1．（3分）（2023·高一課時練習）下列結論中正確的是（ ）．
A．復數(shù)z的任意兩個輻角之間都差2π的整數(shù)倍；
B．任何一個非零復數(shù)的輻角有無數(shù)個，但輻角主值有且只有一個；
C．實數(shù)0不能寫成三角形式；
D．復數(shù)0的輻角主值是0．
【解題思路】根據(jù)復數(shù)輻角、輻角主值定義及復數(shù)0輻角判斷各項的正誤.
【解答過程】A：復數(shù)0的輻角為任意值，其兩個輻角之差不一定為2π整數(shù)倍，錯誤；
B：任何一個非零復數(shù)的輻角有無數(shù)個，但輻角主值有且只有一個，正確；
C：0×(csθ+isinθ)=0其中θ∈R，故實數(shù)0能寫成三角形式，錯誤；
D：復數(shù)0的輻角主值不唯一，錯誤.
故選：B.
2．（3分）（2022·全國·高三專題練習）復數(shù)z=cs-2π5+isin-2π5的輻角主值為（ ）
A．8π5B．-8π5C．2π5D．-2π5
【解題思路】設出輻角為θ，利用公式計算出θ=-25π+2kπ，k∈Z，結合輻角主值的取值范圍求出答案.
【解答過程】設復數(shù)z=cs-2π5+isin-2π5的輻角為θ，
則tanθ=sin-2π5cs-2π5=tan-2π5，
所以θ=-25π+2kπ，k∈Z，
因為argz∈0,2π，
所以當k=1時，滿足要求，argz=8π5
所以輻角主值為8π5.
故選：A.
3．（3分）復數(shù)12-32i的三角形式是（ ）
A．cs-π3+isin-π3B．csπ3+isinπ3
C．csπ3-isinπ3D．csπ3+isin5π6
【解題思路】根據(jù)對應象限角的三角函數(shù)值及誘導公式，寫出復數(shù)的三角形式.
【解答過程】由cs(5π3)=12,sin(5π3)=-32，則12-32i=cs(5π3)+isin(5π3)=cs(2π-π3)+isin(2π-π3)=cs(-π3)+isin(-π3).
故選：A.
4．（3分）（2023·高一課時練習）將復數(shù)1+3i對應的向量ON繞原點按順時針方向旋轉π2，得到的向量為ON1，那么ON1對應的復數(shù)是
A．3-iB．3+iC．-3-iD．-3+i
【解題思路】先將復數(shù)1+3i寫成三角形式,再根據(jù)三角形式的運算法則求解即可.
【解答過程】復數(shù)1+3i的三角形式是2csπ3+isinπ3,向量ON1對應的復數(shù)是
2csπ3+sinπ3csπ2+isinπ2=2cs-π6+isin-π6=3-i，
故選：A.
5．（3分）（2023·高一課時練習）已知i為虛數(shù)單位，z1=2cs60°+isin60°，z2=22sin30°-ics30°，則z1?z2等于（ ）
A．4cs90°+isin90°B．4cs90°+isin90°
C．4cs30°-isin30°D．4cs0°+isin0°
【解題思路】利用復數(shù)三角形式乘法運算法則計算即可.
【解答過程】∵z2=22(sin30°-ics30°)=22(cs300°+isin300°)，
∴z1?z2=2(cs60°+isin60°)?22(cs300°+isin300°)
=4cs60°+300°+isin60°+300° =4cs360°+isin360°
=4cs0°+isin0°.
故選：D.
6．（3分）（2022·全國·高三專題練習）棣莫弗公式(csx+isinx)n=csnx+isinnx（其中i為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣茣弗公式可知，復數(shù)csπ6+isinπ67在復平面內所對應的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【解題思路】根據(jù)棣莫弗公式及誘導公式代入計算即可．
【解答過程】解：由已知得csπ6+isinπ67=cs7π6+isin7π6=csπ+π6+isinπ+π6=-csπ6-isinπ6=-32-12i，
∴復數(shù)csπ6+isinπ67在復平面內所對應的點的坐標為-32,-12，位于第三象限．
故選：C．
7．（3分）（2022·高一課時練習）把復數(shù)z1與z2對應的向量OA，OB分別按逆時針方向旋轉π4和5π3后，重合于向量OM且模相等，已知z2=-1-3i，則復數(shù)z1的代數(shù)式和它的輻角主值分別是（ ）
A．-2-2i，3π4B．-2+2i,3π4C．-2-2i,π4D．-2+2i,π4
【解題思路】由題可知z1csπ4+isinπ4=z2cs5π3+isin5π3，即可求出z1，再根據(jù)z1對應的坐標即可得出它的輻角主值.
【解答過程】由題可知z1csπ4+isinπ4=z2cs5π3+isin5π3，
則z122+22i=-1-3i12-32i=-2，
∴z1=-222+22i=-221+i=-221-i1+i1-i=-2+2i，
可知z1對應的坐標為-2,2，則它的輻角主值為3π4.
故選：B.
