例1．如圖，已知拋物線ybx過點A（﹣4，0）、頂點為B，一次函數(shù)yx+2的圖象交y軸于M，對稱軸與x軸交于點H．
（1）求拋物線的表達式；
（2）已知P是拋物線上一動點，點M關于AP的對稱點為N．
①若點N恰好落在拋物線的對稱軸上，求點N的坐標；
②請直接寫出△MHN面積的最大值．
【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求拋物線的表達式．
（2）①先求出拋物線的對稱軸為直線x＝﹣2，設N（﹣2，n），則NH＝|n|，由軸對稱性質(zhì)可得AN＝AM，即AN2＝AM2，建立方程求解即可得出答案．
②連接MH，以點A為圓心，AM為半徑作⊙A，過點A作AN⊥MH于點F，交⊙A于點N，則AN＝AM，連接AM，AN，此時△MHN面積最大．運用勾股定理、三角函數(shù)、三角形面積公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵拋物線ybx過點A（﹣4，0），
∴（﹣4）2﹣4b＝0，
解得：b＝2，
∴該拋物線的表達式為yx2+2x；
（2）①∵yx2+2x，
∴拋物線對稱軸為直線x2，
∵對稱軸與x軸交于點H，
∴H（﹣2，0），
∵A（﹣4，0），
∴AH＝2，
∵直線yx+2交y軸于M，
∴M（0，2），
∴AM2＝OA2+OM2＝42+22＝20，
設N（﹣2，n），則NH＝|n|，如圖1、圖2，
∵M、N關于直線AP對稱，
∴AN＝AM，即AN2＝AM2，
∴22+n2＝20，
∴n＝±4，
∴點N的坐標為（﹣2，﹣4）或（﹣2，4）；
②如圖，連接MH，以點A為圓心，AM為半徑作⊙A，過點A作AN⊥MH于點F，交⊙A于點N，
則AN＝AM，
在Rt△AMO中，OM＝2，OA＝4，
∴AM2，
∴AN＝2，
∵OH＝OM＝2，∠HOM＝90°，
∴△HOM是等腰直角三角形，∠MHO＝45°，MH＝2，
∴∠AHF＝∠MHO＝45°，
在Rt△AFH中，AH＝OA﹣OH＝4﹣2＝2，
∴AF＝AH×sin45°＝2，
∴NF＝AN+AF＝2，
∴S△MHNMH?NF2（2）＝22，
故△MHN面積的最大值為22．
【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)的性質(zhì)，軸對稱，圓的性質(zhì)及圖象上的動點問題，解題的關鍵是學會用建模的思想思考問題，學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，學會利用參數(shù)構建方程或方程組解決問題，屬于中考壓軸題．
題型二： 二次函數(shù)與三角形面積等積問題
例2．如圖，等腰直角三角形OAB的直角頂點O在坐標原點，直角邊OA，OB分別在y軸和x軸上，點C的坐標為（3，4），且AC平行于x軸．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求過B，C兩點的拋物線y＝﹣x2+bx+c的解析式；
（3）拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的另一個交點為D，試判定OC與BD的大小關系；
（4）若點M是拋物線上的動點，當△ABM的面積與△ABC的面積相等時，求點M的坐標．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)與點C的坐標特征求得點A與點B的坐標，利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）直接把點B與點C的坐標代入y＝﹣x2+bx+c即可求解；
（3）由拋物線與x軸的交點關于對稱軸直線對稱求得點D的坐標，在利用點C的坐標分別求得OC，BD的長即可求解；
（4）分兩種情況：當點M在直線AB的上方時，如圖所示；當點M在直線AB的下方時，如圖所示，利用鉛垂線法求得△ABM的面積，利用△ABM的面積與△ABC的面積相等列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵點C的坐標為（3，4），且AC平行于x軸，
∴點A的坐標為（0，4）且OA＝4，
∵△OAB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
∴OB＝OA＝4，
∵點B的坐標為（4，0），
設直線AB的解析式為：y＝mx+n，
由題意得 ，
解得：，
∴直線AB的解析式為：y＝﹣x+4；
（2）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c過B，C兩點，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+3x+4；
（3）BD＝OC；理由：
∵拋物線的解析式為y＝﹣x2+3x+4＝﹣{x）2，
∴拋物線的對稱軸直線為x，
∵點B的坐標為（4，0），點B與點D關于對稱軸對稱，
∴點D的坐標為（﹣1，0），
∴BD＝4﹣（﹣1）＝5，
∵點C的坐標為（3，4），
∴OC5，
∴BD＝OC；
（4）∵點C的坐標為（3，4），且AC平行于x軸，
∴AC＝3，
∴S△ABC?yC3×4＝6，
當點M在直線AB的上方時，如圖所示，
過點M作MN∥y軸，交直線AB于點N，設M的坐標為（t，﹣t2+3t+4），則N的坐標為（t，﹣t+4），
∴MN＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，
∴S△AMBMN?xB（﹣t2+4t）×4＝﹣2t2+8t，
∵△ABM的面積與△ABC的面積相等，
∴﹣2t2+8t＝6，
解得：t＝1或t＝3（舍，該點為點C），
此時M的坐標為（1，6）或（3，4）；
當點M在直線AB的下方時，如圖所示，
過點M作MN∥x軸，交直線AB于點N，設M的坐標為（t，﹣t2+3t+4），則N的坐標為（t2﹣3t，﹣t2+3t+4），
∴MN＝t2﹣3t﹣t＝t2﹣4t，
∴S△ABMMN?yA（t2﹣4t）×4＝2t2﹣8t，
∵△ABM的面積與△ABC的面積相等，
∴2t2﹣8t＝6，
解得：t＝2±，
此時M的坐標為（2，﹣1）或（2，1）；
綜上可得，M的坐標為（2，﹣1）或（2，1）或（1，6）．
【點評】本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及利用二次函數(shù)的性質(zhì)求與面積計算有關的問題，解題關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
題型三： 二次函數(shù)與四邊形面積最值問題
例3．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．已知A（3，0），該拋物線的對稱軸為直線x＝1．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；
（2）求點B、C的坐標；
（3）將線段BC平移，使得平移后線段的一個端點在這條拋物線上，另一個端點在x軸上，若將點B、C平移后的對應點分別記為點D、E，求以B、C、D、E為頂點的四邊形面積的最大值．
【分析】（1）由拋物線對稱軸為直線x＝1可得b的值，再將（3，0）代入解析式求解．
（2）由拋物線對稱性及點A坐標可得點B坐標，將x＝0代入解析式可得點C坐標．
（3）分別作出滿足題意的四邊形，結合圖形求解．
【解答】解：（1）∵拋物線對稱軸為直線x1，
