姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
1．（2022秋·河南南陽(yáng)·高二階段練習(xí)）用0?1?2?3四個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).
(1)把這些自然數(shù)從小到大排成一個(gè)數(shù)列，1230是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？
(2)其中的四位數(shù)中偶數(shù)有多少個(gè)？所有這些偶數(shù)它們各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是多少？
【解題思路】（1）利用分步乘法計(jì)數(shù)原理討論1位自然數(shù)?2位自然數(shù)?3位自然數(shù)?4位自然數(shù)的情況即可；（2）利用分步乘法和分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.
【解答過程】（1）1位自然數(shù)有C41=4個(gè)；
2位自然數(shù)有C31×C31=9個(gè)；
3位自然數(shù)有C31×C31×C21=18個(gè)；
4位自然數(shù)中小于1230的有“10XX”型A22=2個(gè)，1203共3個(gè)；
所以1230是此數(shù)列的第4+9+18+3+1=35項(xiàng).
（2）四位數(shù)偶數(shù)有個(gè)位是0和個(gè)位是2兩種情況，
其中個(gè)位是0有A33=6種；個(gè)位不是0有C21×A22=4種.
所以四位偶數(shù)共有10個(gè).
它們各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為10×0+1+2+3=60.
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知有6本不同的書.分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？
【解題思路】根據(jù)題意先對(duì)6本書進(jìn)行分組，因?yàn)槠骄殖傻慕M，不管他們的順序如何，都是一種情況，所以分組后要除以A33，進(jìn)而求解.
【解答過程】6本書平均分成3堆，
所以不同的分堆方法的種數(shù)為C62C42C22A33=6×52×1×4×32×1×13×2×1=15.
故答案為：15.
3．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）從5名教師中挑選2人，分別擔(dān)任兩個(gè)班的班主任，有多少種不同的安排方案？
【解題思路】可分兩步走：①?gòu)?名教師中挑選2人，②將選中的二人安排到兩個(gè)班；故利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得答案﹒
【解答過程】可分兩步完成：①?gòu)?名教師中挑選2人，共C52＝10種方法，②將選中的2人安排到兩個(gè)班，共A22＝2種方法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得總的安排方法為10×2＝20種﹒
4．（2022春·上海嘉定·高二期末）（1）用1、2、3、4、5可以組成多少個(gè)四位數(shù)？
（2）用0，1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？
【解題思路】（1）分?jǐn)?shù)字重復(fù)和不重復(fù)討論，根據(jù)排列組合計(jì)算即可.
（2）偶數(shù)先確定個(gè)位數(shù)字為0或2或4，再分三類討論，最后根據(jù)加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.
【解答過程】解：（1）①若組成的四位數(shù)的數(shù)字不能重復(fù)，則可組成的四位數(shù)有：C54?A44=5×4×3×2=120（個(gè)）
②若組成的四位數(shù)的數(shù)字能重復(fù)，則可組成的四位數(shù)有：54=625（個(gè)）
綜上所述，結(jié)論是：若組成的四位數(shù)的數(shù)字不能重復(fù)，可組成120個(gè)四位數(shù)；若組成的四位數(shù)的數(shù)字能重復(fù)，可組成625個(gè)四位數(shù).
（2）滿足偶數(shù)按個(gè)位數(shù)字分成三類：個(gè)位是0或2或4，
①個(gè)位是0的，即需要從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)中選出3個(gè)分別放在千、百、十位，
有C51?C41?C31=5×4×3=60個(gè)；
②個(gè)位是2的，千位需要從1，3，4，5這4個(gè)數(shù)中選出1個(gè)有4種選法，從剩下的4個(gè)數(shù)字中選出2個(gè)分別放在百位、十位，有C41?C31=4×3=12個(gè)，所以個(gè)位是2的偶數(shù)有 4×12=48個(gè)；
③個(gè)位是4的，也有48個(gè)；
綜上所述，用0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有60+48+48=156個(gè).
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有7位同學(xué)（分別編號(hào)為A,B,C,D,E,F,G）排成一排拍照，若其中A,B,C三人互不相鄰，D，E兩人也不相鄰，而F，G兩人必須相鄰，求不同的排法總數(shù)．
【解題思路】先排A,B,C ,由A33種，F(xiàn),G 相鄰捆綁看整體有A22，再分兩類情況討論，根據(jù)乘法和加法原理即可求解.
【解答過程】因F,G兩人必須相鄰，所以把F,G看作一個(gè)整體有A22種排法.
又A,B,C三人互不相鄰，D,E兩人也不相鄰，所以把A,B,C排列，有A33種排法，產(chǎn)生了4個(gè)空位，再用插空法.
（1）當(dāng)D,E分別插入到A,B,C中間的兩個(gè)空位時(shí)，有A22種排法，再把F,G整體插入到此時(shí)產(chǎn)生的6個(gè)空位中，有6種排法.
（2）當(dāng)D,E分別插入到A,B,C中間的兩個(gè)空位其中一個(gè)和兩端空位其中一個(gè)時(shí)，有C21?C21?A22=8種排法，此時(shí)F,G必須排在A,B,C中間的兩個(gè)空位的另一個(gè)空位，有1種排法.
所以共有A22?A33?A22?6+C21?C21?A22=240.
6．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）從1到7的7個(gè)數(shù)字中取兩個(gè)偶數(shù)和三個(gè)奇數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).試問：
（1）五位數(shù)中，兩個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？
（2）兩個(gè)偶數(shù)不相鄰且三個(gè)奇數(shù)也不相鄰的五位數(shù)有幾個(gè)？（所有結(jié)果均用數(shù)值表示）
【解題思路】（1）先從3個(gè)偶數(shù)抽取2個(gè)偶數(shù)和從4個(gè)奇數(shù)中抽取3個(gè)奇數(shù)，利用捆綁法把兩個(gè)偶數(shù)捆綁在一起，再和另外三個(gè)奇數(shù)進(jìn)行全排列；
（2）利用插空法，先排兩個(gè)偶數(shù)，再?gòu)膬蓚€(gè)偶數(shù)形成的3個(gè)間隔中，插入三個(gè)奇數(shù)，即可得出結(jié)果.
