通用的解題思路：
題型一：兩垂一圓構(gòu)造直角三角形模型
平面內(nèi)有兩點(diǎn)A，B，再找一點(diǎn)C，使得ABC 為直角三角形
分類討論:
若∠A=90°,則點(diǎn)C在過點(diǎn)A 且垂直于AB 的直線上(除點(diǎn)A外);
若∠B=90°,則點(diǎn)C在過點(diǎn)B且垂直于AB的直線上(除點(diǎn)B外);
若∠C=90°,則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上(除點(diǎn)A,B外).
以上簡稱“兩垂一圓”.
“兩垂一圓”上的點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形,但要除去A,B兩點(diǎn).
題型二：兩圓一中垂構(gòu)造等腰三角形模型
分類討論:
若AB=AC,則點(diǎn)C在以點(diǎn)A 為圓心,線段AB的長為半徑的圓上;
若BA=BC,則點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心,線段AB的長為半徑的圓上;
若CA=CB,則點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線PQ上以上簡稱“兩圓一中垂”
“兩圓一中垂”上的點(diǎn)能構(gòu)成等腰三角形,但是要除去原有的點(diǎn)A,B,還要除去因共線無法構(gòu)成三角形的點(diǎn)MN以及線段AB中點(diǎn)E(共除去5個(gè)點(diǎn))需要注意細(xì)節(jié)
題型三：胡不歸模型
【模型解讀】一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V11，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。
【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短及垂線段最短。
題型四：阿氏圓模型
【模型解讀】如圖 1 所示，⊙O的半徑為 r，點(diǎn) A、B都在⊙O 外，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB， 連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？
如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。
故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為 “PA+PC”的最小值，
其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小。如圖3所示：
注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：
在前面的“胡不歸”問題中，我們見識(shí)了“k·PA+PB”最值問題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．
【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題。
題型五：瓜豆原理模型（點(diǎn)在直線上）
【模型解讀】
瓜豆原理：若兩動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑相同。
動(dòng)點(diǎn)軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學(xué)進(jìn)程影響，估只對(duì)瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。
主動(dòng)點(diǎn)叫瓜，從動(dòng)點(diǎn)叫豆，瓜在直線上運(yùn)動(dòng)，豆也在直線_上運(yùn)動(dòng)；瓜在圓周上運(yùn)動(dòng)，豆的軌跡也是圓。
古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。
模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為直線
1）如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

解析：當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線．
理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．
2）如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ為定值，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？

解析：當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。
理由：當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段。
【最值原理】動(dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線時(shí)，利用“垂線段最短”求最值。
1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡已知時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值；
2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡未知時(shí)，先確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，再垂線段最短求最值。
3）確定動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法（重點(diǎn)）
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線；
④觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等特殊位置考慮；
⑤若動(dòng)點(diǎn)軌跡用上述方法不都合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化（常用中位線、矩形對(duì)角線、全等、相似）為其他已知軌跡的線段求最值。
題型六：瓜豆原理模型（點(diǎn)在圓上）
【模型解讀】
模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧
模型1-1. 如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．Q點(diǎn)軌跡是？

如圖，連接AO，取AO中點(diǎn)M，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。
模型1-2. 如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？

如圖，連結(jié)AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。
則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。
模型1-3. 定義型：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動(dòng)態(tài)翻折中）
如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP，則B、C、P三點(diǎn)共圓，
則動(dòng)點(diǎn)P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。

模型1-4. 定邊對(duì)定角（或直角）模型
1）一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧．
如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB=90°，則動(dòng)點(diǎn)P是以AB為直徑的圓或圓弧。
2）一條定邊所對(duì)的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓?。?br>如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓弧。

【模型原理】動(dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí)，可利用：“一定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。
題型一：兩垂一圓構(gòu)造直角三角形模型
1．（2023?安溪縣二模）如圖，是半圓的直徑，，與半圓相切于點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若的半徑為5，，求的長．
【分析】（1）連接，，，根據(jù)相切等推出，，進(jìn)而證明，
（2）先證明，進(jìn)而求出的長，根據(jù)第一問，求出．
【解答】（1）證明：連接，，，
與半圓相切于點(diǎn)，
，
在與中，
，
，
，
，
，
在中，
，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
故的長為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓相切，相似三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是三角形相似推出線段成比例．
2．（2023?平房區(qū)二模）如圖1，內(nèi)接于中，為直徑，點(diǎn)在弧上，連接，．
（1）求證：；
（2）如圖2，連接交于點(diǎn)，若，求證：；
（3）在（2）的條件下，如圖3，點(diǎn)在線段上，連接，交于點(diǎn)，若，，，求線段的長．
【分析】（1）利直徑所對(duì)的圓周角是直角求得，再利用同弧所對(duì)的圓周角相等即可證明；
（2）根據(jù)圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)可證明，進(jìn)而得出；
（3）連接，，證出，由圓周角定理得出，設(shè)，則，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，求出，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證出，得出，則，解方程求出，由勾股定理可得出答案．
【解答】（1）證明：內(nèi)接于中，為直徑，
，
，
，
，
．
（2）證明：，
，
在中，，
，
，
，
，
，
．
（3）解：連接，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
為直徑，
，
設(shè)，
，，
