1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2. 命題：，，則是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 設(shè)，，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D. 無(wú)法確定
4. 已知集合，下列式子錯(cuò)誤的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 不等式的解集為（ ）
A. B. ，或
C. D. ，或
6. 滿足集合{1,2}的集合的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
7. 若不等式的一個(gè)充分條件為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8. 下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A. 命題“，”，則：“，”
B. 已知a，，“且”是“”的充分而不必要條件
C. “”是“”的充要條件
D. 若p是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件
二、多選題
9. 下列四個(gè)命題中正確是（ ）
A. 由所確定的實(shí)數(shù)集合為
B. 同時(shí)滿足的整數(shù)解的集合為
C. 集合可以化簡(jiǎn)為
D. 中含有三個(gè)元素
10. 已知，且，則下列不等式成立是（ ）
A. B.
C. D.
11. 用表示非空集合中元素個(gè)數(shù)，定義，已知集合，則下面正確結(jié)論正確的是（ ）
A. ，
B ，
C. “”是“”的充分不必要條件
D. 若，則
三、填空題
12. 命題 ，，則命題否定為________________________．
13. 不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值集合為 __．
14. 已知數(shù)集，則由實(shí)數(shù)a的值組成的集合為______．
四、解答題
15. 已知全集，集合，.
（1）求；
（2）若集合，滿足，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
16. 已知集合，．
（1）當(dāng)時(shí)，求和；
（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值的集合．
17. 已知集合．
（1）若A是空集，求的取值范圍；
（2）若A中只有一個(gè)元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍．
18. 設(shè)全集，集合，集合．
（1）若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若命題“”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
19. 已知.
（1）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，.
①若，均大于，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
②若，求實(shí)數(shù)的值；
設(shè)，若關(guān)于的不等式的解集為，，且是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2024-2025學(xué)年寧夏回族自治區(qū)石嘴山市高一上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題
一、單選題
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】先求解兩個(gè)集合，再結(jié)合兩集合交集定義求解答案；
【詳解】因?yàn)椋裕?br>故選：B.
2. 命題：，，則是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正確答案】C
【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題求解判斷.
【詳解】，，，.
故選：C.
3. 設(shè)，，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D. 無(wú)法確定
【正確答案】C
【分析】計(jì)算的結(jié)果并將其與比較大小，由此得到的大小關(guān)系.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，.
故選：C
4. 已知集合，下列式子錯(cuò)誤的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】求出集合A，即可依次判斷.
對(duì)A：利用元素與集合關(guān)系判斷；
對(duì)B：“”表示元素與集合之間的關(guān)系；
對(duì)C：是任何集合的子集；
對(duì)D：判斷與是否為包含關(guān)系.
【詳解】，
.
與是兩個(gè)集合，不能用“”表示它們之間的關(guān)系，故B錯(cuò)誤.
故選：B
5. 不等式的解集為（ ）
A. B. ，或
C. D. ，或
【正確答案】B
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解的特征即可求解.
【詳解】由可得，
解得或，
故不等式的解為或，
故選：B
6. 滿足集合{1,2}的集合的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【正確答案】C
【分析】根據(jù)真子集的概念判斷即可.
【詳解】集合{1,2}
∴M中至少含有三個(gè)元素且必有1，2，
而M為集合{1，2，3，4，5}的真子集，故最多四個(gè)元素，
∴M={1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，5}或{1，2，3，4}，
或{1，2，3，5}，或{1，2，4，5}，共6個(gè)
故選：C.
7. 若不等式的一個(gè)充分條件為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】結(jié)合充分條件的定義列出不等式組，求解即可．
【詳解】若不等式的一個(gè)充分條件為，
則，所以，解得.
則實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
8. 下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A. 命題“，”，則：“，”
B. 已知a，，“且”是“”的充分而不必要條件
C. “”是“”的充要條件
D. 若p是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件
【正確答案】C
【分析】根據(jù)充分條件，必要條件，全稱與特稱命題的否定依次討論各選項(xiàng)即可得答案.
【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，命題p：“，”，則，：“，”滿足命題的否定形式，所以A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，已知a，，“且”能夠推出“，“”不能推出“且”，所以B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，時(shí)，成立，反之，時(shí)，或，所以C不正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，若p是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件，滿足充分與必要條件的定義，所以D正確．
故選：C．
二、多選題
9. 下列四個(gè)命題中正確的是（ ）
A. 由所確定的實(shí)數(shù)集合為
B. 同時(shí)滿足的整數(shù)解的集合為
C. 集合可以化簡(jiǎn)為
D. 中含有三個(gè)元素
【正確答案】ABC
【分析】對(duì)于A選項(xiàng):對(duì)的符號(hào)分類討論即可；對(duì)于B選項(xiàng)：解不等式組并結(jié)合整數(shù)解的概念即可；對(duì)于C選項(xiàng)：對(duì)討論驗(yàn)證相應(yīng)的是否是自然是即可；對(duì)于D選項(xiàng)：結(jié)合的因數(shù)并對(duì)討論即可.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng): 討論的符號(hào)并列出以下表格：
由上表可知，的所有可能的值組成集合，故A選項(xiàng)正確.
對(duì)于B選項(xiàng):由，，所以解不等式組得，
其整數(shù)解所組成的集合為,故B選項(xiàng)正確.
對(duì)于C選項(xiàng)：若 滿足且，所以，所有只需討論時(shí)的情形，由此列出以下表格：
由表可知集合可以化簡(jiǎn)為，故C選項(xiàng)正確.
