通用的解題思路：
一、二次函數中的線段最值問題有三種形式:
1.平行于坐標軸的線段的最值問題:常通過線段兩端點的坐標差表示線段長的函數關系式,運用二次函數性質求解，求最值時應注意:
①當線段平行于y軸時,用上端點的縱坐標減去下端點的縱坐標;
②當線段平行于x軸時,用右端點的橫坐標減去左端點的橫坐標.在確定最值時,函數自變量的取值范圍應確定正確。
2.兩條線段和的最值問題:解決這類問題最基本的定理就是“兩點之間線段最短”,解決這類問題的方法是:作其中一個定點關于已知直線的對稱點,連接對稱點與另一個定點,它們與已知直線的交點即為所求的點,其變形問題有三角形周長最小或四邊形周長最小等.
【常見模型一】（兩點在河的異側）：在直線L上找一點M，使PA+PB的值最小.

方法：如右圖，連接AB，與直線L交于點M,在M處渡河距離最短，最短距離為線段AB的長。
【常見模型二】（兩點在河的同側）：在直線L上找一點M，使PA+PB的值最小.

方法：如右圖，作點B關于直線L的對稱點B’，連接AB’,與直線L的交點即為所求的渡河點，最短距離為線段AB’的長。
3. 兩條線段差的最值問題：解決這類問題最基本的定理就是“三角形任何兩邊之差小于第三邊”， 解決這類問題的方法是：求解時,先根據原理確定線段差取最值時的圖形,再根據已知條件求解。
【常見模型一】（兩點在同側）：在直線L上求一點P,求|PA-PB|的最大值

方法：如右圖，延長射線AB，與直線L交于點P，|PA-PB|最大值為AB
【常見模型二】（兩點在異側）：在直線L上求一點P,求|PA-PB|的最大值。
方法：如右圖，作點B關于直線L的對稱點B’， 延長射線AB’，與直線L交于點P，|PA-PB|最大值為AB’
二、二次函數中的定值問題
一般來說，二次函數求解幾何線段代數式定值問題屬于定量問題，方法采用:
1.參數計算法:即在圖形運動中，選取其中的變量(如線段長，點坐標)作為參數,將要求的定值用參數表示出，然后消去參數即得定值。
2.韋達定理法:當涉及到直線(一次函數圖象或x軸)與二次函數交點時，先聯立方程消去y之后整理得到一元二次方程，借助韋達定理可得到交點橫坐標與參數的關系，可以將要求的定值代數式用交點橫坐標的和或積表示，往往會剛好抵消掉參數，則得到定值。
題型 01 利用二次函數解決單線段的最值問題
1．（2024·河南·一模）如圖，拋物線與x軸交于點，和點，，與軸交于點．

(1)求拋物線的函數解析式；
(2)點為拋物線位于第一象限上一個動點，過點作軸于點，交直線于點，求線段的最大值；
(3)點，，，，將拋物線向上平移個單位，若平移后的拋物線與線段只有一個公共點，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)的最大值是
(3)或
【分析】
（1）將，，，分別代入拋物線，待定系數法求解析式即可求解；
（2）由，當時，，則，，直線的解析式為．設，則，，求得，進而根據二次函數的性質即可求解；
（3）拋物線向上平移個單位后解析式為，平移后的拋物線的頂點坐標為，①當拋物線頂點落在上時，②當拋物線經過點，時，分別代入即可求解．
【詳解】（1）
解:將，，，分別代入拋物線得，
解得
∴拋物線的解析式為；
（2）
解：如圖所示:

由，當時，，則，，
，，
設直線的解析式為，
∴，解得，
直線的解析式為．
設，則，，
∴，
當時，的最大值是．
（3）
解：拋物線向上平移個單位后解析式為，
∴平移后的拋物線的頂點坐標為，
①當拋物線頂點落在上時，則，解得．
②當拋物線經過點，時，，解得；
當拋物線經過點，時，，解得，
∴時，滿足題意．
綜上所述，或．
【點睛】
本題考查了待定系數法求二次函數解析式，直線和拋物線的交點問題，二次函數的平移，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
2．（2024·甘肅平涼·一模）如圖，拋物線經過點，點，交軸于點．連接為上的動點，過點作軸，交拋物線于點，交于點．
(1)求這條拋物線的函數表達式；
(2)過點作，垂足為，設點的坐標為，請用含的代數式表示線段的長，并求出當為何值時有最大值，最大值是多少？
(3)點在運動過程中，是否存在一點，使得以為頂點的三角形與相似．若存在，請求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2),當時，有最大值
(3)存在，或
【分析】
本題考查了二次函數的性質及相似三角形的判定及性質；
（1）將，，代入，即可求解；
（2）利用待定系數法求出直線的表達式，即可表示出點E和點G的坐標，從而得出EG再根據解直角三角形求得EF，根據二次函數的最值即可得出答案；
（3）分和兩種情況，根據相似三角形的性質得出線段之間的關系求得的值，從而求得點G的坐標．
【詳解】（1）
由題意得，
∴
∴；
（2）
設直線的表達式為，
∵過點，，
∴，
∴，
∴直線的表達式為，
∴點的坐標為，點的坐標為，
∴，
∵，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴當時，有最大值；
（3）
存在
∵，，的坐標為，，
∴①當時，，
即，
解得，
此時的坐標為，
②當時，，
即，
解得，
此時的坐標為，
綜上，點坐標為或
3．（2024·山西陽泉·一模）綜合與探究
如圖，二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點D，連接，作直線．
(1)求A，B，C三點的坐標，并直接寫出直線的表達式；
(2)如圖1，若點P是第四象限內二次函數圖象上的一個動點，其橫坐標為m，過點P分別作x軸、y軸的垂線，交直線于點M，N，試探究線段長的最大值；
(3)如圖2，若點Q是二次函數圖象上的一個動點，直線與y軸交于點H，連接，在點Q運動的過程中，是否存在點H，使以H，C，B為頂點的三角形與相似？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，，，直線的表達式為；
(2)線段長的最大值為；
(3)點Q的坐標為或．
【分析】（1）令，求得的值，令，求得的值，可求得A，B，C三點的坐標，利用待定系數法即可求得直線的表達式；
（2）設，則，證明，利用正切函數的定義推出，求得，得到關于的二次函數，利用二次函數的性質求解即可；
（3）利用勾股定理求得，，作于點，用正切函數的定義推出，分和兩種情況討論，分別求得點的坐標，求得直線的表達式，與二次函數的表達式聯立求解即可．
【詳解】（1）解：令，則，
解得，，
令，則，
∴，，，
設直線的表達式為，
代入得，解得，
∴直線的表達式為；
（2）解：∵，，，
∴，，，
設，則，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，∴當時，線段長的最大值為；
（3）解：∵，，，
∴對稱軸為直線，
∴，
∴，，，
∴，
作于點，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
以H，C，B為頂點的三角形與相似，則分和兩種情況討論，
①當時，
∵，
∴，
∴，
同理求得直線的表達式為，
聯立得，
解得，（舍去），
，
∴點Q的坐標為；
①當時，設，
則，，
∴，
解得，
∴，
同理求得直線的表達式為，
聯立得，
解得，（舍去），
，
∴點Q的坐標為；
綜上，點Q的坐標為或．
【點睛】本題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法求一次函數的解析式，點的坐標表示三角形的面積，勾股定理，正切函數，解方程，熟練掌握待定系數法，勾股定理，正切函數是解題的關鍵．
4．（2024·湖北襄陽·一模）拋物線的圖象與x軸交于A，B兩點（A在B的左邊）交y軸于點C，點P是y軸右側拋物線上的一個動點，設點P的橫坐標為m．
(1)直接寫出A，B，C三點的坐標；
(2)如圖1，若點P在第一象限內拋物線上運動，當時，求點P的坐標；
(3)如圖2，點N是經過點B的直線上一點，直線軸，交直線BC于點M，過點P作直線軸，交直線BC于點Q．
①當時，求線段長度的最大值；
②記線段的長度為l，當時，求m的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)
(3)①4；②
【分析】（1）當時，，解得當時，，即求出答案；
（2）過點P作軸于點H，連接，由題意可得，點P的坐標為，，由得到，則，求出m的值，即可得到答案；
（3）①求出點N的坐標是，再求出直線的解析式為，得到點M的坐標為，則，即可求出答案；②證明是等腰直角三角形，，得到點Q的坐標是，則，由得到，根據函數的圖象和性質即可得到m的取值范圍．
【詳解】（1）解：當時，，
解得
∵拋物線的圖象與x軸交于A，B兩點（A在B的左邊），
∴，
當時，，
∴
（2）過點P作軸于點H，連接，
由題意可得，點P的坐標為，
則，
∵，
∴，
∴，
解得，
經檢驗是增根，舍去，是分式方程的解，且符合題意，
∴，
∴，
∴點P的坐標是；
（3）①由題意可得，點P的坐標為，
∵點N是經過點B的直線上一點，直線軸，交直線BC于點M，
∴點N的坐標是，
設直線的解析式為，把點B和點C的坐標代入得到，
解得
∴直線的解析式為，
∴點M的坐標為，
∴
∴當時，線段長度的最大值為4；
②∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵直線軸，
∴
∵過點P作直線軸，交直線BC于點Q．
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵點P的坐標為，過點P作直線軸，交直線BC于點Q．
∴點Q的縱坐標為，
由直線的解析式為，則，
∴，
∴點Q的坐標是，
∴
∵線段的長度為l，，
∴，
即，
∴，
設函數,
當時，，解得,,
即函數與x軸交點坐標為，
函數的圖象如圖所示，
由圖象可知，當時，，
∴m的取值范圍為．
【點睛】此題考查了二次函數的圖象和性質、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質、一次函數的圖象和性質、圖象法解不等式等知識，數形結合是解題的關鍵．
5．（2024·山西晉城·二模）綜合與探究
如圖，二次函數的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，連接．P是拋物線上第一象限內的一個動點，過點P作軸于點D，交于點E，過點P作直線，交y軸于點F，交于點G，連接，過點C作于點H．
(1)求二次函數的表達式，并直接寫出直線的函數表達式．
(2)求線段的最大值．
(3)在點P運動的過程中，是否存在點F，使？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線解析式為，直線解析式為
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系數法求解即可；
（2）設，則，則；解直角三角形得到，則，可證明，得到，證明，由勾股定理求出，則，進而得到，則當時，有最大值，最大值為；
（3）如圖所示，當點F在x軸下方時，過點F作交延長線于M，則四邊形是矩形，則，由，得到，，則，根據，得到，解方程即可得到答案；同理求出當點F在x軸下上方時點F的坐標即可．
【詳解】（1）解：把，代入中得：，
∴，
∴拋物線解析式為；
在中，當時，，
∴，
設直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線解析式為；
（2）解；設，則，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵軸，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴當時，有最大值，最大值為；
（3）解：如圖所示，當點F在x軸下方時，過點F作交延長線于M，則四邊形是矩形，
∴，
由（2）得，，，
∵，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
經檢驗，是原方程的解，
∴；
如圖所示，當點F在x軸下上方時，過點F作交于N，
同理可得，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
經檢驗，是原方程的解，
∴；
綜上所述，或．
【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，解直角三角形，全等三角形的性質，待定系數法求一次函數解析式，求二次函數解析式等等，解（2）的關鍵在于證明，進而把求的最大值轉換成求的最大值，解（3）的關鍵在于分兩種情況，通過全等三角形的性質把所需線段轉換到一個直角三角形中進行求解．
6．（2024·天津南開·一模）拋物線與y軸交于點且過點，其中，連接．
(1)當時，求拋物線解析式和其頂點的坐標；
(2)當時，若點M為拋物線上位于直線上方的一點，過點M作直線的垂線，垂足為N．求的最大值和此時點M的坐標；
(3)已知點，點，若點P在線段上，且，連接，，當的最小值為時，直接寫出此時b的值和點P的坐標．
【答案】(1)，
(2)點M坐標為時，有最大值
(3)，點P的坐標為
【分析】（1）當時，求出點B坐標，將點A和B的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數法求出解析式；
（2）當時，寫出拋物線解析式，再將點代入解析式求出點B的坐標，根據點A和點B的坐標求出直線的解析式，設直線與x軸的交點為F，利用銳角三角函數可求出，過點M作軸與直線交于點E，利用鉛錘法可求出的最大值，根據，求出的最大值，進而求出點M的坐標；
（3）根據題中點A，Q，B，D的坐標特點易知軸，，，作關于對稱的線段，在上截取，根據對稱性和平行的性質有，易證，從而，結合圖形易知當點在同一直線上時，最小，即最小，此時根據兩點距離公式寫出，根據的最小值為，求出此時的m，進而求出點B和的坐標，將點B代入拋物線解析式，即可求出b的值，再利用點B和的坐標求出直線解析式，將點代入求出n，從而求出，作于H，易求點P的橫坐標，將點P的橫坐標代入直線的解析式，求出縱坐標，即可得到點P的坐標．
【詳解】（1）解：當時，點B坐標為，
將點和代入得到：
，解得，
拋物線的解析式為，
當時，，
頂點的坐標為；
（2）解：當時，拋物線解析式為，
將點代入得，
解得或，
，
，
，
設直線為，
將代入得，
解得，
直線解析式為，
如圖，直線與x軸的交點為，
，
，
過點M作軸與直線交于點E，
，
設點，則點，
，
當時，，
，
此時點M的縱坐標=，
點M坐標為；
（3）解： 點和點，點和點，
軸，，，
如圖，作關于對稱的線段，在上截取，
由（2）得，
根據對稱性和平行的性質有，
，
，
由圖可知當點在同一直線上時，最小，即最小，
此時點，
，
解得（舍負），
此時點，點，即點和點，
將點B代入拋物線解析式，得到，
，
設直線解析式為，將點代入，得到，
解得，
直線解析式為，
將點代入得到，
，
，
作于H，則，
，
點P的橫坐標為，
將代入直線解析式中，
得到，
點P的坐標為．
【點睛】本題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法求函數解析式，二次函數和一次函數的圖象和性質，二次函數的線段問題，解直角三角形的相關計算，全等三角形的判定和性質，兩點間的距離公式等，解題關鍵是作出相應的輔助線，數形結合進行分析．
7．（2024·四川南充·一模）如圖，已知拋物線與x軸交于，B兩點，與y軸交于點C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，點P是拋物線上位于第四象限內一動點，于點D，求的最大值及此時點P的坐標；
(3)如圖2，點E是拋物線的頂點，點M是線段BE上的動點（點M不與B重合），過點M作軸于N，是否存在點M，使為直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)當時，取得最大值為．此時
(3)為直角三角形時，點M的坐標為：或
【分析】（1）把點坐標代入函數的解析式，利用待定系數法求解即可；
（2）先求線的解析式，設點的橫坐標為，再用的代數式表示的長度建立二次函數求解即可；
（3）先求直線BE的解析式，再分三種情況，根據相似三角形的判定和性質求解即可．
【詳解】（1）由題意得，解得：．
則拋物線的解析式為：；
（2）過點P作軸于點H，交于點G
當時，，解得或3，
∴
設直線的解析式為：，
則
解得：
∴
設點（），則，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
∴當時，取得最大值為．此時．
（3）在上存在點M，使為直角三角形．
拋物線頂點，設直線的解析式為：，
則，解得：，
∴．
設，
①∵，∴，不可能為直角；
②當時，則 ∴軸，
則，∴，∴．
③當時，過點M作軸于點F．
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
∵，∴不合題意，應舍去，∴
∴
綜上所述，為直角三角形時，點M的坐標為：或．
【點睛】本題考查用待定系數法求二次函數的解析式，構造二次函數求線段的最值，二次函數與直角三角形的存在性問題，相似三角形的判定和性質，難度較大，是中考的壓軸題，解題的關鍵是數形結合，提高綜合運用的能力．
8．（2024·新疆巴音郭楞·一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過，兩點，并與x軸交于另一點B．
(1)求該拋物線所對應的函數關系式；
(2)求點B坐標；
(3)設是拋物線上的一個動點，過點P作直線軸于點M．交直線于點N．
①若點P在第一象限內，試問：線段的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時x的值；若不存在，請說明理由；
②當點P運動到某一位置時，能構成以為底邊的等腰三角形，求此時點P的坐標及等腰的面積．
【答案】(1)
(2)
(3)①線段的長度的最大值為；②點的坐標為，，的面積為；或點的坐標為，，的面積為．
【分析】（1）將點、的坐標代入函數解析式，即利用待定系數法求出二次函數解析式；
（2）令，得，解得：，即可求出點B的坐標；
（3）①設點的坐標為，則的坐標為，構建二次函數，然后由二次函數的最值問題，求得答案；②求出的垂直平分線的解析式，用方程組求出點的坐標即可解決問題．
【詳解】（1），，且點、在拋物線上，
∴，
解得，
該拋物線所對應的函數關系式為；
（2）令，得，
解得：，
；
（3）①如圖2中，
已知，，
∴設直線所在直線的解析式為，
∴，
解得，，
∴直線的解析式為：，
點在拋物線上，且軸，點N在直線的圖象上，
設點的坐標為，則點的坐標為，
又點在第一象限，
∴，
，
，
當時，
線段的長度的最大值為．
②解：如圖3中，
由題意知，點在線段的垂直平分線上，
又由①知，，
的中垂線同時也是的平分線，
設點的坐標為，
又點在拋物線上，于是有，
，
解得，，
點的坐標為：，或，，
若點的坐標為，，此時點在第一象限，
在和中，，
，
，
，
，
若點的坐標為，，此時點在第三象限，
則．
綜上所述的面積為或．
【點睛】此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式，線段垂直平分線的性質，二次函數最值問題，解題的關鍵是學會利用對稱解決最小值問題，學會構建二次函數解決最值問題，屬于中考壓軸題．
9．（2024·山東淄博·模擬預測）如圖，已知二次函數經過A，B兩點，軸于點C，且點，，．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點E是線段上一動點（不與A，B重合），過點E作x軸的垂線，交拋物線于點F，當線段的長度最大時，求點E的坐標及；
(3)點P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在這樣的P點，使成為直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在；點P的坐標為或或或
【分析】（1）先求出點B坐標，再利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）先利用待定系數法求出直線的解析式，點，則，
得出，利用二次函數求最值方法進一步求解即可；
（3）根據題意，分三種情況①點B為直角頂點；②點A為直角頂點；③點P為直角頂點分別討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵點，，
∴，，
∵，
∴，
把和代入二次函數中得：
，
解得：，
∴二次函數的解析式為：；
（2）解：如圖1，∵直線經過點和，
設直線的解析式為，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為：，
∵二次函數，
∴設點，則，
∴，
∴當時，的最大值為，
∴點E的坐標為；
；
（3）解：存在，
∵，
∴對稱軸為直線，
設，分三種情況：
①點B為直角頂點時，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
②點A為直角頂點時，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
③點P為直角頂點時，由勾股定理得：，
∴，
解得：或，
∴或；
綜上，點P的坐標為或或或．
【點睛】本題考查的是二次函數的綜合題，涉及二次函數與幾何最值、動態(tài)問題、待定系數法求二次函數的解析式、求一次函數的解析式、二次函數的圖象與性質、直角三角形的性質、解二元一次方程、解一元一次方程、解一元二次方程等知識，知識點較多，難度一般，解答的關鍵是認真審題，分析圖形，尋找相關聯信息，利用數形結合和分類討論的思想方法進行推理、探究和計算．
10．（2024·湖北恩施·一模）如圖1，拋物線的頂點坐標為，與軸交于點，兩點，與軸交于點，點是拋物線上的動點．
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)連接、，判斷的形狀并說明理由．
(3)連接，若點P在第一象限，過點P作于E，求線段長度的最大值；
(4)已知，是否存在點P，使得？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)為等腰直角三角形；理由見解析
(3)
(4)的橫坐標為或
【分析】（1）利用拋物線頂點坐標已知，將拋物線設為頂點式，代入點，求得拋物線解析式；
（2）先求出點，然后求出，，，然后根據勾股定理的逆定理進行判斷即可；
（3）先由拋物線的解析式，求出拋物線與坐標軸的三個交點、、，則直角的各個內角三角函數值和邊長均可求，且直線的解析式可求，因為，可以過作軸與，交于，則可以證得，利用相等的角的三角函數值相等這個結論，得到與的數量關系，設出點坐標，可以得到點坐標，表示出的長度，繼而求得的長度，得到一個二次函數，根據的橫坐標范圍，討論這個二次函數最值問題，在頂點處取得最值，即可解決．
（4）根據題意，可以畫圖，得到可以在軸上方和軸下方兩種情況，先看在軸下方，利用、、三點坐標，可以證得，延長交于點，則是一個直角三角形，構造一線三直角模型，可以求得的解析式，從而聯立與拋物線解析式，求出交點的橫坐標，當在軸上方時，可以先求出關于軸對稱點的坐標，先求出直線的解析式，再聯立直線與拋物線解析式，求出交點的橫坐標．
【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點坐標為，
∴設拋物線解析式為，代入點，得，
，
拋物線解析式為：．
（2）解：為等腰直角三角形；理由如下：
把代入得：，
解得：，，
∴，
∵，，
∴，
，
，
∵，
又∵，
∴為等腰直角三角形．
（3）解：如圖，過作軸于，交于，
，
，
，
，
，
令，則，
，
∵
，，
，
，
設直線為，代入點，得，
直線為，
∵點在拋物線的圖像，點在直線的圖像上，且點與點的橫坐標相等，
∴設，則，
，
，
，
在第一象限，
，
時，最大值為．
（4）解：①如圖，當在軸下方時，，延長交延長線于，過作軸平行線，過作軸平行線，兩線交于點，過作于，
，，，
，
同理，，，
，，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
又，
，
，
設直線為，代入點，解得，
直線為，
聯立，
，解得或，
的橫坐標為；
②如圖，當在軸上方時，
關于軸的對稱點為，則，連接交拋物線于點，可設直線為，代入點，解得，
直線為
聯立，
，
或，
的橫坐標為，
綜上，的橫坐標為或．
【點睛】此題是二次函數綜合題，考查了線段最值問題，解決關鍵就是做橫平豎直線，將“斜線段”轉化成“垂線段”，利用函數思想解決最值問題，第三問考查了角的存在性問題，要注意畫圖，分類討論，利用一線三直角模型來解決問題．
11．（2024·江蘇淮安·模擬預測）如圖1，二次函數與軸交于A、B兩點，與軸交于點C．點坐標為，點坐標為，點是第一象限內拋物線上的一個動點，過點作軸，垂足為D，交直線于點，設點的橫坐標為．
(1)求該二次函數的表達式；
(2)如圖2，過點作，垂足為，當為何值時，最大？最大值是多少？
(3)如圖3，連接，當四邊形是矩形時，在拋物線的對稱軸上存在點，使原點關于直線的對稱點恰好落在該矩形對角線所在的直線上，請直接寫出滿足條件的點的坐標．
【答案】(1)
(2)當時，的值最大，最大值為；
(3)或或．
【分析】（1）利用待定系數法求函數表達式即可；
（2）先利用待定系數法求得直線的表達式為，根據題意設，，，則，證明，利用銳角三角函數和坐標與圖形性質得，然后利用二次函數的性質求解即可；
（3）設，拋物線對稱軸交x軸于點H，交矩形邊于G，分三種情況：①點O的對稱點恰好落在對角線上時；②點O的對稱點恰好落在對角線上時，③點O的對稱點恰好落在對角線的延長線上時，分別畫出圖形，利用對稱性質、坐標與圖形性質、銳角三角函數、相似三角形的判定與性質、勾股定理等分析求解即可．
【詳解】（1）解：∵二次函數與軸交于A、B兩點，與軸交于點C．點坐標為，點坐標為，
∴，解得，
∴該二次函數的表達式為；
（2）解：設直線的表達式為，
將、代入，得，解得，
∴直線的表達式為，
∵拋物線上的動點在第一象限，且橫坐標為，軸，交直線于點，
∴，，
∴，
∵，軸，
∴，又，
∴，
∴，即，
∵點坐標為，點坐標為，
∴，，則，
∴，
∴，
∵，
∴當時，的值最大，最大值為；
（3）解：∵，
∴該拋物線的對稱軸為直線，
∵點Q在拋物線的對稱軸上，
∴設，
∵四邊形是矩形，
∴，，，
設拋物線對稱軸交x軸于點H，交矩形邊于G，則，，，
若點O的對稱點恰好落在對角線上時，如圖，連接，，
則垂直平分，
即，
∴，
∴,
∴，則，
∴，解得，則；
若點O的對稱點恰好落在對角線上時，如圖，設與相交于點K，
由對稱性質得，，
∵，
∴，則，
∴，
∵在拋物線對稱軸上，是矩形的對角線，
∴K為的中點，則，，
∴在中，，
∴，
∴，則；
若點O的對稱點恰好落在對角線的延長線上時，如圖，過作軸于K，連接交延長線于M，
由對稱性質得，，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，則，
∴，
設直線的表達式為，
則，解得，
∴直線的表達式為，
當時，，則，
綜上，滿足條件的點Q的坐標為或或．
【點睛】本題考查二次函數的綜合，涉及待定系數法求函數解析式、坐標與圖形、二次函數的圖象與性質、矩形的性質、相似三角形的判定與性質、對稱性質、銳角三角函數以及勾股定理等知識，解答的關鍵是掌握相關知識的聯系與運用，運用數形結合和分類討論思想求解是解答的關鍵．
12．（2024·安徽黃山·一模）已知拋物線與x軸交于，兩點，經過點，與y軸交于點．
(1)求拋物線的函數解析式；
(2)若點M是x軸上位于點A與點B之間的一個動點（含點A與點B），過點M作x軸的垂線分別交拋物線和直線于點E、點F．求線段的最大值．
【答案】(1)拋物線的函數解析式為
(2)線段EF的最大值為
【分析】本題主要考查了用待定系數法求二次函數解析式，求一次函數解析式，以及兩點之間的距離公式．
（1）利用待定系數求函數解析式即可；
（2）先求出的解析式，設 ， 則 ，根據兩點之間的距離公式得出關于的絕對值方程，根據m的取值范圍分類討論求出的最大值即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于，兩點，
∴可設拋物線的函數解析式為．
∵拋物線經過點，則，
解得．
∴拋物線的函數解析式為
（2）當時，

