通用的解題思路：
模型一：一線三等角模型
一線三等角指的是有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角?；蚪?“K字模型”。
三直角相似可以看著是“一線三等角”中當(dāng)角為直角時(shí)的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形為背景，或者在一條直線上有一個(gè)頂點(diǎn)在該直線上移動(dòng)或者旋轉(zhuǎn)的直角，幾種常見(jiàn)的基本圖形如下：
當(dāng)題目的條件中只有一個(gè)或者兩個(gè)直角時(shí)，就要考慮通過(guò)添加輔助線構(gòu)造完整的三直角型相似，這往往是很多壓軸題的突破口，進(jìn)而將三角型的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。
一般類型：
基本類型：
同側(cè)“一線三等角” 異側(cè)“一線三等角”
模型二：手拉手模型——旋轉(zhuǎn)型全等
一、等邊三角形手拉手-出全等
二、等腰直角三角形手拉手-出全等
兩個(gè)共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（B、C、D不共線）始終有：[來(lái)源:Z#xx#k.Cm]
△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置關(guān)系）且BD=AE（數(shù)量關(guān)系）；③FC平分∠BFE；
題型三：倍長(zhǎng)中線模型構(gòu)造全等三角形
倍長(zhǎng)中線是指加倍延長(zhǎng)中線，使所延長(zhǎng)部分與中線相等，往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長(zhǎng)法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（通常用“SAS”證明）（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時(shí)用）。
三角形一邊的中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段），或中點(diǎn)，通?？紤]倍長(zhǎng)中線或類中線，構(gòu)造全等三角形.把該中線延長(zhǎng)一倍，證明三角形全等，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法.
主要思路：倍長(zhǎng)中線（線段）造全等
在△ABC中 AD是BC邊中線

延長(zhǎng)AD到E， 使DE=AD，連接BE

作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延長(zhǎng)線于E 連接BE

延長(zhǎng)MD到N， 使DN=MD，連接CD
題型四：平行線+線段中點(diǎn)構(gòu)造全等模型
題型五：等腰三角形中的半角模型
過(guò)等腰三角形頂點(diǎn) 兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型。
解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過(guò)全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。
題型六：角平分線+垂直構(gòu)造全等模型
類型一、角平分線垂兩邊
角平分線+外垂直
當(dāng)已知條件中出現(xiàn)為的角平分線、于點(diǎn)時(shí)，輔助線的作法大都為過(guò)點(diǎn)作即可.即有、≌等，利用相關(guān)結(jié)論解決問(wèn)題.
類型二、角平分線垂中間
角平分線+內(nèi)垂直
當(dāng)已知條件中出現(xiàn)為的角平分線,于點(diǎn)時(shí)，輔助線的作法大都為延長(zhǎng)交于點(diǎn)即可.即有是等腰三角形、是三線等，利用相關(guān)結(jié)論解決問(wèn)題.
模型一：一線三等角模型
1．（2023?石家莊模擬）如圖①，矩形與以為直徑的半圓在直線的上方，線段與點(diǎn)、都在直線上，且，，．點(diǎn)以1個(gè)單位秒的速度從點(diǎn)處出發(fā)，沿射線方向運(yùn)動(dòng)，矩形隨之運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
（1）如圖②，當(dāng)時(shí)，求半圓在矩形內(nèi)的弧的長(zhǎng)度；
（2）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)、都與半圓相交時(shí)，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)為、．連接、，若為直角，求此時(shí)的值．
2．（2023?懷化三模）如圖所示，工人趙師傅用10塊高度都是的相同長(zhǎng)方體新型建筑材料，壘了兩堵與地面垂直的墻和，點(diǎn)在上，已知，．
（1）求證：；
（2）求的長(zhǎng)．
3．（2023?承德二模）如圖1，經(jīng)過(guò)的三個(gè)頂點(diǎn)，圓心在斜邊上，，直徑所對(duì)的弧長(zhǎng)為長(zhǎng)的3倍，將等腰的直角頂點(diǎn)放置在邊上，于點(diǎn)．
（1） ；
（2）求證：；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求的長(zhǎng)．
4．（2023?鳳臺(tái)縣校級(jí)二模）感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，點(diǎn)在直線上，且，像這種一條直線上的三個(gè)頂點(diǎn)含有三個(gè)相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．
應(yīng)用：（1）如圖2，中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)．求證；．
（2）如圖3，在中，是上一點(diǎn)，，，，，求點(diǎn)到邊的距離．
（3）如圖4，在中，為邊上的一點(diǎn)，為邊上的一點(diǎn)．若，，，求的值．
5．（2023?鄂倫春自治旗二模）如圖1，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于點(diǎn)，，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）過(guò)點(diǎn)作軸分別交線段，拋物線于點(diǎn)，，連接．當(dāng)時(shí)，求的面積；
（3）如圖2，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．
①當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②點(diǎn)在拋物線上，連接，當(dāng)平分時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．
6．（2023?濰坊三模）如圖1，將一個(gè)等腰直角三角尺的頂點(diǎn)放置在直線上，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
觀察發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖1，當(dāng)，兩點(diǎn)均在直線的上方時(shí)
①猜測(cè)線段，與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；
②直接寫(xiě)出線段，與的數(shù)量關(guān)系；