8．（3分）（2022春·福建福州·高二期末）已知i為虛數(shù)單位，若z1=r1(csθ1+isinθ1)，z2=r2(csθ2+isinθ2)， ???，zn=rn(csθn+isinθn)，則z1z2???zn=r1r2???rn[csθ1+θ2+???+θn+isinθ1+θ2+???+θn.特別地，如果z1=z2=???=zn=r(csθ+isinθ)，那么[r(csθ+isinθ)]n=rn(csnθ+isinnθ)，這就是法國數(shù)學家棣莫佛(1667~1754年)創(chuàng)立的棣莫佛定理.根據(jù)上述公式，可判斷下列命題正確的是（ ）
A．若z=csπ6+isinπ6，則z4=-12+32i
B．若z=csπ5+isinπ5，則z5=1+i
C．若z1=2(cs7π12+isin7π12)，z2=3(cs5π12+isin5π12)，則z1z2=-6+6i
D．若z1=3(csπ12-isinπ12)，z2=4(csπ4+isinπ4)，則z1z2=6+6i
【解題思路】A. z4=cs4π6+isin46π =-12+32i，所以該選項正確；
B. z5=csπ+isinπ=-1，所以該選項錯誤；
C. z1z2=6(csπ+isinπ)=-6，所以該選項錯誤；
D. z1z2=12(cs136π+isin136π)=63+6i.所以該選項錯誤.
【解答過程】A. 若z=csπ6+isinπ6，則z4=cs4π6+isin46π =-12+32i，所以該選項正確；
B. 若z=csπ5+isinπ5，則z5=csπ+isinπ=-1，所以該選項錯誤；
C. 若z1=2(cs7π12+isin7π12)，z2=3(cs5π12+isin5π12)，則z1z2=6(csπ+isinπ)=-6，所以該選項錯誤；
D. z1=3(cs23π12+isin23π12)，z2=4(csπ4+isinπ4)，則z1z2=12(cs136π+isin136π)=63+6i.所以該選項錯誤.
故選：A.
二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）
9．（4分）（2022·全國·高一假期作業(yè)）以下不是復數(shù)-1-3i的三角形式是（ ）
A．-2csπ3+isinπ3B．2cs-2π3+isin-2π3
C．2sin7π6+ics7π6D．2cs7π6+isin7π6
【解題思路】提取復數(shù)的模，結合三角函數(shù)的值即可化代數(shù)形式為三角形式．
【解答過程】解：-1-3i=2-12-32i=2cs-2π3+isin-2π3，所以B正確，而-1-3i=2-12-32i=2sin7π6+ics7π6，故C正確.
故選：AD.
10．（4分）（2022·高一單元測試）已知單位向量OZ1、OZ2分別對應復數(shù)z1、z2，且OZ1?OZ2=0，則z1z2可能為（ ）
A．iB．1C．-1D．-i
【解題思路】根據(jù)題意，設復數(shù)z1=csθ1+isinθ1，z2=csθ2+isinθ2，計算可得z1z2=±i，即可選出答案.
【解答過程】因為單位向量OZ1、OZ2分別對應復數(shù)z1、z2，
設復數(shù)z1=csθ1+isinθ1，z2=csθ2+isinθ2，
因為OZ1?OZ2=0，所以OZ1⊥OZ2，即θ1-θ2=±π2，
所以z1z2=csθ1+isinθ1csθ2+isinθ2=csθ1-θ2+isinθ1-θ2=cs±π2+isin±π2=±i，
故選：AD.
11．（4分）（2022春·江蘇鹽城·高一階段練習）任何一個復數(shù)z=a+bi（其中a,b∈R，i為虛數(shù)單位）都可以表示成：z=r(csθ+isinθ)的形式，通常稱之為復數(shù)z的三角形式.法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：zn=[r(csθ+isinθ)]n=rn(csnθ+isinnθ)(n∈N*)，我們稱這個結論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（ ）
A．z2=|z|2B．當r=2，θ=π6時，z=1-3i
C．當r=1，θ=π3時，z3=-1D．當r=1，θ=π4時，若n為偶數(shù)，則復數(shù)zn為純虛數(shù)
【解題思路】根據(jù)復數(shù)的相關定義及性質，逐項分析即可得出答案.
【解答過程】對于復數(shù)z=a+bi有，
z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi，
∴z2=a2+b2，而z2=a2+b2，所以選項A正確；
根據(jù)復數(shù)的三角形式，r=2，θ=π6時，z=2(csπ6+isinπ6)=3+i，
此時，z=3-i，選項B錯誤；
r=1，θ=π3時，z=csπ3+isinπ3=12+32i
根據(jù)棣莫弗定理，z3=r3(csπ+isinπ)=-1，所以選項C正確；
r=1，θ=π4時，zn=csnπ4+isinnπ4，n為偶數(shù)時，
設n=2k,k∈Z*, zn=cskπ2+isinkπ2,k∈Z*，
所以k為奇數(shù)時，zn為純虛數(shù)；k為偶數(shù)時zn為實數(shù)，選項D錯誤.
故選：AC.
12．（4分）（2022·高一單元測試）著名的歐拉公式為：eiπ+1=0，其中i2=-1，e為自然對數(shù)的底數(shù)，它使用了幾個基本的數(shù)學常數(shù)描述了實數(shù)集和復數(shù)集的聯(lián)系．其廣義一般式是eiθ=csθ+isinθ0≤θ

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