姓名：___________班級：___________考號：___________
1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）從4名男同學(xué)、2名女同學(xué)中選出3人構(gòu)成一組．
(1)該活動包含了多少個基本事件？
(2)抽出男同學(xué)比女同學(xué)多的概率是多少？
【解題思路】（1）對6名同學(xué)編號，利用列舉法列出所有基本事件即可作答.
（2）由（1），求出抽出男同學(xué)比女同學(xué)多的基本事件數(shù)，再利用古典概型計算作答.
【解答過程】（1）4名男同學(xué)分別記為a1,a2,a3,a4，2名女同學(xué)分別記為b1,b2，選出的3人構(gòu)成的一組記為xyz，表示一個基本事件，
從4名男同學(xué)、2名女同學(xué)中選出3人的不同結(jié)果為：
a1a2a3,a1a2a4,a1a2b1,a1a2b2,a1a3a4,a1a3b1,a1a3b2,a1a4b1,a1a4b2,a1b1b2，
a2a3a4,a2a3b1,a2a3b2,a2a4b1,a2a4b2,a2b1b2,a3a4b1,a3a4b2,a3b1b2,a4b1b2，共20個，
所以該活動包含了20個基本事件.
（2）由（1）知，抽出的男同學(xué)比女同學(xué)多的事件包含的基本事件有：
a1a2a3,a1a2a4,a1a2b1,a1a2b2,a1a3a4,a1a3b1,a1a3b2,a1a4b1,a1a4b2，
a2a3a4,a2a3b1,a2a3b2,a2a4b1,a2a4b2,a3a4b1,a3a4b2，共16個，
所以抽出男同學(xué)比女同學(xué)多的概率P=1620=45.
2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）一個袋中袋有5個形狀大小完全相同的小球，其中紅球有2個，編號分別為1，2；黑球有2個，編號分別為1，2；白球有一個，編號為1，現(xiàn)從袋中一次隨機(jī)抽取2個球．
(1)求取出的2個球的顏色不相同的概率；
(2)求取得的球中有1號球的概率．
【解題思路】（1）先列舉出所有的基本事件，再找到取出的2個球的顏色不相同基本事件，根據(jù)概率公式計算即可．
（2）先列舉出所有的基本事件，再找到取得的球中有1號球的基本事件，根據(jù)概率公式計算即可．
【解答過程】（1）從袋中一次隨機(jī)抽取2個球的基本情況有：
（紅1，紅2)，（紅1，黑1)，（紅1，黑2)，（紅1，白1)，（紅2，黑1)，（紅2，黑2)，（紅2，白1)，（黑1，黑2)，（黑1，白1)，（黑2，白1)，共10種，
取出的2個球的顏色不相同的基本事件有：
（紅1，黑1)，（紅1，黑2)，（紅1，白1)，（紅2，黑1)，（紅2，黑2)，（紅2，白1)，（黑1，白1)，（黑2，白1)，共8種，
故取出的2個球的顏色不相同的概率為810=45，
（2）取得的球中有1號球的基本事件有：
（紅1，紅2)，（紅1，黑1)，（紅1，黑2)，（紅1，白1)，（紅2，黑1)，（紅2，白1)，（黑1，黑2)，（黑1，白1)，（黑2，白1)，共9種，
故取得的球中有1號球的概率910.
3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）由數(shù)字1，2，3，4構(gòu)成的兩位數(shù)中抽取一個，求：
(1)所抽到數(shù)為偶數(shù)的概率；
(2)所抽到數(shù)為3的倍數(shù)的概率；
(3)所抽到數(shù)的個位和十位不相同的概率．
【解題思路】運(yùn)用列舉法，結(jié)合古典概型計算公式進(jìn)行求解（1）（2）（3）即可.
【解答過程】（1）數(shù)字1，2，3，4構(gòu)成的兩位數(shù)有11,12，13，14，21，22,23，24，31，32，33,34，41，42，43,44共16個，其中偶數(shù)有12，14，22,24，32，34，42,44共8個，
所以所抽到數(shù)為偶數(shù)的概率816=12；
（2）數(shù)字1，2，3，4構(gòu)成的兩位數(shù)有11,12，13，14，21，22,23，24，31，32，33,34，41，42，43,44共16個，其中3的倍數(shù)有12，21,24，33，42共5個，
所以抽到數(shù)為3的倍數(shù)的概率516；
（3）數(shù)字1，2，3，4構(gòu)成的兩位數(shù)有11,12，13，14，21，22,23，24，31，32，33,34，41，42，43,44共16個，其中個位和十位相同的數(shù)有11，22，33，44共4個，所以個位和十位不相同的數(shù)有12個，
所以抽到數(shù)為3的倍數(shù)的概率1216=34.
4．（2023秋·海南儋州·高二期末）兩個口袋，每個袋中有3個大小質(zhì)地相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3.現(xiàn)分別從每一個袋中取一個小球，觀察其上標(biāo)的數(shù)字.
(1)寫出試驗(yàn)樣本空間；
(2)設(shè)事件A=“兩個小球都是奇數(shù)”，B＝“兩個小球的和為4”，求：
①事件A的概率；
②事件B的概率.
【解題思路】（1）利用列舉法求得正確答案.
（2）根據(jù)古典概型概率計算公式求得事件A,B的概率.
【解答過程】（1）樣本空間如下：
1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,3,3，
（2）①，事件A包括的基本事件為：1,1,1,3,3,1,3,3，共4種，
所以PA=49.
②，事件B包括的基本事件為：1,3,2,2,3,1，共3種，
所以PB=39=13.
5．（2023春·江西·高三階段練習(xí)）為了提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍，某校將舉行“‘象山杯’數(shù)學(xué)解題能力比賽”，每班派3人參加，某班級老師已經(jīng)確定2參賽名額，第3個參賽名額在甲，乙同學(xué)間產(chǎn)生，為了比較甲，乙兩人解答某種題型的能力，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩個同學(xué)各10次之前該題型的解答結(jié)果如下：a,b，a,b，a,b，a,b，a,b，a,b，a,b，a,b，a,b，a,b，其中a，a分別表示甲正確和錯誤；b，b分別表示乙正確和錯誤．
(1)若解答正確給該同學(xué)1分，否則記0分．試計算甲、乙兩人之前的成績的平均數(shù)和方差，并根據(jù)結(jié)果推薦誰參加比賽更合適；
(2)若再安排甲、乙兩人解答一次該題型試題，試估計恰有一人解答正確的概率.
【解題思路】（1）根據(jù)平均數(shù)與方差的公式分別計算甲、乙兩人的平均數(shù)與方程，進(jìn)而推薦人選；
（2）利用古典概型的概率公式估計恰有一人正確的概率.