操作證明：
（2）將等腰直角三角尺繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，線段，與又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并寫(xiě)出證明過(guò)程；
拓廣探索：
（3）將等腰直角三角尺繞著點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至圖3位置時(shí)，與交于點(diǎn)，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．
7．（2023?尤溪縣校級(jí)模擬）在矩形中，連接，線段是線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，平移線段得到線段（點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)），連接，分別交，于點(diǎn)，，連接．
（1）求證：；
（2）求的大小；
（3）若，，求矩形的面積（用含有，的式子表示）．
8．（2024?龍馬潭區(qū)一模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若在線段上存在一點(diǎn)，使得，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是在對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
9．（2023?太康縣二模）在正方形中，是邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），，垂足為點(diǎn)，與正方形的外角的平分線交于點(diǎn)．
（1）如圖1，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，猜想與的數(shù)量關(guān)系是 ；證明此猜想時(shí)，可取的中點(diǎn)，連接．根據(jù)此圖形易證．則判斷的依據(jù)是 ．
（2）點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)．
①如圖2，（1）中的猜想是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．
②如圖3，連接，，若正方形的邊長(zhǎng)為1，直接寫(xiě)出的周長(zhǎng)的取值范圍．
模型二：手拉手模型——旋轉(zhuǎn)型全等
1．（2023?巴中）綜合與實(shí)踐．
（1）提出問(wèn)題．如圖1，在和中，，且，，連接，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
①的度數(shù)是 ．
② ．
（2）類比探究．如圖2，在和中，，且，，連接、并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．
①的度數(shù)是 ；
② ．
（3）問(wèn)題解決．如圖3，在等邊中，于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（不與重合），以為邊在的左側(cè)構(gòu)造等邊，將繞著點(diǎn)在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度．如圖4，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．
①說(shuō)明為等腰三角形．
②求的度數(shù)．
2．（2024?武漢模擬）如圖，在和中，，，，點(diǎn)在邊上，是的中點(diǎn)．連接，是的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）如圖（2），若點(diǎn)在上，直接寫(xiě)出的值；
（3）如圖（1），判定以，，為頂點(diǎn)的三角形的形狀，并證明你的結(jié)論．
3．（2023?市中區(qū)校級(jí)四模）問(wèn)題提出如圖1，在等邊內(nèi)部有一點(diǎn)，，，，求的度數(shù)．
數(shù)學(xué)思考當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以將分?jǐn)?shù)的條件集中起來(lái)解決問(wèn)題．
嘗試解決將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，則為等邊三角形．
，又，，．
△為 三角形，
的度數(shù)為 ．
類比探究如圖2，在中，，，其內(nèi)部有一點(diǎn)，若，，，求的度數(shù)．
聯(lián)想拓展如圖3，在中，，，其內(nèi)部有一點(diǎn)，若，，，求的度數(shù)．
4．（2023?深圳模擬）如圖，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊向的右側(cè)作等邊，連接．
（1）【嘗試初探】
如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與相交于點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)三角形始終保持全等，請(qǐng)你找出這對(duì)全等三角形，并說(shuō)明理由．
（2）【深入探究】
如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，隨著點(diǎn)位置的變化，點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)時(shí)，求的值．
（3）【拓展延伸】
如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，、相交于點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
5．（2023?岱岳區(qū)二模）如圖，正方形邊長(zhǎng)為7．、在半徑為4的上，且，連接、、、．
（1）試探求線段、的數(shù)量和位置關(guān)系；
（2）求證：，并求的值．
6．（2023?蘇州一模）如圖，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊向的右側(cè)作等邊三角形，連接．
（1）【嘗試初探】
如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，相交于點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)三角形始終保持全等，請(qǐng)你找出這對(duì)全等三角形，并說(shuō)明理由．
（2）【深入探究】
如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，隨著點(diǎn)位置的變化，點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)時(shí)，求的值．
（3）【拓展延伸】
如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，相交于點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
7．（2023?灌云縣校級(jí)模擬）在中，，，點(diǎn)是平面內(nèi)不與點(diǎn)，重合的任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，．
（1）當(dāng)時(shí)，