過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，
，，
，
，
，，
，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
設(shè)，
，
，
，
，
，
解得（舍去），，
，
，，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查了垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，正確添加輔助線是解決該問題的關(guān)鍵．
3．（2022?蔡甸區(qū)校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)是正方形邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與、重合），連接交對(duì)角線于點(diǎn)，的外接圓交邊于點(diǎn)，連接、．
（1）求的度數(shù)；
（2）若，求．
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出，由圓周角定理可得出答案；
（2）延長至點(diǎn)，使，連接，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出答案．
【解答】解：（1）四邊形是正方形，
，
，
；
（2）延長至點(diǎn)，使，連接，
，
，
四邊形是正方形，
，，
，
又，
，
，，，
，
，
又，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，銳角三角函數(shù)的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023?懷化）如圖，是的直徑，點(diǎn)是外一點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，點(diǎn)為上的一點(diǎn)．連接、、，且．
（1）求證：為的切線；
（2）延長與的延長線交于點(diǎn)，求證：；
（3）若，，求陰影部分的面積．
【分析】（1）先由切線的性質(zhì)得，然后依據(jù)“”判定和全等，從而得，據(jù)此即可得出結(jié)論；
（2）由，可判定和相似，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（3）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先證為等邊三角形，再設(shè)，則，，在和在中，由勾股定理得，由此可求出的值，進(jìn)而得的半徑為4，然后根據(jù)即可得出答案．
【解答】（1）證明：為的直徑，為的切線，
，
即：，
點(diǎn)在上，
，
在和中，
，
，
，
即：，
又為的半徑，
為的切線．
（2）證明：由（1）可知：，
，
又，
，
，
即：．
（3）解：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，
又，
為等邊三角形，
，
，
設(shè)，顯然，
則，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
整理得：，
，
，
，，
，
又，
．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，理解切線垂直于過且點(diǎn)的半徑；過半徑的外端垂直于半徑的直線是圓的切線；難點(diǎn)是在解答（3）時(shí)，設(shè)置適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，利用勾股定理構(gòu)造方程求出圓的半徑．
5．（2023?廣陵區(qū)二模）如圖，頂點(diǎn)為的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)，點(diǎn)在該圖象上，交其對(duì)稱軸于點(diǎn)，點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，連接，．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)是，求的面積；
（3）當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)解答下面問題：
①求證：；
②若為直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)設(shè)出二次函數(shù)的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)，求出的值，即可得出二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入，求出直線的解析式，再把代入，求出的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求出的坐標(biāo)，從而得出的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案．
（3）①設(shè)對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，作于點(diǎn)，由在二次函數(shù)圖象上，設(shè)，再由的坐標(biāo)，表示出直線的解析式，進(jìn)而表示出，及的坐標(biāo)，設(shè)對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，作于點(diǎn)，構(gòu)建相似三角形：．由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等證得結(jié)論；
②能為直角三角形，理由為：分三種情況考慮：若為直角，由①得到，可得出三角形為等腰直角三角形，得到，將表示出的及代入，得到關(guān)于的方程，求出方程的解得到的值為0或，進(jìn)而得到此時(shí)與重合，不合題意，故不能為直角；若為直角，利用勾股定理得到，由的坐標(biāo)，利用勾股定理表示出，由及，利用勾股定理表示出，由及，利用勾股定理表示出，代入，得到關(guān)于的方程，求出方程的解得到的值為或0，然后判斷是否為直角；若為直角，則有，由相似得比例，將各自的值代入得到關(guān)于的方程，求出方程的解得到的值為4，此時(shí)與重合，故不能為直角，綜上，點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，不能為直角三角形．
【解答】（1）解：設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，
把點(diǎn)代入表達(dá)式，解得．
二次函數(shù)的表達(dá)式為，
即；
（2）解：設(shè)直線為，
將代入，解得，
．
當(dāng)時(shí)，．
．
點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
．
．
；
（3）①證明：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
其中，
設(shè)直線為，
將代入，解得．
．
當(dāng)時(shí)，．
．
．
設(shè)對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，作于點(diǎn)，
則，．
，，，
．
則，．
．
又，
．
．
②能為直角三角形，理由如下：
解：分三種情況考慮：
若為直角，由①得：，
為等腰直角三角形，
，即，
整理得：，即，
解得：，
此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，故不存在點(diǎn)使為直角三角形；
若為直角，根據(jù)勾股定理得：，
，，，
，
整理得：，
解得：或或（舍去），
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，故不能為直角，
當(dāng)，即，時(shí)，為第四象限點(diǎn)，成立，故能為直角；
若為直角，可得，且，
，
又，且，
，
，
，即，
整理得：，
解得：，
此時(shí)與重合，故不能為直角，
綜上，點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能為直角三角形，當(dāng)，即時(shí)，為第四象限的點(diǎn)成立．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，兩點(diǎn)坐標(biāo)確定一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，本題（3）中的第②小問利用的是反證法，先假設(shè)結(jié)論成立，利用邏輯推理的方法得出與已知條件，定理，公理矛盾，可得出假設(shè)錯(cuò)誤，原結(jié)論不成立．
6．（2024?寶安區(qū)二模）“海之躍”摩天輪是某地區(qū)的城市名片．濱城學(xué)校九年級(jí)（3）班的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)計(jì)劃在摩天輪上測量一座寫字樓的高度．
【素材一】如圖1，“海之躍”摩天輪共有24個(gè)轎廂，均勻分布在圓周上．?dāng)M測算的寫字樓與摩天輪在同一平面內(nèi)．
【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和鉛錘，制作測角儀器（如圖．
【素材三】若學(xué)生身高和轎廂大小忽略不計(jì)，如圖3，摩天輪的最高高度為128米，半徑為60米，該團(tuán)隊(duì)分成三組分別乘坐1號(hào)、4號(hào)和10號(hào)轎廂，當(dāng)1號(hào)轎廂運(yùn)動(dòng)到摩天輪最高點(diǎn)時(shí)，三組隊(duì)員同時(shí)使用測角儀觀測寫字樓最高處點(diǎn)，觀測數(shù)據(jù)如表（觀測誤差忽略不計(jì)）．
【任務(wù)一】初步探究，獲取基礎(chǔ)數(shù)據(jù)
（1）如圖3，請(qǐng)連接、，則 45 ；
（2）求出1號(hào)轎廂運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，4號(hào)轎廂所在位置點(diǎn)的高度．（結(jié)果保留根號(hào)）
【任務(wù)二】推理分析，估算實(shí)際高度
（3）根據(jù)觀測數(shù)據(jù)，計(jì)算寫字樓的實(shí)際高度．（結(jié)果用四舍五入法取整數(shù)，
【分析】（1）由題可知，“海之躍”摩天輪共有24個(gè)轎廂，均勻分布在圓周上，其中包含了3個(gè)橋廂，因此；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題可知，點(diǎn)此時(shí)的高度為最高為128米，半徑為60米，因此點(diǎn)高度為68米，根據(jù)，，可得，即可；
（3）連接，，，由素材1，素材3可得，，則，過點(diǎn)作于點(diǎn)，令，由素材2，3得：，，可得，即，因此點(diǎn)的高度為：（米，即可．