設直線的解析式為，把代入，
得
解得：
∴直線的解析式為
設 ，
則
，
當時， ，
∴當時，有最大值2．
當時，，
當時， 有最大值
13．（2024·天津·一模）拋物線（，為常數，）頂點為，與軸交于點，（點在點左側），與軸交于點，直線過點且平行于軸，為第一象限內直線上一動點，為線段上一動點．
(1)若，．
①求點和點，的坐標；
②當點為直線與拋物線的交點時，求的最小值；
(2)若，，且的最小值等于時，求，的值．
【答案】(1)①，，；②的最小值
(2)
【分析】本題考查二次函數的圖象與性質，全等三角形的判定與性質，垂線段最短；
（1）①求得解析式為，再求頂點坐標及與x軸交點坐標即可；
②先求出點坐標，再根據垂線段最短求出的最小值即可；
（2）在上取一點D，使，作關于的對稱點，交軸于，交于，連接，，可證明，得到，當在上時，最小，根據最小值得到，再求出，由對稱求出，再在中根據求出的值，最后把代入上求出的值．
【詳解】（1）①∵，，
∴拋物線解析式為，
∴頂點為，
令，解得，
∵拋物線與軸交于點，（點在點左側），
∴，；
②令，得，
∴，
∴
當點為直線與拋物線的交點時，直線過點且平行于軸，
∴點縱坐標為，
令，解得，
∴，
∴
∵當時，值最小，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即的最小值；
（2）在上取一點D，使，
∵，，
∴，
∴
∵直線過點且平行于軸，
∴，
∵，
∴，
∴,
作關于的對稱點，交軸于，交于，連接，,
∴,
∴當在上時，最小，
∵的最小值等于，
∴，
∵，，
∴
∴，，
∴
∵作關于的對稱點，
∴，
∴，
在中，
∴
解得或（舍去）；
∵在上，
∴，
∴，解得．
14．（2024·安徽·二模）如圖1，拋物線的頂點D的坐標為，與x軸交于A，B兩點（點B在點A的右側），與y軸交于點．
(1)求拋物線的表達式及點A，點B的坐標；
(2)如圖2，連接交y軸于點E，過點E作交x軸于點F，連接交拋物線于點G，試求點G的坐標；
(3)如圖3，連接，，點P是拋物線在第一象限內的點，過點P作，交于點Q，當的長最大時，求點P的坐標．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）設出頂點式，將代入求出解析式即可；
（2）求出直線的解析式，進而求出點坐標，利用同角的余角相等和正切值，得到，求出點坐標，進而求出直線的解析式，聯立直線與拋物線，求出交點坐標即可；
（3）過點作軸的平行線，與過點平行于軸的直線交于點，設點坐標為，求出直線，的解析式，根據平移求出直線的解析式，進而求出點坐標，得到的長，三角函數，表示出的長，轉化為二次函數求最值即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點D的坐標為，
∴設拋物線的解析式為：，
把，代入，得：，
∴，
∴；
令，
解得：，
∴，
（2）設直線的解析式為：，
把代入得：，解得：，
∴，當時，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同法可得：直線的解析式為：，
聯立，解得：或，
∴；
（3）設直線的解析式為，把代入得：，
∴，
∴，
同法可得：直線的解析式為：，
∵，
∴，
∴，
設點，
∵，
∴設直線的解析式為：，把，代入，得：
，
∴，
∴，
聯立，解得：，
∴，
如圖，過點作軸的平行線，與過點平行于軸的直線交于點，
則：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴當時，有最大值，
此時．
【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，涉及待定系數法求函數解析式，一次函數圖象的平移，解直角三角形等知識點，屬于中考壓軸題，解題的關鍵的掌握相關知識點，利用數形結合的思想進行求解．
15．（2024·廣東惠州·一模）綜合與探究：
如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過，兩點且與軸的正半軸交于點．
(1)求的值及拋物線的解析式．
(2)如圖①，若點為直線上方拋物線上一動點，當時，求點的坐標；
(3)如圖②，若是線段的上一個動點，過點作直線垂直于軸交直線和拋物線分別于點、，連接．設點的橫坐標為．
①當為何值時，線段有最大值，并寫出最大值為多少；
②是否存在以，，為頂點的三角形與相似，若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)的坐標為
(3)①當時，線段有最大值為4；②存在，當的值為或時，以，，為頂點的三角形與相似
【分析】本題是二次函數的綜合題，主要考查的是待定系數法求二次（一次）函數解析式、二次函數圖象上點的坐標特征、相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是第（3）問中需分兩種情況討論．
（1）將點的坐標直接代入直線解析式可得出的值；再求出點的坐標，將，的坐標代入拋物線解析式，即可得出結論；
（2）由（1）可得，則，所以，過點作軸交拋物線于點，過點作的垂線，垂足為，則，設，可表達點的坐標，代入拋物線的解析式即可得出結論；
（3）①由點，坐標可得出直線的解析式，由此可表達點，的坐標，進而表達的長度，結合二次函數的性質可得出結論；②根據題意需要分兩種情況，當時，當時，分別求出的值即可．
【詳解】（1）解：直線與軸交于點，
，
，
直線的表達式為；
當時，，
點的坐標為，
將點的坐標為，點的坐標為，代入，
得：，
解得：，
拋物線的解析式為；
（2）如圖，過點作軸交拋物線于點，過點作的垂線，垂足為，
軸，
，
，
，
，
，
，
，
，
設，
的坐標為，
將點的坐標代入解析式可得，，
解得或（舍去）
的坐標為；
（3）①由（1）可知，直線的解析式為：，
點的橫坐標為，
點的坐標為，點的坐標為，
設線段的長度為，
則
，
當時，線段有最大值為4；
②存在，理由如下：
由圖形可知，
若與相似，則需要分兩種情況，
當時，由（2）可知，，此時；
當時，過點作軸交拋物線于點，
令，
解得（舍或，
綜上，當的值為或時，以，，為頂點的三角形與相似．
16．（2023·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，其中，．