【解答過程】解：可知從1到7的7個(gè)數(shù)字中，有3個(gè)偶數(shù)，4個(gè)奇數(shù)，
（1）五位數(shù)中，偶數(shù)排在一起的有：C32C43A44A21=576個(gè)，
（2）兩個(gè)偶數(shù)不相鄰且三個(gè)奇數(shù)也不相鄰的五位數(shù)有：C32C43A22A33=144個(gè).
7．（2022·高二單元測(cè)試）4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)．
（1）恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？
（2）恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？
【解題思路】（1）把4個(gè)球分成2，1，1的三組，然后再?gòu)?個(gè)盒子中選1個(gè)放2個(gè)球，其余2個(gè)球放在另外2個(gè)盒子內(nèi)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列組合即可求出結(jié)果；
（2）“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒不放球”是同一件事，進(jìn)而由（1）即可得出答案.
【解答過程】（1）為保證“恰有1個(gè)盒不放球”，先從4個(gè)盒子中任意取出去一個(gè)，問題轉(zhuǎn)化為“4個(gè)球，3個(gè)盒子，每個(gè)盒子都要放入球，共有幾種放法？”，即把4個(gè)球分成2，1，1的三組，
然后再?gòu)?個(gè)盒子中選1個(gè)放2個(gè)球，其余2個(gè)球放在另外2個(gè)盒子內(nèi)，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有C41C42C31A22=144 (種)．
（2）“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”，即另外3個(gè)盒子放2個(gè)球，每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，也即另外3個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒，因此，“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法．
8．（2022春·江蘇宿遷·高二階段練習(xí)）某人設(shè)計(jì)了一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示的正方形ABCD（邊長(zhǎng)為3個(gè)單位）的頂點(diǎn)A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時(shí)針方向行走的單位，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為ii=1,2,???6，則棋子就按逆時(shí)針方向行走i個(gè)單位，一直循環(huán)下去，則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處的所有不同走法有多少種？
【解題思路】先依題意分析知拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處表示三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和是12，再計(jì)算滿足點(diǎn)數(shù)之和是12的組合的所有不同結(jié)果即可.
【解答過程】由題意知正方形ABCD（邊長(zhǎng)為3個(gè)單位）的周長(zhǎng)是12個(gè)單位，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處表示三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和是12，列舉出在點(diǎn)數(shù)中三個(gè)數(shù)字能夠使得和為12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4，共6種組合.
其中1，5，6；2，4，6；3，4，5這三種組合每一種有A33=6種不同的結(jié)果，所以有3×6=18種；其中3，3，6；5，5，2這兩種組合每一種有C31=3種不同的結(jié)果，所以有2×3=6種；其中4，4，4，這種組合只有1種結(jié)果.
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知,共有18+6+1=25種不同的結(jié)果，即某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處的所有不同走法有25種.
9．（2022春·天津河西·高二期中）從1、3、5、7、9這五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字，從0、2、4、6這四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字.
(1)共可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?
(2)共可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)?
【解題思路】（1）首先需要討論四位數(shù)含0和不含0的情況，含0時(shí)要考慮0不在首位，再利用排列組合進(jìn)行求解；
（2）組成的數(shù)為偶數(shù)時(shí)，個(gè)位數(shù)字只能時(shí)0，2，4，6中的一個(gè)，需要討論含0和不含0的情況，含有0時(shí)又分0在個(gè)位和0不在個(gè)位，再利用排列組合進(jìn)行求解.
【解答過程】(1)
當(dāng)構(gòu)成的四位數(shù)不含0時(shí)有C52C32A44個(gè)；
當(dāng)構(gòu)成的四位數(shù)含0時(shí)有C52C31C31A33個(gè)；
故符合條件的四位數(shù)共有C52C32A44+C52C31C31A33=1260個(gè)
(2)
因?yàn)榻M成四位偶數(shù)的個(gè)位數(shù)字只能時(shí)0，2，4，6中的一個(gè)，
當(dāng)四位偶數(shù)不含數(shù)字0時(shí)，有C52C32C21A33個(gè)；
含有數(shù)字0時(shí)，分為兩種，0在個(gè)位和0不在個(gè)位，有C52C31(A33+2A22)個(gè)；
故符合條件的四位偶數(shù)共有C52C32C21A33+C52C31(A33+2A22)=660個(gè).
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有編號(hào)分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G的7個(gè)不同的小球，將這些小球排成一排
（1）若要求A，B，C相鄰，則有多少種不同的排法？
（2）若要求A排在正中間，且B，C，D各不相鄰，則有多少種不同的排法？
【解題思路】（1）利用“捆綁法”可求；
（2）分B，C，D中有1個(gè)在A的左側(cè)和有2個(gè)在A的左側(cè)討論求解.
【解答過程】（1）把A，B，C看成一個(gè)整體與剩余的4個(gè)球全排列，則不同的排法有A33A55=720（種）．
（2）A在正中間，所以A的排法只有1種．
因?yàn)锽，C，D互不相鄰，
所以B，C，D不可能同時(shí)在A的左側(cè)或右側(cè)．
若B，C，D中有1個(gè)在A的左側(cè)，2個(gè)在A的右側(cè)且不相鄰，則不同的排法有C32A22C31A33=108（種），
若B，C，D中有2個(gè)在A的左側(cè)且不相鄰，1個(gè)在A的右側(cè)，則不同的排法有C32A22C31A33=108（種）．
故所求的不同排法有108+108=216（種）．
11．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)有編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)球和編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)盒子，現(xiàn)將這5個(gè)球放入5個(gè)盒子內(nèi)．
(1)只有1個(gè)盒子空著，共有多少種投放方法？
(2)沒有1個(gè)盒子空著，但球的編號(hào)與盒子編號(hào)不全相同，有多少種投放方法？
(3)每個(gè)盒子內(nèi)投放1球，并且至少有2個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同，有多少種投放方法？
【解題思路】（1）首先從選出兩個(gè)球作為一組，再將4組排到4個(gè)盒子，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；
（2）首先將5個(gè)球全排列，再減去球的編號(hào)與盒子編號(hào)全相同的情況，即可得解；
（3）分四種情況討論，按照分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.