【解答】解：任務(wù)一：（1）連接、，如下圖所示：
“海之躍”摩天輪共有24個(gè)轎廂，均勻分布在圓周上，其中包含了3個(gè)橋廂，
，
故答案為：45．
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，
點(diǎn)此時(shí)的高度為最高為128米，半徑為60米，
點(diǎn)高度為68米，
，，
，
點(diǎn)的高度為米，
答：點(diǎn)的高度為米．
任務(wù)二：（3）連接，，，
由素材1，素材3可得，，
則，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
令，由素材2，素材3的4號(hào)轎廂測量情況和10號(hào)轎廂測量情況得：，，
，即，
點(diǎn)的高度為：（米，
答：寫字樓的實(shí)際高度約為82米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的綜合體，熟練掌握勾股定理和余弦定理的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
7．（2022?江北區(qū)一模）如圖1，四邊形是的內(nèi)接四邊形，其中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，使得，過點(diǎn)作交于點(diǎn)、．
（1）證明：．
（2）如圖2，若，且恰好經(jīng)過圓心，求的值．
（3）若，，設(shè)的長為．
①如圖3，用含有的代數(shù)式表示的周長．
②如圖4，恰好經(jīng)過圓心，求內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比值．
【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)與圓周角定理解得即可；
（2）利用垂徑定理和（1）的結(jié)論求得，的長，通過證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）①利用垂徑定理和（1）的結(jié)論求得，的長，再通過證明和，利用相似三角形的性質(zhì)求得，，的關(guān)系式，利用三角形周長的意義解答即可；
②利用勾股定理求得，則的外接圓半徑可得，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，利用①中的結(jié)論求得，和的周長，利用三角形 的面積公式列出方程，解方程即可求得內(nèi)切圓半徑．
【解答】（1）證明：，
．
．
，
．
（2）解：，
．
為的直徑，，
．
，，
，
．
．
，
．
，．
．
，
．
．
，
．
．
．
（3）解：①，，
．
，
．
．
．
，，
．
．
．
，．
，，
．
．
．
．
的周長．
②為的直徑，
．
．
外接圓半徑為．
在中，
．
由①的結(jié)論可得：，
，
的周長，
．
設(shè)內(nèi)切圓半徑為，
的周長．
．
．
內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比值．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵
題型二：兩圓一中垂構(gòu)造等腰三角形模型
1．（2022?開州區(qū)模擬）如圖，在等腰中，，是的中點(diǎn)，為邊上任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，交于點(diǎn)．
（1）如圖1，若，，求的長；
（2）如圖2，點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，連接，求證：；
（3）如圖3，若，連接，當(dāng)取得最小值時(shí)．請(qǐng)直接寫出的值．
【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，得，在等腰直角三角形中，求出，，再證明也是等腰直角三角形，最后在中，求出即可；
（2）過點(diǎn)作于交點(diǎn)，過點(diǎn)作交于，得出為等腰直角三角形，再證明，，最后在等腰中，求出與關(guān)系；
（3）如圖中，取的中點(diǎn)，連接，，則是等腰直角三角形．首先證明點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，如圖中，取的中點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．再證明當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
在等腰直角三角形中，
，
，，
為中點(diǎn)，
，
，
，
，
也是等腰直角三角形，
，
，
在中，．
（2）如圖，過點(diǎn)作于交點(diǎn)，過點(diǎn)作交于，
為等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
在．和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，是的中點(diǎn)，
，
，
又在等腰中，，
．
（3）如圖中，取的中點(diǎn)，連接，，則是等腰直角三角形．
，
，
，，
，
，
，
，，共線，
點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，
如圖中，取的中點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
，
，
，
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，
，，，
，
，
，，
，
，，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何變換的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，能判定出全等三角形，解直角等腰三角形．
2．（2023春?璧山區(qū)校級(jí)期中）如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)和兩點(diǎn)，將沿直線對(duì)折使點(diǎn)和點(diǎn)重合，直線與軸交于點(diǎn)與交于點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，連接．
（1）求直線的解析式；
（2）若點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，且的面積為10，求的周長；
（3）已知軸上有一點(diǎn)，若以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)給出的、兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入表達(dá)式，即可求出的解析式；
（2）根據(jù)可以得出的面積和的面積相等，然后過作軸，可以求出的長，然后得到的長，通過勾股定理，可以得到的長，即可得到的周長；
（3）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，可得到兩個(gè)點(diǎn)，通過點(diǎn)的縱坐標(biāo)長可以得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)，可以得到一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，通過等腰三角形，可以得到點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)，可知點(diǎn)在的垂直平分線上，通過等腰三角形，導(dǎo)邊可以得出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將點(diǎn)和代入中，得：
，
解得：，
故的解析式為：；
（2）
將沿直線對(duì)折使點(diǎn)和點(diǎn)重合，
，
設(shè)，則，
在中，
，
，
，
，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，
過作軸交軸于點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
；
（3）以點(diǎn)為圓心，長為半徑作圓，交軸于、兩點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作圓，交軸于點(diǎn)，在軸上找一點(diǎn)，使，
，，
，
，
，，
，，
，
在中，
，
，
，
設(shè)，則，
在中，
，
，
，
，
故點(diǎn)坐標(biāo)為，，，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求一次函數(shù)解析式的方法，考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，考查了兩元一線的模型應(yīng)用，通過折疊求出對(duì)應(yīng)邊相等，然后通過勾股定理來求對(duì)應(yīng)的邊長．
題型三：胡不歸模型
1．（2023?湘潭縣校級(jí)三模）如圖，拋物線與軸相交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，連接．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)為軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，求的最小值；
（3）連接，在軸上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）待定系數(shù)法求拋物線的解析式；
（2）對(duì)條件提取系數(shù)10，再利用胡不歸模型；
（3）構(gòu)造和相等的角，利用相似或三角函數(shù)值建立方程解決．
【解答】解：（1）拋物線與軸相交于點(diǎn)，，
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，
在中，令，則，
，
在中，，，，
，
在中，，
，
，
，
，
的最小值為．
（3）如圖，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
過點(diǎn)作，垂足為，
，
，
設(shè)，則，，
又，
，
，
，．
由對(duì)稱性得，，也滿足題意，
，或，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)用待定系數(shù)法求表達(dá)式，胡不歸模型等．第（3）問關(guān)鍵是構(gòu)造和相等的角，利用相似或三角函數(shù)值建立方程解決．
