姓名：___________班級：___________考號：___________
1．（2022·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某校高三共有500名學(xué)生，為了了解學(xué)生的體能情況，采用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生進(jìn)行體能測試，整理他們的成績得到如下頻率分布直方圖：
(1)估算：若進(jìn)行高三學(xué)生全員測試，測試成績低于50的人數(shù)；
(2)已知從樣本中的男同學(xué)中隨機抽取1人，該同學(xué)成績不低于70的概率為12；從樣本中成績不低于70的學(xué)生中隨機抽取1人，該學(xué)生為男生的概率也為12．試估計該校高三學(xué)生中男同學(xué)和女同學(xué)人數(shù)的比例．
【解題思路】（1）從頻率分布直方圖中可求成績不低于50的頻率0.9，進(jìn)而可求成績低于50的頻率0.1，再用500×0.1=50即可求解；
（2）先求樣本中成績不低于70的人數(shù)，再求樣本中成績不低于70的男同學(xué)人數(shù)，進(jìn)而可求樣本中男同學(xué)人數(shù)，易得女同學(xué)的人數(shù)，即可得出比例.
【解答過程】（1）依題意，
樣本中成績不低于50的頻率為0.01+0.02+0.04+0.02×10=0.9，
所以成績低于50的頻率為0.1，
所以估計總體中成績低于50的人數(shù)為500×0.1=50（人）．
（2）樣本中成績不低于70的頻率為0.04+0.02×10=0.6，
所以樣本中成績不低于70的人數(shù)為0.6×100=60（人）．
因為從樣本中成績不低于70的學(xué)生中隨機抽取1人，該學(xué)生為男生的概率為12，
所以樣本中成績不低于70的男同學(xué)有30人，
又因為從樣本中的男同學(xué)中隨機抽取1人，該同學(xué)成績不低于70的概率為12，
所以樣本中有男同學(xué)60人，進(jìn)而有女同學(xué)40人，
所以估計總體中男同學(xué)和女同學(xué)人數(shù)的比例為3:2．
2．（2023秋·四川遂寧·高二期末）某次人才招聘活動中，某公司計劃招收600名新員工.由于報名者共2 000人，遠(yuǎn)超計劃，故該公司采用筆試的方法進(jìn)行選拔，并按照筆試成績擇優(yōu)錄取.現(xiàn)采用隨機抽樣的方法抽取200名報名者的筆試成績，繪制頻率分布直方圖如圖:
已知圖中左邊四個小長方形的高度自左向右依次構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列.根據(jù)頻率分布直方圖解答以下問題:
(1)求m；
(2)估計此次筆試的平均成績.
【解題思路】（1）根據(jù)頻率和為1計算得到答案.
（2）根據(jù)平均數(shù)的公式計算得到答案.
【解答過程】（1）根據(jù)頻率分布直方圖各小長方形面積之和為1，
18+14+12+1×10m+0.2+0.15+0.05=1，解得m=0.032.
（2）由頻率分布直方圖，得樣本數(shù)據(jù)的平均值可估計為
35×0.04+45×0.08+55×0.16+65×0.32+75×0.20+85×0.15+95×0.05=67.1，
此次筆試的平均成績可估計為67.1分.
3．（2023·高一課時練習(xí)）重慶因夏長酷熱多伏旱而得名“火爐”，八月是重慶最熱、用電量最高的月份．下圖是沙坪壩區(qū)居民八月份用電量（單位：度）的頻率分布直方圖，其分組區(qū)間依次為：[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)，[300,320]．
(1)求直方圖中的x；
(2)在用電量為[240,260)，[260,280)，[280,300)，[300,320]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則用電量在[240,260)的用戶應(yīng)抽取多少戶？
【解題思路】（1）根據(jù)頻率之和為1求得x.
（2）根據(jù)分層抽樣的知識求得正確答案.
【解答過程】（1）依題意，0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025×20=1，
解得x=0.0075.
（2）用電量為[240,260)，[260,280)，[280,300)，[300,320]的四組用戶頻率的比為：
0.0125:0.0075:0.005:0.0025=5:3:2:1，
所以，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則用電量在[240,260)的用戶應(yīng)抽取11×55+3+2+1=5戶.
4．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考一模）為了豐富大學(xué)生的課外生活，某高校團委組織了有獎猜謎知識競賽，共有500名學(xué)生參加，隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將其整理后分成4組，各組區(qū)間為60，70，70，80，80，90，90，100，并畫出如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估計所有參賽學(xué)生的平均成績(各組的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中間值作代表)；
(2)若團委決定對所有參賽學(xué)生中成績排在前50名的學(xué)生進(jìn)行表彰，估計獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線.
【解題思路】(1)利用頻率分布直方圖頻率和為1計算m=0.02，再計算平均數(shù)；
(2) 獲得表彰的學(xué)生人數(shù)的頻率為50500=0.1，進(jìn)而可得最低分?jǐn)?shù)線在90,100內(nèi)，再進(jìn)行求解.
【解答過程】（1）由10×0.01+0.03+m+2m=1，得m=0.02.
這100名參賽學(xué)生的平均成績約為0.01×10×65+0.03×10×75+0.04×10×85+0.02×10×95=82分，
故估計所有參賽學(xué)生的平均成績?yōu)?2分.
（2）獲得表彰的學(xué)生人數(shù)的頻率為50500=0.1，
設(shè)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線為x，由分?jǐn)?shù)在區(qū)間90，100的頻率為10×0.02=0.2，可知x∈90,100，
由100-x×0.02=0.1，得x=95，
故估計獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線為95分.