【解答過程】（1）由已知得甲的平均數(shù)x甲=1×7+0×310=0.7，方差s2甲=7?1-0.72+3?0-0.7210=0.21；
乙的平均數(shù)x乙=1×8+0×210=0.8，方差s2乙=8?1-0.82+2?0-0.8210=0.16，
因?yàn)閤甲s2乙，
所以推薦乙參加比賽更合適；
（2）由已知的10個結(jié)果中，恰有一人解答正確的結(jié)果是a,b，a,b，a,b，共3個，
所以恰有一人正確的概率為310.
6．（2023秋·四川綿陽·高二期末）某中學(xué)參加知識競賽結(jié)束后，為了解競賽成績情況，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取800名學(xué)生，得到他們的成績，將數(shù)據(jù)整理后分成五組：50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)請補(bǔ)全頻率分布直方圖并估計這800名學(xué)生的平均成績；
(2)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這800名學(xué)生中抽取容量為40的樣本，再從該樣本中成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行問卷調(diào)查，求至少有1名學(xué)生成績不低于90分的概率.
【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求得成績落在60,70的頻率，從而可得這800名學(xué)生的平均成績；
（2）根據(jù)分層抽樣確定成績在80,90內(nèi)的人數(shù)并標(biāo)記，成績在90,100內(nèi)的人數(shù)并標(biāo)記，根據(jù)古典概型列舉基本事件種數(shù)及所求事件種數(shù)，即可得概率值.
【解答過程】（1）成績落在60,70的頻率為1-0.15+0.30+0.10+0.05=0.40，
補(bǔ)全的頻率分布直方圖如圖：
這800名學(xué)生的平均成績約為；
55×0.15+65×0.30+75×0.40+85×0.10+95×0.05=71（分）；
（2）抽取的40名學(xué)生中，成績在80,90內(nèi)的有800×0.1×40800=4（人），分別記為a1，a2，a3，a4，成績在90,100內(nèi)的有800×0.05×40800=2（人），分別記為b1，b2，
從這6人中隨機(jī)抽取2人的基本事件有
a1,a2，a1,a3，a1,a4，a1,b1，a1,b2，a2,a3，a2,a4，a2,b1，a2,b2，a3,a4，a3,b1，a3,b2，a4,b1，a4,b2，b1,b2.共有15種.
記事件A=“至少有1名學(xué)生成績不低于90分”，則A事件包含的基本事件有：
a1,b1，a1,b2，a2,b1，a2,b2，a3,b1，a3,b2，a4,b1，a4,b2，b1,b2，共9種，
所以所求概率為PA=915=35.
7．（2023秋·海南儋州·高二期末）某地區(qū)有小學(xué)15所，中學(xué)10所，大學(xué)5所，現(xiàn)采取分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查.
(1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目；
(2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率.
【解題思路】（1）根據(jù)分層抽樣的知識求得正確答案.
（2）利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式求得正確答案.
【解答過程】（1）從小學(xué)抽取6×1515+10+5=3所；
從中學(xué)抽取6×1015+10+5=2所；
從大學(xué)抽取6×515+10+5=1所；
（2）小學(xué)的3所學(xué)校編號為1,2,3，中學(xué)的2所學(xué)校編號為4,5，大學(xué)的1所學(xué)校編號為6，
從中隨機(jī)抽取2所學(xué)校，基本事件有：
12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15種，
其中抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的是：12,13,23，從3種，
所以抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率為315=15.
8．（2022春·甘肅天水·高一期末）某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查.
(1)求應(yīng)從小學(xué)，中學(xué)，大學(xué)中分別抽取學(xué)校的數(shù)目；
(2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率.
【解題思路】（1）根據(jù)分層抽樣的方法，得到分層抽樣的比例，即可求解從小學(xué)，中學(xué)，大學(xué)中分別抽取學(xué)校的數(shù)目；
（2）列舉法列出從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所的所有可能性，利用古典概型的概率計算公式，即可求得相應(yīng)的概率．
【解答過程】（1）
學(xué)?？倲?shù)為42所，所以分層抽樣的比例為642=17，
計算各類學(xué)校應(yīng)抽取的數(shù)目為：21×17=3,14×17=2,7×17=1，
故從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3所、2所、1所.
（2）
3所小學(xué)分別記為a1,a2,a3；2所中學(xué)分別記為b1,b2；1所大學(xué)記為c1，
應(yīng)抽取的2所學(xué)校的所有結(jié)果為：a1,a2,a1,a3,a1,b1,a1,b2,a2,a3,a2,b1,
a2,b2,a3,b1,a3,b2,b1,b2,{a1,c1},{a2,c1},{a3,c1},{b1,c1},{b2,c1}共15種．
設(shè)“抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)”作為事件A．
其結(jié)果共有3種，所以概率為P(A)=315=15．
9．（2022秋·湖北宜昌·高二期中）一個盒子中裝有四張卡片，每張卡片上寫有一個數(shù)字，數(shù)字分別是1，2，3，4，現(xiàn)從盒子中隨機(jī)抽取卡片，每張卡片被抽到的概率相等．
(1)若一次抽取三張卡片，求抽到的三張卡片上的數(shù)字之和大于8的概率；
(2)若第一次抽一張卡片，放回后攪勻再抽取一張卡片，求兩次抽取中至少有一次抽到寫有數(shù)字2的卡片的概率．
【解題思路】（1）先寫出三張卡片上的數(shù)字全部可能的結(jié)果，一一列舉出，把滿足數(shù)字之和大于8的找出來，由此求所抽取的三張卡片的數(shù)字之和大于8的概率．
（2）列舉出每次抽1張，連續(xù)抽取兩張全部可能的基本結(jié)果，而滿足條件的事件是兩次抽取中至少一次抽到數(shù)字2，從前面列舉出的結(jié)果中找出來，根據(jù)古典概型的概率公式計算即可得到所求答案．
【解答過程】（1）設(shè)A表示事件“抽到的三張卡片上的數(shù)字之和大于8”，
∵ 任取三張卡片，三張卡片上的數(shù)字全部可能的結(jié)果是{1、2、3}，{1、2、4}，{1、3、4}，{2、3、4}共4個，
其中數(shù)字之和大于8的是{2、3、4}，
∴P(A)=14.
（2）設(shè)B表示事件“至少一次抽到2”，
∵每次抽1張，連續(xù)抽取兩張全部可能的結(jié)果有：（1、1），（1、2），（1、3），（1、4），（2、1），（2、2），（2、3），（2、4），（3、1），（3、2），（3、3），（3、4），（4、1），（4、2），（4、3），（4、4），共16個．
事件B包含的基本結(jié)果有（1、2），（2、2），（2、1），（2、3），（3、2），（2、4），（4、2），共7個基本結(jié)果．
∴所求事件的概率為P(B)=716.
10．（2022秋·浙江杭州·高二期中）袋中有形狀、大小都相同的4個小球，標(biāo)號分別為1,2,3,4.