2．（2023?徐州二模）拋物線與直線相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖1，直線上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求垂線段的最大值；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到拋物線對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，連接，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，直接寫出此時(shí)的長度．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）證明是等腰直角三角形，則，進(jìn)而求解；
（3）證明，得到故當(dāng)、、共線時(shí)，為最小，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）與軸交于點(diǎn)．
將代入得，
點(diǎn)，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，
解得：．
故拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：①，
即頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，令，得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
為等腰直角三角形，
如圖1，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，則，
是等腰直角三角形，
，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
，
的最大值為；
（3）如圖2，設(shè)拋物線與軸的另外一個(gè)交點(diǎn)為，拋物線和軸的交點(diǎn)為，連接，
則，則，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交拋物線于點(diǎn)，
則此時(shí)，，
故當(dāng)、、共線時(shí)，為最小，
，，
，
即，
則，
故直線的表達(dá)式為：②，
聯(lián)立①②得：，
解得：（舍去）或，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、解直角三角形、胡不歸問題等，有一定的綜合性，難度適中．
3．（2023?丘北縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)是線段上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接、，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的最小值．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）過點(diǎn)作軸交于于點(diǎn)，設(shè)，則，可得，當(dāng)時(shí)，的面積有最大值4，此時(shí)，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則為等腰直角三角形，可知，求出的長即為所求．
【解答】解：（1）將、代入，
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）當(dāng)時(shí)，，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
過點(diǎn)作軸交于于點(diǎn)，
設(shè)，則，
，
，
當(dāng)時(shí)，的面積有最大值4，此時(shí)，
過點(diǎn)作，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，
，
，
，
，
過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
為等腰直角三角形，
，
，
設(shè)與交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
的面積為4，
，
解得，
與平行，
直線的解析式為，
，
，
，
，
，
的最小值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，利用胡不歸求最短距離是解題的關(guān)鍵．
4．（2019?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．
（1）連接，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與端點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作，交拋物線于點(diǎn)（點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)），過點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的最小值；
（2）在（1）中，當(dāng)取得最大值，取得最小值時(shí)，把點(diǎn)向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)，連接，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△，其中邊交坐標(biāo)軸于點(diǎn)．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）先確定點(diǎn)的位置，可設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得時(shí)， 取到最大值，此時(shí)取到最大值，此時(shí)，此時(shí)，在軸上找一點(diǎn)，，連接，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，，直線的解析式為：，從而得到直線的解析式為：聯(lián)立解出點(diǎn)，得的最小值即為的長，且最后得出；
（2）由題意可得出點(diǎn)，，應(yīng)用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半”取的中點(diǎn)，連接，則，此時(shí)，，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△，其中邊交坐標(biāo)軸于點(diǎn)，則用，分四種情況求解．
【解答】解：（1）如圖1
拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），交軸于點(diǎn)
令解得：，，令，解得：，
，，
點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，且，
點(diǎn)的坐標(biāo)為
直線的解析式為：，
由題意，可設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)
當(dāng)時(shí)， 取到最大值，此時(shí)取到最大值，此時(shí)，
此時(shí)，，，
在軸上找一點(diǎn)，，連接，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，
，直線的解析式為：，且點(diǎn)，
，直線的解析式為：
點(diǎn)，
的最小值即為的長，且
；
（2）由（1）知，點(diǎn)，
把點(diǎn)向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)
點(diǎn)
在中，，，取的中點(diǎn)，連接，則，此時(shí)，
把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△，其中邊交坐標(biāo)軸于點(diǎn)
①如圖2
點(diǎn)落在軸的負(fù)半軸，則，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，且
則，
，解得：
在中根據(jù)勾股定理可得
點(diǎn)的坐標(biāo)為，；
②如圖3，
當(dāng)點(diǎn)落在軸的正半軸上時(shí)，同理可得，
③如圖4
當(dāng)點(diǎn)落在軸的正半軸上時(shí)，同理可得，
④如圖5
當(dāng)點(diǎn)落在軸的負(fù)半軸上時(shí)，同理可得，．
綜上所述，所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，，，，，，．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)及直角三角形的中線性質(zhì)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用通過求點(diǎn)的坐標(biāo)來表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．
5．（2023?江城區(qū)三模）如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），交軸于點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)、，點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）．
（1）求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)，關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）連接，當(dāng)與相似時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）在中，令，解得或，即得，；
（2）過作軸于，交于，拋物線的對(duì)稱軸為直線，在中，得，，可得，在中，，故最小，即是最小，的最小值即為的長，根據(jù)點(diǎn)，，關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線對(duì)稱，即得，即的最小值為，由，，得直線解析式為，可求出；
（3）過作軸于，過作軸于，與相似，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，，可得，由，即得，，②當(dāng)時(shí)，，得，同理可得，．
【解答】解：（1）在中，令得：
，解得或，
，；
（2）過作軸于，交于，如圖：
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
在中，令得，
，，
，
，
在中，，
最小，即是最小，由垂線段最短可知的最小值即為的長，
點(diǎn)，，關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線對(duì)稱，
與關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線對(duì)稱，，，
，即的最小值為，
由，，得直線解析式為，
在中，令得，
；
（3）過作軸于，過作軸于，如圖：
，，，，
，，
，
與相似，分兩種情況：
①當(dāng)時(shí)，，
，
，
軸，
，
，
，即，
，，
，
，，
②當(dāng)時(shí)，