(1)求該拋物線的表達式；
(2)點是直線下方拋物線上一動點，過點作于點，求的最大值及此時點的坐標；
(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個單位，點為點的對應點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．
【答案】(1)
(2)取得最大值為，
(3)點的坐標為或或．
【分析】
（1）待定系數法求二次函數解析式即可求解；
（2）直線的解析式為，過點作軸于點，交于點，設，則，則，進而根據二次函數的性質即可求解；
（3）根據平移的性質得出，對稱軸為直線，點向右平移5個單位得到，，勾股定理分別表示出，進而分類討論即可求解．
【詳解】（1）解：將點，．代入得，
解得：，
∴拋物線解析式為：，
（2）∵與軸交于點，，
當時，
解得：，
∴,
∵．
設直線的解析式為，
∴
解得：
∴直線的解析式為，
如圖所示，過點作軸于點，交于點，

設，則，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴當時，取得最大值為，，
∴；
（3）∵拋物線
將該拋物線向右平移個單位，得到，對稱軸為直線，
點向右平移5個單位得到
∵平移后的拋物線與軸交于點，令，則，
∴,
∴
∵為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．
則點的橫坐標為，
設，
∴，，
當時，，
解得：或，
當時，，
解得：
綜上所述，點的坐標為或或．
【點睛】本題考查了二次函數綜合問題，解直角三角形，待定系數法求解析式，二次函數的平移，線段周長問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
17．（2023·四川涼山·中考真題）如圖，已知拋物線與軸交于和兩點，與軸交于點．直線過拋物線的頂點．
(1)求拋物線的函數解析式；
(2)若直線與拋物線交于點，與直線交于點．
①當取得最大值時，求的值和的最大值；
②當是等腰三角形時，求點的坐標．
【答案】(1)
(2)①當時，有最大值，最大值為；②或或
【分析】（1）利用待定系數法求解即可；
（2）①先求出，進而求出直線的解析式為，則，進一步求出，由此即可利用二次函數的性質求出答案；②設直線與x軸交于H，先證明是等腰直角三角形，得到；再分如圖3-1所示，當時， 如圖3-2所示，當時， 如圖3-3所示，當時，三種情況利用等腰三角形的定義進行求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于和兩點，
∴拋物線對稱軸為直線，
在中，當時，，
∴拋物線頂點P的坐標為，
設拋物線解析式為，
∴，
∴，
∴拋物線解析式為
（2）解：①∵拋物線解析式為，點C是拋物線與y軸的交點，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
∵直線與拋物線交于點，與直線交于點
∴，
∴
，
∵，
∴當時，有最大值，最大值為；
②設直線與x軸交于H，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如圖3-1所示，當時，
過點C作于G，則
∴點G為的中點，
由（2）得，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；
如圖3-2所示，當時，則是等腰直角三角形，
∴，即，
∴點E的縱坐標為5，
∴，
解得或（舍去），
∴
如圖3-3所示，當時，過點C作于G，
同理可證是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
∴，
∴
綜上所述，點E的坐標為或或
【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，勾股定理，等腰直角三角形的性質與判斷，一次函數與幾何綜合，待定系數法求函數解析式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．
18．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸交于點，與y軸交于點，拋物線經過點A，B，且對稱軸是直線．

(1)求直線l的解析式；
(2)求拋物線的解析式；
(3)點P是直線l下方拋物線上的一動點，過點P作軸，垂足為C，交直線l于點D，過點P作，垂足為M．求的最大值及此時P點的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)的最大值是，此時的P點坐標是
【分析】（1）利用待定系數法求解即可；
（2）根據題意可設拋物線的解析式為，再利用待定系數法求解即可；
（3）由題意易證為等腰直角三角形，即得出．設點P的坐標為，則，從而可求出．再結合二次函數的性質可知：當時，有最大值是，此時最大，進而即可求解．
【詳解】（1）解：設直線l的解析式為，
把A，B兩點的坐標代入解析式，得，
解得：，
∴直線l的解析式為；
（2）解：設拋物線的解析式為，
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴．
把A，B兩點坐標代入解析式，得，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（3）解：∵ ，
∴．
∵在中，
∴．
∵軸，，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
設點P的坐標為，則，
∴．
∵，
∴當時，有最大值是，此時最大，
∴，
當時，，
∴，
∴的最大值是，此時的P點坐標是．
【點睛】本題為二次函數綜合題，考查利用待定系數法求函數解析式，二次函數的圖象和性質等知識．掌握利用待定系數法求函數解析式和利用數形結合的思想是解題關鍵．
題型02 利用二次函數解決兩條線段之和的最值問題
19．（2024·山東棗莊·一模）已知拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點 C．
(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖1，點D是線段上的一動點，連接，，將沿直線翻折，得到，當點恰好落在拋物線的對稱軸上時，求點D的坐標；
(3)如圖2，動點P在直線下方的拋物線上，過點P作直線的垂線，分別交直線，線段于點E，F，過點F作軸，垂足為G，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)的最大值為
【分析】（1）利用待定系數法求解即可；
（2）過作x軸的垂線，垂足為H，得到，，由，推出，解直角三角形得到的長，即可解答；
（3）求得所在直線的解析式為，設，設所在直線的解析式為：，得，令，解得，分別表示出和，再對進行化簡計算，配方成頂點式即可求解．
【詳解】（1）解：將，代入的，
解得
∴拋物線的解析式為；
（2）如圖，過作x軸的垂線，垂足為H，

∵，，
∴，
由翻折可得，
∵
∴對稱軸為，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（3）設所在直線的解析式為，
把B、C坐標代入得：，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴直線與x軸所成夾角為，
設，
設所在直線的解析式為：，
把點P代入得，
∴，
令，則，
解得，
∴
∴
∵點P在直線下方，
∴，
∴當時，的最大值為．
【點睛】本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式和一次函數的解析式，解直角三角形，一次函數的性質等相關知識點，學會把函數問題轉化為方程是解題的關鍵．
20．（2024·廣東廣州·一模）如圖所示，拋物線與直線交于，兩點，點為線段上一動點，過點作軸的垂線交拋物線于點．．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)當點C運動到何處時，線段的長度有最大值；
(3)點E為直線上一動點，在（2）的條件下，當有最小值時，點E的坐標為______（直接寫出答案）．
【答案】(1)
(2)C的坐標為
(3)
【分析】（1）用待定系數法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）作點關于直線（直線的對稱點，當、、三點共線時，取得最小值，進而求解．
【詳解】（1）解：把，分別代入得：
解之得：，
拋物線的解析式為；
（2）解：設直線的解析式為，
把，分別代入
得：，解之得：，
直線的解析式為，
設點為，
軸，
，
，
，
當時，線段的長度有最大值，此時點的坐標為；
（3）解：過點作于點，如圖所示．
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
作點關于直線（直線的對稱點，
當、、三點共線時，取得最小值，
，
可設直線的解析式為：，
把代入可得：，
，令，則
，
故答案為．
【點睛】主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng)．考查了勾股定理，解直角三角函數，求一次函數的解析式，要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．
21．（2024·山東淄博·一模）如圖，已知直線與拋物線交于點，且點在軸上，是軸上一點，連接．
(1)求的值；
(2)當取得最小值時，求點的坐標；
(3)若直線交直線于點（點在線段上，不與端點重合），交拋物線于點，連接．設，求關于的函數表達式，并求出的最小值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)，最小值為
【分析】（1）待定系數法求解析式，即可求解；
（2）設關于軸的對稱點為，的坐標為，連接，則與軸的交點即取得最小值時點的位置，求得直線的解析式為，進而即可求解；
（3）由（1）可得，依題意設，，進而表示出，根據二次函數的性質，即可求解．
【詳解】（1）解：依題意，代入直線，
∴
解得：，
∴直線的表達式為
對于，得，則
∴的坐標為
將點，分別代入
∴
解得：,
（2）設關于軸的對稱點為，的坐標為，連接，則與軸的交點即取得最小值時點的位置，
設直線的解析式為
∴
∴
∴直線的解析式為
當時，
∴
（3）由（1）可得
依題意設，
∴
如圖所示，
∵點在線段上，不與端點重合
∴在點的上方，
∴，
∴
，
∴
∵
∴當時，取得最小值，最小值為
22．（2024·廣東江門·一模）如圖，已知拋物線，與軸交于兩點，且與軸交于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使的值最小?若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由；
(3)在以為直徑的圓中，直線與相切于點，直線交軸于點，求直線的解析式．
【答案】(1)
(2)存在，最小值為
(3)
【分析】（1）將代入得，，可求的值，進而可求拋物線的解析式；
（2）如圖1，連接，由對稱的性質可知，，則，可知當三點共線時，最小，為，根據勾股定理求的長即可；
（3）如圖2，連接，由題意知，的半徑為3，，則，，證明，則，證明，則，設，則，由勾股定理得，，即，可求，則，待定系數法求直線的解析式即可．
【詳解】（1）解：將代入得，，
解得，，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：如圖1，連接，