(1)從袋中一次隨機(jī)摸出2個球，求標(biāo)號和為奇數(shù)的概率;
(2)從袋中每次摸出一球，有放回地摸兩次.甲、乙約定：若摸出的兩個球標(biāo)號和為奇數(shù)，則甲勝，反之，則乙勝.你認(rèn)為此游戲是否公平?說明你的理由.
【解題思路】（1）利用列舉法寫出樣本空間及事件的樣本點(diǎn)，結(jié)合古典概型的計算公式即可求解;
（2）利用列舉法寫出樣本空間及事件的樣本點(diǎn)，結(jié)合古典概型的計算公式及概率進(jìn)行比較即可求解.
【解答過程】（1）試驗(yàn)的樣本空間Ω= {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}，共6個樣本點(diǎn)，設(shè)標(biāo)號和為奇數(shù)為事件 B，則 B包含的樣本點(diǎn)為(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4個，所以P(B)=46=23.
（2）試驗(yàn)的樣本空間Ω ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4) ,(4,1),(4,2),(4,3),(4,4) }，共有16個，
設(shè)標(biāo)號和為奇數(shù)為事件C，事件C包含的樣本點(diǎn)為(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8個,
故所求概率為P(C)=816=12,即甲勝的概率為12，則乙勝的概率為12,
所以甲、乙獲勝的概率是公平的.
11．（2023·高一課時練習(xí)）拋擲兩顆骰子，求：
(1)點(diǎn)數(shù)之和是4的概率；
(2)點(diǎn)數(shù)之和小于4的概率；
(3)點(diǎn)數(shù)差的絕對值為3的概率．
【解題思路】（1）拋擲兩顆骰子，計算出總的基本事件，然后列出點(diǎn)數(shù)之和為4包含的基本事件，由此能求出點(diǎn)數(shù)之和為4的概率．
（2）列出點(diǎn)數(shù)之和小于4的基本事件，由此能求出點(diǎn)數(shù)之和小于4的概率．
（3）列出點(diǎn)數(shù)差的絕對值為3的基本事件，由此能求出點(diǎn)數(shù)差的絕對值為3的概率．
【解答過程】（1）拋擲兩顆骰子，基本事件的總數(shù)n=6×6=36，
點(diǎn)數(shù)之和為4包含的基本事件有：（1，3），（2，2），（3，1），共3個，
所以點(diǎn)數(shù)之和為4的概率P=336=112；
（2）點(diǎn)數(shù)之和小于4的包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），共3個，
所以點(diǎn)數(shù)之和小于4的概率P=336=112；
（3）點(diǎn)數(shù)差的絕對值為3的基本事件有：（1，4），（2，5），（3，6），（4，1），（5，2），（6，3），共6個，
所以點(diǎn)數(shù)差的絕對值為3的概率P=636=16.
12．（2022·陜西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）汽車業(yè)是碳排放量比較大的行業(yè)之一，歐盟規(guī)定，從2012年開始，將對二氧化碳排放量超過130g/km的M1型汽車進(jìn)行懲罰，某檢測單位對甲、乙兩類M1型品牌汽車各抽取5輛進(jìn)行二氧化碳排放量檢測，記錄如下（單位：g/km）
經(jīng)測算發(fā)現(xiàn)，乙品牌M1型汽車二氧化碳排放量的平均值為x乙=120g/km
（1）從被檢測的5輛甲類M1型品牌車中任取2輛，則至少有1輛二氧化碳排放量超過130g/km的概率是多少？
（2）求表中x的值，并比較甲、乙兩品牌M1型汽車二氧化碳排放量的穩(wěn)定性．(s2=1n[(x-x1)2+(x-x2)2+?+(x-xn)2])其中，x表示的平均數(shù)，n表示樣本數(shù)量，xi表示個體，s2表示方差．
【解題思路】（1）由古典概型概率公式可得所求概率.
（2）分別求甲、乙兩品牌M1型汽車二氧化碳排放量的平均數(shù)和方差即可進(jìn)行比較.
【解答過程】從被檢測的5輛甲品牌汽車任取2輛，共有10種不同的二氧化碳排放量結(jié)果：80,110,80,120,80,140,80,150,110,120110,140,110,150,120,140120,150140,150
設(shè)“至少有1輛二氧化碳排放量超過130g/km”事件A
事件A包含7種不同結(jié)果：80,140,80,150,110,140,110,150,120,140,120,150,140,150，
所以PA=710=0.7
（2）由題可知100+120+x+100+1605=120，所以x=120，
又∵x甲=80+110+120+140+1505=120，所以x甲=x乙，
s甲2=1580-1202+110-1202+120-1202+140-1202+150-1202=600s乙2=15100-1202+120-1202+120-1202+100-1202+160-1202=480，
所以s甲2>s乙2，x甲=x乙，
所以乙品牌汽車二氧化碳排放量的穩(wěn)定性好．
13．（2023·河南平頂山·模擬預(yù)測）某超市計劃購進(jìn)1000kg蘋果，采購員從供應(yīng)商提供的蘋果中隨機(jī)抽取了10箱（每箱20kg）統(tǒng)計每箱的爛果個數(shù)并繪制得到如下表格：
假設(shè)在一箱蘋果中沒有爛果，則該箱的價格為120元，若出現(xiàn)一個爛果，則該箱的價格為110元．
(1)以樣本估計總體，試問采購員購進(jìn)1000kg蘋果需要多少元？
(2)若采購員檢查完前3箱（即第1~3箱）蘋果后，從剩下的7箱中任選2箱，這2箱都沒有爛果，就按照每箱120元的價格購進(jìn)1000kg蘋果，求采購員按照這個價格采購蘋果的概率．
【解題思路】(1)計算10箱蘋果的平均價格，利用樣本估計總體即可求解；
(2)利用古典概率模型求解.
【解答過程】（1）由表可知，這10箱蘋果中，沒有爛果的有7箱，出現(xiàn)一個爛果的有3箱，
所以這10箱蘋果的價格為120×7+110×3=1170元，
故采購員共1000kg蘋果需要1170×100020×10=5850元．
（2）設(shè)第ii=4,5,6,7,8,9,10箱分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G
（其中A，F(xiàn)，G這3箱有一個爛果），
從7箱中任選2箱，所有的情況為A,B，A,C，A,D，A,E，A,F，A,G，
B,C，B,D，B,E，B,F，B,G，C,D，C,E，C,F，C,G，
D,E，D,F，D,G，E,F，E,G，F(xiàn),G，共21種，
其中沒有A，F(xiàn)，G的有6種情況，
故采購員按照這個價格采購蘋果的概率為621=27．
14．（2023春·湖北孝感·高二開學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)=ax2-bx-1，集合P={1,2,3,4},Q={2,4,6,8}，若分別從集合P，Q中隨機(jī)抽取一個數(shù)a和b，構(gòu)成數(shù)對(a,b)．
(1)記事件A為“函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為1,+∞”，求事件A的概率；
(2)記事件B為“方程fx=2有4個根”，求事件B的概率．
【解題思路】（1）列舉樣本空間所有的樣本點(diǎn)，依題意有b=2a，列舉滿足條件的樣本點(diǎn)，根據(jù)古典概型概率公式計算；
（2）依題意有b2>4a，列出所有符合條件的樣本點(diǎn)，根據(jù)古典概型概率公式計算.
