1．瞬時速度
(1)平均速度
設(shè)物體的運動規(guī)律是s=s(t)，則物體在到+t這段時間內(nèi)的平均速度為=.
(2)瞬時速度
①物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.
②一般地，當(dāng)t無限趨近于0時，無限趨近于某個常數(shù)v，我們就說當(dāng)t趨近于0時，的極限
是v，這時v就是物體在t=時的瞬時速度，即瞬時速度v==.
2．拋物線切線的斜率
(1)拋物線割線的斜率
設(shè)二次函數(shù)y=f(x)，則拋物線上過點、的割線的斜率為=.
(2)拋物線切線的斜率
一般地，在二次函數(shù)y=f(x)中，當(dāng)x無限趨近于0時，無限趨近于某個常數(shù)k，我們就說當(dāng)x趨
近于0時，的極限是k，這時k就是拋物線在點處切線的斜率，即切線的斜率k==.
3．函數(shù)的平均變化率
函數(shù)平均變化率的定義
對于函數(shù)y=f(x)，設(shè)自變量x從變化到+x，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f()變化到f(+x).這時，x
的變化量為x，y的變化量為y=f(+x)- f ().我們把比值，即=叫做函數(shù)y=f(x)從到+x的平均變化率.
4．函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義
(1)切線的定義
在曲線y=f(x)上任取一點P(x,f(x))，如果當(dāng)點P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近于點(,f())時，割線P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線T(T是直線T上的一點)稱為曲線y=f(x)在點處的切線.
(2)函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y=f(x)在x=處的導(dǎo)數(shù)f'()就是切線T的斜率，即==f'().這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.相應(yīng)地，切線方程為y-f()=f'()(x-).
5．導(dǎo)函數(shù)的定義
從求函數(shù)y=f(x)在x=處導(dǎo)數(shù)的過程可以看到，當(dāng)x=時，f'()是一個唯一確定的數(shù).這樣，當(dāng)x變化時，y=f'(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)).y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時也記作y'，即f'(x)=y'=.
【題型1 瞬時速度、平均速度】
【方法點撥】
根據(jù)瞬時速度、平均速度的定義進行求解即可.
【例1】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知物體做直線運動對應(yīng)的函數(shù)為S=S(t)，其中S表示路程，t表示時間．則S'(4)＝10表示的意義是（ ）
A．經(jīng)過4s后物體向前走了10m
B．物體在前4秒內(nèi)的平均速度為10 m/s
C．物體在第4秒內(nèi)向前走了10m
D．物體在第4秒時的瞬時速度為10m/s
【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，S(t)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即是t時刻的瞬時速度．求解即可．
【解答過程】∵物體做直線運動的方程為S=S(t)，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，S(t)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是t時刻的瞬時速度，
∴S'(4)=10表示的意義是物體在第4s時的瞬時速度為10m/s．
故選：D．
【變式1-1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)st=t2+t+1表示，則該物體在t=1s時的瞬時速度為（ ）
A．0m/sB．1m/sC．2m/sD．3m/s
【解題思路】根據(jù)瞬時速度的概念即可利用平均速度取極限求解.
【解答過程】該物體在時間段1,1+Δt上的平均速度為ΔsΔt=s1+Δt-s1Δt=1+Δt2+1+Δt+1-12+1+1Δt=3+Δt，當(dāng)Δt無限趨近于0時，3+Δt無限趨近于3，即該物體在t=1s時的瞬時速度為3m/s．
故選：D.
【變式1-2】（2022·廣東廣州·高二期末）在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-4.9t2+4.8t+11.該運動員在t=1s時的瞬時速度（單位：m/s）為（ ）
A．10.9B．-10.9C．5D．-5
【解題思路】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后把t=1代入即可求解．
【解答過程】解：因為h(t)=-4.9t2+4.8t+11，
所以h'(t)=-9.8t+4.8，
令t=1，得瞬時速度為-5．
故選：D.