由對稱的性質可知，，
∴，
∴當三點共線時，最小，為，
當時，，即，
由勾股定理得，，
∴存在一點，使的值最小，最小值為；
（3）解：如圖2，連接，

由題意知，的半徑為3，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
設，則，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
設直線的解析式為，
將，代入得，，
解得，，
∴直線的解析式為．
【點睛】本題考查了二次函數解析式，二次函數的圖象與性質，二次函數與線段綜合，切線的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，一次函數解析式等知識．熟練掌握二次函數解析式，二次函數的圖象與性質，二次函數與線段綜合，切線的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，一次函數解析式是解題的關鍵．
23．（2024·重慶·一模）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線 交x軸于，， 交y軸于點C．
(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖2， 連接，點P是直線上方拋物線上的一動點， 過點 P作軸交于點E，過點P作 交x軸于點 F， 求 的最大值及此時點P坐標；
(3)將拋物線沿y軸方向向下平移，平移后所得新拋物線與y軸交于點 D，過點D作軸交新拋物線于點M，射線交新拋物線于點 N，如果請寫出所有符合條件的點N的坐標，并寫出求解點N的坐標的其中一種情況的過程．
【答案】(1)
(2)最大值，此時
(3)或
【分析】（1）用待定系數法求解即可；
（2）延長交x軸于點Q，證明，進而可得，求出直線的解析式為，設，則，則，然后代入，得出關于m的解析式求解即可；
（3）分點M在x軸的上方和點M在x軸的下方兩種情況求解即可．
【詳解】（1）∵拋物線 交x軸于，，
∴，
∴，
∴；
（2）延長交x軸于點Q，
∵軸，
∴軸．
∵當時，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
設直線的解析式為，
則，
∴，
∴．
設，則，
∴
，
∴
，
∵，，
∴當時，取得最大值，此時；
（3）當點M在x軸的上方時，如圖，
過點C作x軸的平行線交拋物線與點G，
∵，
∴對稱軸為直線，
∴．
設，則，
∴平移后的解析式為，
∵，
∴，
把代入，得
，
∴，
∴；
當點M在x軸的下方時，如圖，同理可求．
綜上可知，點N的坐標為或．
【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式，二次函數的圖象與性質，銳角三角函數的知識，二次函數與幾何綜合，二次函數的平移，勾股定理，熟練掌握各知識點是解答本題的關鍵．
24．（2024·湖南懷化·一模）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，，頂點為D，對稱軸交x軸于點E．
圖1 圖2 圖3
(1)求拋物線的解析式、對稱軸及頂點D的坐標；
(2)如圖2，點Q為拋物線對稱軸上一動點，當Q在什么位置時最小，求出Q點的坐標，并求出此時的周長；
(3)如圖3，在對稱軸左側的拋物線上有一點M，在對稱軸右側的拋物線上有一點N，滿足．求證：直線恒過定點，并求出定點坐標．
【答案】(1)，對稱軸為直線，頂點D的坐標為；
(2)的周長的最小值為；
(3)直線恒過定點，定點坐標為．
【分析】（1）求得點B的坐標為，點C的坐標為，利用待定系數法求解，再配成頂點式，即可得解；
（2）先求得直線的解析式，再求直線與對稱軸交點Q，將轉化為，在中求，在中求即可求解；
（3）如圖，過點D作直線垂直軸，再過點M，N分別作直線的垂線，設點M的坐標為，點N的坐標為，證明，求得，再利用待定系數法求得直線的解析式為，據此求解即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴點B的坐標為，點C的坐標為，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為，
∵，
∴對稱軸為直線，頂點D的坐標為；
（2）解：∵點A與點關于直線對稱，
∴直線與對稱軸的交點為Q，則Q為最小時位置，
設直線的解析式為，
代入點得，解得，
∴直線的解析式為，
當，，
∴，
∵點，
∵，
，
∴的周長的最小值為；
（3）解：如圖，過點D作直線垂直軸，再過點M，N分別作直線的垂線，垂足分別為H，G，
設點M的坐標為，點N的坐標為，
∵頂點D的坐標為，
∴，，
，，
由題意得，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵點M的坐標為，點N的坐標為，
設直線的解析式為，
∴，
得，
∵，
∴，
將代入①得，
求得；
∴直線的解析式為，
∵，即，
∴，
∴當即時，，
∴無論為何值，直線總會經過定點，
∴直線恒過定點，定點坐標為．
【點睛】本題考查了二次函數的綜合運用．考查了待定系數法求函數解析式，相似三角形的判定和性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質、軸對稱的性質，添加適當的輔助線，是解題的關鍵．
25．（2023·寧夏·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．已知點的坐標是，拋物線的對稱軸是直線．

(1)直接寫出點的坐標；
(2)在對稱軸上找一點，使的值最?。簏c的坐標和的最小值；
(3)第一象限內的拋物線上有一動點，過點作軸，垂足為，連接交于點．依題意補全圖形，當的值最大時，求點的坐標．
【答案】(1)
(2)點，的最小值為
(3)
【分析】（1）根據拋物線的對稱性，進行求解即可；
（2）根據拋物線的對稱性，得到，得到當三點共線時，的值最小，為的長，求出直線的解析式，解析式與對稱軸的交點即為點的坐標，兩點間的距離公式求出的長，即為的最小值；
（3）根據題意，補全圖形，設，得到，，將的最大值轉化為二次函數求最值，即可得解．
【詳解】（1）解：∵點關于對稱軸的對稱點為點，對稱軸為直線，
∴點為；
（2）當時，，
∴，
連接，

∵，
∴，
∵點關于對稱軸的對稱點為點，
∴，
∴當三點共線時，的值最小，為的長，
設直線的解析式為：，
則：，解得：，
∴，
∵點在拋物線的對稱軸上，
∴；
∴點，的最小值為；
（3）過點作軸，垂足為，連接交于點，如圖所示，

∵，
設拋物線的解析式為：，
∵，
∴，
∴，
∴，
設，則：，
由（2）知：直線：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當時，有最大值，此時．
【點睛】本題考查二次函數的綜合應用．正確的求出函數解析式，利用拋物線的對稱性以及數形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．
26．（2024·海南?？凇ひ荒＃┤鐖D，拋物線過點，，．
(1)求拋物線的解析式；
(2)設點P是第一象限內的拋物線上的一個動點，
①當P為拋物線的頂點時，求證：直角三角形；
②求出的最大面積及此時點P的坐標；
③過點P作軸，垂足為N，與交于點E．當的值最大時，求點P的坐標．
【答案】(1)
(2)①是直角三角形；②；③
【分析】（1）把A、B、C三點坐標代入求解即可；
（2）①作軸于點H，易證和是等腰直角三角形，即可求出；
②先求出直線的解析式，過點P作軸于點D，交于點E，設點，則，故，，然后根據二次函數的性質求解即可；
③過點P作軸于點N，交于點E，設點，則，故，判斷是等腰直角三角形得出，即可求出，然后根據二次函數的性質求解即可．
【詳解】（1）解：將點，，代入解析式得：
，解得：，
∵拋物線的解析式為；
（2）解：①配方得
∴點P的坐標為，
作軸于點H，則，
∴
又∵在中，，
∴，
∴
∴是直角三角形
②設直線的解析式為，將點B、C代入得：
，解得：，
∴直線的解析式為，
∵，
∴，
設點（），過點P作軸于點D，交于點E，如圖所示：
∴，
∴，
∴，
當時，的最大面積為，
，
∴
③設點（），過點P作軸于點N，交于點E，如圖所示：
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當時，有最大值，此時．
【點睛】本題考查了二次函數綜合問題，面積問題，線段問題，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
27．（2024·天津津南·一模）綜合與探究：如圖，拋物線上的點A，C坐標分別為，，拋物線與x軸負半軸交于點B，且，連接，．
(1)求點M的坐標及拋物線的解析式；
(2)點P是拋物線位于第一象限圖象上的動點，連接，，當時，求點P的坐標；
(3)將拋物線沿x軸的負方向平移得到新拋物線，點A的對應點為點，點C的對應點為點，當的值最小時，新拋物線的頂點坐標為 ，的最小值為 ．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
【分析】（1）根據點M在y軸負半軸且可得點M的坐標為，利用待定系數法可得拋物線的解析式為；
（2）過點P作軸于點F，交線段AC于點E，用待定系數法求得直線AC的解析式為，設點P的橫坐標為，則，，故，先求得，從而得到，解出p的值，從而得出點P的坐標；
（3）設拋物線沿x軸的負方向平移m個單位長度得到新拋物線，將點M右平移m個單位長度得到點，由平移的性質可知，，的值最小就是最小值，作出點C關于直線對稱的對稱點，連接交直線于點，連接則此時取得最小值，即為的長度，利用兩點間的距離公式求這個長度，用待定系數法求出直線的解析式，從而確定的坐標，繼而確定平移距離，將原拋物線的解析式化為頂點式，從而得到其頂點，繼而確定新拋物線的頂點．
【詳解】（1）解：∵點M在y軸負半軸且，
∴
將，代入，得
解得
∴拋物線的解析式為
（2）解：過點P作軸于點F，交線段AC于點E，

設直線的解析式為，
將，代入，得
，解得，
∴直線AC的解析式為
設點P的橫坐標為
則，，
∴
∵，∴，解得，
∴；
（3），，
補充求解過程如下：
設拋物線沿x軸的負方向平移m個單位長度得到新拋物線，
將點M向右平移m個單位長度得到點，作出圖形如下：

