1．平面幾何中的向量方法
(1)用向量研究平面幾何問題的思想
向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性.因此，用向量解決平面幾何問題，就是將
幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算問題，將“證”轉(zhuǎn)化為“算”，思路清晰，便于操作.
(2)向量在平面幾何中常見的應(yīng)用
①證明線段平行或點(diǎn)共線問題，以及相似問題，常用向量共線定理：∥=-=0 (≠0).
②證明線段垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(或線段)是否垂直等，常用向量垂直的條件：=0+=0.
③求夾角問題，利用夾角公式：==.
④求線段的長度或說明線段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||=
.
(3)向量法解決平面幾何問題的“三步曲”
2．向量在物理中的應(yīng)用
(1)力學(xué)問題的向量處理方法
向量是既有大小又有方向的量，它們可以有共同的作用點(diǎn)，也可以沒有共同的作用點(diǎn)，但力卻是既有大小，又有方向且作用于同一作用點(diǎn)的量.用向量知識解決力的問題，往往是把向量平移到同一作用點(diǎn)上.
(2)速度、位移問題的向量處理方法
速度、加速度與位移的合成和分解，實(shí)質(zhì)就是向量的加減法運(yùn)算，而運(yùn)動的疊加也用到向量的合成.
(3)向量與功、動量
物理上力做功的實(shí)質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，它的實(shí)質(zhì)是向量的數(shù)量積.
①力的做功涉及兩個向量及這兩個向量的夾角，即W=||||.功是一個實(shí)數(shù),它可正,可負(fù),也可
為零.
②動量涉及物體的質(zhì)量m，物體運(yùn)動的速度，因此動量的計算是向量的數(shù)乘運(yùn)算.
【題型1 用向量解決平面幾何中的平行問題】
【方法點(diǎn)撥】
用向量法解決平面幾何中的平行問題，一般來說有兩種方法.
(1)普通向量法：利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計算，將平行問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.
(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的平行問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.
【例1】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）在△ABC中，點(diǎn)M，N分別在線段AB，AC上，AM=2MB，AN=2NC.求證：MN//BC.
【解題思路】設(shè)AB=a，AC=b，即可表示出BC，再由AM=23AB，AN=23AC，即可表示出MN，從而得到MN=23BC，即可得證；
【解答過程】證明：設(shè)AB=a，AC=b，則BC=AC-AB=b-a.
又AM=2MB，AN=2NC.所以AM=23AB=23a，AN=23AC=23b.
在△AMN中，MN=AN-AM=23b-a，
所以MN=23BC，即MN與BC共線，故MN//BC.
【變式1-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在四邊形ABCD中， AB=DC，N，M是AD，BC上的點(diǎn)，且DN＝MB.
求證： CN=MA.
【解題思路】利用AB=DC，可得四邊形ABCD是平行四邊形，結(jié)合DN=MB，即可證明CN=MA.
【解答過程】∵AB=DC，∴AB=DC且AB∥DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CB=DA ,∵DN=MB，∴AN=MC，
又∵CM∥NA，
∴四邊形CNAM是平行四邊形，∴CN=MA，
又CN與MA方向相同，
∴CN=MA.
【變式1-2】（2022春·高一課時練習(xí)）如圖，已知AD,BE,CF是△ABC的三條高，且交于點(diǎn)O，DG⊥BE于點(diǎn)G，DH⊥CF于點(diǎn)H，求證：HG//EF．
【解題思路】先由題意，得到GD//AE，設(shè)OA=λOD(λ≠0)，根據(jù)三角形相似，推出AE=λDG，AF=λDH，再由向量的線性運(yùn)算，得到FE=λHG，即可得出結(jié)論成立．
【解答過程】證明：由題意，DG⊥BE，AE⊥BE，∴GD//AE．
設(shè)OA=λOD(λ≠0)，則AE=λDG．
同理AF=λDH．
于是FE=AE-AF=λ(DG-DH)=λHG．
∴FE//HG，∴HG//EF．
【變式1-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，分別在平行四邊形ABCD的對角線BD的延長線和反向延長線上取點(diǎn)F和點(diǎn)E，使DF=BE.試用向量方法證明：四邊形AECF是平行四邊形.