，即，
，
同理可得，
，
，，
，
，，
綜上所述，當(dāng)與相似時(shí)，坐標(biāo)為，或，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，“胡不歸”模型，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題得關(guān)鍵是畫出圖形，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，求出相關(guān)線段的長度．
6．（2024?宿遷模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．
（1）填空： ，點(diǎn)的坐標(biāo)是 ；
（2）連接，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與端點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作，交拋物線于點(diǎn)（點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)），過點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L取得最大值時(shí)，求的最小值；
（3）在（2）中，當(dāng)?shù)闹荛L取得最大值時(shí)，取得最小值時(shí)，如圖2，把點(diǎn)向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)，連接，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△，其中邊交坐標(biāo)軸于點(diǎn)．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）將點(diǎn)代入，求得，再令，解方程即可得出答案；
（2）將（1）中所得的解析式寫成頂點(diǎn)式，則可得點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求得直線的解析式，設(shè)點(diǎn)，，利用等角的三角函數(shù)值相等得出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出使的周長取得最大值時(shí)的值，在軸上取點(diǎn)，，則，過作的垂線段交軸于點(diǎn)，可得，連接，，設(shè)交軸于點(diǎn)，利用的面積計(jì)算出即可；
（3）由（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，取的中點(diǎn)，△在旋轉(zhuǎn)過程中，只需使的中點(diǎn)在坐標(biāo)軸上即可使得，分四種情況計(jì)算即可．
【解答】解：（1）將點(diǎn)代入，得，
解得，，
，
當(dāng)時(shí)，，
解得，，，
點(diǎn)的坐標(biāo)是；
故答案為：，；
（2）
，
點(diǎn)，點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，將，代入得：
，
解得，，
，
設(shè)點(diǎn)，，
由圖形可知，，
，，
，
，
當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，，
在軸上取點(diǎn)，，則，過作的垂線段交軸于點(diǎn)，此時(shí)，
，
當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值為，
而此時(shí)點(diǎn)不在線段上，故不符合題意，
的最小值為的長度，
點(diǎn)，點(diǎn)，
，
當(dāng)?shù)闹荛L取得最大值時(shí)，的最小值為；
（3）存在．
由（2）可知，點(diǎn)，
將點(diǎn)向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)，
點(diǎn)，
在中，，，則
，
取的中點(diǎn)，則有，
△在旋轉(zhuǎn)過程中，只需使的中點(diǎn)在坐標(biāo)軸上即可使得，
如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上時(shí)，過點(diǎn)作軸，垂足為，
，
，
，
，
設(shè)，則有：
，
，則點(diǎn)，，
同理可知，當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)，；
當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)，；
當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)，．
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，，．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)與解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2023?南山區(qū)三模）如圖，在中，，，經(jīng)過點(diǎn)，且圓的直徑在線段上．
（1）試說明是的切線；
（2）若中邊上的高為，試用含的代數(shù)式表示的直徑；
（3）設(shè)點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時(shí)，求的直徑的長．
【分析】（1）連接，如圖1，要證是的切線，只需證到即可；
（2）過點(diǎn)作于，連接，如圖2，在中運(yùn)用三角函數(shù)即可解決問題；
（3）作平分，交于，連接、、，如圖3，易證四邊形是菱形，根據(jù)對(duì)稱性可得．過點(diǎn)作于，易得，從而有．根據(jù)垂線段最短可得：當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，（即最小，然后在中運(yùn)用三角函數(shù)即可解決問題．
【解答】解：（1）連接，如圖1，
，，
，，
，
是的切線；
（2）過點(diǎn)作于，連接，如圖2，
由題可得．
在中，，
，
，
；
（3）作平分，交于，連接、、，如圖3，
則．
，
、是等邊三角形，
，
四邊形是菱形，
根據(jù)對(duì)稱性可得．
過點(diǎn)作于，
，，
，
．
根據(jù)垂線段最短可得：
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，（即最小，
此時(shí)，
則，．
當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時(shí)，的直徑的長為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理、切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，把轉(zhuǎn)化為是解決第（3）小題的關(guān)鍵．
題型四：阿氏圓模型
1．（2024?長沙模擬）閱讀材料，回答下列小題．
閱讀材料
調(diào)和是射影幾何重要不變量交比的一種特殊形式，早在古希臘，數(shù)學(xué)家們便發(fā)現(xiàn)了一組具有特殊比例關(guān)系的點(diǎn)列：調(diào)和點(diǎn)列．
我們定義：若一直線上依次存在四點(diǎn)，，，，滿足，則稱，，，為調(diào)和點(diǎn)列．從直線外一點(diǎn)引射線，，，，則稱，，，為調(diào)和線束．
（1）如圖1，過圓外一點(diǎn)作圓的切線，，并引圓的割線，設(shè)與交于點(diǎn)．
①求證：，，，是調(diào)和點(diǎn)列．
②求證：．
閱讀材料2：阿波羅尼斯圓：對(duì)于平面上的兩定點(diǎn)，和平面上一動(dòng)點(diǎn)，若到和的距離之比為定值，則點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，我們稱該圓是點(diǎn)關(guān)于的“阿氏圓”．
（2）根據(jù)閱讀材料1，2，回答①②小題．（本題圖未給出）
①證明阿波羅尼斯圓，并確定該圓圓心的位置．
②若點(diǎn)關(guān)于的“阿氏圓”交于，，求證：，，，為調(diào)和點(diǎn)列．
（3）如圖2，是平行四邊形，是三角形的重心，點(diǎn)，在直線上，滿足與垂直，與垂直．求證：平分．
【分析】（1）根據(jù)題目變成分式，轉(zhuǎn)化成三角形面積之比，利用正弦定理轉(zhuǎn)化得出面積之比即為所求；
（2）①建立平面直角坐標(biāo)系，計(jì)算出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，易證明阿氏圓并求得圓心位置；②利用角平分線性質(zhì)逆定理，利用反證法證明；
（3）利用阿氏圓結(jié)論證明是的角平分線．
【解答】解：（1）為解答過程簡潔，記，，，，如圖，
①證明：，是圓的切線，
由切線長定理，得，
由弦切角定理，得，，
在中，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，即，
，
由正弦定理，，
，即，
，
，
，即，
，，，是調(diào)和點(diǎn)列；
②證明：由①知：，
；
（2）①以為原點(diǎn)，線段所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
設(shè)，，，，，
則由題意，得，
化簡，得，
即，
顯然，
故點(diǎn)的軌跡是以，為圓心，為半徑的圓，其中且，
②證明：如圖，
（反證法）不妨設(shè)，
由三角形內(nèi)、外角平分線定理的逆定理，
得，分別為，的角平分線，
，即點(diǎn)軌跡是以為直徑的圓，
故在“阿氏圓”中，
，，，為調(diào)和點(diǎn)列；
（3）連接交于點(diǎn)，
是平行四邊形，
是，的中點(diǎn)，
是三角形的重心，
點(diǎn)在上，
與垂直，與垂直，
，
，，，四點(diǎn)共圓，且外接圓以為直徑，
由相交弦定理，得，①
取的中點(diǎn)，
由，
，
，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
，②
由①②得：，
，，，四點(diǎn)共圓，
又，
，
即平分．
【點(diǎn)評(píng)】巧妙利用三角形中邊角關(guān)系變換關(guān)系求得題目已知條件，即可證明調(diào)和點(diǎn)列；阿氏圓的證明需要學(xué)生有敏感的數(shù)形結(jié)合思維，熟練掌握角平分線性質(zhì)等，掌握反證法往往可以使得證明更加簡便．題目條件較復(fù)雜，需要學(xué)生能看出題中的隱圓．題目具有挑戰(zhàn)性，屬于難題．
2．（2024?萊蕪區(qū)校級(jí)模擬）在中，，．若點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，交于點(diǎn)．
（1）如圖1，若，，求的長；
（2）如圖2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若，猜想線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；