由平移的性質可知，，
∴的值最小就是最小值，
顯然點在直線上運用，
作出點C關于直線對稱的對稱點，連接交直線于點，連接則此時取得最小值，即為的長度，

∵點C關于直線對稱的對稱的點是點，
∴，
∴，
設直線的解析式是：
將點，代入得：
解得：
直線的解析式是：
令，解得：，
∴，
∴平移的距離是
又∵，
∴平移前的拋物線的坐標是
∴新拋物線的頂點坐標為即
故答案是：，．
【點睛】本題考查求二次函數的解析式，二次函數的圖象與性質，二次函數與幾何變換綜合，二次函數與相似三角形綜合，最短路徑問題，三角形面積公式等知識，難度較大，綜合性大，作出輔助線和掌握轉換思想是解題的關鍵，第二問的解題技巧是使用鉛錘公式計算面積，第三問的技巧是轉化成直角三角形的討論問題，如果直接按相似討論，則有四種情況，可以降低分類討論的種類，第四問的技巧，是將點M向反方向移動，從而將兩個動點轉化成一個動點來解決．
28．（2024·安徽馬鞍山·一模）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點，點．點在軸正半軸上，且，分別是線段，上的動點（點不與點重合，點不與點重合）．
(1)求此拋物線的表達式；
(2)連接．
①將沿軸翻折得到，點的對應點分別是點和點，當點在拋物線上時，求點的坐標；
②連接，當時，求的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）拋物線與軸交于兩點，點，用待定系數法即可求解；
（2）①如圖，連接交于點，根據折疊的性質，設，用含的式子表示點， 根據點在拋物線上即可求解；②如下圖，過點作軸，可證，、、三點共線時，取到最小值，在中，根據勾股定理即可求解．
【詳解】（1）解：拋物線與軸交于兩點，，
，解得，
，
∴拋物線的表達式為．
（2）解：已知拋物線與軸交于兩點，點，
∴令，則，解得，，，
∴，
①如圖，連接交于點，
與關于軸對稱，
，，
設，則，且，
在中，，
∴，
∴在中，，
，
點在拋物線上，
，解得或（舍去），
；
②如下圖，過點作軸，使得，作延長線于點，
，
又，，
，
，
、、三點共線時，取到最小值，
，，，
，，
在中，，，
．
【點睛】本題主要考查二次函數與幾何圖形的綜合，掌握二次函數圖像的性質，幾何圖形的性質，折疊的性質，勾股定理，最短路徑的計算方法是解題的關鍵．
29．（2024·山東臨沂·模擬預測）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，點在點的左側，交軸于點，點的坐標為，點為拋物線的頂點，對稱軸與軸交于點．
(1)填空：_________，點的坐標是 _________；
(2)連接，點是線段上一動點點不與端點，重合，過點作，交拋物線于點點在對稱軸的右側，過點作軸，垂足為，交于點，點是線段上一動點，當的周長取得最大值時，求的最小值；
(3)在(2)中，當的周長取得最大值時，取得最小值時，如圖，把點向下平移個單位得到點，連接，把繞點順時針旋轉一定的角度，得到，其中邊交坐標軸于點．在旋轉過程中，是否存在一點，使得？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，點的坐標為 ，，，
【分析】本題是函數與幾何的綜合，考查待定系數法求解函數的表達式，二次函數的性質，直角三角形的性質，解直角三角形等知識，第（2）題構造含的直角三角形是解題的關鍵，第（3）題分類要全，不能漏解，難度較大，一般是中考壓軸題．
（1）將點A的坐標代入拋物線的表達式中可求出a，令可求出點B的坐標；
（2）通過配方法求出點D的坐標，利用待定系數法求出直線的表達式，設點，，利用等角的三角函數值相等求出，利用二次函數的性質可求出使的周長取得最大值時的m值，在x軸上取點，過F作的垂線段交y軸于點P，可得，連接交y軸與點J，利用的面積計算求出；
（3）由（2）求出點Q的坐標，取的中點G，在旋轉過程中，只需使的中點G在坐標軸上即可滿足，分四種情況進行求解．
【詳解】（1）解：將點代入中得，，
解得，，即，
當時，，
解得，，，
∴點B的坐標是，
故答案為：，；
（2）解：∵，
∴點，點，
設直線的表達式為，且經過點，點，
∴，
解得，，
∴，
∵點在直線的圖象上，點在拋物線上，
∴設點，，
∵，軸，
∴，（對頂角相等），
∴，
在中，，，
∴，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴，
∴，
，
，
，
∴當時，最大，此時，，
如圖所示，在軸上取點，過作的垂線段交軸于點，連接，交軸于點，
在中，，
則
∴，
∵，即，
∴在中，，
，
∵，，
∴直線的解析式為：，
∴點，，
∴，即，
∴，
∴當的周長取得最大值時， 的最小值即為的值，即．
（3）解：存在，
由（2）可知，，即點，
將點向下平移個單位得到點，
∴點 ，
在 中, 則，
取的中點G，則有，
∴在旋轉過程中，只需使的中點G在坐標軸上即可滿足，
如圖所示，當點G在y軸正半軸上時，過點作軸，垂足為I，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴設，
∴，
∴，即點，
同理可知，當點G在x軸正半軸上時，點，
當點在軸負半軸上時，點，
當點在軸負半軸上時，點，
綜上，點的坐標為，，，．
30．（2024·天津濱海新·一模）已知拋物線（，為常數，且），與軸交于點，兩點，與軸相交于點．
(1)當時，求拋物線的頂點坐標；
(2)點為拋物線對稱軸上一點，點的縱坐標為，若，求拋物線的解析式：
(3)當時，拋物線的對稱軸與軸交于點，過點作直線垂直于軸，垂足為，為直線上一動點，為線段上一動點，當的最小值為時，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）代入，可得，進而可得，即可求得頂點坐標；
（2）代入，得，可得拋物線的對稱軸為直線，，，由對稱性可知，點的坐標為，得，，即可求解；
（3）作點關于直線的對稱點，則，．過作，垂足為，與直線相交于點，此時取得最小值，即，在解直角三角形即可求解．
【詳解】（1）解：當時，拋物線的解析式為．
拋物線與軸交于點，
，得．
拋物線的解析式為．
，
所以拋物線的頂點坐標為．
（2）拋物線與軸交于點，
，得．
拋物線的解析式為．
可得拋物線的對稱軸為直線，，．
由對稱性可知，點的坐標為．
，，
因為，有
解得，（舍）．
拋物線的解析式為．
（3）點，點，
得直線的解析式為．
設直線與拋物線的對稱軸相交于點，則．
作點關于直線的對稱點，則，
．
過作，垂足為，與直線相交于點，
此時取得最小值，即．
在中，，，
由，得．
在中，，有．
．
解得．
【點睛】主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系，解決相關問題．
31．（2024·山東臨沂·一模）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），交y軸于點C，點A的坐標為，點D為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點E．

(1)填空：a＝_____，點B的坐標是______；
(2)連接，點M是線段上一動點（點M不與端點B，D重合），過點M作，交拋物線于點N（點N在對稱軸的右側），過點N作軸，垂足為H，交于點F，點P是線段上一動點，當的周長取得最大值時，求的最小值；
(3)在（2）中，當的周長取得最大值時，取得最小值時，如圖2，把點P向下平移個單位得到點Q，連接，把繞點O順時針旋轉一定的角度，得到，其中邊交坐標軸于點G．在旋轉過程中，是否存在一點G，使得？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，點的坐標為
【分析】（1）將點代入，求得a，再令，解方程即可得出答案；
（2）將（1）中所得的解析式寫成頂點式，則可得點D的坐標，用待定系數法求得直線的解析式，設點，利用等角的三角函數值相等得出，利用二次函數的性質求出使的周長取得最大值時的m值，在x軸上取點，則，過F作的垂線段交y軸于點P，可得，連接，設交y軸于點J，利用的面積計算出即可；
（3）由（2）求出點Q的坐標，取的中點G，在旋轉過程中，只需使的中點G在坐標軸上即可使得，分四種情況計算即可．
【詳解】（1）解：將點代入，得，
解得，，
∴，
當時，，
解得，，
∴點B的坐標是；
故答案為：，；
（2）解：∵ ，
∴點，點，
設直線的解析式為，將，代入得：
，
解得，，
∴，
設點，
由圖形可知，，
∵，，
∴，
∴
，
∴當時，最大，此時，，
在x軸上取點，則，過F作的垂線段交y軸于點P，此時，
∴，
∴當點F，P，G三點共線時，有最小值為，
而此時點P不在線段上，故不符合題意，
∴的最小值為的長度，
∵點，點，
∴，
∴當的周長取得最大值時，的最小值為；

（3）解：存在．
由（2）可知，點，
將點P向下平移個單位得到點Q，
∴點，
在中，，則，
取的中點G，則有，
∴在旋轉過程中，只需使的中點G在坐標軸上即可使得，
如圖所示，當點G在y軸正半軸上時，過點作軸，垂足為I，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
設，則有： ，
∴，則點，
同理可知，當點G在x軸正半軸上時，點；
當點G在y軸負半軸上時，點；
當點G在x軸負半軸上時，點．
綜上，點的坐標為．

【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法求函數的解析式、二次函數的性質、直角三角形的性質與解直角三角形等知識點，數形結合并熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
32．（2024·湖北·一模）如圖1，拋物線與x軸交于A，C兩點，與y軸交于點，經過點C的直線與拋物線的另一個交點為M．
(1)直接寫出b，c的值；
(2)若，求k的值；
(3)若D為上的點，F為上的點，，過點B作x軸的平行線交拋物線于點E，連接，，如圖2，當取得最小值時，求點F的坐標．
【答案】(1)（1），；
(2)；
(3)當取得最小值時，F的坐標為．
【分析】（1）利用待定系數法求函數解析式即可；
（2）令，求出點A的坐標，然后求出與y軸的交點Q的坐標，然后代入求出k的值即可；
（3）作，在上截取.連接. 與軸交于點，過點作軸，垂足為.則，得到，即， 當點在點的位置時， 取等號.可得的最少值等于.然后根據，再根據勾股定理即可解題．
【詳解】（1）解：∵點C在x軸上，
∴令，則，解得，
∴點C的坐標為，
把和代入得：
，解得：，
∴函數解析式為，
（2）令，則，
解得：，，
∴點A的坐標為，
∴，
∵，
∴，
∴點的坐標為或，
把代入得，解得；
把代入得，解得；
∴；
（3）如圖所示， 作，在上截取.連接. 與軸交于點，過點作軸，垂足為.
又∵，
∴，
∴，
∴， 當點在點的位置時， 取等號.
即的最少值等于.
過作軸的平行線交拋物線于點，
∴，
∴，即 .
∵，
，
，
設， 則，
在中， ，
解這個方程得，(負值不符合題意，舍去)，
∴點的坐標為 ，
∴直線 的函數表達式為：，
當時，，解得，
，
即當取得最小值時，的坐標為
【點睛】本題考查待定系數法求函數解析式，解直角三角形，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
33．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，拋物線的圖象經過，，三點，且一次函數的圖象經過點．

(1)求拋物線和一次函數的解析式．
(2)點，為平面內兩點，若以、、、為頂點的四邊形是正方形，且點在點的左側．這樣的，兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標：如果不存在，請說明理由．
(3)將拋物線的圖象向右平移個單位長度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點（點在點左側）．點是拋物線上的一個動點且在直線下方．已知點的橫坐標為．過點作于點．求為何值時，有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)，
(2)滿足條件的E、F兩點存在，，，
(3)當時，的最大值為
【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；
（2）①當為正方形的邊長時，分別過點點作，，使，，連接、，證明，得出，，則同理可得，；②以為正方形的對角線時，過的中點作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過點作軸于點，過點作于點，證明，得出，在中，，解得或4，進而即可求解；
（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，則，點在拋物線上，且橫坐標為得出，進而可得，則，根據二次函數的性質即可求解．
【詳解】（1）解：把，，代入
得
解得
∴
把代入得
∴
（2）滿足條件的、兩點存在，，，
解：①當為正方形的邊長時，分別過點點作，，使，，連接、.

過點作軸于.
∵，
又，
∴，
∴，
∴
同理可得，
②以為正方形的對角線時，過的中點作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，
過點作軸于點，過點作于點

∵，
又
∴
∴，
∵
∴
∴
在中，
∴
解得或4
當時，，此時點在點右側故舍去；
當時，.
綜上所述：，，
（3）∵向右平移8個單位長度得到拋物線
當，即
解得：
∴，
∵過，，三點
∴
在直線下方的拋物線上任取一點，作軸交于點，過點作軸于點

∵，
∴
∴是等腰直角三角形
∵，
∴
又
∴是等腰直角三角形
∴
∵點在拋物線上，且橫坐標為
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴當時，的最大值為．
【點睛】本題考查了二次函數綜合運用，正方形的性質，二次函數的性質，分類討論，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
題型03 利用二次函數解決兩條線段之差的最值問題
34．（2024·安徽合肥·一模）已知拋物線與直線都經過點，直線與拋物線L的對稱軸交于點B．
(1)求m的值；
(2)求證：；
(3)當時，將拋物線L向左平移個單位得到拋物線P，拋物線P與拋物線L的對稱軸交于點M，且點M在點B的下方．過點A作x軸的平行線交拋物線P于點N，且點N在點A的右側，求的最大值，并求出此時n的值．
【答案】(1)
(2)詳見解析
(3)當時，值最大，為
【分析】（1）把代入與中，得，，兩式相加可得．
（2）由得，由，，得，故．
（3）由得拋物線L為，得，表示出，，得，再利用利用二次函數的性質求解即可．
【詳解】（1）把代入與中，得
，，
得．
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）如圖：