【解答過程】（1）解：首先選定兩個(gè)不同的球，作為一組，選法有C52=10種，
再將4組排到4個(gè)盒子，有A54=120種投放法．∴共計(jì)10×120=1200種方法；
（2）解：沒有一個(gè)盒子空著，相當(dāng)于5個(gè)元素排列在5個(gè)位置上，有A55種，
而球的編號(hào)與盒子編號(hào)全相同只有1種，
所以沒有一個(gè)盒子空著，但球的編號(hào)與盒子編號(hào)不全相同的投法有A55-1=119種．
（3）解：滿足的情形：第一類，五個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)全同的放法：1種；
第二類，四個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同的放法：0種；
第三類，三個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同的放法：C52=10種；
第四類，兩個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同的放法：2C52=20種．
所以滿足條件的放法數(shù)為：1+10+20=31種．
12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)滿足下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字五位數(shù)？
(1)偶數(shù)：
(2)左起第二?四位是奇數(shù)的偶數(shù)；
(3)比21034大的偶數(shù).
【解題思路】（1）先考慮特殊位置、特殊元素，再利用分類加法原理、分步乘法原理進(jìn)行計(jì)算.
（2）先考慮特殊位置、特殊元素，再利用分類加法原理、分步乘法原理進(jìn)行計(jì)算.
（3）先考慮特殊位置、特殊元素，再利用分類加法原理、分步乘法原理進(jìn)行計(jì)算.
【解答過程】（1）末位是0，有A44=24個(gè)，
末位是2或4，有C21C31A33=36個(gè)，
故滿足條件的五位數(shù)共有24+36=60個(gè).
（2）法一：可分兩類，0是末位數(shù)，有A22A22=4個(gè)，
2或4是末位數(shù)，則A22A21=4個(gè).
故共在4+4=8個(gè).
法二：四位從奇數(shù)1，3中取，有A22；
首位從2，4中取，有A21個(gè)：余下的排在剩下的兩位，有A22個(gè)；
故共有A22A21A22=8個(gè).
（3）法一：可分五類，當(dāng)末位數(shù)是0，而首位數(shù)是2時(shí)，有A21A22+A22=6個(gè)；
當(dāng)末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是3或4時(shí)，有A21A33=12個(gè)；
當(dāng)末位數(shù)字是2，而首位數(shù)字是3或4時(shí)，有A21A33=12個(gè)；
當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是2時(shí)，有A22+A11=3個(gè)；
當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是3吋，有A33=6個(gè).
故有A21A22+A22+A21A13+A21A13+A22+A11+A33=39個(gè).
法二：不大于21034的偶數(shù)可分為三類：
萬(wàn)位數(shù)字為1的偶數(shù)，有A31A33=18個(gè)；
萬(wàn)位數(shù)字為2，而千位數(shù)字是0的偶數(shù)，有A21個(gè)：還有21034本身.
而由0,1,2,3,4組成的五位偶數(shù)有A44+C21A33C31=60個(gè).
故滿足條件的五位偶數(shù)共有60-A31A33-A21-1=39個(gè).
13．（2022秋·浙江金華·高二階段練習(xí)）從1，3，5，7中任取兩個(gè)數(shù)，從0，2，4，6中任取兩個(gè)數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．
(1)可以組成多少個(gè)四位偶數(shù)？
(2)可以組成多少個(gè)兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字相鄰的四位數(shù)？（所有結(jié)果均用數(shù)值表示）
【解題思路】（1）分末位為0和末位為2,4,6分類求解即可；（2）計(jì)算所有情況，減去0在首位的情況即可.
【解答過程】（1）當(dāng)0在末位時(shí)，共有C42C31A33=108個(gè)四位偶數(shù)，
當(dāng)末位為2，4，6，且0不在首位時(shí)，共有3C42C31A33-3A42=288個(gè)四位偶數(shù)，
則可以組成108+288=396個(gè)四位偶數(shù)．
（2）當(dāng)0在首位時(shí)，有C42C31A22A22=72種，
則兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字相鄰的四位數(shù)共有C42C42A33A22-72=360個(gè)．
14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過A,B,C,D,E,5道工序．
(1)如果工序A不能放在最后，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）
(2)如果工序A,B必須相鄰，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）
(3)如果工序C，D必須不能相鄰，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）
【解題思路】（1）先從另外4道工序中任選1道工序放在最后，再將剩余的4道工序全排列即可；
（2）先排A，B這2道工序，再將它們看做一個(gè)整體，與剩余的工序全排列；
（3）先排其余的3道工序，出現(xiàn)4個(gè)空位，再將這2道工序插空.
【解答過程】（1）
先從另外4道工序中任選1道工序放在最后，有C41=4種不同的排法，再將剩余的4道工序全排列，有A44=24種不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有4×24=96種加工順序；
（2）
先排A，B這2道工序，有A22=2種不同的排法，再將它們看做一個(gè)整體，與剩余的工序全排列，有A44=24種不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有2×24=48種加工順序；
（3）
先排其余的3道工序，有A33=6種不同的排法，出現(xiàn)4個(gè)空位，再將C，D這2道工序插空，有A42=12種不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有6×12=72種加工順序.