【變式1-3】（2022·河南·高二階段練習(xí)（理））一質(zhì)點做直線運動，其位移s與時間t的關(guān)系為s=t2+2t，設(shè)其在t∈[2,3]內(nèi)的平均速度為v1，在t=2時的瞬時速度為v2，則v1v2=（ ）
A．76B．73C．67D．37
【解題思路】直接運用導(dǎo)數(shù)的運算法則，計算即可
【解答過程】v1=32+2×3-22+2×23-2=7，s'=2t+2，
所以v2=2×2+2=6，所以v1v2=76．
故選：A.
【題型2 平均變化率】
【方法點撥】
根據(jù)題目條件，結(jié)合函數(shù)的平均變化率的定義，即可得解.
【例2】（2022·江蘇省高二階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2+2，則該函數(shù)在區(qū)間1,3上的平均變化率為（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解題思路】根據(jù)平均變化率的定義直接求解.
【解答過程】因為函數(shù)fx=x2+2，
所以該函數(shù)在區(qū)間1,3上的平均變化率為
f(3)-f(1)3-1=32+2-(12+2)2=4，
故選：A.
【變式2-1】（2022·遼寧·高二階段練習(xí)）函數(shù)fx=-x3+1在區(qū)間-1,2上的平均變化率為（ ）
A．3B．2C．-2D．-3
【解題思路】根據(jù)平均變化率的定義計算即可
【解答過程】由題，函數(shù)fx=-x3+1在區(qū)間-1,2上的平均變化率為f2-f-12--1=-23+1---13+13=-3
故選：D.
【變式2-2】（2022·陜西·高二階段練習(xí)（理））若函數(shù)f(x)=x2-t，當(dāng)1≤x≤m時，平均變化率為2，則m等于（ ）
A．5B．2C．3D．1
【解題思路】直接利用平均變化率的公式求解.
【解答過程】由題得ΔyΔx=fm-f1m-1=m2-1m-1=m+1=2，
所以m=1
故選：D.
【變式2-3】（2022·陜西安康·高二期末（文））為了評估某種治療肺炎藥物的療效，有關(guān)部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．設(shè)該藥物在人體血管中藥物濃度c與時間t的關(guān)系為c=f(t)，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間t變化的關(guān)系如下圖所示．給出下列四個結(jié)論錯誤的是（ ）
A．在t1時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同；
B．在t2時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不同；
C．在t2,t3這個時間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同；
D．在t1,t2，t2,t3兩個時間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同．
【解題思路】根據(jù)圖象以及導(dǎo)數(shù)的知識對選項進行分析，從而確定正確選項.
【解答過程】A選項，根據(jù)圖象可知，在t1時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，A選項結(jié)論正確.
B選項，根據(jù)圖象以及導(dǎo)數(shù)的知識可知，在t2時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不同，
B選項結(jié)論正確.
C選項，根據(jù)圖象可知，在t2,t3這個時間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同，
C選項結(jié)論正確.
D選項，根據(jù)圖象可知，在t1,t2這個時間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率為大于
在t2,t3這個時間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率
D選項結(jié)論錯誤.
故選：D.
【題型3 利用導(dǎo)數(shù)的定義解題】
【方法點撥】
利用導(dǎo)數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化求解即可.
【例3】（2022·新疆·高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)為2，則limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx=（ ）
A．0B．12C．1D．2
【解題思路】根據(jù)極限與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系直接求解.
【解答過程】根據(jù)極限與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可知limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx=f'(x0)=2，
故選:D.