（3）如圖3，若，為的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得△，連接、，當(dāng)最小時(shí)，求．
【分析】（1）通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形，借助解直角三角形求得線段的長度；
（2）通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形，設(shè)，利用中位線定理，解直角三角形，用的代數(shù)式表示和，即可得與的數(shù)量關(guān)系；
（3）構(gòu)造阿氏圓模型，利用兩點(diǎn)之間線段最短，確定（4）的位置，繼而求得相關(guān)三角形的面積．
【解答】解：（1）過作，垂足是，如圖
將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
，
，
，
，
，
在直角中有，，
，
在直角中，，
，
；
（2）線段與線段的數(shù)量關(guān)系為：，
證明：延長，過作垂直于的延長線，垂足是，連接，，過作于，如圖：
，
由旋轉(zhuǎn)可知，
，
，，，四點(diǎn)共圓，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在等腰中，由三線合一可知是的中線，
，
，
是的中點(diǎn)，
是的中點(diǎn)，
是的中點(diǎn)，
是的中位線，
，，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
在中，，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
又，
，
；
（3）設(shè)，則，取的中點(diǎn)，連接，，，連接，如圖3，
由旋轉(zhuǎn)可知，
，，
，
又，
△，
，
，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)和兩點(diǎn)之間線段最短可知，最小，即是最小，此時(shí)、、共線，即在線段上，
設(shè)此時(shí)落在處，過作于，連接，如圖4，
，分別是，的中點(diǎn)，
是的中位線，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，，
又，
設(shè)，
在直角三角形中，，
，
解得．
此時(shí)．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查全等三角形判定，等腰三角形的三線合一，解直角三角形，四點(diǎn)共圓，幾何最值的阿氏圓模型等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于壓軸題，解得關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形解決問題．
3．（2023?萬州區(qū)模擬）如圖，在等腰直角三角形中，，過點(diǎn)作交過點(diǎn)的直線于點(diǎn)，，直線交于．
（1）如圖1，若，求的長；
（2）如圖2，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交的延長線于，取線段的中點(diǎn)，連接，求證：．
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，若點(diǎn)是線段上任一點(diǎn)，連接，將沿折疊，折疊后的三角形記為△，當(dāng)取得最小時(shí)，直接寫出的值．
【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，由等腰直角三角形性質(zhì)可得，再證得四邊形是矩形，可得，利用直角三角形性質(zhì)：角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可得出答案；
（2）利用解直角三角形可得，，利用同角的余角相等可得，，得出，再證得，得出，由，即可證得結(jié)論；
（3）由旋轉(zhuǎn)可得，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，以為圓心，為半徑作，連接，過點(diǎn)作于，連接，，利用解直角三角形可得出，又，證得△，得出，根據(jù)，可得當(dāng)且僅當(dāng)、、在同一條直線上時(shí)，取得最小值，再運(yùn)用解直角三角形即可求得答案．
【解答】（1）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，如圖1，
則，
，
，，
是等腰直角三角形，，，，
，
，
四邊形是矩形，
，
；
（2）證明：如圖2，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（3）解：將沿折疊，折疊后的三角形記為△，
，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
如圖，以為圓心，為半徑作，連接，過點(diǎn)作于，連接，，
，，
，，
，，
，
，，
四邊形是矩形，
，
點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，
，
，，
，
，
，
又，
△，
，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)、、在同一條直線上時(shí)，取得最小值，
，，，
，
在中，，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何綜合題，考查了直角三角形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，添加輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題關(guān)鍵．
4．（2022?從化區(qū)一模）已知，是的直徑，，．
（1）求弦的長；
（2）若點(diǎn)是下方上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），以為邊，作正方形，如圖1所示，若是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：線段的長為定值；
（3）如圖2，點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，且，連接，，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再以每秒1個(gè)單位的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，到達(dá)點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值．
【分析】（1）是的直徑，可得到是等腰直角三角形，從而得道答案；
（2）連接、、、，首先利用，，證明、、共線，再證明是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得證；
（3）“阿氏圓”的應(yīng)用問題，以為圓心，為半徑作圓，在上取點(diǎn)，使，連接，過作于，連接交于，先證明，最小，即是最小，此時(shí)、、共線，再計(jì)算的長度即可．
【解答】解：（1）是的直徑，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
；
（2）連接、、、，如圖：
是等腰直角三角形，四邊形是正方形，
，，
，
又，
，
，
，
而是的直徑，
，
，
，
、、共線，
四邊形是正方形，
是等腰直角三角形，
是的中點(diǎn)，
，即是直角三角形，
是的中點(diǎn)，
，即為定值；
（3）以為圓心，為半徑作圓，在上取點(diǎn)，使，連接，過作于，連接交于，如圖：
一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再以每秒1個(gè)單位的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，
運(yùn)動(dòng)時(shí)間，
，，，
，
又，
，
，
，
最小，即是最小，
此時(shí)、、共線，即與重合，最小值即是的長度，
在中，，，
，
，
，
中，，
點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值為5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓、等腰直角三角形、正方形等綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造，把求最小的問題轉(zhuǎn)化為求的長度．
5．（2022?市中區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在 與中，，，，點(diǎn)在上．
（1）如圖1，若點(diǎn)在的延長線上，連接，探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，且，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，在旋轉(zhuǎn)的過程中，求的最小值；
（3）如圖3，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出的值．
【分析】（1）過作于，過作于，結(jié)合字型全等，等腰直角三角形，四點(diǎn)共圓即可得到答案；
（2）第二問考查隱圓問題與阿氏圓，取的中點(diǎn)，連接，在上取，連接，構(gòu)建相似，轉(zhuǎn)化線段即可得到答案；
（3）過點(diǎn)作平行線，點(diǎn)作平行線交于點(diǎn)；過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，證明，設(shè)，則，，結(jié)合勾股定理、相似三角形及解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算．
【解答】解：（1）線段、、之間的數(shù)量關(guān)系：，證明如下：
過作于，過作于，如圖：
，，，
，，
且，
，
，
，，，
，
點(diǎn)、、、四點(diǎn)共圓，
，，
，，，
和為等腰直角三角形，
，，
；
（2）取的中點(diǎn)，連接，在上取，連接，如圖：
為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，
是的中位線，
，
，
，，
，
而，
，
又，
，
，
，
，
要使的最小，需最小，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的最小，的最小值是，如圖：
，，
，
的最小值是．
（3）過點(diǎn)作平行線，點(diǎn)作平行線交于點(diǎn)；過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作；如圖：
，
，即，
且，，
，
，，
，，
，
由，設(shè)，則，；
，
，，
四邊形為平行四邊形，
，，
為等腰直角三角形，