15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）杭州亞運(yùn)會(huì)將于2022年9月10日至25日舉行，相關(guān)部門計(jì)劃將6名志愿者分配到亞運(yùn)會(huì)三個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)館做服務(wù)工作，每個(gè)崗位至少1人.
(1)一共有多少種不同的分配方案？
(2)若6名志愿者中的甲和乙必須分配在同一個(gè)場(chǎng)館工作，則共有多少種不同的分配方案？
【解題思路】（1）根據(jù)題意將6名志愿者進(jìn)行1,1,4，3,2,1，2,2,2分組，分別求出每組的分配方案，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解；
（2）根據(jù)題意將6名志愿者進(jìn)行1,1,3，2,2,1分組，其中甲和乙必須在一起看作一個(gè)整體，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解.
【解答過程】（1）
當(dāng)分配的人數(shù)分別是1人，1人，4人時(shí)，共有C61C51C44A22A33=90種分配方案，
當(dāng)分配的人數(shù)分別是3人，2人，1人時(shí)，共有C63C32C11A33=360種分配方案，
當(dāng)分配的人數(shù)分別是2人，2人，2人時(shí)，共有C62C42C22A33A33=90種分配方案，
所以一共有90+360+90=540種不同的分配方案.
（2）
把甲?乙兩人看作一個(gè)整體，6個(gè)人變成了5個(gè)元素，再把這5個(gè)元素分成3組，
若分配的元素分別是1人，1人，3人時(shí)，共有C51C41C33A22A33=60種分配方案，
若分配的元素分別是2人，2人，1人時(shí)，共有C52C32C11A22A33=90種分配方案，
則有60+90=150種不同的分配方案.
16．（2022春·福建三明·高二期中）在班級(jí)主題班會(huì)活動(dòng)中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：
(1)4名男生相鄰有多少種不同的站法？
(2)從中選出2名男生和2名女生表演分四個(gè)不同角色的朗誦，有多少種選派方法？（寫出必要的數(shù)學(xué)式和過程，結(jié)果用數(shù)字作答）
【解題思路】（1）利用捆綁法將4名男生綁在一起再排列即可；
（2）先從中選出2名男生和2名女生再排列4人即可．
【解答過程】(1)
將4名男生綁在一起有A44種，再與3名女生站成一排有A44A44=24×24=576種；
(2)
從中選出2名男生和2名女生表演分四個(gè)不同角色的朗誦，有C42C32A44=6×3×24=432種選派方法．
17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字．
(1)可以排成多少個(gè)不重復(fù)的能被2整除的五位數(shù)？
(2)可以排成多少個(gè)四位數(shù)？
(3)可以排成多少個(gè)四位數(shù)字的電話號(hào)碼？
【解題思路】（1）先考慮能被2整除的數(shù)為偶數(shù)，則個(gè)位數(shù)字應(yīng)在0，2，4中選擇，再考慮不重復(fù)的五位數(shù)字，需注意萬(wàn)位不為0，對(duì)個(gè)位是否為0分類討論，進(jìn)而求解；
（2）四位數(shù)的要求為千位不為0，求解即可；
（3）四位數(shù)字的電話號(hào)碼相對(duì)（2）的區(qū)別在于首位可為0，進(jìn)而求解.
【解答過程】（1）
由題，能被2整除的數(shù)為偶數(shù)，則個(gè)位數(shù)字應(yīng)在0，2，4中選擇，
需用5個(gè)數(shù)字組成不重復(fù)的五位數(shù)，則萬(wàn)位不是0，
所以當(dāng)個(gè)位是0時(shí)，共有A44=24個(gè)；
當(dāng)個(gè)位不是0時(shí)，共有C21×C31×A33=36個(gè)，
所以不重復(fù)的且能被2整除的五位數(shù)有24+36=60個(gè).
（2）
要組成一個(gè)四位數(shù)，則千位不為0，
所以共有4×5×5×5=500個(gè).
（3）
要組成一個(gè)四位數(shù)字的電話號(hào)碼，則共有54=625個(gè).
18．（2022春·河北衡水·高二階段練習(xí)）為弘揚(yáng)我國(guó)古代的六藝文化，某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑期開設(shè)禮樂射御書數(shù)六門體驗(yàn)課程.
(1)若體驗(yàn)課連續(xù)開設(shè)六周，每周一門，求其中射不排在第一周，數(shù)不排在最后一周的所有可能排法種數(shù)；
(2)甲?乙?丙?丁?戊五名教師在教這六門課程，每名教師至少任教一門課程，求其中甲不任教數(shù)的課程安排方案種數(shù).
【解題思路】（1）分射排在最后一周時(shí)和射不排在最后一周時(shí)兩種情況討論求解即可；
（2）分甲教兩科時(shí)和甲教一科時(shí)兩組情況討論求解即可.
【解答過程】(1)
解：分兩組情況討論，
①射排在最后一周時(shí)，則有A55=120種排法，
②當(dāng)射不排在最后一周，則射有4種排法，數(shù)也有4種排法，剩下的4課課程全排列，有4×4?A44=384種排法，
所以，共有120+384=504種不同排法.
(2)
解：分兩種情況討論；
當(dāng)甲教兩科時(shí)，則有C52A44=240種安排方法；
當(dāng)甲教一科時(shí)，則有C51C52A44=1200種安排方法.
所以，共有240+1200=1440種不同方案.
19．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·高二考階段練習(xí)）從5名男生和4名女生中選出4人去參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽．
(1)如果選出的4人中男生、女生各2人，那么有多少種選法？
(2)如果男生中的小王和女生中的小紅至少有1人入選，那么有多少種選法？
(3)如果被選出的4人是甲、乙、丙、丁，將這4人派往2個(gè)考點(diǎn)，每個(gè)考點(diǎn)至少1人，那么有多少種派送方式？
【解題思路】（1）用組合知識(shí)直接求解；（2）先求出若小王和小紅均未入選時(shí)的選法，從而求出如果男生中的小王和女生中的小紅至少有1人入選時(shí)的選法；（3）分兩種情況進(jìn)行求解，再使用分類加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解.
