1．等差數(shù)列的概念
(1)等差數(shù)列的概念
一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫
做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，常用字母d表示.
(2)對等差數(shù)列概念的理解
①“從第2項(xiàng)起”是因?yàn)槭醉?xiàng)沒有“前一項(xiàng)”.
②由概念可知，如果- ()恒等于一個常數(shù)，那么數(shù)列{}就是等差數(shù)列.
③如果一個數(shù)列，不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或以后起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是同一常數(shù)，
那么這個數(shù)列不是等差數(shù)列.
④若數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差盡管都等于常數(shù)，但這些常數(shù)不都相等，那么這個數(shù)
列不是等差數(shù)列.
⑤對于公差d，需要強(qiáng)調(diào)的是它是從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差，不要把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒.
2．等差中項(xiàng)
由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列，這時A叫做a與b的等差中項(xiàng)，則有
2A=a+b.反之，若2A=a+b，則a,A,b三個數(shù)成等差數(shù)列.
3．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為=+(n-1)d，其中為首項(xiàng)，d為公差.
(2)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形
已知等差數(shù)列{}中的任意兩項(xiàng)， (n,m,m≠n)，則
-=(n-m)d
4．等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系
由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式=+(n-1)d，可得=dn+(-d)，當(dāng)d=0時，=為常數(shù)列，當(dāng)d≠0時，=
+(n-1)d是關(guān)于n的一次函數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)就是等差數(shù)列的公差，因此等差數(shù)列{}的圖象是直線y=dx+(-d)上一群均勻分布的孤立的點(diǎn).
5．等差數(shù)列的單調(diào)性
由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和一次函數(shù)的關(guān)系可知等差數(shù)列的單調(diào)性受公差d影響.
①當(dāng)d>0時，數(shù)列為遞增數(shù)列，如圖①所示；
②當(dāng)d83B．d0，
所以a1+a8=a3+a6=2a6-3d=6，
則2a6-6=3d>0，解得：a6>3，
故選：C.
【變式4-1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知點(diǎn)1,5，2,3是等差數(shù)列an圖象上的兩點(diǎn)，則數(shù)列an為（ ）
A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列D．無法確定
【解題思路】利用等差數(shù)列的圖象所在直線的斜率判斷.
【解答過程】等差數(shù)列an的圖象所在直線的斜率k=5-31-2=-2N0時，an>0”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【解題思路】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則d≠0，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.
【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則d≠0，記x為不超過x的最大整數(shù).
若an為單調(diào)遞增數(shù)列，則d>0，
若a1≥0，則當(dāng)n≥2時，an>a1≥0；若a10可得n>1-a1d，取N0=1-a1d+1，則當(dāng)n>N0時，an>0，
所以，“an是遞增數(shù)列”?“存在正整數(shù)N0，當(dāng)n>N0時，an>0”；
若存在正整數(shù)N0，當(dāng)n>N0時，an>0，取k∈N*且k>N0，ak>0，
假設(shè)dk，
當(dāng)n>k-akd+1時，an0，即數(shù)列an是遞增數(shù)列.
所以，“an是遞增數(shù)列”?“存在正整數(shù)N0，當(dāng)n>N0時，an>0”.
所以，“an是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N0，當(dāng)n>N0時，an>0”的充分必要條件.
故選：C.
【變式4-3】（2021·全國·高二課時練習(xí)）下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個結(jié)論：p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列ann是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列.其中正確的為（ ）
A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4
【解題思路】公差d>0的等差數(shù)列an是遞增數(shù)列；數(shù)列n an不一定是遞增數(shù)列；數(shù)列ann不一定是遞減數(shù)列；數(shù)列an+3nd是遞增數(shù)列.
【解答過程】解：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)a1，d>0，則an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，∴數(shù)列{an}遞增，故p1正確；
nan＝dn2＋(a1－d)n，當(dāng)n0時，不遞增，故p3錯誤；
[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，所以{an＋3nd}遞增，故p4正確，
故選：D.
