姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
1．（2022秋·廣東江門·高二期中）已知點(diǎn)A1,-2,0,B2,k,-3,C2,0,2，向量a=-3,4,5．
(1)若AB⊥a，求實(shí)數(shù)k的值；
(2)求向量AC與向量a所成角的余弦值．
【解題思路】（1）根據(jù)題意得到AB的坐標(biāo)，結(jié)合兩向量垂直坐標(biāo)滿足的公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
（2）根據(jù)題意，結(jié)合向量坐標(biāo)公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【解答過(guò)程】（1）因?yàn)锳1,-2,0,B2,k,-3，則AB=1,k+2,-3，且a=-3,4,5，
由AB⊥a，可得-3+4k+2-15=0，解得k=52；
（2）因?yàn)锳1,-2,0,C2,0,2，則AC=1,2,2，a=-3,4,5，
則AC=12+22+22=3,a=-32+42+52=52，
所以cs=AC?aACa=-3+8+103×52=22.
2．（2023·高一單元測(cè)試）已知向量a=2,1，b=-1,1，c=1,2．
(1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka+c與2b-a平行；
(2)若向量d滿足d-c⊥a+b，且d-c=5，求d．
【解題思路】（1）直接利用向量平行的坐標(biāo)公式求解；
（2）直接利用向量垂直的坐標(biāo)公式和求模公式求解.
【解答過(guò)程】（1）由題中的條件可得
ka+c=k(2,1)+(1,2)=(2k+1,k+2)，
2b-a=2(-1,1)-(2,1)=(-4,1)，
若ka+c與2b-a平行，則有2k+1=-4×(k+2)，
解得k=-32；
（2）設(shè)d=(x,y)，所以d-c=(x-1,y-2)，
又a+b=(1,2)，
由d-c⊥a+b，可得x-1+2y-4=0，
由d-c=5，可得(x-1)2+(y-2)2=5.
解得x=-1y=3或x=3y=1，
所以d=(-1,3)或d=(3,1).
3．（2022春·廣西賀州·高一階段練習(xí)）（1）若向量a=1,2，b=1,-1，求2a+b與a-b的夾角；
（2）已知a→=2,b→=3,a→-b→=7，求a與b夾角的余弦值.
【解題思路】(1)根據(jù)平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和幾何意義求出2a+b?a-b和2a+b、a-b，結(jié)合數(shù)量積的定義計(jì)算即可求解；
(2)由a-b2=a2-2a?b+b2=7求出a?b=2，結(jié)合數(shù)量積的定義計(jì)算即可求解.
【解答過(guò)程】（1）2a+b=3,3，a-b=0,3，
∴2a+b?a-b=0×3+3×3=9，
2a+b=32+32=32，a-b=3，
設(shè)2a+b與a-b的夾角為θ(0≤θ≤π)，則csθ=932×3=22，
∴θ=π4.
（2）由題意知，
a-b2=a2-2a?b+b2=7，
所以a?b=2，設(shè)a,b的夾角為α，
則csα=a?bab=232=23.
4．（2022春·黑龍江哈爾濱·高一期末）已知e1=1,0，e2=0,1，a=2e1+λe2，b=e1-e2，且a//b.
(1)求λ的值；
(2)求向量a與向量c=e1+2e2夾角的余弦.
【解題思路】（1）根據(jù)題意求出a,b的坐標(biāo)，由向量平行的判斷方法可得關(guān)于λ的方程，即可得到結(jié)果；
（2）設(shè)a與c的夾角為θ，由向量夾角公式計(jì)算即可得到結(jié)果.
【解答過(guò)程】（1）根據(jù)題意，e1=1,0，e2=0,1，a=2e1+λe2，b=e1-e2，
則a=2,0+0,λ=2,λ，b=1,0-0,1=1,-1
因?yàn)閍//b，則有λ2=-11，解得λ=-2
（2）由（1）可知a=2,-2，c=1,2
設(shè)a與c的夾角為θ，
則csθ=a?ca?c=2,-2?1,222+-22?12+22=-222×5=-1010.
5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知a=3,-2，b=-4,-3，c=-5,2，m=2a-b+3c．求：
(1)m；
(2)m；
(3)m的單位向量m0的坐標(biāo)．
【解題思路】（1）由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
（2）由平面向量的模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解
（3）由單位向量的定義和坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閍=3,-2，b=-4,-3，c=-5,2，
所以m=2a-b+3c=23,-2--4,-3+3-5,2=-5,5.
（2）由（1）知，m=-5,5，所以m=-52+52=52.
（3）m0=mm=152-5,5=-22,22.
6．（2022秋·內(nèi)蒙古·高二階段練習(xí)）已知向量a,b,若a=2，b=1,a?b=-1
(1)求a→與b→的夾角θ；
(2)求|2a→-b→|.
【解題思路】（1）由csa,b=a?ba?b可計(jì)算得答案；
（2）首先計(jì)算出|2a→-b→|2，然后可得答案.
【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閍=2，b=1,a?b=-1，
所以csa,b=a?ba?b=-12，
因?yàn)閍,b∈0,π，所以a,b=23π；
（2）因?yàn)閨2a→-b→|2=4a2-4a?b+b2=16+4+1=21，
所以|2a→-b→|=21.
7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）四邊形ABCD中，AB=m+2n，BC=-4m-n，CD=-5m-3n，試判斷四邊形ABCD的形狀（其中m，n為不平行的非零向量）．
【解題思路】求出AD與BC，根據(jù)兩向量的關(guān)系確定四邊形ABCD的形狀.
【解答過(guò)程】AD=AB+BC+CD=-8m-2n，BC=-4m-n，
∴AD=2BC，
∴AD//BC,AD≠BC，
所以四邊形ABCD為梯形．
8．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知A，B，C分別為△ABC三邊a，b，c所對(duì)的角，向量m=sinA,sinB，n=csB,csA，且m?n=sin2C．
(1)求角C的大??；
(2)若sinA+sinB=2sinC，且CA?AB-AC=18，求邊c的長(zhǎng)．
【解題思路】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角公式化簡(jiǎn)整理可得角C的大小；
（2）將sinA+sinB=2sinC中的角化邊，再將CA?AB-AC=18用三角形的邊角表示出來(lái)，然后利用余弦定理求出邊c的長(zhǎng).
【解答過(guò)程】（1）由已知得m?n=sinAcsB+csAsinB=sinA+B．
因?yàn)锳+B+C=π，所以sinA+B=sinπ-C=sinC，
所以m?n=sinC．
又m?n=sin2C，所以sin2C=2sinCcsC=sinC，
∵0

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