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)在的邊上時(shí)，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，則與的數(shù)量關(guān)系是 ．
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，①中與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明結(jié)論，若不成立，說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)時(shí)，
①如圖3，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②若點(diǎn)，，在一條直線上，且，線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，求的值．
8．（2024?邳州市校級(jí)一模）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)，，在同一直線上，連接．
①線段，之間的數(shù)量關(guān)系為 ；
②的度數(shù)為 ．
（2）拓展探究：
如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)，，在同一直線上，連接，求的值及的度數(shù)；
（3）解決問(wèn)題：
如圖3，在正方形中，，若點(diǎn)滿足，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)到直線的距離．
9．（2023?酒泉一模）（1）感知：如圖①，四邊形和均為正方形，與的數(shù)量關(guān)系為 ；
（2）拓展：如圖②，四邊形和均為菱形，且，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）應(yīng)用：如圖③，四邊形和均為菱形，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上．若，，的面積為8，求菱形的面積．
10．（2023?海淀區(qū)校級(jí)四模）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，為上一點(diǎn)，點(diǎn)．
對(duì)于點(diǎn)給出如下定義：將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，稱點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，的“中旋點(diǎn)”．
（1）如圖1，已知點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，的“中旋點(diǎn)”．
①若點(diǎn)，在圖中畫(huà)出點(diǎn)，并直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度為 ；
②當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，的“中旋點(diǎn)” ，求的取值范圍；
（2）點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若上存在點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，的“中旋點(diǎn)” ，直接寫(xiě)出的取值范圍．
11．（2023?黑龍江模擬）在中，，，為直線上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．
（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖①，求證：；
（2）當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，線段，，之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出你的猜想，不必證明．
12．（2024?東城區(qū)一模）在中，，，點(diǎn)，是邊上的點(diǎn)，，連接．過(guò)點(diǎn)作的垂線，過(guò)點(diǎn)作的垂線，兩垂線交于點(diǎn)．連接交于點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直接寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）時(shí)，
①補(bǔ)全圖形；
②與在（1）中的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在（2）的條件下，直接用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．
13．（2023?天寧區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在第一象限內(nèi)．
（1）如圖1，．
①若是以為斜邊的直角三角形，且．請(qǐng)?jiān)趫D（1）中利用圓規(guī)、無(wú)刻度直尺作出點(diǎn)的位置（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)： ；
②若是等邊三角形．求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖2，是等邊三角形，點(diǎn)在以，為圓心，半徑為的圓上．若存在兩個(gè)滿足條件，求的取值范圍．
14．（2023?牡丹區(qū)校級(jí)一模）有共同頂點(diǎn)的與中，，，且，連接，，線段，相交于點(diǎn)．
（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，的值是 ，的度數(shù)是 ；
（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，求的值和的度數(shù)，并說(shuō)明理由；
（3）如果，，當(dāng)點(diǎn)與的頂點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．
15．（2023?泰州）已知：、為圓上兩定點(diǎn)，點(diǎn)在該圓上，為所對(duì)的圓周角．
知識(shí)回顧
（1）如圖①，中，、位于直線異側(cè)，．
①求的度數(shù)；
②若的半徑為5，，求的長(zhǎng)；
逆向思考
（2）如圖②，若為圓內(nèi)一點(diǎn)，且，，．求證：為該圓的圓心；
拓展應(yīng)用
（3）如圖③，在（2）的條件下，若，點(diǎn)在位于直線上方部分的圓弧上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)在上，滿足的所有點(diǎn)中，必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變．請(qǐng)證明．
題型三：倍長(zhǎng)中線模型構(gòu)造全等三角形
1．（2023?興寧區(qū)校級(jí)模擬）【模型啟迪】
（1）如圖1，在中，為邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，則與的數(shù)量關(guān)系為 ，位置關(guān)系為 ；
【模型探索】
（2）如圖2，在中，為邊的中點(diǎn)，連接，為邊上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且．求證：；
【模型應(yīng)用】
如圖3，在（2）的條件下，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，，求線段的長(zhǎng)．
2．（2023?撫州三模）課本再現(xiàn)：