∴b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+c，
將（3，0）代入y＝﹣x2+2x+c得0＝﹣9+6+c，
解得c＝3，
∴y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵拋物線對稱軸為直線x＝1，點A坐標為（3，0），
∴由拋物線對稱性可得點B坐標為（﹣1，0），
將x＝0代入y＝﹣x2+2x+3得y＝3，
∴點C坐標為（0，3）．
（3）如圖，可得圖2中四邊形面積最大，
圖1
圖2
圖3
∵BC∥DE且BC＝DE，
∵yC﹣yB＝y(tǒng)E﹣yD，
∴yD＝﹣3，
將y＝﹣3代入y＝﹣x2+2x+3得﹣3＝﹣x2+2x+3，
解得x1＝1（舍），x2＝1，
∴點E橫坐標為11＝2，
∴BE＝21＝3，
∴S四邊形BDECBE?yCBE?|yD|（3）×3（3）×3＝9+3．
【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，解題關鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關系，掌握坐標系內(nèi)圖形的面積求法．
題型四： 二次函數(shù)與面積分割問題
例4．已知拋物線y＝x2+4mx+4m2﹣4m﹣3的頂點C在定直線l上．
（1）求C點的坐標（用含m的式子表示）；
（2）求證：不論m為何值，拋物線與定直線l的兩交點間的距離d恒為定值；
（3）當拋物線的頂點C在y軸上，且與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）時，是否存在直線n滿足以下三個條件：
①n與拋物線相交于點M，N（點M在點N的左側），且與線段AC交于點P；
②∠APN＝2∠ACO；
③n將△ABC的面積分成1：2的兩部分．若存在，求出直線n的解析式；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）利用頂點公式求解即可；
（2）求出定直線l為y＝2x﹣3，聯(lián)立方程組，求出兩個交點的坐標，再求距離d＝2即可；
（3）由對稱性可知∠APN＝∠ACB，則MN∥BC，設直線MN的解析式為yx+t，直線MN與x軸的交點為H，根據(jù)已知可得S△PAHS△ACB或S△PAHS△ACB，即（）2或（）2，從而求出H（2，0）或（2，0），即可求直線MN的解析式為yx+3﹣2或yx+3﹣2．
【解答】（1）解：∵y＝x2+4mx+4m2﹣4m﹣3＝（x+2m）2﹣4m﹣3，
∴頂點C（﹣2m，﹣4m﹣3）；
（2）證明：∵C（﹣2m，﹣4m﹣3），
∴C點在直線y＝2x﹣3上，
∴定直線l為y＝2x﹣3，
聯(lián)立方程組，
解得或，
∴兩個交點分別為（﹣2m，﹣4m﹣3），（2﹣2m，﹣4m+1），
∴d2，
∴拋物線與定直線l的兩交點間的距離d恒為定值；
（3）解：存在直線n，理由如下：
∵頂點C在y軸上，
∴m＝0，
∴y＝x2﹣3，
令y＝0，則x2﹣3＝0，
解得x或x，
∴A（，0），B（，0），
∴AB＝2，
∵拋物線關于y軸對稱，
∴∠ACO＝∠BCO，
∵∠APN＝2∠ACO，
∴∠APN＝∠ACB，
∴MN∥BC，
設直線BC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴yx﹣3，
設直線MN的解析式為yx+t，直線MN與x軸的交點為H，
∵直線MN將△ABC的面積分成1：2，
∴S△PAHS△ACB或S△PAHS△ACB，
∴（）2或（）2，
∴或，
解得AH＝2或AH＝2，
∴H（2，0）或（2，0），
∴直線MN的解析式為yx+3﹣2或yx+3﹣2．
【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．
題型五： 二次函數(shù)與面積比問題
例5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)yx2+bx﹣2的圖象與x軸交于點A（3，0），B（點B在點A左側），與y軸交于點C，點D與點C關于x軸對稱，作直線AD．
（1）填空：b＝ ；
（2）將△AOC平移到△EFG（點E，F(xiàn)，G依次與A，O，C對應），若點E落在拋物線上且點G落在直線AD上，求點E的坐標；
（3）設點P是第四象限拋物線上一點，過點P作x軸的垂線，垂足為H，交AC于點T．若∠CPT+∠DAC＝180°，求△AHT與△CPT的面積之比．
【分析】（1）把A（3，0）代入yx2+bx﹣2，求出b；
（2）令x＝0，y＝﹣2，求出C（0，﹣2），根據(jù)點D與點C關于x軸對稱，求出D（0，2），進而得到直線AD解析式：yx+2，根據(jù)平移的性質(zhì)及點的坐標特點，得出E（m，m2m﹣2），則G[m﹣3，（m﹣3）+2]，F(xiàn)[m﹣3，（m﹣3）+4]，再根據(jù)平行于x軸的直線點的縱坐標相等，得出m2m﹣2（m﹣3），解出即可；
（3）如圖所示：過C作CK⊥AD，CQ⊥HP，根據(jù)勾股定理及等面積法，求出AD，CK，DK，AK，再根據(jù)銳角三角函數(shù)定義，得出tan∠CPQ＝tan∠CAK，tan∠OAC，
進而求出△AHT與△CPT的面積之比．
【解答】解：（1）把A（3，0）代入yx2+bx﹣2，
得9+3b﹣2＝0，
解得b；
故答案為：；
（2）如圖所示：
由（1）得yx2x﹣2，
令x＝0，y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∵點D與點C關于x軸對稱，
∴D（0，2），
設直線AD：y＝kx+2，
把A（3，0）代入y＝kx+2，
得3k+2＝0，
解得k，
∴直線AD解析式：yx+2，
∵將△AOC平移到△EFG，
∴OA＝EF＝3，F(xiàn)G＝OC＝2，
設E（m，m2m﹣2），
則G（m﹣3，（m﹣3）+2），F(xiàn)（m﹣3，（m﹣3）+4），
∵EF∥x軸，
∴m2m﹣2（m﹣3）2+4，
解得m＝﹣3或m＝4，
∴E（﹣3，8）或（4，）；
（3）如圖所示：
過C作CK⊥AD，CQ⊥HP，
∵OD＝2，OA＝3
∴AD，
∵CK⊥AD
∴CD?AO＝AD?CK，
∴CK，
DK，AK，
∴tan∠CAK，
∵CQ⊥HP，
∴∠CPQ+∠CPT＝180°，
∵∠CPT+∠DAC＝180°，
∴∠CPQ＝∠CAK，
∴tan∠CPQ＝tan∠CAK，
∴，
設P（n，n2n﹣2），
∴PQn2n，CQ＝n，
∴，
解得n，
∴P（，），
∴CQ，AH＝3，
∵tan∠OAC，
∴THAH，
∴TP，
∴，
即△AHT與△CPT的面積之比為8：147．
【點評】此題考查了二次函數(shù)的綜合應用，掌握待定系數(shù)法求解析式，勾股定理、銳角三角函數(shù)、圖形的變換這幾個知識點的綜合應用，其中正確的畫出圖形，作出輔助線是解題關鍵．
題型六： 函數(shù)關系與面積問題
例6．平面直角坐標系中，已知拋物線y＝﹣x2+（1+m）x﹣m（m為常數(shù)，m≠±1）與軸交于定點A及另一點B，與y軸交于點C．
（1）當點（2，2）在拋物線上時，求拋物線解析式及點A，B，C的坐標；
（2）如圖1，在（1）的條件下，D為拋物線x軸上方一點，連接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求點D的坐標；
（3）若點P是拋物線的頂點，令△ACP的面積為S，
①直接寫出S關于m的解析式及m的取值范圍；