【解題思路】由題知AE→=AB→+BE→，F(xiàn)C→=FD→+DC→，進(jìn)而根據(jù)題意得AE→=FC→，再根據(jù)向量共線即可證明.
【解答過程】證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，
所以AB→=DC→，BE→=FD→，
因?yàn)锳E→=AB→+BE→，F(xiàn)C→=FD→+DC→，
所以AE→=FC→，即AE//FC，且AE=FC，
所以四邊形AECF是平行四邊形.
【題型2 用向量解決平面幾何中的垂直問題】
【方法點(diǎn)撥】
用向量法解決平面幾何中的垂直問題，一般來說有兩種方法.
(1)普通向量法：利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計算，有時可選取適當(dāng)?shù)幕?盡量用已知模或夾角的
向量作為基底)，將題中涉及的向量用基底表示.
(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的垂直問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.
【例2】（2022·高二課時練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn),G是AD,BC的三等分點(diǎn)（AF=23AD，BG=23BC）.設(shè)AB=a，AD=b.
(1)用a,b表示EF,EG；
(2)如果a=43b，用向量的方法證明：EF⊥EG.
【解題思路】（1）利用平面向量基本定理表示出EF,EG；
（2）利用EF→,EG→數(shù)量積為0證明EF⊥EG.
【解答過程】（1）因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以AE=EB=12AB=12a.
因?yàn)锳F=23AD，BG=23BC,所以BG=AF=23AD=23b.
所以EF=AF-AE=23b-12a，EG=EB+BG=12a+23b.
（2）由（1）可得： EF=23b-12a，EG=12a+23b.
因?yàn)閍=43b，
所以EF?EG=23b-12a?23b+12a=49b2-14a2=49b2-1443b2=0，
所以EF⊥EG.
【變式2-1】（2022·高一課時練習(xí)）用向量方法證明：菱形對角線互相垂直．已知四邊形ABCD是菱形，AC，BD是其對角線．求證：AC⊥BD．
【解題思路】設(shè)AB=a， AD=b，則a＝b且AC=a+b,BD=b-a，即可求得AC?BD=0，由此即可證明結(jié)果.
【解答過程】證明：設(shè)AB=a， AD=b．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以a＝b，
又AC=AB+AD=a+b,BD=AD-AB=b-a
則AC→?BD→=a→+b→·b→-a→=b→2-a→2=b→2-a→2=0，故AC⊥BD．
所以AC⊥BD.
【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為a， E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，求證：DE⊥AF.
【解題思路】利用平面向量加法、數(shù)乘的幾何意義有DE·AF＝(DA+12AB)·(AB+12AD)，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，線段的位置、數(shù)量關(guān)系可得DE·AF＝0，即可證結(jié)論.
【解答過程】∵DE·AF＝(DA+12AB)·(AB+12AD)＝12 AB2－12 AD2+14AD?AB+DA?AB，而AD⊥AB,AD=AB，
∴DE·AF＝0，
∴DE⊥AF，即DE⊥AF.
【變式2-3】（2022·高二課時練習(xí)）如圖所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D為BC的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且AE=2EB，求證：AD⊥CE.
【解題思路】以AC,CB為基底，表示AD=AC+12CB，CE=13CA+23CB，結(jié)合向量的運(yùn)算可知AD?CE=0，進(jìn)而證得結(jié)論.
【解答過程】AD?CE=AC+CD?CA+AE=AC+12CB?CA+23AB
=AC+12CB?CA+23CB-23CA=AC+12CB?13CA+23CB
=-13CA2+13CB2，
因?yàn)镃A=CB，
所以-13CA2+13CB2=0，即AD?CE=0，
故AD⊥CE.