（1）我們研究平行四邊形時(shí)，常常把它分成幾個(gè)三角形，利用三角形全等的性質(zhì)研究平行四邊形的有關(guān)問(wèn)題，同時(shí)也可以利用平行四邊形研究三角形的有關(guān)問(wèn)題，如探究三角形中位線的性質(zhì)．
如圖（1），在中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接．則與的關(guān)系是 ．
定理證明
（2）請(qǐng)根據(jù)（1）中內(nèi)容結(jié)合圖（1），寫(xiě)出（1）中結(jié)論的證明過(guò)程．
定理應(yīng)用
（3）如圖（2），在四邊形中，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)是 ．
（4）如圖（3），在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，且．將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到線段，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段長(zhǎng)的最大值和最小值．
3．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模）如圖，在中，，，于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．
（1）若，，求的長(zhǎng)；
（2）求證：；
（3）求證：．
4．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）如圖，中，在上，在上，，在上，．
（1）如圖1，若，求證：；
（2）如圖2，若，在上，，求證：；
（3）如圖3，若，，，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的面積．
5．（2023?南關(guān)區(qū)校級(jí)二模）【提出問(wèn)題】興趣小組活動(dòng)中老師提出了如下問(wèn)題：如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到，使得，，再連接（或?qū)⒗@點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把、、集中在中，利用三角形的三邊關(guān)系可得，則．
【方法感悟】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件時(shí)，可以考慮作“輔助線”，把一條過(guò)中點(diǎn)的線段延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中，這種作輔助線的方法稱為“中線加倍”法．
【解決問(wèn)題】如圖②，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，過(guò)點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)，連接．
（1）求證：．
（2）若，則線段、、之間的等量關(guān)系為 ．
（3）【應(yīng)用拓展】如圖③，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)分別在邊、上，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為 ．
題型四：平行線+線段中點(diǎn)構(gòu)造全等模型
1．（2023?射洪市校級(jí)一模）在中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，菱形的面積為40．求的長(zhǎng)．
2．（2022?前進(jìn)區(qū)校級(jí)一模）已知：是的角平分線，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖①易證；當(dāng)點(diǎn)在邊上，如圖②；當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，是的外角平分線時(shí)，如圖③．寫(xiě)出、與的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖②進(jìn)行證明．
3．（2022?壽光市一模）如圖，在矩形中，，，為邊的一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使；分別連接，，．
（1）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形能否成為菱形？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．
（2）若與相似，求的長(zhǎng)．
4．（2022?九江三模）（1）化簡(jiǎn)并求值：，其中．
（2）如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，分別與、交于點(diǎn)、．求證：．
5．（2023?薛城區(qū)校級(jí)模擬）【感知】小亮遇到了這樣一道題：已知如圖①在中，，在上，在的延長(zhǎng)線上，交于，且，求證：，小亮仔細(xì)分析了題中的已知條件后，如圖②過(guò)點(diǎn)作交于，進(jìn)而解決了該問(wèn)題．（不需證明）
【探究】如圖③，在四邊形中，，為邊的中點(diǎn)，，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．試探究線段與、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【應(yīng)用】如圖④，在正方形中，為邊的中點(diǎn)，、分別為，邊上的點(diǎn)，若，，，則的長(zhǎng)為 ．
6．（2022?婺城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)．
（1）求的度數(shù)；
（2）求的值．
7．（2022?豐澤區(qū)校級(jí)模擬）在四邊形中，平分，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，連接，且，，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，求證：；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)在上，連接，，，，求線段的長(zhǎng)．
題型五：等腰三角形中的半角模型
1．（2023?昌平區(qū)二模）在等邊中，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，連接，，將射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到射線，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，且，連接，．
（1）補(bǔ)全圖形；
（2）求度數(shù)；
（3）用等式表示，的數(shù)量關(guān)系，并證明．
2．（2023?大連模擬）綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，點(diǎn)在邊上，于交于，．求證．
獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答王師提出的問(wèn)題．
實(shí)踐探究：（2）在原有問(wèn)題條件不變的情況下，王老師增加下面條件，并提出新問(wèn)題，請(qǐng)你解答．“如圖2，作于點(diǎn)，若，探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．”