②當時，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）將點（2，2）代入y＝﹣x2+（1+m）x﹣m，求出m即可確定函數(shù)的解析式；
（2）過D點作DE⊥x軸交于E，過A點作AF⊥BC交于F，由題意可知∠ACB＝∠BDE，求出tan∠ACF＝tan∠BDE，設D（t，﹣t2+5t﹣4）（0＜t＜4），求出t的值即可求D點坐標；
（3）①求出P（，），C（0，﹣m），定點A（1，0），B（m，0），AC的解析式為y＝kx+b，y＝mx﹣m，再畫出函數(shù)圖象結合函數(shù)圖象分類討即可；
②對①中求出的解析式分別進行求解即可．
【解答】解：（1）將點（2，2）代入y＝﹣x2+（1+m）x﹣m，
∴m＝4，
∴y＝﹣x2+5x﹣4，
令x＝0，則y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
令y＝0，則﹣x2+5x﹣4＝0，
∴x＝1或x＝4，
∴A（1，0），B（4，0）；
（2）如圖1，過D點作DE⊥x軸交于E，過A點作AF⊥BC交于F，
∵∠DBA+∠ACB＝90°，∠DBA+∠BDE＝90°，
∴∠ACB＝∠BDE，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝45°，
∵BA＝3，
∴AF，
∵A（1，0），
∴AC，
∴CF，
∴tan∠ACF，
∴tan∠BDE，
設D（t，﹣t2+5t﹣4）（0＜t＜4），
∴，
解得x＝4（舍）或x，
∴D（，）；
（3）①∵y＝﹣x2+（1+m）x﹣m＝﹣（x）2，
∴P（，），
令x＝0，則y＝﹣m，
∴C（0，﹣m），
令y＝0，則﹣x2+（1+m）x﹣m＝0，
解得x＝1或x＝m，
∴定點A（1，0），B（m，0），
設AC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝mx﹣m，
如圖2，當m＜﹣1時，S＝S梯形PNOC+S△OCA﹣S△PAN（m）1×（﹣m）（1）m2；
如圖3，當﹣1＜m＜0時，S＝S梯形PNOC+S△PNA﹣S△AOC（m）（1）1×（﹣m）m2；
如圖4，當0≤m＜1時，設對稱軸與直線AC交于點M，
∴M（，），
∴PMm2，
∴S（m2）×1m2；
如圖5，當m＞1時，過點C作CM⊥PN交于點M，
∴M（，﹣m），
∴S＝S矩形OCMN+S△APN﹣S△OCA﹣S△CMPm（1）1×m（m）m2；
綜上所述：當m＜﹣1時，Sm2；當﹣1＜m＜1，Sm2；當m＞1時，Sm2；
②當m＜﹣1時，m2，
解得﹣4≤m；
當﹣1＜m＜0，m2，
此時m無解；
當0≤m＜1時，m2，
此時m無解；
當m＞1時，m2，
解得m≤4；
綜上所述：當時，﹣4≤m或m≤4．
【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，數(shù)形結合，分類討論是解題的關鍵．
一、解答題
1．（2023春·全國·九年級專題練習）已知：如圖，拋物線與坐標軸分別交于點，，，點是線段上方拋物線上的一個動點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當點P運動到什么位置時，的面積有最大值，面積最大值是多少？
【答案】(1)
(2)當時，的面積有最大值，最大值是．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）過點作軸的垂線，交線段于點，由，即可求解．
【詳解】（1）由題意得：
，解得：，
拋物線的表達式為：；
（2）
直線的表達式為：，
將點的坐標代入上式得：，解得：，
直線的表達式為：，
點的橫坐標為，則，
過點作軸的垂線，交線段于點，
則，
，
當時，的值取最大，此時；
【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)、圖形的面積計算等，本題難度不大．
2．（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，拋物線與x軸交于 與y軸交于點C，點P為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線，交直線BC于點D，交x軸于點E，連接 ．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)當與的面積之比為1：2時，求點P的坐標；
【答案】(1)y＝﹣x2+5x+6
(2)
【分析】（1）待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先求出一次函數(shù)解析式，根據(jù)面積比例列出等式，解出坐標
【詳解】（1）∵拋物線與x軸交于
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為；
（2）∵拋物線過點C，
∴，
設直線的解析式為 ，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
設，則，
∴，
∵與的面積之比為，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴P（）；
【點睛】本題考查二次函數(shù)解析式求解、一次函數(shù)解析式求解、面積之比轉(zhuǎn)化成高之比，掌握這些是這個題的解題關鍵．
3．（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，拋物線過點A、B，拋物線的對稱軸交x軸于點D，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，且．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點是x軸上的一個動點，點N是拋物線對稱軸上的一個動點，當，的面積為時，求出點M與點N的坐標；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)解析式求出B、C兩點的坐標，再根據(jù)求出A點坐標，用待定系數(shù)法求拋物線解析式即可；
（2）表示出 ，分和求解．
【詳解】（1）解：對于直線，
令，即，
解得：，
令，得，
∴，
∵A為x軸負半軸上一點，且，
∴．
將點A、B的坐標分別代入中，
得，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：由（1）知：，，拋物線解析式為，
∴對稱軸，
∴D點坐標為，
∵
∴，
∵，即，
當時，，
化簡得： ，
∵，
∴方程無解；
當時，，
解得（舍），
∴，
∴點M的坐標為，點N的坐標為；
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問題，靈活運用所學知識是解題關鍵．
4．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過兩點．P是拋物線上一點，且在直線的上方．
(1)求拋物線的表達式；
(2)若面積是面積的倍，求點的坐標；
(3)如圖，交于點，交于點D．記，的面積分別為，判斷是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)見解析
