1．等比數(shù)列的概念
2．等比中項
如果在a與b中間插入一個數(shù)G(G≠0)，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項.
若G是a與b的等比中項，則，所以=ab，即G=.
3．等比數(shù)列的通項公式
若等比數(shù)列{}的首項為，公比為q，則這個等比數(shù)列的通項公式是=(,q≠0).
4．等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)函數(shù)的關系
等比數(shù)列{}的通項公式=可以改寫為=，當q>0且q≠1時，等比數(shù)列{}的圖象是
指數(shù)型函數(shù)y=的圖象上一些孤立的點.
5．等比數(shù)列的單調(diào)性
已知等比數(shù)列{}的首項為，公比為q，則
(1)當或時，等比數(shù)列{}為遞增數(shù)列；
(2)當或時，等比數(shù)列{}為遞減數(shù)列；
(3)當q=1時，等比數(shù)列{}為常數(shù)列(這個常數(shù)列中各項均不等于0)；
(4)當q0且c≠1)是公差為的等差數(shù)列.
【題型1 等比數(shù)列的基本量的求解】
【方法點撥】
根據(jù)所給條件，求解等比數(shù)列的基本量，即可得解.
【例1】（2022·江西·高三階段練習（文））在等比數(shù)列an中，a2+a4=3，a5+a7=192，則公比q的值為（ ）
A．4B．±4C．2D．±2
【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列定義兩式相除即可得出公比q.
【解答過程】a2+a4=qa1+a1q2=3，a5+a7=q4a1+a1q2=192，得q3=a5+a7a2+a4=64，∴q=4．
故選：A．
【變式1-1】（2022·陜西·高二階段練習）已知等比數(shù)列an中，a2=116，a6=4，則公比q=（ ）
A．±4B．±22C．22D．4
【解題思路】用基本量a1,q表示題干信息，計算即可.
【解答過程】由題意，設等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q，
由a2=116，a6=4，
可得a1q=116a1q5=4，故q4=64，解得q=±22.
故選：B.
【變式1-2】（2022·甘肅·高三階段練習（理））在等比數(shù)列an中，a2a4=64，a3+a5=40，則a1=（ ）
A．2B．±2C．2或43D．±43
【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合等比中項，建立方程組，可得答案.
【解答過程】設an的公比為q，由a2a4=64a3+a5=40，則a32=64a3+a3q2=40，解得a3=-8q2=-6（舍去），故a3=8q2=4，所以q2=4，a1=a3q2=2.
故選：A.
【變式1-3】（2022·云南昆明·高二期末）在等比數(shù)列an中，a1+a3=2，a3+a5=6，則a1=（ ）
A．2B．3C．13D．12
【解題思路】利用a3+a5=a1+a3q2可得到等比數(shù)列an的公比的平方，再利用a1+a3=a1+a1q2=2即可得出a1=12.
【解答過程】在等比數(shù)列an中，由6=a3+a5=a1+a3q2=2q2得
q2=3，
所以，a1+a3=a1+a1q2=4a1=2，
所以a1=12.
故選：D.
【題型2 等比中項】
【方法點撥】
根據(jù)題目條件，結(jié)合等比中項的定義，即可得解.
【例2】（2022·黑龍江·高二期中）在等比數(shù)列an中，a1=18，q=2，則a4與a8的等比中項是（ ）
A．±4B．4C．-2D．-4
【解題思路】先通過等比數(shù)列的通項公式計算a4a8，進而可得其等比中項.
【解答過程】由已知a4a8=a62=a1q52=18×252=16
所以a4與a8的等比中項是±4，
故選：A.
【變式2-1】（2022·寧夏·高一期末）若等比數(shù)列的首項為4，公比為2，則數(shù)列中第2項與第4項的等比中項為（ ）
A．32B．-16C．±32D．±16
【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的首項和公比可得數(shù)列中第2項與第4項，再根據(jù)等比中項的定義求解即可
【解答過程】由題，該等比數(shù)列為4,8,16,32...，設第2項與第4項的等比中項為x，
則x2=8×32=256，故x=±16，
故選：D.
【變式2-2】（2022·廣東·高二期中）若數(shù)列2,a,8是等比數(shù)列，則實數(shù)a的值為（ ）
A．4B．- 4C．±4D．5
【解題思路】由等比中項的性質(zhì)列方程求得.