【解答過程】（1）由題知a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,6,8}，所以，數(shù)對(a,b)的可能取值為：
(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)共16對．
若函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,+∞)，則函數(shù)f(x)的對稱軸為x=b2a=1，即b=2a
所以，滿足條件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)，共4對，
所以，事件A的概率為P(A)=416=14
（2）因?yàn)閍>0，二次函數(shù)開口向上，
所以，方程|f(x)|=2有4個根，即為f(x)=2和f(x)=-2各有2個根，
所以，二次函數(shù)f(x)=ax2-bx-1的最小值小于-2．
所以-4a-b24a4a，
滿足條件的基本事件有：(1,4),(1,6),(1,8),(2,4),(2,6),(2,8),(3,4),(3,6),(3,8),(4,6),(4,8)，共11對，
所以，事件B的概率P(B)=1116．
15．（2022秋·山東青島·高二期中）袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個，其中紅色小球1個，黃色小球1個，藍(lán)色小球n個，從袋子中隨機(jī)抽取1個小球，設(shè)取到藍(lán)色小球?yàn)槭录﨧，且事件M發(fā)生的概率是12.
(1)求n的值；
(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個小球，若每次取到紅色小球得0分，取到黃色小球得1分，取到藍(lán)色小球得2分，設(shè)第一次取出小球后得分為a，第二次取出小球后得分為b，記事件N為“a+b=2”，求事件N發(fā)生的概率.
【解題思路】（1）袋子中隨機(jī)抽取1個小球，共有n+2個結(jié)果，得到PM=nn+2=12，解得答案.
（2）紅色小球記為A，黃色的小球記為B，藍(lán)色小球記為C1，C2，列舉出所有情況共12種，滿足條件共有4種，得到概率.
【解答過程】（1）由題意，從袋子中隨機(jī)抽取1個小球，共有n+2個結(jié)果，每個結(jié)果可能性相同，
其中事件M發(fā)生有n種結(jié)果，所以PM=nn+2=12，解得n=2.
（2）把紅色小球記為A；黃色的小球記為B；藍(lán)色小球記為C1，C2；
則兩次不放回地取出小球的組合情況可用表格表示為
共12個樣本點(diǎn)，
其中事件N包含的樣本點(diǎn)有A,C1，A,C2，C1,A，C2,A，共4個，
所以PN=412=13.
16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2022年下半年，我國新冠肺炎疫情“多點(diǎn)散發(fā)”的特點(diǎn)愈加明顯，為了有效阻斷疫情的快速傳播，全國各地均提供了生活必需品線上采購服務(wù)，某地區(qū)為了更好的做好此項(xiàng)工作，高質(zhì)量服務(wù)于百姓生活，對愛好線上采購生活必需品的人員進(jìn)行了調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位線上采購愛好者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：
(1)估計該地區(qū)愛好線上采購生活必需品人員的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
(2)估計該地區(qū)一位線上采購愛好者的年齡位于區(qū)間20,70的概率；
(3)工作人員為了確定20歲以下和80歲以上是否具有主動性和代表性，在參與調(diào)查的100位線上采購愛好者中20歲以下和80歲以上人員中抽取兩名進(jìn)行電話訪問，求被訪問者恰有一名是80歲以上的概率．
【解題思路】（1）由頻率分布直方圖計算平均數(shù)的方法計算即可；
（2）由這100位線上采購愛好者的年齡位于區(qū)間20,70的頻率估計概率；
（3）由列舉法結(jié)合概率公式求解即可.
【解答過程】（1）該地區(qū)愛好線上采購生活必需品人員的平均年齡為
5×0.01+15×0.02+25×0.12+35×0.17+45×0.23+55×0.2+ 65×0.17+75×0.06+85×0.02=47.9≈48（歲）
（2）這100位線上采購愛好者的年齡位于區(qū)間20,70的頻率為0.012+0.017+0.023+0.02+0.017×10=0.89.
故估計該地區(qū)一位線上采購愛好者的年齡位于區(qū)間20,70的概率0.89.
（3）參與調(diào)查的100位線上采購愛好者中20歲以下的人數(shù)為0.03×100=3人，記為1,2,3；
80歲以上的人數(shù)為0.02×100=2人，記為a,b.
從這三名中抽取兩名進(jìn)行電話訪問，所有情況如下：1,2,1,3,1,a,1,b,2,3,2,a,2,b,3,a,3,b,a,b，共10種.
其中被訪問者恰有一名是80歲以上的情況分別為1,a,1,b,2,a,2,b,3,a,3,b，共6種.
則被訪問者恰有一名是80歲以上的概率為610=0.6.
17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）某中學(xué)為研究本校高一學(xué)生市聯(lián)考的語文成績，隨機(jī)抽取了100位同學(xué)的語文成績作為樣本，按分組80,90，90,100，100,110，110,120，120,130，130,140，140,150整理后得到如下頻率分布直方圖.
(1)求圖中x的值；
(2)請用樣本數(shù)據(jù)估計本次聯(lián)考該校語文平均成績（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；
(3)用分層隨機(jī)抽樣的方法，從樣本內(nèi)語文成績在130,140，140,150的兩組學(xué)生中抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求選出的兩名學(xué)生中恰有一人語文成績在130,140的概率.
【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中小矩形面積和為1，求得x；
（2）用每一組區(qū)間的中點(diǎn)值代替該組數(shù)據(jù)，計算平均數(shù)；
（3）計算分層抽樣每層抽取人數(shù)，列出所有選出2人的基本事件，求出概率.
【解答過程】（1）由頻率分布直方可知，
0.012+0.022+0.028+0.018+x+0.008+0.002×10=1，
解得x=0.01；
（2）由圖可知，語文成績在80,90，90,100，100,110，110,120，120,130，130,140，140,150的頻率分別為0.12，0.22，0.28，0.18，0.10，0.08，0.02，設(shè)樣本數(shù)據(jù)中語文平均成績?yōu)閤，
則x=85×0.12+95×0.22+105×0.28+115×0.18+125×0.10+135×0.08+145×0.02
=85+10×0.22+20×0.28+30×0.18+40×0.10+50×0.08+60×0.02
=85+2.2+5.6+5.4+4+4+1.2=107.4，
故估計本次聯(lián)考該校語文平均成績?yōu)?07.4分；
（3）由題知，樣本內(nèi)語文成績在130,140，140,150的學(xué)生分別有8名和2名，
按分層隨機(jī)抽樣抽取的5名學(xué)生中，分?jǐn)?shù)在130,140的學(xué)生有4名，記為A，B，C，D，
在140,150的學(xué)生有1名，記為e，
從這5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，所有的情況有10種：AB，AC，AD，Ae，BC，BD，Be，CD，Ce，De，
其中恰有一人語文成績在130,140的有4種：Ae，Be，Ce，De，
則這5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，恰有一人語文成績在130,140的概率為P=410=25.