【題型3 利用向量求線段間的長度關(guān)系】
【方法點(diǎn)撥】
利用向量知識，結(jié)合具體條件，將平面幾何中的長度關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.
【例3】（2021·高一課時練習(xí)）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，DC邊的中點(diǎn)，BE，BF分別與AC交于R，T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間的關(guān)系嗎？用向量方法證明你的結(jié)論.
【解題思路】由于R,T是對角線AC上的兩點(diǎn)，要判斷AR,RT,TC之間的關(guān)系，只需分別判斷AR,RT,TC與AC之間的關(guān)系即可.
【解答過程】設(shè)AB=a，AD=b，AR=r，則AC=a+b.
由AR//AC，可設(shè)r=n(a+b),n∈R，
又EB=AB-AE=a-12b，ER//EB，可設(shè)ER=mEB=m(a-12b)，
∵AR=AE+ER，
∴r=12b+m(a-12b)，
綜上，有n(a+b)=12b+m(a-12b)，即(n-m)a→+(n+m-12)b→=0→，
由于a與b不共線，則{n-m=0n+m-12=0，解得m=n=13，
∴AR=13AC.同理，TC=13AC，RT=13AC.
∴AR=RT=TC.
【變式3-1】（2022·高一課時練習(xí)）在梯形ABCD中，BC>AD，AD//BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)，求證：EF=BC-AD2.
【解題思路】由題意可知EF=BC-AD2，又BC>AD，AD//BC，且AD與BC同向，
則|EF|=|BC|-|AD|2，即可求證
【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)，
所以EB=12DB，CF=12CA.
所以EF=EB+BC+CF=12DB+BC+12CA.
因?yàn)锽C+CA+AD+DB=0，
所以 DB+CA=DA+CB，
所以EF=12(CB+DA)+BC=BC-AD2.
因?yàn)锽C>AD，AD//BC，且AD與BC同向，
所以|EF|=BC-AD2=|BC|-|AD|2，
即EF=BC-AD2.
【變式3-2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F為線段AC延長線上一點(diǎn)，且BEAB=CFAC，連接EF交BC于點(diǎn)D，求證：ED=DF.
【解題思路】以點(diǎn)B為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)BEAB=CFAC=λ，利用CF=λAC可得F(λ(1-a)+1,-λb)，由ED//DF可得2d=λ+1，繼而可證明ED=DF，即得證
【解答過程】證明：如圖，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)BC=1
設(shè)BEAB=CFAC=λ，C(1,0)，A(a,b)，D(d,0)，則E(λa,λb)，AC=(1-a,-b)，
所以CF=λAC=(λ(1-a),-λb)，所以F(λ(1-a)+1,-λb).
所以ED=(d-λa,-λb)，DF=(λ(1-a)+1-d,-λb).
因?yàn)镋，D，F(xiàn)共線，
所以ED//DF，
所以-λb(d-λa)=-λb[λ(1-a)+1-d]
化簡得2d=λ+1.
因?yàn)镋D-DF=(d-λa,-λb)-(λ-λa+1-d,-λb) =(2d-λ-1,0)=(0,0)=0，
所以ED=DF.
所以ED=DF.
【變式3-3】（2022·高一單元測試）如圖，在△OAB中，點(diǎn)C分OA為1:3，點(diǎn)D為OB中點(diǎn)，AD與BC交于P點(diǎn)，延長OP交AB于E，求證：AE=3EB.
【解題思路】以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(1,0)，B(a,b)，P(m,n)，AE=λEB，依題意可求出點(diǎn)C,D,E的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A，P，D共線可得n12a-1=12(m-1)b，由點(diǎn)B，P，C共線，可得na-14=m-14b，由點(diǎn)O，P，E共線，可得m?λb1+λ=n?λa+11+λ，即可解出λ，從而證出．
【解答過程】以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)A(1,0)，B(a,b)，P(m,n)，AE=λEB，則Eλa+11+λ,λb1+λ.