【解答過程】由已知得a2=2×8=16，∴a=±4，
故選:C.
【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列an為等比數(shù)列，a1=1，a5=4，命題p:a3=2，命題q:a3是a1、a5的等比中項，則p是q的（ ）條件
A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要
【解題思路】根據(jù)等比中項的定義結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷可得出結(jié)論.
【解答過程】因為數(shù)列an為等比數(shù)列，且a1=1，a5=4，若a3=2，則a3a1=a5a3，
則a3是a1、a5的等比中項，即p?q；
若a3是a1、a5的等比中項，設an的公比為m，則a3=a1m2>0，
因為a32=a1a5=4，故a3=2，即p?q.
因此，p是q的充要條件.
故選：A.
【題型3 等比數(shù)列的通項公式】
【方法點撥】
結(jié)合所給數(shù)列的遞推關系，分析數(shù)列之間的規(guī)律關系，轉(zhuǎn)化求解即可.
【例3】（2022·湖南·高二期中）正項等比數(shù)列an滿足a1=2，a3=8，則其通項公式an=（ ）
A．2n-1B．2nC．2n+1D．2n+2
【解題思路】利用等比數(shù)列的通項公式先求得公比q，從而求得an.
【解答過程】因為an是正項等比數(shù)列，所以q>0，
又因為a1=2，a3=8，所以q2=a3a1=4，故q=2，
所以an=a1qn-1=2×2n-1=2n.
故選：B.
【變式3-1】（2022·陜西·高二階段練習（文））在各項為正的遞增等比數(shù)列 an?中，a1a2a6=64，a1+a3+a5=21?，則an=?（ ）
A．2n+1?B．2n-1?
C．3×2n-1?D．2×3n-1?
【解題思路】首先根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求a1q2=a3=4，再利用公比表示a1,a5，代入方程，即可求得公比，再表示通項公式.
【解答過程】數(shù)列 an?為各項為正的遞增數(shù)列，設公比為q?，且q>1?，
∵a1a2a6=64?，
∴a13q6=64?
∴a1q2=4=a3?，
∵a1+a3+a5=21?，
∴4q2+4+4q2=21?，
即 4q2-1q2-4=0?，
解得: q=2?
∴a1=1?
∴an=a1qn-1=2n-1?.
故選：B.
【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習）已知在等比數(shù)列an中，a3=4，前三項和S3=12，則數(shù)列an的通項公式為（ ）
A．a(chǎn)n=-1n-1?25-nB．a(chǎn)n=25-n
C．a(chǎn)n=4D．a(chǎn)n=4或an=-1n-1?25-n
【解題思路】由a3=4和S3=12聯(lián)立解出首項和公比，通過等比數(shù)列的通項公式得到答案.
【解答過程】設等比數(shù)列an的公比為qq≠0，由題意得
a1q2=4a1+a1q+a1q2=12，解得a1=4q=1或a1=16q=-12，
所以an=4或an=16×-12n-1=-1n-1?25-n.
故選：D.
【變式3-3】（2022·山西太原·高三期末（理））等比數(shù)列{an}中，a3=8,a2+a4=20，則{an}的通項公式為（ ）
A．a(chǎn)n=2nB．a(chǎn)n=12n-6
C．a(chǎn)n=2n或12n-6D．a(chǎn)n=2n+1或12n-5
【解題思路】由已知，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可得2q2-5q+2=0求公比，進而寫出{an}的通項公式.
【解答過程】令公比為q，由題設有a2+a4=a3q+a3q=8q+8q=20，
所以2q2-5q+2=(2q-1)(q-2)=0，解得q=12或q=2，經(jīng)檢驗符合題設.
所以an=a3qn-3，可得an=2n或an=12n-6.
故選：C.
【題型4 等比數(shù)列的單調(diào)性】
【方法點撥】
判斷單調(diào)性的方法：①轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性，如基本初等函數(shù)的單調(diào)性等，研究數(shù)列的單調(diào)性.
②利用定義判斷：作差比較法，即作差比較與的大小；作商比較法，即作商比較與的大小，
從而判斷出數(shù)列{}的單調(diào)性.
【例4】（2022·陜西·高二期中（理））數(shù)列an是等比數(shù)列，首項為a1，公比為q，則a1q-1

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