18．（2023·全國·高一專題練習(xí)）某工廠生產(chǎn)的每件產(chǎn)品所用原材料的質(zhì)量m（單位：千克）是一定值，每件產(chǎn)品的價格是以長度（單位：米）計算的，產(chǎn)品越長也就越細(xì)，要求工人的技術(shù)水平越高，產(chǎn)品價格也就越高，但市場對各種長度的產(chǎn)品都有需求.為了預(yù)測市場需求并合理安排生產(chǎn)任務(wù)，查閱以往售出的產(chǎn)品的長度，隨機(jī)抽取了300件產(chǎn)品，并將得到的數(shù)據(jù)按如下方式分為9組：10,15、15,20、?、50,55，繪制成如下的頻率分布直方圖：
工廠今年一月份按頻率分布直方圖提供的數(shù)據(jù)生產(chǎn)了300件產(chǎn)品.
(1)求今年一月份生產(chǎn)的產(chǎn)品長度在25,40的件數(shù)；
(2)現(xiàn)從25,30和30,35兩組產(chǎn)品中以分層抽樣的方式抽取7件產(chǎn)品，客戶在這7件產(chǎn)品中再隨機(jī)抽取2件，求這2件產(chǎn)品在25,30和30,35兩組中各有1件的概率.
【解題思路】（1）將產(chǎn)品長度在25,40的頻率乘以300可得結(jié)果；
（2）分析可知，在25,30的產(chǎn)品有3（件），設(shè)編號分別為a、b、c，在30,35的產(chǎn)品有4（件），編號分別為A、B、C、D，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【解答過程】（1）由頻率分布直方圖可得，產(chǎn)品長度在25,40的有300×0.03+0.04+0.034×5=156（件）.
（2）由題可知，按分層抽樣抽取的7件產(chǎn)品中，
在25,30的產(chǎn)品有+0.04×7=3（件），設(shè)編號分別為a、b、c
在30,35的產(chǎn)品有+0.04×7=4（件），編號分別為A、B、C、D，
則在7件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，所有的基本事件有：a,b、a,c、a,A、a,B、a,C、a,D、b,c、b,A、b,B、b,C、b,D、c,A、c,B、
c,C、c,D、A,B、A,C、A,D、B,C、B,D、C,D，共有21個基本事件，
其中事件“抽到的2件產(chǎn)品在25,30和30,35兩組中各有1件”所包含的基本事件有：
a,A、a,B、a,C、a,D、b,A、b,B、b,C、b,D、c,A、
c,B、c,C、c,D，共12個基本事件，
故所求概率為P=1221=47.
19．（2023·全國·高一專題練習(xí)）開學(xué)初某校進(jìn)行了一次摸底考試，物理老師為了了解自己所教的班級參加本次考試的物理成績的情況，從參考的本班同學(xué)中隨機(jī)抽取n名學(xué)生的物理成績（滿分100分）作為樣本，將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析整理后畫出頻率分布直方圖如圖所示，已知抽取的學(xué)生中成績在50,60內(nèi)的有3人．
(1)求n的值；
(2)已知抽取的n名參考學(xué)生中，在90,100的人中，女生有甲、乙兩人，現(xiàn)從90,100的人中隨機(jī)抽取2人參加物理競賽，求女學(xué)生甲被抽到的概率．
【解題思路】（1）利用直方圖可得到成績在50,60內(nèi)的頻率，結(jié)合頻數(shù)即可求解；
（2）先計算出成績在90,100的人數(shù)，然后列舉出抽取2人的總情況和甲被抽到的情況，利用古典概型進(jìn)行求解即可
【解答過程】（1）由頻率分布直方圖知，成績在50,60內(nèi)的頻率為1-0.0400+0.0300+0.0125+0.0100×10=0.075．
因?yàn)槌煽冊?0,60內(nèi)的頻數(shù)為3，
所以抽取的樣本容量n=30.075=40．
（2）由頻率分布直方圖知，抽取的學(xué)生中成績在90,100的人數(shù)為0.0100×10×40=4，
因?yàn)橛屑?、乙兩名女生，所以有兩名男生?br>用丙，丁表示兩名男生，從4人中任取2人的所有情況為甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6種，其中女學(xué)生甲被抽到的情況共3種．
所以隨機(jī)抽取2人參加物理競賽，其中女學(xué)生甲被抽到的概率為36=12.
20．（2021春·四川成都·高二階段練習(xí)）某企業(yè)員工500人參加“學(xué)雷鋒”志愿活動，按年齡分組：第1組25,30，第2組30,35，第3組35,40，第4組40,45，第5組45,50，得到的頻率分布直方圖如圖所示．
(1)下表是年齡的頻率分布表，求正整數(shù)a，b的值．
(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2，3組中用分層抽樣的方法抽取6人，年齡在第1，2，3組抽取的員工的人數(shù)分別是多少？
(3)在（2）的前提下，從這6人中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動，求至少有1人年齡在第3組的概率．
【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求頻率，即可求出a,b的值；
（2）利用樣本容量比總?cè)萘康谋壤嬎慵纯桑?br>（3）利用列舉法寫出從6人中隨機(jī)抽取2人的所有基本事件，.分別計算總個數(shù)與至少有1人在第3組的個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式即可求解.
【解答過程】（1）依題意，由頻率分布直方圖可得，
a=0.08×5×500=200，b=0.02×5×500=50.
（2）因?yàn)榈?，2，3組一共有：50+50+200=300人，
利用分層抽樣在300名員工中抽取6名員工，
則每組抽取的人數(shù)分別為：
第1組的人數(shù)為6×50300=1，
第2組的人數(shù)為6×50300=1，
第3組的人數(shù)為6×200300=4，
所以年齡在第1，2，3組抽取的員工的人數(shù)分別是1人，1人，4人.
（3）設(shè)第1組的1位員工為A，第2組的1位員工為B，
第3組的4位員工為：C1,C2,C3,C4,
則從6位員工中抽取2人的基本事件有：
A,B,A,C1,A,C2,A,C3,A,C4，
B,C1,B,C2,B,C3,B,C4,
C1,C2,C1,C3,C1,C4,C2,C3,C2,C4,C3,C4，
共15種可能，其中2人年齡都不在第3組的有：A,B一種可能，
所以在（2）的前提下，從這6人中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動，
至少有1人年齡在第3組的概率為：15-115=1415.