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達式；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再利用平面直角坐標系內(nèi)兩點之間的距離列方程可得到點的坐標；
（3）利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到相似比即可得到的最大值．
【詳解】（1）解：將代入
得，
解得：，
∴拋物線的解析式為： ；
（2）解：設直線的解析式為：，
將代入得，
解得：，
∴直線的解析式為：，
∵，
∴，
∴，
即，
過點作軸于點，與交于點，過點作于點，如圖，
∴，
∴，
設點的橫坐標為，
∴，
∴，
解得：或；
∴或；
（3）解：存在最大值．理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
設直線交軸于點，則 ，
過點作軸，垂足為，交于點，如圖，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
設
由（2）可知，，
∴，
∵，
∴當時，的最大值為．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平面直角坐標系內(nèi)兩點之間的距離，平行線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．
5．（2023·新疆克孜勒蘇·統(tǒng)考一模）如圖所示，拋物線的圖像與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，連結．
(1)求拋物線頂點D的坐標；
(2)在直線上方的拋物線上有一點M，使得四邊形的面積最大，求點M的坐標及四邊形面積的最大值；
(3)點E在拋物線上，當時，直接寫出點E的坐標．
【答案】(1)
(2)當點時，四邊形ABMC面積最大，最大值為
(3)或
【分析】（1）化為頂點式求解即可；
（2）先求出的面積，然后判斷出的面積最大時四邊形面積最大，求出直線的解析式，設過點M與y軸平行的直線與相交于點N，表示出，再表示出的面積，然后利用二次函數(shù)的最值問題求出點M的橫坐標以及的面積，最后求解即可；
（3）①連接，作于點M，證明即可；②作點D關于的對稱點，作于點N． 求出直線的解析式，然后與二次函數(shù)解析式聯(lián)立即可求解．
【詳解】（1）∵．
∴拋物線頂點D的坐標為；
（2）令，則，解得，∴點，
令，則，
∴點C的坐標為
∴，
∴
∴的面積最大時四邊形面積最大．
設直線的解析式為，
則，
∴，
∴．
設過點M與y軸平行的直線交于點N，，，
則，
，
∴當時，的面積最大，最大值為，
此時，，
所以，當點時，四邊形面積最大，最大值為
（3）①連接，作于點M．
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴點E與點D重合，
∴點E的坐標為，
②作點D關于的對稱點，作于點N，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
則，
解得，
所以，直線BD′的解析式為，
聯(lián)立，
解得（為點B坐標，舍去），，
所以，點H的坐標為，
綜上所述，點E的坐標為或時，．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標軸的交點坐標的求法，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)與幾何綜合，軸對稱的性質(zhì)，數(shù)形結合是解答本題的關鍵．
6．（2023·廣東珠?！そy(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸交于點、，與y軸交于點．點D為拋物線第四象限一動點，連接、、、．

(1)求拋物線的解析式；
(2)當時，求此時點D的坐標；
(3)在第（2）問的條件下，延長線段、交于點E．請判斷的形狀，并說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)是等腰直角三角形，理由見詳解
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）連接，設，由，得出，即可求出點D的坐標；
（3）先用待定系數(shù)法求出直線、的解析式，從而求出交點E的坐標，然后利用兩點間距離公式求出、、的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理，即可判斷出的形狀．
【詳解】（1）設拋物線的解析式為，
∵拋物線與x軸交于點、，與y軸交于點，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）連接，
，
∵，，，
∴，，
∴，
設，
∵，
∴，
整理，得，
解得：，(舍去)，
∴；
（3）是等腰直角三角形，理由如下：
設直線的解析式為，
把，代入，得
，
解得：
∴，
設直線的解析式為，
把，代入，得
，
解得：
∴，
聯(lián)立和得，
，
解得：，
∴，
又∵，，
∴，
，
，
∴，，
∴是等腰直角三角形．
【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及兩點間的距離公式和勾股定理的逆定理，關鍵是靈活運用割補法表示出三角形的面積，以及利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀．
7．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）在邊長為4的正方形中，點O是對角線的中點，P是對角線上一動點，過點P作于點F，作交直線CD于點E，設，．
(1)求證：；
(2)當點P在線段上時，求關于的函數(shù)關系式及自變量的取值范圍；
(3)點P在運動過程中能否使為等腰三角形？如果能，請直接寫出的長；如果不能，請簡單說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)，
(3)能使為等腰三角形，或
【分析】（1）延長交于點G，根據(jù)正方形的性質(zhì)和已知證明矩形，得出，然后證明，得出，即可得出結論；
（2）根據(jù)勾股定理求出，求出和，再求出三角形的面積即可；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況分別計算即可．
【詳解】（1）證明：延長交于點G，
∵正方形中，于點F，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，，
∴,
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，，
則，
∴，
∵，
∴ ；
（3）點P在運動過程中能使為等腰三角形；
當點E在邊上時，
∵，若為等腰三角形，只能是，則，
∵，
∴，
∴，
于是點P在上，
又∵點P在上，
∴A與P重合，此時；
當點E在延長線上時，如圖，若為等腰三角形，只能是，
設， 則，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴即；
綜上所述，當或時，為等腰三角形．
【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)的綜合運用，等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識，綜合運用這些性質(zhì)進行推理，同時注意對等腰的分類討論是解題的關鍵．