【解答過程】（1）從5名男生中選2名，4名女生中選2人，屬于組合問題，C52C42=60，故有60種選法；
（2）若小王和小紅均未入選，則有C74=35種選法，故男生中的小王和女生中的小紅至少有1人入選，則有C94-C74=126-35=91種選法；
（3）若2個(gè)考點(diǎn)派送人數(shù)均為2人，則有C42C22=6種派送方式，
若1個(gè)考點(diǎn)派送1人，另1個(gè)考點(diǎn)派送3人，則有C41C33A22=8種派送方式，故一共有8+6=14種派送方式.
20．（2022春·浙江湖州·高二期中）從0,2,4,6中任取3個(gè)數(shù)字，從1,3,5中任取2個(gè)數(shù)字．
(1)組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中能被10整除的有多少個(gè)？
(2)一共可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？
(3)組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)排在奇數(shù)位上的共有多少個(gè)？
【解題思路】（1）根據(jù)能被10整除確定個(gè)位數(shù)字為0，然后從2,4,6中任取2個(gè)，從1,3,5中任取2個(gè)，再將取出的四個(gè)數(shù)字作全排列即可得解；
（2）按照五位數(shù)中是否含0分兩類，可求出結(jié)果；
（3）按照2個(gè)奇數(shù)排的位置分三類計(jì)數(shù)，再相加可求出結(jié)果.
【解答過程】(1)
因?yàn)楸?0整除的數(shù)的個(gè)位必為0，所以先從2,4,6中任取2個(gè)，有C32種，從1,3,5中任取2個(gè)，有C32種，然后將得到的4個(gè)數(shù)字在前面四個(gè)位置上作全排列，有A44種，所以滿足題意的五位數(shù)共有C32?C32?A44=216個(gè).
(2)
若五位數(shù)中含0，則0不能排在首位，有A41種，然后從2,4,6中任取2個(gè)，有C32種，從1,3,5中任取2個(gè)，有C32種，然后將得到的4個(gè)數(shù)字在剩余的四個(gè)位置上作全排列，有A44種，
此時(shí)，共有A41C32C32A44=864個(gè)；
若五位數(shù)中不含0，則從2,4,6中任取3個(gè)有C33種，從1,3,5中任取2個(gè)有C32種，將取出的5個(gè)數(shù)字作全排，有A55種，此時(shí)共有C33C32A55=360個(gè)，
綜上所述：滿足題意的五位數(shù)共有864+360=1224個(gè).
(3)
若2個(gè)奇數(shù)排在萬(wàn)位和百位上，有A32A43=144個(gè)；
若2個(gè)奇數(shù)排在萬(wàn)位和個(gè)位上，有A32A43=144個(gè)；
若2個(gè)奇數(shù)排在百位和個(gè)位上，有A32A31A32=108個(gè)，
所以滿足題意的五位數(shù)共有144+144+108=396個(gè).
21．（2022春·高二單元測(cè)試）班上每個(gè)小組有12名同學(xué)，現(xiàn)要從每個(gè)小組選4名同學(xué)代表本組與其他小組進(jìn)行辯論賽．
(1)每個(gè)小組有多少種選法?
(2)如果還要從選出的同學(xué)中指定1名作替補(bǔ)，那么每個(gè)小組有多少種選法?
(3)如果還要將選出的同學(xué)分別指定為第一、二、三、四辯手，那么每個(gè)小組有多少種選法？
【解題思路】（1）從12名學(xué)生中任選4名即可，
（2）先從12名學(xué)生中選4名，然后再?gòu)倪@4名學(xué)生中選1人，再利用分步乘法原理可求得結(jié)果，
（3）先從12名學(xué)生中選4名，然后對(duì)這4名學(xué)生進(jìn)行全排列即可
【解答過程】(1)
由題意可得每個(gè)小組有C124=12×11×10×94×3×2×1=495種選法，
(2)
由題意可得先從12名學(xué)生中選4名，然后再?gòu)倪@4名學(xué)生中選1人，
所以由分步乘法原理可得共有C124C41=12×11×10×94×3×2×1×4=495×4=1980種選法，
(3)
由題意可得先從12名學(xué)生中選4名，然后對(duì)這4名學(xué)生進(jìn)行全排列，
所以由分步乘法原理可得共有C124A44=495×4×3×2=11880種選法.
22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字:
(1)可組成多少個(gè)五位數(shù)；
(2)可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；
(3)可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的且是3的倍數(shù)的三位數(shù)；
(4)可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)．
【解題思路】四個(gè)問題是同一類型題根據(jù)已知討論各個(gè)位置上的數(shù)字情況，然后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算即可求解.
【解答過程】（1）
用0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字組成五位數(shù),相當(dāng)于從1、2、3、4四個(gè)數(shù)字中抽取一個(gè)放在萬(wàn)位，有C41種情況，從0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字中抽取一個(gè)放在千位，有C51種情況，從0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字中抽取一個(gè)放在百位，有C51種情況，從0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字中抽取一個(gè)放在十位，有C51種情況，從0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字中抽取一個(gè)放在個(gè)位，有C51種情況，
所以可組成C41×C51×C51×C51×C51=4×54=2500個(gè)五位數(shù).
（2）
用0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),相當(dāng)于先從1、2、3、4四個(gè)數(shù)字中抽取一個(gè)放在萬(wàn)位，有C41種情況，再把剩下的三個(gè)數(shù)字和0全排列，有A44種情況，所以可組成C41A44=4×24=96個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).