21．（2022秋·云南昆明·高二階段練習(xí)）某校為增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保意識，普及環(huán)保知識，在全校范圍內(nèi)組織了一次有關(guān)環(huán)保知識的競賽. 現(xiàn)從參賽的所有學(xué)生中，隨機(jī)抽取200人的成績（滿分為100分）作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計該校此次環(huán)保知識競賽成績的第50百分位數(shù)；
(2)在該樣本中，若采用分層抽樣的方法，從成績低于70分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，查看他們的答題情況，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查分析，求這2人中至少有1人成績在60,70內(nèi)的概率.
【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖頻率之和為1計算a，再根據(jù)百分位數(shù)計算公式計算第50百分位數(shù)；
（2）根據(jù)分層抽樣確定各區(qū)間人數(shù)，然后利用古典概型概率計算公式計算概率.
【解答過程】（1）由頻率分布直方圖可得，0.006+0.012+0.018×2+0.021+a×10=1，
則a=0.025，
前3組的頻率和為0.006+0.012+0.018×10=0.36，
第4組頻率為0.25，
所以第50百分位數(shù)位于第4組70,80內(nèi)，
記第50百分位數(shù)為x，則x-7010=0.5-，解得x=75.6，
即第50百分位數(shù)為75.6；
（2）由頻率分布直方圖可知，
成績在40,50,50,60,60,70內(nèi)的頻率分別為0.06,0.12,0.18，
采用分層抽樣的方法從樣本中抽取的6人，
成績在40,50內(nèi)的有1人，記為A，
成績在50,60內(nèi)的有2人，記為B1?B2，
成績在60,70內(nèi)的有3人，記為C1?C2?C3，
則從成績在40,70內(nèi)的6人隨機(jī)抽取2人，共有：
AB1?AB2?AC1?AC2?AC3?B1C1?B1C2?B1C3?B2C1?B2C2?B2C3?
C1C2?C1C3?C2C3?B1B2，共有15種，
2人中至少有1人成績在60,70內(nèi)，共有：
AC1?AC2?AC3?B1C1?B1C2?B1C3?B2C1?B2C2?B2C3?C1C2?C1C3?C2C3，有12種，
記事件A=“2人中至少有1人成績在60,70內(nèi)”，則PA=1215=45.
22．（2023春·河南·高三階段練習(xí)）為保護(hù)學(xué)生視力，讓學(xué)生在學(xué)校專心學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生身心健康發(fā)展，教育部于2021年1月15日下發(fā)文件《關(guān)于加強(qiáng)中小學(xué)生手機(jī)管理工作的通知》，對中小學(xué)生的手機(jī)使用和管理作出了規(guī)定．某中學(xué)研究型學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究“中學(xué)生每日使用手機(jī)的時間”．從該校中隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生，得到如下統(tǒng)計表：
(1)估計該校學(xué)生每日使用手機(jī)的時間的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
(2)用分層抽樣的方法從使用手機(jī)時間在48,60和60,72的兩組學(xué)生中抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人，求這2人來自不同組的概率．
【解題思路】（1）將每個區(qū)間的中點(diǎn)值乘以對應(yīng)組的頻率，再將所得結(jié)果全部相加可得出該校學(xué)生每日使用手機(jī)的時間的平均數(shù)；
（2）分析可知抽取的5人在48,60組的有3人，記為a、b、c，在60,72組的有2人，記為A、B，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【解答過程】（1）解：由題意得，隨機(jī)選取的該校這100名學(xué)生每日使用手機(jī)的時間的平均數(shù)為
x=6×10100+18×36100+30×34100+42×10100+54×6100+66×4100=2736100=27.36min．
所以估計該校學(xué)生每日使用手機(jī)的時間的平均數(shù)為27.36min．
（2）解：由分層抽樣的方法知，抽取的5人在48,60組的有3人，記為a、b、c，
在60,72組的有2人，記為A、B，
從5人中抽取2人的所有基本事件：ab、ac、aA、aB、bc、bA、bB、cA、cB、AB，共10個，
來自不同組的基本事件：aA、aB、bA、bB、cA、cB，共6個，
故所求概率P=610=35．
23．（2022秋·廣東湛江·高二期中）某學(xué)生社團(tuán)為了解本校學(xué)生喜歡球類運(yùn)動的情況，隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，要求每位學(xué)生只能填寫一種自己喜歡的球類運(yùn)動，并將調(diào)查的結(jié)果繪制成如下的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．
請根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息，解答下列問題：
(1)則參加調(diào)查的人數(shù)共有__________人；在扇形圖中，m=__________；將條形圖補(bǔ)充完整；（不需要寫過程）
(2)該社團(tuán)計劃從籃球?足球和乒乓球中，隨機(jī)抽取兩種球類組織比賽，請用樹狀圖或列表法，求抽取到的兩種球類恰好是“籃球”和“足球”的概率．
【解題思路】（1）首先根據(jù)條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖，用喜歡籃球的人數(shù)除以它占參加調(diào)查人數(shù)的百分比，求出參加調(diào)查的總?cè)藬?shù)；然后再扇形圖中，利用百分比和為100%，即可求得m的值，然后補(bǔ)充好條形圖即可；
（2）應(yīng)用列表法，結(jié)合古典概型求解即可得抽取到的兩種球類恰好是“籃球”和“足球”的概率．
【解答過程】（1）因?yàn)?4040%=600（人），則參加調(diào)查的人數(shù)共有600人；
在扇形圖中，10%+40%+20%+m%=100%，所以m=30；
將條形圖補(bǔ)充完整如下；
（2）由題可知，抽取的兩種球類可能為：
所以，抽取到的兩種球類恰好是“籃球”和“足球”的概率P=26=13．
24．（2023秋·云南·高二期末）2022年卡塔爾世界杯足球賽于11月21日至12月18日在卡塔爾境內(nèi)舉辦，這是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行?也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽，備受矚目，一時間掀起了國內(nèi)外的足球熱潮，某機(jī)構(gòu)為了解球迷對足球的喜愛，為此進(jìn)行了調(diào)查.現(xiàn)從球迷中隨機(jī)選出100人作為樣本，并將這100人按年齡分組：第1組[20,30)，第2組[30,40)，第3組[[40,50)，第4組[50,60)，第5組[60,70]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求樣本中數(shù)據(jù)落在[50,60)的頻率
(2)求樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)；
(3)若將頻率視為概率，現(xiàn)在要從[20,30)和[60,70]兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2入進(jìn)行座談，求抽取的2人中至少有1人的年齡在[20,30)組的概率.
【解題思路】（1）根據(jù)概率和為1即可求解；
（2）先判斷出第50百分位數(shù)落在第四組，套公式求解；
（3）利用古典概型的概率公式求解.
【解答過程】（1）依題意，樣本中數(shù)據(jù)落在[50,60)的頻率為：1-0.01×2+0.02×2×10=0.4
（2）樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)落在第四組，
且第50百分位數(shù)為50+0.5-0.1×2+0.20.4×10=52.5.