8．（2023春·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點、，與y軸交于點C．
(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)若點P是二次函數(shù)圖像上位于線段上方的一個動點．
①如圖，連接，，，交于點E，過點P作的平行線交于點Q，將與的面積比記為a，將與的面積比記為b，當有最大值時，求點P的坐標；
②已知點N是y軸上一點，若點N、P關于直線對稱，求的長．
【答案】(1)
(2)①當點的坐標為時，有最大值；②
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）①求得的解析式為：，易知，，，過點作軸，，設與軸交于點，則，，可得，易證，，可得，，進而得，由題意得， ，，，當取最大值時，有最大值，設，，則，，即：當時，取最大值，進而求得點的坐標；
②由題意可知，點在點下方時，點關于直線的對稱點在的左側，不符合題意，點在點上方時，連接，交于，作軸，可知，設，則，，則，，，則，可知點的坐標為：，，代入函數(shù)表達式求解即可．
【詳解】（1）解：將、，代入中可得：
，解得：，
∴二次函數(shù)的表達式為：；
（2）①當時，，則，設的解析式為：，
將，，代入可得：，解得：，
∴的解析式為：，
由題意可知，，則是等腰直角三角形，
∴，
∵，則，
∴，
∴，，
過點作軸，，設與軸交于點，則，，即：為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，則，
又∵，，
∴，
則：，
，
則，即：，
∵， ，，
∴，
∴，則當取最大值時，有最大值，
設，，則，
∴，
即：當時，取最大值，此時點的縱坐標為1，
即：當點的坐標為時，有最大值；
②由題意可知，點在點下方時，點關于直線的對稱點在的左側，不符合題意，點在點上方時，連接，交于，作軸，
由對稱可知，，，則，
∴，
∴
∵，，，
∴，
設，則，
∴，
則，
∴，則，
∴點的坐標為：，，即，
∵點在二次函數(shù)圖象上，
∴，
解得：（舍去），，
∴．
【點睛】本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相關性質(zhì)，利用數(shù)形結合的思想是解決問題的關鍵．
9．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線BC的解析式為，直線BC交x軸和y軸分別于點B和點C，拋物線交x軸于點A和點B，交y軸于點C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點P是第二象限拋物線上的點，連接PB、PC，設點P的橫坐標為t，的面積為S．求S與t的函數(shù)關系式（不要求寫出t的取值范圍）；
(3)在（2）的條件下，點D在線段上，連接PD、CD，，點F在線段BC上，，F(xiàn)E的延長線交x軸于點G，交PD于點E，連接CE，若，，，求點P的橫出標．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）通過A、B兩點坐標求出二次函數(shù)中的b,c
（2）求出P點到底邊BC的距離，再用三角形公式求解；
（3）添加輔助線，逐步證明；
【詳解】（1）解：直線交x軸和y軸于點B和點C
令時，，即，
令時，，即，
∵點B、C在拋物線上，∴代入解析式可得：
，
解得：，
∴解析式為；
（2）過點P作x軸的垂線交BC延長線于點M，交x軸于點N，過點C作于R
∵P在拋物線上，P橫坐標為t
∴，
∵M在直線BC上，∴，
∴，
，
即；
（3）由（1）得，，∴
又交x軸于點G，∴
即
又設，
又（已知）
（平角定義）
，
又
，
，
過點D作于R，如圖所示
在中，，
，，
，
∵，，，
∴，
，，，
又，
作軸于M，于N，于T，如圖所示
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形
∴，
設，則，如圖所示：
∴，
在中，
解得：，，
∵，
∴，即，
∴不符合題意，應舍去；
當時，，
∴，
又點，
設直線的解析式為，則
，
解得：，
∴直線的解析式為：
，
∴或（舍），
∴P的橫坐標是
【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、動點問題中的三角形面積求解、三角形全等判定和性質(zhì)、平角定義、一元二次方程的求解，掌握這些是本題關鍵．
10．（2023春·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，且．

(1)試求拋物線的解析式；
(2)直線與軸交于點，與拋物線在第一象限交于點，與直線交于點，記，試求的最大值及此時點的坐標；
(3)在（2）的條件下，取最大值時，點是軸上的一個動點，點是坐標平面內(nèi)的一點，是否存在這樣的點、，使得以、、、四點組成的四邊形是矩形？請直接寫出滿足條件的點的坐標．
【答案】(1)
(2)取得最大值，此時點的坐標為
(3)存在，滿足條件的的坐標為或
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得點的坐標，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）過點作軸交直線于，連接，先求得直線的解析式，設，則，可得，再由，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及等高三角形的面積比等于底的比可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可；
（3）存在這樣的點、，使得以、、、四點組成的四邊形是矩形，分是矩形的邊和是矩形的對角線兩種情況求點的坐標．
【詳解】（1）解： ，
，
，
，
，
拋物線經(jīng)過點，，，
，
解得：，
該拋物線的解析式為；
（2）解：如圖1，過點作軸交直線于，連接，
設直線的解析式為，
，，
，
解得：，
直線的解析式為，
設，則，
，
直線與軸交于點，
，
，
軸，即，
，
，
，
，
，
當時，取得最大值，此時點的坐標為；
（3）解：存在這樣的點、，使得以、、、四點組成的四邊形是矩形．
①當是矩形的邊時，有兩種情形，
a、如圖2﹣1中，四邊形是矩形時，
由（2）可知，代入中，得到 ，
直線的解析式為，可得，，
由可得，
,
，
，
．
根據(jù)矩形的性質(zhì)，將點向右平移個單位，向下平移1個單位得到點，
，即，
b、如圖2﹣2中，四邊形是矩形時，
直線的解析式為，，
直線的解析式為，
，
根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，將點D向右平移6個單位，向下平移4個單位得到點N，
，即．
②當是對角線時，設，
則，，，
是直角頂點，
，
，
整理得，方程無解，此種情形不存在，
綜上所述，滿足條件的的坐標為或．
【點睛】本題為二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)、待定系數(shù)法、最大值問題、相似三角形、矩形等知識點．第（3）問涉及存在型問題，有一定的難度．在解題過程中，注意數(shù)形結合思想、分類討論思想及方程思想等的應用．