∵，
∴，
∴將拋物線L為，直線為，
∵拋物線L向左平移，
∴拋物線P為，
∵拋物線L的對稱軸為直線，
∵拋物線P與拋物線L的對稱軸交于點M，
∴，
∵直線與拋物線L的對稱軸交于點B，
∴，
∵點M在點B的下方，
∴．
∵拋物線L的對稱軸為直線，，
∴，
∴，
∴，
∴當時，取得最大值．
【點睛】本題考查了二次函數、一次函數圖象上點的坐標特征，完全平方公式，不等式的性質，二次函數的平移，二次函數的性質，二次函數的平移，以及二次函數與幾何綜合，掌握二次函數最值的求法是解題關鍵．
35．（2024·寧夏銀川·一模）如圖，已經拋物線經過點，，且它的對稱軸為．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)若點是拋物線對稱軸上的一點，且點在第一象限，當的面積為時；求點的坐標．
(3)在（2）的條件下，是拋物線上的動點，求的坐標以及的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3) 的最大值為
【分析】（1）根據題意可設拋物線為再利用待定系數法求解拋物線的解析式即可；
（2）設 且 記與對稱軸的交點為，設直線為： 解得： 可得直線為： 則 利用列方程，再解方程即可；
（3）如圖，連接，延長交拋物線于，則此時最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系數法求解的解析式，聯立一次函數與二次函數的解析式，解方程組可得的坐標．
【詳解】（1）解： 拋物線經過點，
設拋物線為：
拋物線過，且它的對稱軸為．
解得：
拋物線為：
（2）解：如圖，點是拋物線對稱軸上的一點，且點在第一象限，
設 且 記與對稱軸的交點為，
設直線為：
解得：
直線為：



解得：或
∵ 則
（3）如圖，連接，延長交拋物線于，則此時最大，


設為： 代入、兩點坐標，

解得：
∴為：

解得：
【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解二次函數的解析式，坐標與圖形面積，三角形三邊關系的應用，勾股定理的應用，確定最大時P的位置是解本題的關鍵．
題型04 利用二次函數解決三條線段之和的最值問題
36．（2021·湖北恩施·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為正方形，點，在軸上，拋物線經過點，兩點，且與直線交于另一點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）為拋物線對稱軸上一點，為平面直角坐標系中的一點，是否存在以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）為軸上一點，過點作拋物線對稱軸的垂線，垂足為，連接，．探究是否存在最小值．若存在，請求出這個最小值及點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）存在以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形，點的坐標為或或或；（3）存在最小值，最小值為，此時點M的坐標為．
【分析】（1）由題意易得，進而可得，則有，然后把點B、D代入求解即可；
（2）設點，當以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形時，則根據菱形的性質可分①當時，②當時，然后根據兩點距離公式可進行分類求解即可；
（3）由題意可得如圖所示的圖象，連接OM、DM，由題意易得DM=EM，四邊形BOMP是平行四邊形，進而可得OM=BP，則有，若使的值為最小，即為最小，則有當點D、M、O三點共線時，的值為最小，然后問題可求解．
【詳解】解：（1）∵四邊形為正方形，，
∴，，
∴，
∴OB=1，
∴，
把點B、D坐標代入得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）由（1）可得，拋物線解析式為，則有拋物線的對稱軸為直線，
∵點D與點E關于拋物線的對稱軸對稱，
∴，
∴由兩點距離公式可得，
設點，當以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形時，則根據菱形的性質可分：
①當時，如圖所示：
∴由兩點距離公式可得，即，
解得：，
∴點F的坐標為或；
②當時，如圖所示：
∴由兩點距離公式可得，即，
解得：，
∴點F的坐標為或；
綜上所述：當以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形，點的坐標為或或或；
（3）由題意可得如圖所示：
連接OM、DM，
由（2）可知點D與點E關于拋物線的對稱軸對稱，，
∴，DM=EM，
∵過點作拋物線對稱軸的垂線，垂足為，
∴，
∴四邊形BOMP是平行四邊形，
∴OM=BP，
∴，
若使的值為最小，即為最小，
∴當點D、M、O三點共線時，的值為最小，此時OD與拋物線對稱軸的交點為M，如圖所示：
∵，
∴，
∴的最小值為，即的最小值為，
設線段OD的解析式為，代入點D的坐標得：，
∴線段OD的解析式為，
∴．
【點睛】本題主要考查二次函數的綜合、菱形的性質及軸對稱的性質，熟練掌握二次函數的綜合、菱形的性質及軸對稱的性質是解題的關鍵．
37．（2024·天津河北·一模）已知拋物線與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，若C點坐標為，對稱軸為
(1)求拋物線頂點P和點A的坐標；
(2)點D為y軸上一點，連接，，若將沿所在直線翻折，點B的對應點恰好落在拋物線的對稱軸上，求D點坐標；
(3)拋物線上點M在直線上方，過M作的垂線交線段于點N，過N點向y軸作垂線，垂足為Q，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)點的坐標為或
(3)的最小值為
【分析】（1）把點的坐標代入，結果對稱軸公式建立方程組求出二次函數的解析式，再根據頂點坐標公式求頂點坐標，令，解一元二次方程求與軸交點的坐標；
（2）分兩種情況：點在軸正半軸上或點在軸負半軸上，利用直角三角形的性質求解即可；
（3）先求直線、和的解析式，聯立求出點的坐標，再求的最大值，最后求的最小值．
【詳解】（1）將，對稱軸代入，
得
解得，
∴，
頂點，即，
令，得，解得，，
∴，；
（2）如圖，當點在軸正半軸上時，連接，
沿所在直線翻折得到，
，對稱抽與軸交于點，有，
在中，，
有，則，
在中，，
∴點的坐標為；
同理，當點在軸負半軸上時，點的坐標為；
點的坐標為或
（3）由，，得：，
設直線的解析式為，則有
，
解得，
即的解析式為：，同理的解析式為：，
點在拋物線上且在直線(即)上方，設橫坐標為，
有，,
，得直線的解析式為：，
交于，聯立，
得，則，有
即當時，有最大值，
即當時，有最小值．
【點睛】本題考查求一次函數的解析式，二次函數的解析式，二元一次方程組與一次函數的關系，二次函數的最值，屬于常見的中考試題，解題的關鍵是構建二次函數求最值．
38．（2022·山東煙臺·統(tǒng)考二模）如圖，平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A，B在x軸上，拋物線y=?x2+bx+c經過A，C4,?5兩點，且與直線DC交于另一點E．
(1)求拋物線的解析式：
(2)P為y軸上一點，過點P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為Q，連接EQ，AP．試求EQ+PQ+AP的最小值；
(3)N為平面內一點，在拋物線對稱軸上是否存在點M，使得以點M，N，E，A為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)y=?x2+2x+3
(2)41+1
(3)存在，1,?3，1,22，1,?22，1,?5+17，1,?5?17
【分析】（1）求出A點坐標，把A、C坐標代入解析式計算即可；
（2）連接OC，交對稱x=1于點Q，證明四邊形AOQP是平行四邊形，即可說明若使的EQ+PQ+AP值為最小，其EQ+OQ為量小，最小值為線段OC長；
（3）由于N是任意一點，要使得以點M，N，E，A為頂點的四邊形是菱形只要說明△AME是等腰三角形即可．
【詳解】（1）∵四邊形ABCD為正方形，C4,?5，
∴AD=AB=5，B4,0，
∴OA=1，
∴A?1,0，
將點A，C坐標代入y=?x2+bx+c得：?16+4b+c=?5?1?b+c=0，
解得：b=2c=3，
∴拋物線的解析式為y=?x2+2x+3；
（2）連接OC，交對稱x=1于點Q
∵PQ⊥y軸，
∴AO∥PQ，
∵AO=PQ=1，
∴四邊形AOQP是平行四邊形，
∴AP=OQ，
∴EQ+PQ+AP=EQ+1+OQ
若使的EQ+PQ+AP值為最小，其EQ+OQ為量?。?br>∵E，C關于對稱軸x=1對稱，
∴EQ=CQ，
∴EQ+OQ=CQ+OQ，
此時EQ+OQ的值最小，最小值為線段OC長．
∵C4,?5，
∴OC=42+52=41，
∴EQ+PQ+AP的最小值為41+1，
即EQ+PQ+AP的最小值為41+1．
（3）設M(1,m)
∵E，C關于對稱軸x=1對稱，C4,?5，
∴E?2,?5，
∵A?1,0
∴AE2=(?1+2)2+(?5?0)2=26
AM2=(?1?1)2+(0?m)2=m2+4
EM2=(?2?1)2+(?5?m)2=m2+10m+34
∵由于N是任意一點，要使得以點M，N，E，A為頂點的四邊形是菱形
∴△AME是等腰三角形
當AE=AM時，AM2=AE2=m2+4=26，
解得m=±22，
此時M點坐標為1,22，1,?22
當AE=EM時，EM2=AE2=m2+10m+34=26，
解得m=?5±17，
此時M點坐標為1,?5+17，1,?5?17
當AM=EM時，EM2=AM2=m2+10m+34=m2+4，
解得m=?3，
此時M點坐標為1,?3
綜上所述，存在點M1,?3，1,22，1,?22，1,?5+17，1,?5?17
，使得以點M，N，E，A為頂點的四邊形是菱形
【點睛】本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求拋物線的解析式、線段和最值問題、二次函數的性質、菱形的判定與性質，綜合性較強，有一定難度．其中第（3）問把菱形轉換成等腰三角形是解題的關鍵，需要注意分析題意分情況進行討論，否則容易漏解．
題型05 利用二次函數解決三角形周長的最值問題
39．（2024·江西·一模）已知關于的二次函數的圖象的對稱軸是直線，其最大值是，經過點，交軸于點，請僅用無刻度直尺按下列要求作圖．
(1)在圖1中作二次函數圖象上的點；
(2)在圖2中二次函數圖象的對稱軸上找一點，使的周長最短．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查二次函數綜合題，軸對稱圖形的畫法，拋物線的性質，熟練掌握拋物線的性質以及畫對稱軸的作圖技巧是解題的關鍵．
（）先求出函數解析式，再得出點的具體位置；
（）求的周長最小，是固定值，即最小，即找到的對稱點，連接另一個點和對稱點，點即是與對稱軸的交點．
【詳解】（1）
根據題意可得：解得：，
即二次函數，
在圖上找到點關于對稱軸對稱的點即是點；
（2）
由（）得：，，
令的解析式為，
將點點代入解析式得：，解得：，
的解析式為，
因為點在對稱軸上，時，，故點
40．（2024·山東濟寧·一模）如圖，頂點坐標為的拋物線與軸交于兩點（點在點的左邊），與軸交于點是直線上方拋物線上的一個動點，連接交拋物線的對稱軸于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)連接，當的周長最小時，求點的坐標；
(3)過點作軸于點，交直線于點，連接．在點運動過程中，是否存在使為等腰三角形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)點的坐標為或或．
【分析】本題考查了二次函數綜合，待定系數法求函數解析式，二次函數綜合－周長問題以及特殊三角形問題，熟練掌握二次函數的性質是解本題的關鍵．
（1）設拋物線的解析式為，把代入求解即可；
（2）當點與點C關于直線對稱時，的周長取得最小值，據此即可求解；
（3）利用待定系數法求得直線的解析式，設點，分或或時，三種情況討論，利用勾股定理列式計算即可求解．
【詳解】（1）解：根據題意設拋物線的解析式為，
把代入得，
解得，
∴拋物線的解析式為，
即；
（2）解：拋物線的頂點坐標為，
∴拋物線的對稱軸為直線，
當點與點C關于直線對稱時，的周長取得最小值，
∵，∴；
（3）解：令，則，
解得或，
∴，，
設直線的解析式為，
把代入得，
解得，
∴直線的解析式為，，
設點，
當時，即，
∴，
解得（負值舍去），
∴點的坐標為；
當時，即，
∴，
解得（舍去），或，
∴點的坐標為；
當時，即，
∴，
解得，
∴點的坐標為；
綜上，點的坐標為或或．
41．（2023·湖南張家界·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．