【題型5 等差數(shù)列的判定與證明】
【方法點(diǎn)撥】
判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法：(1)定義法：-=d(常數(shù))(n){}是等差數(shù)列.
(2)遞推法(等差中項(xiàng)法)：=+(n){}是等差數(shù)列.
(3)通項(xiàng)公式法：=pn+q(p,q為常數(shù),n){}是等差數(shù)列.
【例5】（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足an+1=6an-4an+2n∈N，且a1=3.
(1)求a2,a3,a4；
(2)證明：數(shù)列1an-2是等差數(shù)列.
【解題思路】（1）利用賦值法，由遞推關(guān)系式依次求得a2，a3，a4；
（2）將推遞關(guān)系式進(jìn)行變形，得到1an+1-2-1an-2=14，從而得證.
【解答過程】（1）因?yàn)閍n+1=6an-4an+2n∈N，a1=3
所以a2=6a1-4a1+2=145,a3=6a2-4a2+2=83,a4=6a3-4a3+2=187.
（2）因?yàn)閍n+1=6an-4an+2n∈N，
所以an+1-2=6an-4an+2-2=6an-4-2an-4an+2=4an-8an+2，
則1an+1-2=an+24an-8=an-2+44an-2=14+1an-2，
故1an+1-2-1an-2=14，
又a1=3，所以1a1-2=1，
所以數(shù)列1an-2是首項(xiàng)為1，公差為14的等差數(shù)列.
【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列{an}中，a1=13，2an+1an=an-an+1.
(1)求a2，a3；
(2)證明：數(shù)列1an為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
【解題思路】（1）利用賦值法得到關(guān)于a2,a3的方程，解之即可；
（2）利用倒數(shù)法得到1an+1-1an=2，從而證得1an為等差數(shù)列，進(jìn)而求得{an}的通項(xiàng)公式.
【解答過程】（1）因?yàn)?an+1an=an-an+1，
所以當(dāng)n=1時，2a2a1=a1-a2，則2a2×13=13-a2，即53a2=13，解得a2=15，
當(dāng)n=2時，2a3a2=a2-a3，則2a3×15=15-a3，即75a3=15，解得a3=17，
所以a2=15，a3=17.
（2）因?yàn)?an+1an=an-an+1，
所以1an+1-1an=2，且1a1=3，
所以數(shù)列1an是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
故1an=3+n-1×2=2n+1，則an=12n+1n∈N*.
【變式5-2】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列an滿足a1=1，an-an-1=1an+1an-1n≥2，且an+1>an．
(1)證明：an2+1an2為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式．
【解題思路】（1）依題意可得an-1an=an-1+1an-1，將兩邊同時平方，整理即可得到an2+1an2-an-12+1an-12=4，即可得證；
（2）由（1）可得an2+1an2=4n-2，再解方程求出an2=n±n-12，即可得到an，再檢驗(yàn)即可.
【解答過程】（1）解：因?yàn)閍n-an-1=1an+1an-1n≥2，
所以an-1an=an-1+1an-1，則an-1an2=an-1+1an-12，即an2+1an2-2=an-12+1an-12+2，
所以an2+1an2-an-12+1an-12=4，
又a1=1，所以a12+1a12=2，
所以an2+1an2是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列.
（2）解：由（1）可得an2+1an2=4n-2，
所以an4-4n-2an2+1=0，
解得an2=4n-2±4n-22-42=2n-1±2nn-1=n±n-12
因?yàn)閍1=1且an+1>an，即數(shù)列an為遞增數(shù)列，所以an>0，
所以an=n±n-1，
若an=n-n-1=1n+n-1，則an+1=1n+1+n0，a8>0
∴a7?a8≤a7+a822=1022=25，當(dāng)且僅當(dāng)a7=a8=5時等號成立.
故選：C.

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