11．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與坐標軸分別交于A，B，C三點，其中、，M是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點且橫坐標為m，
(1)求拋物線的解析式；
(2)連接BM，交線段AC于點D，求的最大值（其中符號S表示面積）；
(3)連接CM，是否存在點M，使得，若存在，求m的值，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)的最大值為
(3)存在，
【分析】（1）代入點A和點B的坐標到二次函數(shù)解析式即可求解；
（2）和是等高的兩個三角形，面積比的最大值即是底邊的最大值，構造相似三角形，用m表示相似比求最大值即可；
（3）做輔助線構造等腰三角形可得二倍角關系，建立一次函數(shù)圖像，與二次函數(shù)交點的橫坐標即為所求．
【詳解】（1）解：（1）分別代入、到拋物線解析式，
解得：；
故答案為：．
（2）設直線的解析式為，
將點和點代入中，
，
解得：，
直線的解析式為，
如圖所示，過點M作軸交于于點G，過點A作交與點F，
G點的縱坐標與M點的縱坐標相同，
M為拋物線上的一點，
設M(m，)，
又G點在直線AC上，直線的解析式為，
，
，
又 ，
，
，
，
，
的最大值為．
故答案為：．
（3）過點C作軸，延長交x軸于點T．
，

，
，
，
為等腰三角形，
．
在中，，
，
，
，
設直線的解析式為，
將點和點代入中，
解得：，
直線的解析式為，
M是直線和拋物線的交點，，
令，
，
，
，
解得（舍去）或
故答案為：．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查的是待定系數(shù)求解析式，平行線分線段成比例定理的推論，角度的存在性等相關內(nèi)容，解本題的關鍵在于是否能將面積比轉(zhuǎn)化為線段比，解本題的難點在于是否能通過已知角度條件建立有關m的一次函數(shù)解析式.
12．（2023·海南?？凇ず？谑械诰胖袑W?？级＃┤鐖D①，已知拋物線的圖象經(jīng)過點，．過點作軸交拋物線于點，的平分線交線段于點，連結．

(1)求拋物線的關系式并寫出點的坐標；
(2)若動點在軸下方的拋物線上，連結、，當面積最大時，求出此時點橫坐標；
(3)若將拋物線向上平移個單位，且其頂點始終落在的內(nèi)部或邊上，寫出的取值范圍；
(4)如圖②，是拋物線的對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在點，使成為以點為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)的橫坐標為；
(3)；
(4)存在，點P的坐標是：或或或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式；
（2）過作 軸，交于點，設，，根據(jù)的解析式表示點的坐標，表示的長，根據(jù)面積和可得的面積，利用二次函數(shù)的最值可得其最大值；
（3）求出原拋物線的對稱軸和頂點坐標以及對稱軸與的交點坐標、與的交點坐標，用含的代數(shù)式表示平移后的拋物線的頂點坐標，列出不等式組求出的取值范圍；
（4）存在四種情況：作輔助線，構建全等三角形，證明，根據(jù)，列方程可得點的坐標；同理可得其他圖形中點的坐標．
【詳解】（1）解：拋物線：的圖象經(jīng)過點，，
，
解得，
拋物線的解析式為：；
平分，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
（2）如圖1，過作 軸，交于點，
設，
設直線的解析式為，把點，代入得，
，
解得，
直線的解析式為：，
，，
，


，
，
當 時，面積最大，
的橫坐標為
（3）由，得拋物線的對稱軸為直線，頂點為，，
拋物線向上平移個單位長度后頂點為，．
設直線交于點，交于點，則，，如圖，
直線的解析式為：，
，，
點在內(nèi)包括的邊界，
，
解得；
（4）設，分四種情況：
①當在對稱軸的左邊，且在軸下方時，如圖，過作軸，交軸于，交于，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
則，
解得： 或，
，不合題意，舍去，
，
此時 ，
的坐標為；
②當P在對稱軸的左邊，且在x軸上方時，
同理得：，
解得： 或 ，
，不合題意，舍去，
，
此時 ，
的坐標為；
③當在對稱軸的右邊，且在軸下方時，如圖，過作軸于，過作于，
同理得，
，
則，
解得： 或 ，
，不合題意，舍去，
，
此時 ，
的坐標為；
④當在對稱軸的右邊，且在軸上方時，如圖，
同理得，
解得： 或 舍，
的坐標為：；
綜上所述，點的坐標是：或或或．
【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及圖形的平移，全等三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，運用分類討論思想和方程的思想是解決問題的關鍵．
13．（2023·廣東珠海·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，，其中點的坐標為，與軸交于點．
(1)求拋物線和直線的函數(shù)表達式；
(2)點是直線上方的拋物線上一個動點，當面積最大時，求點的坐標；
(3)連接B和（2）中求出點P，點Q為拋物線上的一點，直線下方是否存在點Q使得？若存在，求出點Q的坐標．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，，
【分析】（1）用待定系數(shù)法可得拋物線的函數(shù)表達式為；直線的函數(shù)表達式為；
（2）過作軸交于，設，可得，故，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；
（3）過作交的延長線于，過作軸，過作于，過作于，由，得是等腰直角三角形，可證明，從而，，即得，用待定系數(shù)法得直線函數(shù)表達式為，聯(lián)立，即可解得的坐標為，．
【詳解】（1）把，代入得：
，
解得，
拋物線的函數(shù)表達式為；
設直線的函數(shù)表達式為，把代入得：
，
解得，
直線的函數(shù)表達式為；
（2）過作軸交于，如圖：
設，則，
，
，
，
當時，取最大值4，
此時的坐標為；
（3）直線下方存在點，使得，理由如下：
過作交的延長線于，過作軸，過作于，過作于，如圖：
由（2）知，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
由，得直線函數(shù)表達式為，
聯(lián)立，解得或，
的坐標為，．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，等腰直角三角形等知識，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形．
14．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）如圖1，在平面直角坐標系中，的頂點，點P為線段上的一動點（點P與點A，C不重合），過點P作交于點Q，將沿翻折，點A的對應點為點D，連接．設點P的坐標為
(1)當點D恰好落在上時，求點P的坐標；
(2)若與重疊部分面積S與點P橫坐標t之間的函數(shù)解析式為，其圖象如圖2所示，求a、b的值；
