過的垂心，故C正確；
因為，所以，
設的中點分別為，如圖，
則，即，所以，故D正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若復數(shù)，則其共軛復數(shù)的虛部為______.
【答案】
【解析】
【分析】寫出共軛復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)定義求解．
【詳解】由已知，虛部為，
故答案：．
13. 已知的三個內(nèi)角分別為、、，，求的值___________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用正弦定理和余弦定理，即可得到結(jié)果.
詳解】由余弦定理得：，
由正弦定理（r為外接圓的半徑），
得，
則，
故答案為：
14. 已知向量為單位向量，且，向量與共線，則的最小值為________
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線定理設，，得，兩邊平方根據(jù)二次函數(shù)知識可得結(jié)果.
【詳解】因為向量與共線，所以可設，，
所以，又向量，為單位向量，且，
所以，
，
所以，則的最小值為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 在中，角的對邊分別是，已知.
（1）求；
（2）若，且的周長為，求.
【答案】（1）或；
（2）答案見解析.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，進而求出.
（2）由（1）的結(jié)論，利用余弦定理列式求解.
【小問1詳解】
在中，由及正弦定理得，而，
則，又，
所以或.
【小問2詳解】
由的周長為，，得，
在中，由余弦定理得，即，
則，當時，，于是，，此方程無解；
當時，，于是，解得或，
所以當時，無解；當時，或.
16. 如圖，在中，已知，，，且，邊上的兩條中線，相交于點.

（1）求；
（2）求的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用重心的性質(zhì)及平面向量的線性運算得，再由平面向量數(shù)量積運算律計算即可；
（2）即，根據(jù)上問及中線性質(zhì)結(jié)合平面向量數(shù)量積及模長求夾角即可.
【小問1詳解】
由題可知為的重心，則，
所以，
所以.
【小問2詳解】
因為為的中點，所以.
又，
所以
.
又，
所以.
又與的夾角相等，
所以，所以的余弦值為.
17. 在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
（1）求角C大??；
（2）若，邊AB的中點為D，求中線CD長的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化角為邊得，再利用余弦定理可得結(jié)果；
（2）由余弦定理結(jié)合數(shù)量積運算得，由正弦定理可得，，所以，結(jié)合角的范圍，利用三角函數(shù)性質(zhì)可求得的范圍，即可得出答案.
【小問1詳解】
已知，
由正弦定理可得，即，
所以，
因為，所以．
【小問2詳解】
由余弦定理可得，
又，
則，
由正弦定理可得，
所以，，
所以，
由題意得，解得，則，
所以，所以，
所以，所以中線CD長的取值范圍為．
18. 位于鄭州海昌海洋旅游度假區(qū)內(nèi)的“鄭州之眼”摩天輪是目前中原地區(qū)最高的摩天輪．該摩天輪的最高點距離地面的高度約為105米，最低點距離地面約為15米，摩天輪上均勻設置了60個座艙．開啟后摩天輪按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，游客在座艙離地面最近時的位置進入座艙，摩天輪轉(zhuǎn)完一周后在相同的位置離開座艙．摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要30分鐘，當游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時．

（1）經(jīng)過t分鐘后游客甲距離地面的高度為H米，求的解析式；
（2）游客甲坐上摩天輪后多長時間，距離地面的高度恰好為37.5米？
（3）若游客乙在游客甲之后進入座艙，且中間間隔9個座艙，從甲進入座艙開始計時，在摩天輪轉(zhuǎn)動一周的過程中，記兩人距離地面的高度差為h米，求h的最大值及此時的時間t．
【答案】（1），
（2）5分鐘或25分鐘
（3）當或25分鐘時，h最大值為45米
【解析】
【分析】（1）設，根據(jù)所給條件求出，即可得到函數(shù)解析式；
（2）令，由余弦函數(shù)的性質(zhì)及的范圍計算可得；
（3）設經(jīng)過分鐘后甲距離地面的高度為，則乙距離地面的高度為，，表示出，再由三角恒等變換公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【小問1詳解】
設．
由題意知．
又，故，
，，可?。?br>，
故解析式為，．
【小問2詳解】
令，則，即，
，，或，解得或．
故游客甲坐上摩天輪后5分鐘或25分鐘時，距離地面的高度恰好為37.5米．
【小問3詳解】
經(jīng)過分鐘后，甲距離地面的高度為，
乙與甲間隔的時間為分鐘，
所以乙距離地面的高度，，
則兩人的高度差
，．
令，解得，，
又，所以當或25分鐘時，h最大值為45米．
19.
是邊長為1的正三角形，點四等分線段（如圖所示）．
（1）求的值；
（2）若是線段的等分點，，其中，，，求的值；
（3）為邊上一動點，當取最小值時，求的長．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)已知的模長與夾角，根據(jù)平面向量基本定理以為基底表示,將所求式整理成只含有的向量表達式，根據(jù)向量運算法則即可求解；
(2)分析可知算式中與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可以按照倒序相加法求和；
(3)設出與的關系，以為基底，根據(jù)平面向量基本定理寫出的表達式，化簡求出最終只含參數(shù)的表達式，找出最小值情況，進而求出的長.
【小問1詳解】
設，，因為是邊長為1的正三角形，
所以，，
因為為線段的四等分點，
所以，同理可得，
所以
．
【小問2詳解】
根據(jù)題意可知是線段的2022等分點，
仿照（1）推導過程可知，，
所以
所以
，
則.
【小問3詳解】
設，則，
所以
整理得．
當時，取最小值，此時，
則，
所以的長為．

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