（3）20,30與60,70兩組的頻率之比為1:2.
現(xiàn)從20,30和60,70兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，則20,30組抽取2人，記為a,b；60,70組抽取4人，記為1,2,3,4.
所有可能的情況為a,ba,1,a,2,a,3,a,4,b,1,b,2,b,3,b,4,1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4共15種.
其中至少有1人的年齡在20,30的情況有a,ba,1a,2a,3a,4b,1,b,2b,3b,4共9種.
記“抽取的2人中至少有1人的年齡在20,30組”為事件A，
則PA=915=35.
25．（2023秋·貴州貴陽·高三期末）在2022年9月貴陽市疫情防控期間，某學(xué)校高一學(xué)生居家學(xué)習(xí)，為了解學(xué)生的自主學(xué)習(xí)狀況，隨機(jī)抽取了該年級40名學(xué)生進(jìn)行網(wǎng)上問卷調(diào)查，獲得了他們一周（五天）平均每天白主學(xué)習(xí)時間的數(shù)據(jù)（單位：分鐘），并分組整理得到如下頻率分布表：
(1)學(xué)校要進(jìn)一步研究學(xué)生自主學(xué)習(xí)時間與學(xué)業(yè)成績的相關(guān)性，在這5組內(nèi)的40名學(xué)生中，用分層抽樣的方法再選取20人進(jìn)行對照研究，求從A5組中抽取的人數(shù)；
(2)在（1）的條件下，從A1組和A4組所抽取的學(xué)生中再隨機(jī)抽取兩人做一個心理測試，求所抽兩人中至少有一人來自于A1組的概率，
【解題思路】（1）首先利用分層抽樣的特點(diǎn)及表中數(shù)據(jù)求出s,t,m的值，則可求出從A5組所抽人數(shù)；
（2）分別求出在從A5和A4組所抽人數(shù)，再列出所有基本事件和滿足條件的結(jié)果，即可得到概率.
【解答過程】（1）由已知得s=1040=0.25,所以t=1-(0.1+0.25+0.3+0.2)=0.15,
因此m=40×0.15=6,利用分層抽樣,設(shè)從A5組所抽人數(shù)為x,則有2040=x6?x=3,
所以從A5組所抽人數(shù)為3.
（2）由(1)知,在A1組中抽取的人數(shù)為20×0.1=2,在A4組中抽取的人數(shù)為20×0.2=4,
記從A1組中抽取的學(xué)生為a1,a2,從A4組所抽取的學(xué)生為b1,b2,b3,b4.
從這6人中抽取2人的所有基本事件有:
a1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a1,b4,a2,b1,a2,b2,a2,b3,
a2,b4,b1,b2,b1,b3,b1,b4,b2,b3,b2,b4,b3,b4，
共有15個基本事件,
滿足條件的結(jié)果為a1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,b3,a1,b4,a2,b1,a2,b2,a2,b3,a2,b4,
共有9個基本事件,
所以所求概率為:P=915=35,
即所抽兩人中至少有一人來自于A1組的概率為35.
26．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）從某臺機(jī)器一天產(chǎn)出的零件中，隨機(jī)抽取10件作為樣本，測得其質(zhì)量如下（單位：克）：10.5,9.9,9.4,10.7,10.0,9.6,10.8,10.1,9.7,9.3，記樣本均值為x，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s.
(1)求x,s；
(2)將質(zhì)量在區(qū)間x-s,x+s內(nèi)的零件定為一等品.
①估計這臺機(jī)器生產(chǎn)的零件的一等品率；
②從樣本中的一等品中隨機(jī)抽取2件，求這兩件產(chǎn)品質(zhì)量之差的絕對值不超過0.3克的概率P.
【解題思路】（1）由平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式求解；
（2）由列舉法結(jié)合概率公式得出①②.
【解答過程】（1）x=11010.5+9.9+9.4+10.7+10.0+9.6+10.8+10.1+9.7+9.3=110×100=10
s2=11010.5-102+9.9-102+9.4-102+10.7-102+10.0-102+9.6-102
+10.8-102+10.1-102+9.7-102+9.3-102=110×2.5=0.25，所以s=0.5.
（2）①x-s,x+s=9.5,10.5，質(zhì)量在區(qū)間9.5,10.5內(nèi)的零件定為一等品，樣本中一等品有：9.9,10.0,9.6,10.1,9.7共5件，用樣本估計總體，這臺機(jī)器生產(chǎn)的零件的一等品率為510=12；
②從5件一等品中，抽取2件，分別為9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7,10.0,9.6，10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,10.1,9.6,9.7,10.1,9.7，共10種情況，如下：抽取兩件產(chǎn)品質(zhì)量之差的絕對值不超過0.3克的情況為：9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7，10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,9.7共7種，這兩件產(chǎn)品質(zhì)量之差的絕對值不超過0.3克的概率P=710.
27．（2023·全國·高一專題練習(xí)）一個袋子中有4個紅球，6個綠球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)地取出2個球.
(1)求第二次取到紅球的概率；
(2)求兩次取到的球顏色相同的概率；
(3)如果袋中裝的是4個紅球，n個綠球，已知取出的2個球都是紅球的概率為25，那么n是多少？
【解題思路】（1）先求出從10個球中不放回地隨機(jī)取出2個的不同取法數(shù)，再求出第二次取到紅球的不同取法數(shù)，然后求概率即可；
（2）結(jié)合（1）求解即可；
（3）由取出的2個球都是紅球的概率求出基本事件的個數(shù)，然后再求解即可.
【解答過程】（1）從10個球中不放回地隨機(jī)取出2個共有10×9=90（種）可能，即nΩ=90，
設(shè)事件A=“兩次取出的都是紅球”，則nA=4×3=12，
設(shè)事件B=“第一次取出紅球，第二次取出綠球”，則nB=4×6=24，
設(shè)事件C=“第一次取出綠球，第二次取出紅球”，則nC=6×4=24，
設(shè)事件D=“兩次取出的都是綠球”，則nD=6×5=30，
因?yàn)槭录嗀,B,C,D兩兩互斥，
所以P（第二次取到紅球）=PA∪C=12+2490=25.
（2）由（1）得，P（兩次取到的球顏色相同）=PA∪D=12+3090=715；
（3）結(jié)合（1）中事件，可得nA=4×3=12，nΩ=n+4n+3，
因?yàn)镻A=nAnΩ=25，
所以nΩ=nA×52=12×52=30，即n+4n+3=30，解得n=2（負(fù)值舍去），
故n=2.