（3）
無重復(fù)數(shù)字的3的倍數(shù)的三位數(shù)組成它的三個(gè)數(shù)字之和必須是3的倍數(shù)，
所以三個(gè)數(shù)字必須是0、1、2或0、2、4或1、2、3或2、3、4，
若三個(gè)數(shù)字是0、1、2，則0不能放在百位，從1和2兩個(gè)數(shù)字中抽取一個(gè)放在百位，有C21種情況，再把剩下的一個(gè)數(shù)字和0全排列，有A22種情況；
若三個(gè)數(shù)字是0、2、4，則0不能放在百位，從2和4兩個(gè)數(shù)字中抽取一個(gè)放在百位，有C21種情況，再把剩下的一個(gè)數(shù)字和0全排列，有A22種情況；
若三個(gè)數(shù)字是1、2、3，則相當(dāng)于對(duì)這三個(gè)數(shù)字全排列，有A33種情況;
若三個(gè)數(shù)字是2、3、4，則相當(dāng)于對(duì)這三個(gè)數(shù)字全排列，有A33種情況.
所以根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共可組成C21×A22+C21×A22+A33+A33=2×2+2×2+6+6=20
個(gè)無重復(fù)數(shù)字的且是3的倍數(shù)的三位數(shù).
（4）
由數(shù)字0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則放在個(gè)位的數(shù)字只能是奇數(shù)，所以放在個(gè)位數(shù)字只能是1或3，所以相當(dāng)于先從1、3兩個(gè)數(shù)字中抽取一個(gè)放在個(gè)位，有C21種情況，再?gòu)氖Ｏ碌乃膫€(gè)數(shù)字中除去0抽取一個(gè)放在萬(wàn)位，有C31種情況，再對(duì)剩下的三個(gè)數(shù)字全排列，有A33種情況，
所以可組成C21×C31×A33=2×3×6=36個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù).
23．（2022秋·北京昌平·高二期末）有7個(gè)人分成兩排就座，第一排3人，第二排4人．
(1)共有多少種不同的坐法？
(2)如果甲和乙都在第二排，共有多少種不同的坐法？
(3)如果甲和乙不能坐在每排的兩端，共有多少種不同的坐法？
【解題思路】（1）前排選3人任意排，后排4人任意排，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得．
（2）首先從其余5人中選出2人與甲、乙排在第二排，再將其余3人排在第一排，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；
（3）先將甲、乙安排在除每排的兩端外的三個(gè)位置中的兩個(gè)位置，再將其余人全排列，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；
【解答過程】(1)
解：排成兩排就座，第一排3人，第二排4人，有A73?A44=5040種方法．
(2)
解：若甲和乙都在第二排，先從其余5人中選出2人有C52種選法，將這兩人與甲、乙排在第二排，再將其余3人排在第一排，故一共有C52?A44?A33=1440種排法；
(3)
解：如甲和乙不能坐在每排的兩端，則先將甲、乙安排在除每排的兩端外的三個(gè)位置中的兩個(gè)位置，再將其余人全排列即可，故一共有A32A55=720種排法.
24．（2022春·河北唐山·高二階段練習(xí)）有4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的小球，4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的盒子，現(xiàn)需把球全部放進(jìn)盒子里，（最后結(jié)果用數(shù)字作答）
(1)沒有空盒子的方法共有多少種？
(2)可以有空盒子的方法共有多少種？
(3)恰有1個(gè)盒子不放球，共有多少種方法？
(4)恰有一個(gè)小球放入自己編號(hào)的盒中，有多少種不同的放法？
【解題思路】（1）4個(gè)球全放4個(gè)盒中，沒有空盒則全排列即可求得.
（2）有4個(gè)球，每個(gè)球有4種放法， 此時(shí)隨意放，盒子可以空也可以全用完.
（3）恰有一個(gè)空盒，說明另外三個(gè)盒子都有球，而球共四個(gè)，必然有一個(gè)盒子中放了兩個(gè)球.
(4) 恰有一個(gè)小球放入自己編號(hào)的盒中,選定從四盒四球中選定標(biāo)號(hào)相同得球和盒，另外三球三盒不能對(duì)應(yīng)共兩種.
【解答過程】（1）沒有空盒子的方法：4個(gè)球全放4個(gè)盒中，沒有空盒則全排列共A44=24種；
（2）可以有空盒子，有4個(gè)球，每個(gè)球有4種放法共44=256種；
（3）恰有一個(gè)空盒子，說明另外三個(gè)盒子都有球，而球共四個(gè)，必然有一個(gè)盒子中放了兩個(gè)球，
先將四盒中選一個(gè)作為空盒，再將四球中選出兩球綁在一起，再排列共C41C42A33=144種；
（4）恰有一個(gè)小球放入自己編號(hào)的盒中,選定從四盒四球中選定標(biāo)號(hào)相同得球和盒，另外三球三盒不能對(duì)應(yīng)共兩種，則共C41?2=8種.
25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）3名男生與4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法總數(shù)．按要求列出式子，再計(jì)算結(jié)果，用數(shù)字作答．
(1)從中選出2名男生和2名女生排成一列；
(2)全體站成一排，男生不能站一起；
(3)全體站成一排，甲不站排頭，也不站排尾．
(4)全體站成一排，甲、乙必須站在一起，而丙、丁不能站在一起；
【解題思路】（1）從男生中任選2名有C32種選法，從女生中任選2名有C42種選法，再將4個(gè)人全排列即可求解；
（2）先將女生全排列會(huì)有5個(gè)空，再將男生排列到5個(gè)空即可求解；
（3）先從除甲外的6個(gè)人中選兩人排列在收尾，再將剩余的5個(gè)人排列到中間即可求解；
（4）先將甲乙捆綁有A22種，將甲乙看做一個(gè)整體與除丙丁外的剩余3人排列有A44種，排列后會(huì)有5個(gè)空，再任選2個(gè)空將丙丁插入排列即可求解.