(3)是否存在點P，使得為直角？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）由題意可得，．結合平行線的性質(zhì)可得．由折疊的性質(zhì)可得，，即可求出．又易求出直線的解析式為，由點D恰好落在上，可得出，進而可求出，，由此可列出關于t的等式，解出t的值即得出點P的坐標；
（2）由題意易求出直線的解析式為，直線的解析式為：．聯(lián)立兩個解析式，即可求出．分類討論：當時，點D在內(nèi)部，此時重疊部分面積為的面積，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，即得出；當時，點D在外部，由圖象可得當時，，代入中，解出b的值即可；
（3）過點Q和點B分別作的垂線，交于點M和延長線于點N，易求出，即得出，即．根據(jù)各點坐標可求出，，，，從而可列出關于t的等式，解出t的值即得出答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
由折疊的性質(zhì)可得，，
∴．
∵，
∴直線的解析式為，
∵，
∴．
∵點D恰好落在上，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴點P的坐標為；
（2）解：∵，
∴可設直線的解析式為，
∴，
解得：，
直線的解析式為．
∵，
∴直線的解析式為：．
聯(lián)立，解得：，
∴．
當時，點D在內(nèi)部，此時重疊部分面積為的面積，
由折疊可知，
∴；
當時，點D在外部，
由圖象可得當時，，
∴，
解得：；
（3）解：如圖，過點Q和點B分別作的垂線，交于點M和延長線于點N，
∵為直角，
∴
∵，
∴，
∴，即．
∵，，，，，
∴，，，，
∴，
解得：，（舍）．
∴存在，點P的坐標為．
【點睛】本題考查坐標與圖形，折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，一次函數(shù)的綜合，二次函數(shù)的綜合，解直角三角形等知識．利用數(shù)形結合和分類討論的思想是解題關鍵．
15．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，拋物線（a為常數(shù)），經(jīng)過點，點Q在拋物線上，其橫坐標為m，將此拋物線上P、Q兩點間的部分（包括P、Q兩點）記為圖像G．
(1)求拋物線的解析式．
(2)若點B是拋物線上一點，橫坐標為1．過點B作x軸的平行線交拋物線于另一點C，連結，求的面積．
(3)當拋物線的頂點是圖像G的最高點，且圖像G的最高點與最低點到x軸的距離和為定值時，求m的取值范圍．
(4)已知點、、，順次連接得到矩形，當圖像G與該矩形的邊有兩個公共點時，直接寫出m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或．
【分析】（1）把點代入拋物線，用待定系數(shù)法即可求解；
（2）先求出點B的坐標是，點C的坐標是，，即可求出的面積；
（3）由得到圖象G的最高點是，由點Q在拋物線上，其橫坐標為m，點Q的縱坐標為，則點Q的坐標是，又由點，則圖像G的最高點與最低點到x軸的距離和為是定值，當時，解得即可得到m的范圍；
（4）分在拋物線頂點上方和在拋物線下方兩種情況分別畫圖，列不等式組進行求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線（a為常數(shù)）經(jīng)過點，
∴，
解得，，
∴拋物線解析式為．
（2）當時，，
∴點B的坐標是，
當時，，
解得、
∴點C的坐標是，
∴，
∴的面積為；
（3）∵，
∴圖象G的最高點是，
∵點Q在拋物線上，其橫坐標為m，
∴點Q的縱坐標為，
∴點Q的坐標是，
又∵點，
∴圖像G的最高點與最低點到x軸的距離和為是定值，
當時，
解得
∴點Q的橫坐標m的范圍為，
即m的取值范圍為．
（4）解：當圖形G與該矩形的邊有兩個公共點時，
如圖所示，當在拋物線頂點上方時，
可得，解得，
如圖所示，當在拋物線頂點下方時，
可得，解得，
綜上可知，m的取值范圍是或．
【點睛】此題考查了二次函數(shù)和幾何綜合題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法，不等式組等知識，數(shù)形結合和分類討論是解題的關鍵
16．（2023·廣西賀州·統(tǒng)考一模）如圖1，拋物線與軸交于A，B兩點（點A在左側），與y軸交于點C，點P為直線上方拋物線上的一個動點，過點作軸交直線于點D，
(1)求點A，B，C的坐標；
(2)設點的橫坐標為，請用含的式子表示線段的長；
(3)如圖2，連接，交線段于點Q，連接PC，若的面積為，的面積為，則是否有最大值？如果有，請求出最大值；如果沒有，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)有，
【分析】（1）令和，即可求得答案；
（2）求得直線的函數(shù)解析式，設點的橫坐標為，則，，即可求得線段的長；
（3）過點作線段的垂線段，垂足為，利用面積公式求得，證明，推出關于m的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：當時，，解得
當時，，
；
（2）解：設點的橫坐標為，則
，
設直線的函數(shù)解析式為，
∴，
解得，
直線的函數(shù)解析式為
過點作軸交直線于點，
；
（3）解：過點作線段的垂線段，垂足為，
∵軸，
，
，
當時
故的最大值為．
【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)的運用等，其中（3），要注意利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．
17．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考一模）如圖，在平而直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．
(1)試求拋物線的解析式；
(2)直線與y軸交于點D，與拋物線在第一象限交于點P，與直線交于點M，記，試求m的最大值及此時點P的坐標；
(3)在（2）的條件下，m取最大值時，是否存在x軸上的點Q及坐標平面內(nèi)的點N，使得P，D，Q，N四點組成的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的Q點和N點的坐標：若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)m的最大值，此時點P的坐標為
(3)存在，，；，
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得點C的坐標，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）作軸于E，交于F，先證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，設，則，用n表示出的長，從而得到m、n的二次函數(shù)關系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可；
（3）存在這樣的點Q、N，使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形，分是矩形的邊和是矩形的對角線兩種情況求點N的坐標．