【變式3-1】（2022·上海市高二期末）已知f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若lim△x→0f(2)-f(2+Δx)2Δx=12，則f'(2)=（ ）
A．-1B．-14C．1D．14
【解題思路】根據(jù)極限與導(dǎo)數(shù)的定義計算．
【解答過程】f'(2)=lim△x→0f(2+Δx)-f(2)Δx=-2lim△x→0f(2)-f(2+Δx)2Δx=-2×12=-1
故選：A．
【變式3-2】（2022·湖北襄陽·高二期末）若函數(shù)y=fx在x=x0處的導(dǎo)數(shù)為1，則limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0-Δx)Δx=（ ）
A．2B．3C．－2D．－3
【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義即可得出．
【解答過程】解：若函數(shù)y=fx在x=x0處的導(dǎo)數(shù)為1，
∴f'(x0)=1．
則limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0-Δx)Δx=2limΔx→0f(x0+2Δx)-f(x0)2Δx+limΔx→0f(x0-Δx)-f(x0)-Δx =2f'x0+f'x0=3f'x0=3．
故選：B．
【變式3-3】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)fx的定義域為R，若limΔx→0f1+Δx-f1Δx=4，則f'1=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得f'1的值.
【解答過程】由導(dǎo)數(shù)的定義可得f'1=limΔx→0f1+Δx-f1Δx=4.
故選：D.
【題型4 導(dǎo)數(shù)的幾何意義】
【方法點撥】
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的斜率或切線方程.
【例4】（2023·上海·高三專題練習(xí)）limx→2f(5-x)-3x-2=2,f(3)=3，f(x)在(3,f(3))處切線方程為（ ）
A．2x+y+9=0B．2x+y-9=0
C．-2x+y+9=0D．-2x+y-9=0
【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出f'3=-2再結(jié)合直線的點斜式公式，即可求解．
【解答過程】由已知，limx→2f(5-x)-3x-2=2,f(3)=3，令Δx=x-2，
∴l(xiāng)imΔx→0f(3-Δx)-f(3)Δx＝limΔx→0f(3-Δx)-f(3)-Δx=-f'3=2，解f'3=-2，
∴f(x)在(3,f(3))處切線方程為y-3=-2(x-3)，即2x+y-9=0．
故選：B．
【變式4-1】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)y=fx的圖像在點M3,f3處的切線方程是y=13x+23，則f3+f'3的值為（ ）
A．1B．2C．3D．5
【解題思路】根據(jù)切線方程的斜率為切點處的導(dǎo)數(shù)值,且切點在f(x)以及切線上即可求解f(3),f'(3).
【解答過程】由點M3,f3處的切線方程是y=13x+23可得：f'3=13,
x=3時，y=13×3+23=53,故f(3)=53,
∴f3+f'3=2,
故選：B.
【變式4-2】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））設(shè)函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=2x+1，則limΔx→0f(1+Δx)-f(1)2Δx=（ ）
A．4B．2C．1D．12
【解題思路】根據(jù)曲線某點處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，得f'(1)=2，再根據(jù)limΔx→0f(1+Δx)-f(1)2Δx=12limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=12f'(1)可求解.
【解答過程】∵函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=2x+1，
∴f'(1)=2,
則limΔx→0f(1+Δx)-f(1)2Δx=12limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=12f'(1)=1.
故選:C.
【變式4-3】（2022·浙江·高二期中）如圖，函數(shù)y=fx的圖象在點P處的切線方程是y=-x+8，則limΔx→0f5+Δx-f5-ΔxΔx=（ ）
A．-12B．2C．-1D．-2
【解題思路】依題意可知切點坐標(biāo)，由切線方程得到f'5=-1，利用導(dǎo)數(shù)的概念解出即可.
【解答過程】依題意可知切點P5,3，
∵ 函數(shù)y=fx的圖象在點P處的切線方程是y=-x+8，
∴ f'5=-1，即limΔx→0f5+Δx-f5Δx=-1
∴ limΔx→0f5+Δx-f5-ΔxΔx=2limΔx→0f5+Δx-f5-Δx2Δx
又∵ limΔx→0f5+Δx-f5-Δx2Δx=limΔx→0f5+Δx-f5Δx=-1
∴ limΔx→0f5+Δx-f5-ΔxΔx=2limΔx→0f5+Δx-f5-Δx2Δx=-2
即limΔx→0f5+Δx-f5-ΔxΔx=-2
故選：D.