【解答過程】（1）從3名男生中任選2名有C32種選法，從4名女生中任選2名有C42種選法，再將選取的4人排列有A44種排法，由乘法原理共有C32C42A44=432種排法．
（2）先將女生全排有A44種，再?gòu)?個(gè)空隙中選出3個(gè)將3個(gè)男生插入到3個(gè)空隙中有A53種，由乘法原理共有A44A53=1440種排法．
（3）首尾位置可安排另6人中的兩人，有A62種排法，其他人有A55種排法，乘法原理共有A62A55=3600種排法．
（4）將甲乙捆在一起，與剩下的3人（除丙?。┤臕44，再將丙丁插空到5個(gè)空隙中的2個(gè)有A52種，再將甲乙交換位置有A22種，由乘法原理共有A44A52A22=960種．
26．（2022春·吉林長(zhǎng)春·高二階段練習(xí)）一個(gè)正方形花圃被分成5份．
（1）若給這5個(gè)部分種植花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，已知現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色不同的花，求有多少種不同的種植方法?
（2）若將6個(gè)不同的盆栽都擺放入這5個(gè)部分，且要求每個(gè)部分至少有一個(gè)盆栽，問有多少種不同的放法?
【解題思路】（1）先對(duì)E部分種植，再對(duì)A部分種植，對(duì)C部分種植進(jìn)行分類：①若與A相同，②若與A不同進(jìn)行討論即可；
（2）將6個(gè)盆栽分成5組，即2-1-1-1-1，將分好的5組全排列即可.
【解答過程】（1）先對(duì)E部分種植，有4種不同的種植方法；
再對(duì)A部分種植，又3種不同的種植方法；
對(duì)C部分種植進(jìn)行分類：
①若與A相同，D有2種不同的種植方法，B有2種不同的種植方法，共有4×3×2×2=48（種），
②若與A不同，C有2種不同的種植方法，D有1種不同的種植方法，B有1種不同的種植方法，
共有4×3×2×1×1=24（種），
綜上所述，共有72種種植方法。
（2）將6個(gè)盆栽分成5組，則2-1-1-1-1，有C62種分法；
將分好的5組全排列，對(duì)應(yīng)5個(gè)部分，則一共有C62A55=1800（種）放法，
綜上所述，共有1800種不同的放法。
27．（2022春·江蘇無錫·高二期中）如圖，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD相交于O，現(xiàn)用五種顏色（其中一種為紅色）對(duì)圖中四個(gè)三角形△ABO，△BCO，△CDO，△ADO進(jìn)行染色，且每個(gè)三角形用一種顏色染．
(1)若必須使用紅色，求四個(gè)三角形△ABO，△BCO，△CDO，△ADO中有且只有一組相鄰三角形同色的染色方法的種數(shù)；
(2)若不使用紅色，求四個(gè)三角形△ABO，△BCO，△CDO，△ADO中所有相鄰三角形都不同色的染色方法的種數(shù).
【解題思路】（1）根據(jù)題意，假設(shè)為△ABO，△BCO，同色，再分2種情況討論：①若△ABO，△BCO，同時(shí)染紅色與，②若△ABO，△BCO，同時(shí)染的不是紅色，求出每種情況的染色方法數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案；
（2）根據(jù)題意，分3種情況討論：①、若一共使用了四種顏色，②、若只使用了三種顏色，則必有一種顏色使用了兩次，且染在對(duì)頂?shù)膮^(qū)域，③、若只使用了兩種顏色，則兩種顏色都使用了兩次，且各自染在一組對(duì)頂區(qū)域，求出每種情況的染色方法數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案．
【解答過程】（1）
解：根據(jù)題意，要求四個(gè)三角形△ABO，△BCO，△CDO，△ADO中有且只有一組相鄰三角形同色，
而同色的相鄰三角形共有4種，不妨假設(shè)為△ABO，△BCO同色，
①若△ABO，△BCO同時(shí)染紅色，則另外兩個(gè)三角形共有A42種染色方法，因此這種情況共有A42=12種染色方法；
②若△ABO，△BCO同時(shí)染的不是紅色，則它們的染色有4種，另外兩個(gè)三角形一個(gè)必須染紅色，所以這兩個(gè)三角形共有3×2=6，因此這種情況共有4×6=24種染色方法．
綜上可知有且只有一組相鄰三角形同色的染色方法的種數(shù)為4×(12+24)=144種；
（2）
解：根據(jù)題意，因?yàn)椴挥眉t色，則只有四種顏色可選，
分3種情況討論：
①、若一共使用了四種顏色，則共有A44=24種染色方法；
②、若只使用了三種顏色，則必有一種顏色使用了兩次，且染在對(duì)頂?shù)膮^(qū)域，所以一共有C43×C31×2×A22=48種染色方法；
③、若只使用了兩種顏色，則兩種顏色都使用了兩次，且各自染在一組對(duì)頂區(qū)域，所以共有C42×2=12種染色方法．
綜上可知所有相鄰三角形都不同色的染色方法的種數(shù)為24+48+12=84種．
28．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·高二階段練習(xí)）某學(xué)習(xí)小組有3個(gè)男生和4個(gè)女生共7人：
(1)將此7人排成一排，男女彼此相間的排法有多少種？
(2)將此7人排成一排，男生甲不站最左邊，男生乙不站最右邊的排法有多少種？
(3)從中選出2名男生和2名女生分別承擔(dān)4種不同的任務(wù)，有多少種選派方法？
(4)現(xiàn)有7個(gè)座位連成一排，僅安排4個(gè)女生就座，恰有兩個(gè)空位相鄰的不同坐法共有多少種？
【解題思路】（1）利用排列中相間問題插空法及分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解；
（2）利用排列中特殊位置與特殊元素優(yōu)先處理及分類加法計(jì)數(shù)原理即可求解；
（3）利用排列組合中遵循先選后排及分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解；
（4）利用排列中的相鄰問題插空法及分步計(jì)數(shù)原理即可求解.