【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于，兩點，
∴，解得：，
∴該拋物線的解析式為；
（2）解：當時，，
∴點，
如圖1，過點P作軸交直線于E，連接，
設直線的解析式為，
∵，，
∴，解得：，
∴直線的解析式為，
設，則，
∴，
∵直線與y軸交于點D，
∴，
∴，
∵軸，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴當時，m取得最大值，此時點P的坐標為；
（3）解：存在這樣的點Q、N，使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形．
①當是矩形的邊時，有兩種情形，
a、如圖2-1中，四邊形是矩形時，
有（2）可知，代入中，得到，
∴直線的解析式為，可得，
由可得，
∴，
∴，
∴，
∴．
根據(jù)矩形的性質(zhì)，將點P向右平移個單位，向下平移1個單位得到點N，
∴，即
b、如圖22中，四邊形是矩形時，
∵直線的解析式為，，
∴直線的解析式為，
∴，
根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，將點D向右平移6個單位，向下平移4個單位得到點N，
∴，即．
②當是對角線時，設，
則，，，
∵Q是直角頂點，
∴，
∴，
整理得，方程無解，此種情形不存在，
綜上所述，滿足條件的，；，．
【點睛】本題為二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)、待定系數(shù)法、最大值問題、相似三角形、矩形等知識點．第（3）問涉及存在型問題，有一定的難度．在解題過程中，注意數(shù)形結合思想、分類討論思想及方程思想等的應用．
18．（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預測）如圖1，拋物線與x軸交于點，點，與y軸交于點C，頂點是D．
(1)求拋物線的解析式及頂點坐標D；
(2)如圖1，點是線段上的動點（不與B，D重合），軸于F，設四邊形的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關系式，并求S的最大值；
(3)如圖2，將拋物線向下平移k個單位長度，平移后的頂點為，與x軸的交點是，．若的外心在該三角形的內(nèi)部，直接寫出k的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）利用二次函數(shù)的雙根式得拋物線的解析式，并根據(jù)頂點式求頂點；
（2）先求出直線的解析式，E在直線上，所以可表示出E的坐標，利用梯形面積公式，用x表示四邊形的面積S，得二次函數(shù)，配方求最值；
（3）找臨界條件，恰好是直角三角形，可求出k的值．
【詳解】（1）把，和，代入
可得，解得，
故拋物線解析式為，，
故D的坐標為；
（2）由拋物線解析式可得，設所在直線的解析式為，
把，和，代入
可得，解得，
∴，
∴設．
由于四邊形為梯形，
∴，
∵，
∴當時，S有最大值為．
（3）由題意得，為銳角三角形，
設平移后的拋物線解析式為，
當為直角三角形時，
根據(jù)拋物線對稱性可知，為等腰直角三角形，
∵，
∴，，
將或代入
得或（三點重合，舍去），
∴．
【點睛】此題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)最值問題，圖象的平移等知識，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
19．（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）已知拋物線與軸交于點和點，對稱軸是直線，與軸交于點，點在拋物線上（不與A，重合）．
(1)當時．
①求拋物線的解析式；
②點在直線的下方，且的面積最大，求此時點的坐標；
(2)若直線，分別與軸交于點、判斷是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由．
【答案】(1)①；②
(2)是定值，3
【分析】（1）①將，對稱軸為直線，代入求解即可得到答案；②設，直線的解析式為，解出直線解析式，過點作軸，交于點，用m表示出H點，列出面積關于m的解析式，利用函數(shù)性質(zhì)即可得到答案；
（2）根據(jù)對稱軸是直線，得到，，設點，求出直線、的解析式，求出D、E坐標，即可得到答案；
【詳解】（1）解：①當時，二次函數(shù)的解析式為．
∵對稱軸為直線，，
∴，
解得，
∴二次函數(shù)解析式為；
②設，直線的解析式為．
∵，，
∴解得
∴直線的解析式為．
過點作軸，交于點．
∴，
∴，
∴
，
∴當時，最大，
∴；
（2）解：是定值，理由如下，
∵對稱軸是直線，，
∴，
∴，
∴，
設，
則直線的解析式為，
直線的解析式為，
∴，，
∴，
，
∴；
【點睛】本題考查求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)動點最大面積問題，二次函數(shù)動點線段問題，解題的關鍵是作輔助線表示出點的坐標．
20．（2023·江蘇常州·?？级＃┮阎喝鐖D，拋物線交x軸于E、F兩點，交y軸于A點，直線：交x軸于E點，交y軸于A點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若Q為拋物線上一點，連接，設點Q的橫坐標為，的面積為S，求S與t函數(shù)關系式；（不要求寫出自變量t的取值范圍）
(3)在（2）的條件下，點M在線段上，點N是位于Q、E兩點之間的拋物線上一點，，，且，求點N的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出一次函數(shù)解析式，再將代入二次函數(shù)解析式求解即可；
（2）利用梯形面積減去兩個直角三角形的面積即可求解；
（3）先求出直線的解析式，分別過點Q，點N作x軸的垂線，分別過與點A，點M作的x軸的平行線分別交于點K，點H，過點M作x軸的垂線，垂足為G，通過證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，設，建立方程求解即可．
【詳解】（1）當時，，
∴，
將代入中，得，
∴，
∵，
將代入得，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）令，
解得或，
∴，
∴，
過點Q作于B，如圖，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
即；
（3）當時，解得（正值舍去），
當時，，
∴，
設直線的解析式為：，
∴，解得，
∴直線的解析式為：，
如圖，分別過點Q，點N作x軸的垂線，分別過與點A，點M作的x軸的平行線分別交于點K，點H，過點M作x軸的垂線，垂足為G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
設，
∴，，
∴，
∴（負值舍去），
∴
∴．
【點睛】本題考查了求一次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何綜合等，熟練掌握知識點是解題的關鍵．

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