5．（2023秋·江西上饒·高一期末）從某中學(xué)隨機抽樣1000名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的樣本數(shù)據(jù)，整理得到樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：0,2，2,4，4,6，6,8，8,10，10,12，12,14.
(1)求該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù).（同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替）；
(2)估計該校學(xué)生每周課外閱讀時間超過8小時的概率.
【解題思路】（1）利用頻率分布直方圖平均數(shù)的求法求解即可；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，求得8,10，10,12，12,14頻率之和即可得解n.
【解答過程】（1）依題意，結(jié)合頻率分布直方圖，
該周課外閱讀時間在8,10的頻率為：1-2×(0.025+0.050+0.075+0.150+0.075+0.025)=0.2，
所以該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2×(0.025×1+0.050×3+0.075×5+0.150×7+0.075×11+0.025×13)+0.2×9=7.3.
（2）閱讀時間超過8小時的概率為0.2+2×(0.075+0.025)=0.4，
所以估計該校學(xué)生每周課外閱讀時間超過8小時的概率為0.4.
6．（2022秋·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）某中學(xué)組織學(xué)生到某電池廠開展研學(xué)實踐活動，該廠主要生產(chǎn)型號為2號的干電池．為了解2號干電池的使用壽命，在廠技術(shù)員的指導(dǎo)下，學(xué)生從某批次2號干電池中隨機抽取50節(jié)進(jìn)行測試，得到每一節(jié)電池的使用壽命（單位：h）數(shù)據(jù)，繪制成如下的統(tǒng)計表．請根據(jù)表中提供的信息解答下列問題．
(1)求表中a，b，c的值，并將如下頻率分布直方圖補充完整；
(2)試估計該批次2號干電池的平均使用壽命．
【解題思路】（1）根據(jù)：樣本容量×頻率=頻數(shù)，結(jié)合頻率和為1計算得到a，b，c的值，并根據(jù)頻率分布表畫出頻率分布直方圖；
（2）由每個小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和，即可求出平均壽命．
【解答過程】（1）a=50×0.08=4，
c=1-(0.08+0.28+0.4+0.08)=0.16 ，
b=50×0.16=8，
所以區(qū)間20,25對應(yīng)的頻率/組距為0.165=0.032，
頻率分布直方圖如圖所示：
.
（2）根據(jù)頻率分布直方圖，計算平均壽命為：
7.5×0.016×5+12.5×0.056×5+17.5×0.08×5+22.5×0.032×5+27.5×0.016×5 =16.9，
所以該批次2號干電池的平均使用壽命為16.9h．
7．（2022秋·湖南永州·高二期中）心絞痛是冠狀動脈供血不足，心肌急劇地暫時缺血與缺氧所引起的以發(fā)作性胸痛或胸部不適為主要表現(xiàn)的臨床綜合征．在某地隨機調(diào)查10位心絞痛患者第一次出現(xiàn)癥狀的年齡，得到如圖所示的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖．
(1)求直方圖中a的值；
(2)估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表）
【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程，即可得出a的值；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，列出式子，計算即可得出答案.
【解答過程】（1）由頻率分布直方圖可知，0.005×10+0.015×10+0.020×10+a×10+0.015×10+0.010×10+0.005×10=1，
所以a=0.030.
（2）由頻率分布直方圖可知，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
25×0.05+35×0.15+45×0.2+55×0.3+65×0.15+75×0.1+85×0.05=53.5.
8．（2022秋·云南楚雄·高二階段練習(xí)）鎮(zhèn)海中學(xué)為了學(xué)生的身心建康，加強食堂用餐質(zhì)量（簡稱“美食”）的過程中，后勤部門需了解學(xué)生對“美食”工作的認(rèn)可程度，若學(xué)生認(rèn)可系數(shù)（認(rèn)可系數(shù)=認(rèn)可程度平均分100）不低于0.85，“美食”工作按原方案繼續(xù)實施，否則需進(jìn)一步整改.為此該部門隨機調(diào)查了600名學(xué)生，根據(jù)這600名學(xué)生對“美食”工作認(rèn)可程度給出的評分，分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求直方圖中x的值和中位數(shù)（保留2位小數(shù)）；
(2)為了解部分學(xué)生給“美食”工作評分較低的原因，該部門從評分低于80分的學(xué)生中用分層抽樣的方法隨機選取30人進(jìn)行座談，求應(yīng)選取評分在[60，70）的學(xué)生人數(shù)；
(3)根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計知識，結(jié)合認(rèn)可系數(shù)，判斷“美食”工作是否需要進(jìn)一步整改，并說明理由.
【解題思路】（1）由頻率分布直方圖中所有頻率和為1可求得x，在頻率分布直方圖中頻率0.5對應(yīng)的數(shù)為中位數(shù)；
（2）由低于80分的學(xué)生中三組學(xué)生的人數(shù)比例進(jìn)行計算；
（3）由頻率分布直方圖求出平均值后與認(rèn)可系數(shù)比較可得．
【解答過程】（1）由圖可知：x+0.015+0.02+0.03+0.025=110,∴x=0.01，
中位數(shù)：80+0.5-0.1+0.15+0.20.3×10=80+53=2453 ≈81.67；
（2）低于80分的學(xué)生中三組學(xué)生的人數(shù)比例為0.1:0.15:0.2=2:3:4，
則應(yīng)選取評分在60,70的學(xué)生人數(shù)為：30×32+3+4=10（人）
（3）由圖可知，認(rèn)可程度平均分為：
55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5

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