對(duì)于D選項(xiàng)：若滿足，則是6的正因數(shù)，又6的正因數(shù)有1，2，3，6，由此可列出以下表格：
因此滿足上述條件的的可能取值的個(gè)數(shù)為4個(gè)，即中含有4個(gè)元素，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10. 已知，且，則下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C D.
【正確答案】AC
【分析】由基本不等式判斷A，由，，判斷BD，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷C.
【詳解】解：由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，但，所以，故選項(xiàng)A正確；
取，，可排除B，D；
∵，且函數(shù)在上為增函數(shù)，所以成立，故選項(xiàng)C正確，
故選：AC
易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.
11. 用表示非空集合中元素的個(gè)數(shù)，定義，已知集合，則下面正確結(jié)論正確的是（ ）
A. ，
B. ，
C. “”是“”的充分不必要條件
D. 若，則
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)集合新定義，結(jié)合一元二次方程，逐項(xiàng)分析判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則，而，，因此；
當(dāng)時(shí)，而，則或，若，滿足，解得；
若，則方程的兩個(gè)根都不是方程的根，
且，解得，因此“”是“”的充分不必要條件，C正確；
對(duì)于D，由，而，得或，由C知：或，
因此，，D錯(cuò)誤.
故選：AC
三、填空題
12. 命題 ，，則命題的否定為________________________．
【正確答案】，
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可.
【詳解】命題 ，為存在量詞命題，
其否定為：，.
故，
13. 不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值集合為 __．
【正確答案】
【分析】根據(jù)二次不等式的解法即得.
【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?br>所以，
所以，即實(shí)數(shù)取值集合為.
故答案為.
14. 已知數(shù)集，則由實(shí)數(shù)a的值組成的集合為______．
【正確答案】
【分析】讓依次等于，得出相應(yīng)的進(jìn)行討論即可求解.
【詳解】若，則，此時(shí)，故滿足題意；
若，則，此時(shí)，這違背了集合中元素的互異性，故不滿足題意；
若，則，此時(shí)，故滿足題意；
故所求集合為.
故答案為.
四、解答題
15. 已知全集，集合，.
（1）求；
（2）若集合，滿足，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）或.；（2）.
【分析】（1）求出以及后可得.
（2）根據(jù)集合等式關(guān)系可得，故可得各集合中范圍的端點(diǎn)的大小關(guān)系，從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由題，或，
或.
（2）由得，則，解得，
由得，則，解得，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．
本題考查集合的交和補(bǔ)以及在包含的條件下參數(shù)的取值范圍的求法，注意根據(jù)集合的等式關(guān)系判斷出集合之間的包含關(guān)系，本題屬于中檔題.
16. 已知集合，．
（1）當(dāng)時(shí)，求和；
（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值的集合．
【正確答案】（1）；；
（2）
【分析】（1）當(dāng) 時(shí)，求出，即可根據(jù)交集和并集的定義求解．
（2）根據(jù)，可得不等式組進(jìn)而即得．
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，所以，
,；
【小問2詳解】
，，
則，解得：．
故實(shí)數(shù)取值的集合為.
17. 已知集合．
（1）若A是空集，求的取值范圍；
（2）若A中只有一個(gè)元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）當(dāng)時(shí)，集合，當(dāng)時(shí)，集合；
（3）
【分析】（1）利用是空集，則即可求出的取值范圍；
（2）對(duì)分情況討論，分別求出符合題意的的值，及集合即可；
（3）分中只有一個(gè)元素和有2個(gè)元素兩種情況討論，分別求出參數(shù)的取值范圍，即可得解．
【小問1詳解】
解： 是空集，
且，
，解得，
所以的取值范圍為：；
【小問2詳解】
：①當(dāng)時(shí)，集合，
②當(dāng)時(shí)，，
，解得，此時(shí)集合，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，集合，當(dāng)時(shí)，集合；
【小問3詳解】
中至少有一個(gè)元素，則當(dāng)中只有一個(gè)元素時(shí)，或；
當(dāng)中有2個(gè)元素時(shí)，則且，即，解得且；
綜上可得，時(shí)中至少有一個(gè)元素，即.
18. 設(shè)全集，集合，集合．
（1）若“”是“”充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若命題“”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由題意得，由此列出關(guān)于a的不等式組，求出a的范圍；
（2）由題意得，先討論分析情形，然后得出所求結(jié)果．
【小問1詳解】
，
∵是的充分條件，∴，
又∵，
∴，∴，∴，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
【小問2詳解】
命題“”是真命題，∴．
下面討論的情形：
①當(dāng)時(shí)，，∴，滿足；
②當(dāng)時(shí)，，若，則或，解得，
∴當(dāng)時(shí)，．
綜上，命題“”是真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
19 已知.
（1）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，.
①若，均大于，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
②若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）設(shè)，若關(guān)于的不等式的解集為，，且是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）①；②
（2）
【分析】（1）①②由求出參數(shù)的取值范圍，再利用韋達(dá)定理得到不等式（方程），解得即可；
（2）首先求出集合，依題意可得?，即可得到不等式組，解得即可.
【小問1詳解】
由題意可知，，即或，
①由，均大于，所以，解得.
②由可得，即，
∴，解得或，
又因?yàn)榛?，?
【小問2詳解】
∵，
∴，即，又，解得，
所以，
因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以?，
∴（等號(hào)不能同時(shí)成立），解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，滿足?，符合題意，所以.
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