28．（2023春·北京海淀·高一開學(xué)考試）某校高一年級學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測試成績，整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則得到體育成績的折線圖（如下）．
(1)體育成績大于或等于70分的學(xué)生常被稱為“體育良好”．已知該校高一年級有1000名學(xué)生，試估計高一全年級中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)；
(2)為分析學(xué)生平時的體育活動情況，現(xiàn)從體有成績在40,50和60,70的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求在抽取的2名學(xué)生中，恰有1人體育成績在60,70的概率；
(3)假設(shè)甲、乙、丙三人的體育成績分別為a，b，c，且分別在70,80，80,90，90,100三組中，其中a，b，c∈N．當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差s2最小時，寫出a，b，c的值（結(jié)論不要求證明）
【解題思路】（1）根據(jù)折線圖求出樣本中體育成績大于或等于70分的學(xué)生數(shù)，從而得到相應(yīng)的比例，估計出高一全年級中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)；
（2）利用列舉法求出古典概型的概率；
（3）先分析出a=79,c=90，再列出方差s2=6b2-1014b+43386，由二次函數(shù)的對稱軸得到當(dāng)b=84或85時，s2取得最小值.
【解答過程】（1）由折線圖，樣本中體育成績大于或等于70分的學(xué)生有40-2-6-2=30人，
所以該校高一年級學(xué)生中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)大約為1000×3040=750人；
（2）成績在40,50有2名學(xué)生，設(shè)為1,2；60,70有2名學(xué)生，設(shè)為A,B，
故抽取2名學(xué)生的情況有：1,2,1,A,1,B,2,A,2,B,A,B，共6種情況，
其中恰有1人體育成績在60,70的情況有：1,A,1,B,2,A,2,B，共4種情況，
故在抽取的2名學(xué)生中，恰有1人體育成績在60,70的概率為P=46=23；
（3）甲?乙?丙三人的體育成績分別為a,b,c，且分別在70,80，80,90,90,100三組中，其中a,b,c∈N，
要想數(shù)據(jù)a,b,c的方差s2最小，則a,b,c三個數(shù)據(jù)的差的絕對值越小越好，故a=79,c=90，
則甲?乙?丙三人的體育成績平均值為79+b+903=169+b3，
故方差s2=1379-169+b32+b-169+b32+90-169+b32 =12768-b2+2b-1692+101-b2 =1276b2-1014b+43386，
對稱軸為b=--101412=84.5，
故當(dāng)b=84或85時，s2取得最小值，
a,b,c的值為79，84，90或79，85，90.
29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，以邊長為4的正方形ABCD的中心為原點(diǎn)，構(gòu)建一個平面直角坐標(biāo)系．現(xiàn)做如下試驗(yàn)：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，將骰子朝上的點(diǎn)數(shù)作為平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P的坐標(biāo)（第一次的點(diǎn)數(shù)作為橫坐標(biāo)，第二次的點(diǎn)數(shù)作為縱坐標(biāo)）．
(1)（i）請用列表的方法，表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)的所有可能的結(jié)果；
（ii）求點(diǎn)P在正方形ABCD中（含正方形內(nèi)部和邊界）的概率．
(2)試將正方形ABCD平移整數(shù)個單位長度，問是否存在一種平移，使得點(diǎn)P在正方形ABCD中的概率為13？若存在，寫出平移方式；若不存在，請說明理由．
【解題思路】（1）（i）用列表法寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)的所有可能的結(jié)果即可；（ii）由古典概型計算即可得答案；
（2）要使點(diǎn)P在正方形ABCD中的概率為13，則需有且只有12個點(diǎn)落在正方形ABCD中（含正方形內(nèi)部和邊界），由此即可寫出答案.
【解答過程】（1）（i）設(shè)P(x,y)，則點(diǎn)P坐標(biāo)的所有可能結(jié)果如下表所示．
（ii）由（i）知構(gòu)成的點(diǎn)P的坐標(biāo)共有36種情況，其中在正方形ABCD中的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)這4種情況．
∴點(diǎn)P在正方形ABCD中的概率為436=19．
（2）∵點(diǎn)P在正方形ABCD中的概率為13=1236>19，
∴只能將正方形ABCD向上或向右平移整數(shù)個單位長度，且使點(diǎn)P在正方形中的情況有12種，
∴滿足要求的平移方式有兩種，一種是將正方形ABCD先向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度（先向右再向上亦可）；另一種是將正方形ABCD先向上平移1個單位長度，再向右平移2個單位長度（先向右再向上亦可）．
30．（2022·高一課時練習(xí)）班級新年晚會設(shè)置抽獎環(huán)節(jié)．不透明紙箱中有大小、質(zhì)地相同的紅球3個(編號為1，2，3)，黃球2個(編號為4，5)，有如下兩種方案可供選擇：
方案一：一次性抽取2個球，若顏色相同，則獲得獎品；
方案二：依次無放回地抽取2個球，若顏色相同，則獲得獎品；
方案三：依次有放回地抽取2個球，若編號的數(shù)字之和大于5，則獲得獎品．
(1)分別寫出按方案一和方案二抽獎的所有樣本點(diǎn)；
(2)哪種方案獲得獎品的可能性更大？并說明理由．
【解題思路】（1）根據(jù)題意，設(shè)三個紅球分別為：A1,A2,A3，兩個黃球分別為B1,B2，利用列舉法一一列舉出來即可得到答案；
（2）根據(jù)古典概型，分別求出三種方案的概率，即可得出結(jié)論
【解答過程】（1）
記摸到1，2，3號紅球分別為A1，A2，A3，摸到4，5號黃球分別為B1，B2，
則按方案一一次性抽取2個球的所有樣本點(diǎn)為A1,A2，A1,A3，A1,B1，A1,B2，A2,A3，A2,B1，A2,B2，A3,B1，A3,B2，B1,B2，共10個；
按方案二依次無放回地抽取2個球的所有樣本點(diǎn)為A1,A2，A1,A3，A1,B1，A1,B2，A2,A1，A2,A3，A2,B1，A2,B2，A3,A1，A3,A2，A3,B1，A3,B2，B1,A1，B1,A2，B1,A3，B1,B2，B2,A1，B2,A2，B2,A3，B2,B1，共20個；
（2）
方案一中，設(shè)事件A表示“一次性抽取的2個球顏色相同”，
則由（1）知事件A包含A1,A2，A1,A3，A2,A3，B1,B2，共4個樣本點(diǎn)，
故PA=410=25；
方案二中，設(shè)事件B表示“依次無放回抽取的2個球顏色相同”，
則由（1）知事件B包含A1,A2，A1,A3，A2,A1，A2,A3，A3,A1，A3,A2，B1,B2，B2,B1，共8個樣本點(diǎn)，
故PB=820=25；
方案三中，設(shè)兩次抽查取的球所標(biāo)的數(shù)字分別為x、y，
則所有可能的基本事件對應(yīng)的二元有序數(shù)組x,y表示如下表，共25個基本事件，
在方案三中，設(shè)事件C表示“抽取的2個球編號的數(shù)字之和大于5”，
則事件C包含(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共15個樣本點(diǎn)，
故PC=1525=35；
因?yàn)镻A=PB

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