【題型5 函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系】
【方法點撥】
結(jié)合具體條件，根據(jù)函數(shù)圖象、導(dǎo)函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，進行轉(zhuǎn)化求解即可.
【例5】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知f'x是fx的導(dǎo)函數(shù)，f'x的圖象如圖所示，則fx的圖象只可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，原函數(shù)先增長“迅速”，后增長“緩慢”.
【解答過程】由題中f'x的圖象可以看出，在a,b內(nèi)，f'x>0，
且在a,a+b2內(nèi)，f'x單調(diào)遞增，
在a+b2,b內(nèi)，f'x單調(diào)遞減，
所以函數(shù)fx在a,b內(nèi)單調(diào)遞增，
且其圖象在a,a+b2內(nèi)越來越陡峭，在a+b2,b內(nèi)越來越平緩．
故選：D．
【變式5-1】若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象可能是
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，進行求解即可.
【解答過程】∵函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，
∴對任意的a＜x1＜x2＜b，有，也即在a,x1,x2,b處它們的斜率是依次增大的．∴A滿足上述條件，
對于B，存在使，
對于C，對任意的a＜x1＜x2＜b，都有，
對于D，對任意的x∈[a，b]，不滿足逐漸遞增的條件，
故選A．
【變式5-2】（2022·北京高二期末）已知函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+d，其導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)fx的圖像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】由導(dǎo)函數(shù)的圖像分析原函數(shù)切線斜率，結(jié)合選項依次判斷即可.
【解答過程】由導(dǎo)函數(shù)圖像可知，原函數(shù)fx在區(qū)間-∞,1的切線斜率逐漸減小，在x=1處的切線斜率為1，在區(qū)間1,+∞的切線斜率逐漸增大，
結(jié)合選項可知，A、B選項不滿足在x=1處的切線斜率為1，排除；C選項在區(qū)間1,+∞的切線斜率先減小再增大，排除；D選項滿足要求.
故選：D.
【變式5-3】（2022·河南高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'x，若y=f'x的圖象如圖所示，則函數(shù)y=fx的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0，原函數(shù)單調(diào)遞增；導(dǎo)函數(shù)小于0，原函數(shù)單調(diào)遞減；即可得出正確答案.
【解答過程】由導(dǎo)函數(shù)得圖象可得：x>0時，f'x0時，f'x先正后負(fù)，所以fx在0,+∞先增后減，
因選項C是先減后增再減，故排除選項C，
故選：D.
【題型6 導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用】
【方法點撥】
曲線在某點處的切線斜率的大小反映了曲線在相應(yīng)點處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出曲線
升降的快慢.結(jié)合具體條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，進行轉(zhuǎn)化求解即可.
【例6】（2022·河南·高三開學(xué)考試（文））已知函數(shù)fx的圖象如圖所示，下列數(shù)值的排序正確的是（ ）
A．0f'x2>f'x1；
故選：B.
【變式6-2】（2022·廣東·高二期中）如圖，函數(shù)fx的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（ ）
A．f'1f2'x0>f3'x0>f4'x0
B．f1'x0>f3'x0>f2'x0>f4'x0
C．f4'x0>f1'x0>f3'x0>f2'x0
D．f1'x0>f3'x0>f4'x0>f2'x0
【解題思路】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，畫出各個函數(shù)圖象在x=x0處的切線，根據(jù)切線的斜率來判斷即可．
【解答過程】依次作出f1x，f2x，f3x，f4x在x=x0的切線，如圖所示：
根據(jù)圖形中切線的斜率可知f1'(x0)>f2'(x0)>f3'(x0)>f4'(x0)．
故選：A．

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