高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí) 專題7.7 復(fù)數(shù)的運(yùn)算大題專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）（教師版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=-21+3i，求1+z+z2+?+z2022的值．
【解題思路】由題知z=-1+3i2，z2=-1-3i2，z3=1，z+z2+z3=0，進(jìn)而根據(jù)周期性求解即可.
【解答過程】解：因?yàn)閦=-21+3i=-21-3i1+3i1-3i=-1+3i2，
所以z2=-1+3i22=1-3-23i4=-1-3i2
所以z3=-1+3i2?-1-3i2=1-3i24=1
所以，z+z2+z3=-1+3i2+-1-3i2+1=0，
所以1+z+z2+?+z2022=1+674z+z2+z3=1
2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知非零復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1+z2=z1-z2，求證：z1z22一定是負(fù)數(shù)．
【解題思路】設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，根據(jù)z1+z2=z1-z2化簡(jiǎn)得ac+db=0，
而z1z2=a+bic+di=bc-adc2+d2i，根據(jù)非零復(fù)數(shù)z1,z2則可判斷ad-bc≠0，則z1z2是純虛數(shù)，則z1z22是負(fù)數(shù).
【解答過程】設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)
z1+z2=z1-z2，即a+c+b+di=a-c+b-di
則(a+c)2+(b+d)2=(a-c)2+(b-d)2
化簡(jiǎn)得ac+db=0
∴z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)=bc-adc2+d2i，
又bc-ad≠0，否則z1,z2中至少有一個(gè)為零，
則z1z2是純虛數(shù),∴z1z22是負(fù)數(shù).
3．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知z是復(fù)數(shù)，z+2i、z2-i均為實(shí)數(shù)（i為虛數(shù)單位），且復(fù)數(shù)(z+ai)2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解題思路】設(shè)z=x+yi x、y∈R，化簡(jiǎn)z+2i、z2-i并根據(jù)其均為實(shí)數(shù)求得參數(shù)x，y，化簡(jiǎn)(z+ai)2并根據(jù)其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限列不等式即可求得a的范圍.
【解答過程】設(shè)z=x+yi x、y∈R，∵z+2i=x+y+2i為實(shí)數(shù)，∴y=-2，∴z=x-2i.
∵z2-i=x-2i2-i=15x-2i2+i=152x+2+15x-4i為實(shí)數(shù)，∴x=4．∴z=4-2i．
∵z+ai2=4+a-2i2=12+4a-a2+8a-2i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限， ∴12+4a-a2>08a-2>0，解得20，所以x=2，即z=6-2i，
則iz=i(6-2i)=2+6i，
所以復(fù)數(shù)iz的虛部為6．
（2）因?yàn)閒(x)=x2+2x=(x+1)2-1，所以當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)取得最小值，
此時(shí)，z=-3-2i，
則z1+2i=-3+2i1+2i=-(3+2i)(1-2i)5=-75+45i，
所以z1+2i的實(shí)部為-75．
12．（2022春·廣西玉林·高一階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=1-i2+31+i2-i．
(1)求z的共軛復(fù)數(shù)；
(2)若az+b=1-i，求實(shí)數(shù)a，b的值．
【解題思路】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)乘方、除法的運(yùn)算法則，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義進(jìn)行求解即可.
【解答過程】（1）z=1-i2+31+i2-i=1-2i-1+3+3i2-i=3+i2+i2-i2+i=6+3i+2i-15=1+i，
所以z的共軛復(fù)數(shù)為1-i；
（2）az+b=1-i?a(1+i)+b=1-i?a+b+ai=1-i?a+b=1a=-1?a=-1,b=2.
13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)z=(1+i)2+2i1-i，其中i為虛數(shù)單位．
(1)求z及z；
(2)若z2+az+b=2+3i，求實(shí)數(shù)a，b的值．
【解題思路】（1）首先根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解出復(fù)數(shù)z，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解z；
（2）首先將z=-1+3i代入等式，然后根據(jù)等式關(guān)系構(gòu)造方程組，解方程組即可得到實(shí)數(shù)a，b的值.
【解答過程】（1）∵z=(1+i)2+2i1-i=1+2i+i2+2i1+i1+i1-i=2i+i1+i=-1+3i，
∴z=(-1)2+32=10．
（2）由（1）可知z=-1+3i，z=-1-3i
由z2+az+b=2+3i，得：(-1+3i)2+a(-1-3i)+b=2+3i，
即(-8-a+b)+(-6-3a)i=2+3i，∴-8-a+b=2,-6-3a=3.，解得a=-3,b=7.
14．（2022秋·山東日照·高二統(tǒng)考期中）已知z是復(fù)數(shù)，z+2i（i為虛數(shù)單位）為實(shí)數(shù)，且z+z=8.
(1)求復(fù)數(shù)z；
(2)若復(fù)數(shù)(z+ai)2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解題思路】（1）設(shè)z=c+di（c，d∈R），利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的條件即可得出；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和幾何意義即可得出.
【解答過程】（1）根據(jù)題意，設(shè)復(fù)數(shù)z=c+di（c，d∈R），
則z+2i=c+(d+2)i為實(shí)數(shù)，即d+2=0，解得d=-2，
所以z=c-2i，z=c+2i.
又∵z+z=c+2i+c-2i=8，∴2c=8，得c=4，
所以復(fù)數(shù)z=4-2i.
（2）由（1）知，(z+ai)2=(4-2i+ai)2=16-(a-2)2+8(a-2)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，
所以16-a-22>0,8a-2

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