，
為等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
；
中，，
，，
設(shè)，，
，
中，，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰直角三角形中的旋轉(zhuǎn)變換，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識(shí)，中間穿插了不同的模型，對(duì)模型的運(yùn)用與轉(zhuǎn)化能力要求很高，難度較大，屬于壓軸題，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形．
題型五：瓜豆原理模型（點(diǎn)在直線上）
1．（2022?沈陽）【特例感知】
（1）如圖1，和是等腰直角三角形，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，連接，，線段與的數(shù)量關(guān)系是 ；
【類比遷移】
（2）如圖2，將圖1中的繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，那么第（1）問的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，說明理由．
【方法運(yùn)用】
（3）如圖3，若，點(diǎn)是線段外一動(dòng)點(diǎn)，，連接．
①若將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最大值是 ；
②若以為斜邊作，，三點(diǎn)按順時(shí)針排列），，連接，當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．
【分析】（1）證明，即可得出結(jié)論；
（2）利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可證得，再證明，即可得出結(jié)論；
（3）①過點(diǎn)作，使，連接，，，，先證得，得出，即點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，當(dāng)在的延長線上時(shí)，的值最大，最大值為；
②如圖4，在上方作，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接、、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，可證得，得出，再求出、，即可求得；如圖5，在下方作，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，可證得，得出，再由勾股定理即可求得．
【解答】解：（1）．理由如下：
如圖1，和是等腰直角三角形，，
，，
在和中，
，
，
，
故答案為：；
（2）仍然成立
證明：如圖2，，
，
即，
在和中，
，
，
；
（3）①過點(diǎn)作，使，連接，，，，
和都是等腰直角三角形，
，，，
，，
，
，
，
，，
點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
當(dāng)在的延長線上時(shí)，的值最大，最大值為，
故答案為：；
②如圖4，在上方作，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接、、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
在中，，
；
如圖5，在上方作，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
則，
，
，
，
，
，，
，
；
綜上所述，的值為或．
【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，瓜豆原理等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，綜合性較強(qiáng)，難度較大，屬于中考?jí)狠S題．
2．（2021?武進(jìn)區(qū)模擬）如圖①，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)、重合時(shí)，作直線，交直線于點(diǎn)，若的面積是面積的4倍，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，連接，交線段于點(diǎn)，以為斜邊向外作等腰直角三角形，連接，的面積是否變化？如果不變，請(qǐng)求出的面積；如果變化，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）將，點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式，
（2）分類討論：當(dāng)在軸上方和在軸下方，運(yùn)用高相等的兩個(gè)三角形的面積比等于底邊比這一概念進(jìn)行求解，
（3）找出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為平行于軸的一條直線即可．
【解答】解：（1）二次函數(shù)經(jīng)過，，
代入得，
解得，
所以二次函數(shù)的表達(dá)式為．
（2）①如圖所示，當(dāng)在軸上方時(shí)，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
可得，
，
，
，
，
設(shè)點(diǎn)，
，，
，，
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為，，
，為二次函數(shù)與軸交點(diǎn)，
，
可得的解析式為，
在上，
，
解得或．
②如圖所示，當(dāng)在軸下方時(shí)，
同理①可求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或（舍去），
，
當(dāng)點(diǎn)橫坐標(biāo)為時(shí)，在拋物線的段，
綜上所述，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或．
（3）如圖所示，以為底在軸上方作等腰直角三角形，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
和均為等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
兩條平行線之間的距離相等，
在運(yùn)動(dòng)時(shí)，到的距離保持不變，其距離都等于的長，
在等腰直角三角形中，，
，
．
綜上所述，的面積不變，為4．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，第一問考查了二次函數(shù)的解析式的求法，第二問是二次函數(shù)和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，第三問則是利用了瓜豆原理的思想進(jìn)行求解．
題型六：瓜豆原理模型（點(diǎn)在圓上）
1．（2023?崖州區(qū)一模）若，以點(diǎn)為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)為該圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接．
（1）如圖1，取點(diǎn)，使為等腰直角三角形，，將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．
①點(diǎn)的軌跡是 圓 （填“線段”或者“圓” ；
②的最小值是 ；
（2）如圖2，以為邊作等邊（點(diǎn)、、按照順時(shí)針方向排列），在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，求的最大值．
（3）如圖3，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，連接，則的最小值為 ．
【分析】（1）①連接、，證明，得出，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于定長，即可得出答案；
②由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，得出最小；
（2）以為邊長作等邊，連接，證明，得出，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值；
（3）點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，求出和圓的半徑，即可解決問題．
【解答】解：（1）①連接、，如圖1所示：
是等腰直角三角形，，
，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，
，
在和中，，
，
，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于定長，
點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓；
故答案為：圓；
②是等腰直角三角形，，
，
當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，最小；
故答案為：；
（2）以為邊長作等邊，連接、，如圖2所示：
和是等邊三角形，
，，，
，
在和中，，
，
，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值；
（3）如圖3所示：點(diǎn)的軌跡是以為直徑的一個(gè)圓，
則，，
則是梯形的中位線，
，
連接，
則，
，，
，
△是等腰直角三角形，
，
，
；
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題目，考查了軌跡、圓的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理以及最值問題；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
2．（2024?昆山市一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于、兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，與軸的另一交點(diǎn)為．
（1）求拋物線解析式；
（2）若點(diǎn)為軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，的面積等于面積的，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖2，以為圓心，2為半徑的與軸交于、兩點(diǎn)在右側(cè)），若點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為腰作等腰，使、、三點(diǎn)為逆時(shí)針順序），連接．求長度的取值范圍．
【分析】（1）將點(diǎn)，代入，即可求解；
（2）設(shè)，先求，則，再由題意可得，即可求或；