問(wèn)題解析：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，連接，若給出的值，則可求出的值．該小組提出下面的問(wèn)題，請(qǐng)你解答．”
如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，連接，若，求的長(zhǎng)”．
3．（2023?南崗區(qū)校級(jí)二模）圓內(nèi)接，是圓的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，．
（1）如圖1，連接，求證：；
（2）如圖2，當(dāng)為直徑，點(diǎn)在弧上，連接、、時(shí)；求證：．
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接與交于點(diǎn)，連延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．
題型六：角平分線+垂直構(gòu)造全等模型
1．（2024?平谷區(qū)一模）如圖，在中，，，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，于，作的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）求證：；
（3）判斷線段、與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
2．（2024?金華一模）已知：如圖，在中，于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，．
（1）求證：．
（2）已知，，求的長(zhǎng)．
3．（2023?武陟縣一模）如圖，在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．
4．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)一模）如圖，在中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接．
（1）如圖1，若，，，求線段的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若，為邊上一點(diǎn)且，為上一點(diǎn)且，為的中點(diǎn)，連接，，，．猜想與之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）如圖3，當(dāng)，時(shí)，將繞著點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接．點(diǎn)、點(diǎn)分別是線段、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、．點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，將沿直線翻折到同一平面內(nèi)的，連接．在、運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)取得最小值且，時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形的面積．
題型六：正方形中的半角模型
1．（2023?增城區(qū)二模）在正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，連接．
（1）如圖1，若，，求的長(zhǎng)度；
（2）如圖2，連接，與、分別相交于點(diǎn)、，若正方形的邊長(zhǎng)為6，，求的長(zhǎng)；
（3）判斷線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論．
2．（2023?明水縣二模）已知：正方形中，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)、．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖，易證．
（1）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖，線段、和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出猜想，并加以證明；
（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段、和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．
3．（2023?昆明模擬）綜合與實(shí)踐
【問(wèn)題情境】
數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，楊老師出示了教材上的一個(gè)問(wèn)題：
如圖1，四邊形是正方形，是上的任意一點(diǎn)，于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，求證：．
數(shù)學(xué)興趣小組的小明同學(xué)做出了回答，解題思路如下：
由正方形的性質(zhì)得到，，
再由垂直和平行可知，
再利用同角的余角相等得到，
則可根據(jù)“”判定，
得到，所以．
【建立模型】
該數(shù)學(xué)小組小芳同學(xué)受此問(wèn)題啟發(fā)，對(duì)上面的問(wèn)題進(jìn)行了改編，并提出了如下問(wèn)題：
（1）如圖2，四邊形是正方形，，是對(duì)角線上的點(diǎn)，，連接，．
求證：四邊形是菱形；
【模型拓展】
該興趣小組的同學(xué)們?cè)跅罾蠋煹闹笇?dǎo)下大膽嘗試，改變圖形模型，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)；
（2）如圖3，若正方形的邊長(zhǎng)為12，是對(duì)角線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)，連接，交對(duì)角線于點(diǎn)，，求的值．
4．（2022?綏化三模）已知，正方形中，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊長(zhǎng)分別交、（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)、，于點(diǎn)．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系： ；
（2）如圖②，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫(xiě)出理由，如果成立請(qǐng)證明；
（3）如圖③，已知，于點(diǎn)，且，，求的長(zhǎng)．
5．（2022?集賢縣模擬）已知正方形中，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交，（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)，，于點(diǎn)．
（1）如圖①，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系： ；
（2）如圖②，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫(xiě)出理由，如果成立請(qǐng)證明；
（3）如圖③，已知，于點(diǎn)，且，，求的長(zhǎng)．（可利用（2）得到的結(jié)論）

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