因?yàn)辄c(diǎn)C分OA為1:3，所以O(shè)C=14OA=14,0
因?yàn)辄c(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，所以O(shè)D=12OB=12a,12b.
因?yàn)辄c(diǎn)A，P，D共線，所以AP//AD.
又AP=(m-1,n)，AD=12a-1,12b，所以n12a-1=12(m-1)b.
同理由點(diǎn)B，P，C共線，可得na-14=m-14b，
由點(diǎn)O，P，E共線，可得m?λb1+λ=n?λa+11+λ.解得λ=3.所以AE=3EB.
【題型4 用向量解決夾角問題】
【方法點(diǎn)撥】
利用向量知識，結(jié)合具體條件，利用向量的夾角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.
【例4】（2022春·山東菏澤·高一期末）如圖，在△ABC中，已知AC=1，AB=3，∠BAC=60°，且PA+PB+PC=0.求cs∠APC.
【解題思路】根據(jù)向量線性運(yùn)算結(jié)合已知PA+PB+PC=0可得故PA=-13(AB+AC)，PC=13(2AC-AB)，平方后利用數(shù)量積的運(yùn)算法則求得|PA|,|PC|，再利用向量的夾角公式即可求得答案.
【解答過程】由題意得|AB|=3,|AC|=1，AB,AC的夾角為∠BAC=60°，
PA+PB+PC=0，則PB+PC=-PA，
又AB=PB-PA,AC=PC-PA，所以AB+AC=PB-PA+PC-PA=-3PA，
故PA=-13(AB+AC)，同理PC=13(BC+AC)=13(AC-AB+AC)=13(2AC-AB)
于是
|PA|2=[-13(AB+AC)]2=19(AB2+2AB?AC+AC2)=19(9+2×3×1×12+1)=139，
∴|PA|=133，
|PC|2=13(2AC-AB)2=19(AB2-4AB?AC+4AC2)
=19(9-4×3×1×12+4)=79,∴|PC|=73，
∴cs∠APC=PA?PC|PA|?|PC|=-13(AB+AC)?13(2AC-AB)|PA|?|PC|
=-19(2AC2+AB?AC-AB2)|PA|?|PB|=-19(2+3×1×12-9)133×73=11291=1191182.
【變式4-1】（2022春·重慶·高一期末）如圖，在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=4，點(diǎn)D在BC上，且BD=2DC，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，連接AD，BE相交于O點(diǎn).
(1)求線段AD，BE的長；
(2)求∠EOD的余弦值.
【解題思路】（1）由BE2=BE2=12AC-AB2，AD2=AD2=(23AC+13AB)2，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算即可求解；
（2）由AD與BE的夾角即為∠EOD，利用向量的夾角公式即可求解.
【解答過程】(1)
解：由題意，AB=2,AE=AC2=2，∠BAC=120°，
又BE=AE-AB=12AC-AB，
所以BE2=BE2=12AC-AB2=14AC2-AC?AB+AB2=14AC2-AC?ABcs∠BAC+AB2 =12，
∴BE=23，即BE=23，
∵AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=23AC+13AB
∴AD2=AD2=(23AC+13AB)2 =49AC2+2×23×13×AC?AB+19AB2=49AC2+2×23×13×AC?ABcs∠BAC+19AB2=529，
∴AD=2133，即AD=2133；
(2)
解：∵BE=AE-AB=12AC-AB，
∴AD?BE=(23AC+13AB)(12AC-AB)=13AC2-12AC?AB-13AB2=13×42-12×(-4)-13×22=6，
∵ AD與BE的夾角即為∠EOD，
∴cs∠EOD=AD?BEADBE=623×2133=33926.
【變式4-2】（2022春·廣東河源·高一階段練習(xí)）已知△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，D是BC邊的中點(diǎn)，BE⊥AD，垂足為E，延長BE交AC于點(diǎn)F，連接DF，求證：∠ADB=∠FDC.