（3）將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，，，可證明，則可得在以為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，又由，，則，所以的最大值為，的最小值為，即可求．
【解答】解：（1）令，則，
，
令，則，
，
將點(diǎn)，代入，
得，
，
；
（2）設(shè)，
令，則，
解得或，
，
，
，
的面積等于面積的，
，
解得或，
或；
（3）將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，，，
，，
，
，，
，
，
，
，
在以為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
，，
，
，
，
，
的最大值為，的最小值為，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，靈活應(yīng)用瓜豆原理是解題的關(guān)鍵．
3．（2023?海淀區(qū)校級(jí)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，給定圖形和點(diǎn)，若圖形上存在兩個(gè)點(diǎn)，滿足且，則稱點(diǎn)是圖形的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．
已知點(diǎn)，，．
（1）在點(diǎn)，，，，，中， ， 是線段的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；
（2）是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．
①當(dāng)時(shí)，若線段上任一點(diǎn)均為的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求的取值范圍；
②記線段與線段組成折線，若存在，使折線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)都是的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直接寫出的最小值．
【分析】（1）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，結(jié)合勾股定理進(jìn)行判斷即可；
（2）①根據(jù)題意推得三角形為含30度角的直角三角形，根據(jù)瓜豆原理可得求得點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，最小距離為，推得的所有關(guān)聯(lián)點(diǎn)在以為圓心，和為半徑的兩個(gè)圓構(gòu)成的圓環(huán)中，結(jié)合圖形求得半徑的取值范圍；
②結(jié)合①中的結(jié)論，畫出滿足條件的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的范圍，進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1），
為直角三角形，
滿足，
根據(jù)勾股定理可得：，
，，
；
，，
；
，，
，
，且，
是線段的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；
，且，
是線段的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；
，且，
，，
，
對(duì)于線段上的任意兩點(diǎn)、，
當(dāng) 時(shí)，，如圖，則必是銳角，不可能是直角，
不是線段的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；
故答案為：，．
（2）①由（1）可得：，
為直角三角形，
，
即，
即三角形為含30度角的直角三角形，如圖：
則點(diǎn)是以為斜邊且含30度角的直角三角形的直角頂點(diǎn)．
在圓上取點(diǎn)，，則對(duì)于任意位置的和，符合的關(guān)聯(lián)點(diǎn)有2個(gè)，如圖：
以點(diǎn)為例，當(dāng)點(diǎn)在半徑為的上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)為圓上一定點(diǎn)，且，，
則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，故點(diǎn)的軌跡也為圓，令點(diǎn)的軌跡為圓，如圖：
當(dāng)，，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線時(shí)，，
，，
則點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，最小距離為，
當(dāng)點(diǎn)也在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，也隨之運(yùn)動(dòng)，
則掃過的區(qū)域?yàn)?和為半徑圍成的圓，
即的所有關(guān)聯(lián)點(diǎn)在以為圓心，和為半徑的兩個(gè)圓構(gòu)成的圓環(huán)中，
當(dāng)線段與半徑為 交于點(diǎn)時(shí)，最小，如圖：
則，
解得，
當(dāng)線段與半徑為的圓相切時(shí)，最大，過點(diǎn)作，如圖：
則，
即，
解得，
則，
解得，
②當(dāng)關(guān)聯(lián)點(diǎn)在線段上時(shí)，滿足條件的關(guān)聯(lián)點(diǎn)所在范圍如圖陰影部分：
當(dāng)關(guān)聯(lián)點(diǎn)在線段上時(shí)，滿足條件的關(guān)聯(lián)點(diǎn)所在范圍如圖陰影部分：
當(dāng)關(guān)聯(lián)點(diǎn)在不同線段上時(shí)，滿足條件的關(guān)聯(lián)點(diǎn)在點(diǎn)和點(diǎn)上的范圍如圖陰影部分：
綜上，所有區(qū)域疊加一起為：
由①可知，滿足的所有關(guān)聯(lián)點(diǎn)所在范圍為圓環(huán)，
故若使得圓環(huán)能夠完整“包住”關(guān)聯(lián)點(diǎn)，圓環(huán)中外圓 的必須經(jīng)過點(diǎn)，
，，，，
四邊形為矩形，
，
則，
即，
解得 （負(fù)值舍去）；
綜上，的最小值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的綜合應(yīng)用，勾股定理，圓的相關(guān)性質(zhì)，借助三角形面積求高，解一元一次方程，解一元二次方程等，根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)推得滿足條件關(guān)聯(lián)點(diǎn)的范圍是圓環(huán)，根據(jù)臨界點(diǎn)求最值是解題的關(guān)鍵．
4．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）在中，，，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段，連接．
（1）如圖1，，，點(diǎn)在射線上，求的長；
（2）如圖2，，于點(diǎn)，，猜想線段，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）如圖3，，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)是上一點(diǎn)且滿足，連接，直接寫出當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)到的距離．
【分析】（1）由題意易得，，由特殊三角函數(shù)值求出，進(jìn)而得出的長，證，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得的長；
（2）由，得，由平行線的性質(zhì)失出，根據(jù)可求得，，進(jìn)而得出與的數(shù)量關(guān)系．作，垂足為，則，分別證、，推出，即可；
（3）由題意易知和是等邊三角形，則點(diǎn)在的外接圓上，作的外接，連接，并延長交于點(diǎn)，則垂直平分，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，連接、，證得，連接、，在上截取，作，交于點(diǎn)，推出，求出的長，證，可得出點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最?。蛔饔邳c(diǎn)，作于點(diǎn)，解直角三角形求出、，進(jìn)而求出，根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而求出，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出即可．
【解答】解：（1），，
，
，
，
，
在中，，
，，
將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，
，，
，
，
，
，
，即，
；
（2），，，
，
同理，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
如圖2，作，垂足為，則，
在和中，，，
，
，，
，
，，
又，
，
，
，
，
即；
（3），，
和是等邊三角形，
，，
點(diǎn)在的外接圓上，
如圖3，作的外接，連接，并延長交于點(diǎn)，則垂直平分，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，連接、，
，
，
，，
，
，
連接、，在上截取，作，交于點(diǎn)，則，
，
，
，
是等邊三角形，是的外接圓，，
，，
，
，
，，
，
點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，如圖4，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則，
，
，
在中，，
，
，
由勾股定理得，，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直線三角形，圓周角定理，勾股定理等知識(shí)，（1）中推出，靈活運(yùn)用解直角三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（2）中推出，靈活運(yùn)用解直角三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（3）中判斷點(diǎn)和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，構(gòu)造輔助圓是解題的關(guān)鍵，難度系數(shù)大，是中考?jí)狠S題．
1號(hào)轎廂測量情況
4號(hào)轎廂測量情況
10號(hào)轎廂測量情況



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