【解答過程】（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①，將3個(gè)男生全排列，有A33種排法，排好后有4個(gè)空位，
②，將4名女生全排列，安排到4個(gè)空位中，有A44種排法，
則一共有A33A44=144種排法；
（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：
①，男生甲在最右邊，有A66=720，
②，男生甲不站最左邊也不在最右邊，有A51A51A55＝3000，
則有720+3000＝3720種排法；
（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①，在3名男生中選取2名男生，4名女生中選取2名女生，有C32C42種選取方法，
②，將選出的4人全排列，承擔(dān)4種不同的任務(wù)，有A44種情況，
則有C32C42A44=432種不同的安排方法
（4）根據(jù)題意，7個(gè)座位連成一排，僅安排4個(gè)女生就座，還有3個(gè)空座位，
分2步進(jìn)行分析：
①，將4名女生全排列，有A44種情況，排好后有3個(gè)空位，
②，將3個(gè)空座位分成2、1的2組，在5個(gè)空位中任選2個(gè)，安排2組空座位，有A52種情況，則有A44A52=480種排法．
29．（2022春·廣東廣州·高二期中）按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本.
【解題思路】（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，是無序不均勻分組問題，直接利用組合數(shù)公式求解即可．
（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，甲、乙、丙三人有序不均勻分組問題．直接求出即可．
（3）平均分成三份，每份2本．這是平均分組問題，求出組合總數(shù)除以A33即可．
（4）分給甲、乙、丙三人，每個(gè)人2本，甲、乙、丙三人有序均勻分組問題．直接求出即可，
（5）分成三份，1份4本，另外兩份每份1本．這是部分平均分組問題，求出組合總數(shù)除以A22即可，
【解答過程】(1)
解：依題意，先選1本有C61種選法；
再?gòu)挠嘞碌?本中選2本有C52種選法；
最后余下3本全選有C33種方法，故共有C61C52C33=60種．
(2)
解：由于甲、乙、丙是不同的三人，在第（1）題基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有C61C52C33A33=360種．
(3)
解：先分三步，則應(yīng)是C62C42C22種方法，但是這里出現(xiàn)了重復(fù)．
不妨記6本書為A、B、C、D、E、F，
若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為(AB，CD，EF)，
則C62C42C22種分法中還有(AB，EF，CD)、(CD，AB，EF)、(CD，EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共A33種情況，
而這A33種情況僅是AB、CD、EF的順序不同，因此只能作為一種分法，
故分配方式有C62C42C22A33=15種．
(4)
解：在（3）的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有15A33=90種．
(5)
解：無序均勻分組問題，C64C21A22=15種.
30．（2022春·河北石家莊·高二階段練習(xí)）（1）如圖，從左到右有5個(gè)空格.
（i）若向這5個(gè)格子填入0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)，要求每個(gè)數(shù)都要用到，且第三個(gè)格子不能填0，則一共有多少不同的填法？
（ii）若給這5個(gè)空格涂上顏色，要求相鄰格子不同色，現(xiàn)有紅黃藍(lán)3顏色可供使用，問一共有多少不同的涂法？
（iii）若向這5個(gè)格子放入7個(gè)不同的小球，要求每個(gè)格子里都有球，問有多少種不同的放法？
（2）如圖，用四種不同的顏色給三棱柱ABC-A'B'C'的六個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色.
（i）若每個(gè)底面的頂點(diǎn)涂色所使用的顏色不相同，則不同的涂色方法共有多少種？
（ii）若每條棱的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有多少種？
（注：最終結(jié)果均用數(shù)字作答）
【解題思路】（1）（i）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、分析0，易得0有4種選法；②、將其余的4個(gè)數(shù)字全排列，安排在其他四個(gè)格子中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案，
（ii）根據(jù)題意，依次分析5個(gè)格子的涂色方法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（iii）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、將7個(gè)小球分成5組，有2種分法：即分成2-2-1-1-1的5組或分成3-1-1-1-1的5組，②、將分好的5組全排列，對(duì)應(yīng)5個(gè)空格，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．
（2）（i）根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；
（ii）對(duì)B'，A'，A，C所用顏色種數(shù)分類討論，最后按照分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；
【解答過程】（1）（i）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①、第三個(gè)格子不能填0，則0有4種選法；
②、將其余的4個(gè)數(shù)字全排列，安排在其他四個(gè)格子中，有A44種情況，
則一共有4A44=96種不同的填法；
（ii）根據(jù)題意，第一個(gè)格子有3種顏色可選，即有3種情況，
第二個(gè)格子與第一個(gè)格子的顏色不能相同，有2種顏色可選，即有2種情況，
同理可得：第三、四、五個(gè)格子都有2種情況，
則五個(gè)格子共有3×2×2×2×2=48種不同的涂法；
（iii）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①、將7個(gè)小球分成5組，有2種分法：
若分成2-2-1-1-1的5組，有C72C52A22種分法，
若分成3-1-1-1-1的5組，有C73種分組方法，
則有(C72C52A22+C73)種分組方法，
②、將分好的5組全排列，對(duì)應(yīng)5個(gè)空格，有A55種情況，
則一共有(C72C52A22+C73)A55=16800種放法．
（2）（i）由題得每個(gè)底面的頂點(diǎn)涂色所使用的顏色不相同，則不同的涂色方法共有A43A43=576；
（ii）若B'，A'，A，C用四種顏色，則有A44=24；
若B'，A'，A，C用三種顏色，則有A43×2×2+A43×2×2=192；
若B'，A'，A，C用兩種顏色，則有A42×2×2=48.
所以共有24+192+48=264種.

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