【解題思路】以B為原點(diǎn)，BC，BA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，證明DA,DB的夾角與DF,DC的夾角相等，從而證得結(jié)論。
【解答過程】如圖，以B為原點(diǎn)，BC，BA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)A0， 2，C2， 0，則D1， 0，AC=2， -2.
設(shè)AF=λAC，則BF=BA+AF=0， 2+2λ， -2λ=2λ， 2-2λ.
又因?yàn)镈A=-1， 2，BF⊥DA，所以BF?DA=0，
所以-2λ+22-2λ=0，解得 λ=23，所以BF=43， 23.
所以DF=BF-BD=13， 23.
又因?yàn)镈C=1， 0，
所以cs∠ADB=DA?DBDADB=55，cs∠FDC=DF?DCDFDC=55.
又因?yàn)椤螦DB，∠FDC∈0，π，所以∠ADB=∠FDC.
【變式4-3】（2022·高二課時練習(xí)）已知梯形ABCD中，AB // CD，AB=2CD，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BD與AE的交點(diǎn)，AD=λAB+μAE．
(1)求λ和μ的值；
(2)若AB=22，BC=6，∠ABC=45°，求EA與BD所成角的余弦值．
【解題思路】（1）由向量的運(yùn)算得出AD=-32AB+2AE，進(jìn)而得出λ和μ的值；
（2）由向量的運(yùn)算得出EA=12CB+BA，BD=BC+12BA，進(jìn)而得出|EA|，|BD|，EA?BD，再由數(shù)量積公式求解即可.
【解答過程】（1）根據(jù)題意，梯形ABCD中，AB // CD，AB=2CD，E為BC的中點(diǎn)
則AD=AB+BC+CD=12AB+BC=12AB+2BE =12AB+2(AE-AB)=-32AB+2AE
又由AD=λAB+μAE可得λ=-32，μ=2
（2）∠AFD是EA與BD所成的角，設(shè)向量EA與BD所成的角為θ
EA=EB+BA=12CB+BA，則|EA|2=14CB2+BA2+CB?BA=9+8-12=5
BD=BC+CD=BC+12BA，則|BD|2=BC2+14BA2+BC?BA=2+36+12=50
則|EA|=5，|BD|=50
因?yàn)镋A?BD=12CB+BA?BC+12BA=BA-12BC?BC+12BA
=-12CB2+12BA2+34CB?BA=-18+4+9=-5，
所以csθ=EA?BD|EA||BD|=-55×52=-1010
所以EA與BD所成角的余弦值為-1010.
【題型5 用向量解決物理中的相關(guān)問題】
【方法點(diǎn)撥】
平面向量在物理的力學(xué)、運(yùn)動學(xué)中應(yīng)用廣泛，用向量處理這些問題時，先根據(jù)題意把物理中的相關(guān)量用有
向線段表示，再利用向量加法的平行四邊形法則轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程來計算.
【例5】（2022·高一課時練習(xí)）如圖，一滑輪組中有兩個定滑輪A，B，在從連接點(diǎn)O出發(fā)的三根繩的端點(diǎn)處，掛著3個重物，它們所受的重力分別為4N，4N和43N．此時整個系統(tǒng)恰處于平衡狀態(tài)，求∠AOB的大?。?br>【解題思路】根據(jù)題意，用向量的方法求解，作出對應(yīng)的受力分析圖，得到OA+OB=OC=-OD，推出OA2+2OA?OB+OB2=OC2，再由題中數(shù)據(jù)，以及向量的夾角公式，即可得出結(jié)果.
【解答過程】解：如圖，∵OA+OB=OC=-OD，
∴OA2+2OA?OB+OB2=OC2，
∴|OA|2+2|OA|?|OB|cs∠AOB+|OB|2=|OC|2，
即42+2×4×4×cs∠AOB+42=(43)2，
∴cs∠AOB=12．
∵0

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