(1)求二次函數的表達式；
(2)如圖1，求周長的最小值；
(3)如圖2，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，記與的面積和為S，當S取得最大值時，求點P的坐標，并求出此時S的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根據題意設拋物線的表達式為，將代入求解即可；
（2）作點O關于直線的對稱點E，連接，根據點坐特點及正方形的判定得出四邊形為正方形，，連接AE，交于點D，由對稱性，此時有最小值為AE的長，再由勾股定理求解即可；
（3）由待定系數法確定直線的表達式為，直線的表達式為，設，然后結合圖形及面積之間的關系求解即可．
【詳解】（1）解：由題意可知，設拋物線的表達式為，
將代入上式得：，
所以拋物線的表達式為；
（2）作點O關于直線的對稱點E，連接，
∵，，，
∴，
∵O、E關于直線對稱，
∴四邊形為正方形，
∴，
連接，交于點D，由對稱性，
此時有最小值為的長，
∵的周長為，
，的最小值為10，
∴的周長的最小值為；
（3）由已知點，，，
設直線的表達式為，
將，代入中，，解得，
∴直線的表達式為，
同理可得：直線的表達式為，
∵，
∴設直線表達式為，
由（1）設，代入直線的表達式
得：，
∴直線的表達式為：，
由，得，
∴，
∵P，D都在第一象限，
∴
，
∴當時，此時P點為.
．
【點睛】題目主要考查二次函數的綜合應用，包括待定系數法確定函數解析式，周長最短問題及面積問題，理解題意，熟練掌握運用二次函數的綜合性質是解題關鍵．
42．（2023·山東濟寧·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中．拋物線與軸交于和，與軸交于點，連接，．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)如圖，點為直線上方的拋物線上任意一點，過點作軸的平行線，交于點，過點作軸的平行線，交直線于點，求周長的最大值；
(3)點為拋物線上的一動點，是否存在點使？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】本題考查二次函數綜合應用，涉及待定系數法、相似三角形判定與性質、對稱變換等知識，解題的關鍵是用含字母的代數式表示相關點坐標和相關線段的長度．
（1）用待定系數法可得拋物線的解析式為；
（2）設直線解析式為，用待定系數法得直線解析式為，設，則，即得，可證，可得，，構建二次函數，利用二次函數的性質求解；
（3）在軸負半軸上取，使，連接交拋物線于，此時，是滿足條件的點，由，，得直線解析式為，即可解得，作關于直線的對稱點，連接并延長交拋物線于，由對稱性知，是滿足條件的點，設，構建方程組求出點的坐標，可得結論．
【詳解】（1）解：把和的坐標代入，得到，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：由可得，
設直線解析式為，把代入得：
，
解得，
直線解析式為，
設，則，
，
軸，軸，
，，
，
，即，
，，
周長為
，
，
當時，周長最大值為；
（3）解：在軸負半軸上取，使，連接交拋物線于，如圖：
，，此時，是滿足條件的點，
，，
直線解析式為，
由得或，
，
作關于直線的對稱點，連接并延長交拋物線于，由對稱性知，是滿足條件的點，
設，根據，可得：
，
解得或，
，
由，可得直線解析式為：，
解得或，
，
綜上所述，的坐標為或．
43．（2024·山東濱州·一模）在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線經過A，B兩點，并與x軸的正半軸交于點C．
(1)求a，b滿足的關系式及c的值；
(2)當時，若點P是拋物線對稱軸上的一個動點，求周長的最小值
(3)當時，若點是直線下方拋物線上的一個動點，當m取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值．
【答案】(1)，；
(2)
(3)最大值為1．
【分析】（1）在直線中，令和可得點和的坐標，代入拋物線中可解答；
（2）連接交直線于點，利用兩點之間線段最短可得出此時的周長最小，從而可以解答；
（3）根據時，可得拋物線的解析式，如圖2，過點作軸于，交于，則是等腰直角三角形，設，則，表示的長，求得最大值，進而得到答案．
【詳解】（1）解：直線中，當時，，
，
當時，，
，
，
將，代入拋物線中，得：
，
，；
（2）解：如圖1，當時，，
，
拋物線的解析式為：，
拋物線的對稱軸是：，
由對稱性可得，
要使的周長最小，只需最小即可，
如圖1，連接交直線于點，
因為點與點關于直線對稱，由對稱性可知：，
此時的周長最小，所以的周長為，
中，，
中，，
周長的最小值為；
（3）解：當時，，
，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
如圖2，過點作軸于，交于，則是等腰直角三角形，
設，則，
，
，
當時，有最大值是，
當時，，
點的坐標為時，有最大值是，此時的面積最大；
．
當時，的面積最大；面積的最大值為1．
【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了利用待定系數法求拋物線的解析式，二次函數的性質，等腰直角三角形的性質，軸對稱最短路線問題等知識，綜合性較強，難度適中，利用方程思想，數形結合是解題的關鍵．
44．（2024·廣東東莞·一模）如題，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，點，與軸交于點，連接，．
(1)求拋物線的解析式．
(2)點為拋物線的對稱軸上一動點，當周長最小時，求點的坐標．
(3)點是的中點，射線交拋物線于點，是拋物線上一動點，過點作軸的平行線，交射線與點，是否存在點使得與相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，點的坐標為或
【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；
（2）點關于對稱軸的對稱點為點，連接交對稱軸于點，連接，此時最小，得出直線的解析式為，當時，，得出即可求解；
（3）分兩種情況：，，根據相似三角形的性質，即可求解．
【詳解】（1）解：把點，分別代入，
得解得
∴拋物線的解析式為．
（2）∵，
∴對稱軸為直線
點關于對稱軸的對稱點為點，連接交對稱軸于點，連接，此時最小，
當時，，
∴點．
設直線的解析式為，代入得
∴
∴直線的解析式為
當時，，
∴點．
（3）存在．
∵，是的中點，
．
又，
∴直線的解析式為，．
聯立得．
解得，（舍）．
當時，．
∴．
設，則．
∴．
分以下兩種情況：
①如圖2，若，則，．
∴軸．
∴．
∴．
解得或（舍）．
∴．
②如圖3，若，則，．
過點作于點，則，
即．
解得或（舍）．
∴．
綜上，點的坐標為或．
【點睛】本題考查了二次函數的綜合運用，待定系數法求二次函數解析式，線段周長問題以及相似三角形的性質，解題的關鍵是求出二次函數解析式．
45．（2024·山西晉中·一模）綜合與探究
如圖，拋物線 與軸交于，兩點，與軸交于點，頂點為點．連接，將 沿軸向右平移 個單位長度，得到 ．
(1)求拋物線的函數表達式與頂點的坐標．
(2)如圖，連接，當 周長最短時，求的值．
(3)如圖，設邊與邊交于點，連接，是否存在，使得與 的一邊相等?若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，頂點的坐標為；
(2)；
(3)或．
【分析】（）利用待定系數法求出拋物線的函數表達式，再把拋物線的函數表達式轉化為頂點式即可得到頂點的坐標；
（）設點關于軸的對稱點為點，連接，當在同一直線上時，的周長最短，由對稱得到點的坐標為，設直線的函數表達式為，可得直線的函數表達式為，求得點的坐標為，即可求出的值；
（）如圖，過點作軸于點，由，，可得，，，，進而得到，，，即可得，，，分三種情況：，，，利用解直角三角形和勾股定理解答即可求解．
【詳解】（1）解：將點代入中得，
，
解得，
∴拋物線的函數表達式為，
∵，
∴頂點的坐標為；
（2）解：如圖，設點關于軸的對稱點為點，連接，當在同一直線上時，的周長最短，
∵點的坐標為，
∴.點的坐標為，
設直線的函數表達式為， 將點、代入得，
，
解得，
∴直線的函數表達式為，
當時，，
解得，
∴點的坐標為，
∴；
（3）解：存在，或．
如圖，過點作軸于點，
∵，，
∴，，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，，
分三種情況討論：
當時，在中，
∵ ，
∴，
∴該情況不存在；
當時，
∵，軸，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
當時，，
∴，，
在中，，
∴，，
∵，
∴，
在中 ，，
∴，
解得（不合，舍去），，
∴；
綜上，的值為或．
【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的頂點坐標，軸對稱最短線段問題，二次函數圖象的平移，等腰三角形的性質，解直角三角形，勾股定理，掌握分類討論思想解答是解題的關鍵．
46．（2024·吉林長春·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（是常數）經過、兩點．點為拋物線上一點，且點的橫坐標為．

(1)求該拋物線對應的函數表達式；
(2)點為拋物線對稱軸上一點，連結，求周長的最小值；
(3)已知點，連結，以為對角線作矩形，且矩形各邊直于坐標軸．
①拋物線在矩形內的部分圖象隨增大而減小，且最高點與最低點的縱坐標之差為2時，求的值；
②連結，設的中點為，當以為頂點的三角形為銳角三角形時，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)①的值為或或3；②或
【分析】
（1）將、代入，利用待定系數法即可求解；
（2）根據題意知拋物線的對稱軸為，作點關于拋物線的對稱軸為的對稱點，則，可知的周長，要使的周長最小，只需使最小，由三角形三邊關系可知（當點在上時取等號），即的最小值為，由此可求解；
（3）①由題意可知，，，當時，，當時，，分6種情況：當或時，當時，當時，當時，當時，當時，分別討論即可；
②先證明在銳角三角形中，兩邊的平方和大于第三邊的平方，兩邊的平方差小于第三邊的平方，再根據坐標距離公式表示出，，，再根據，列出不等式求解即可．
【詳解】（1）解：將、代入得：
，解得：，
∴該拋物線對應的函數表達式為；
（2）∵，
∴拋物線的對稱軸為，

∵，則
作點關于拋物線的對稱軸為的對稱點，則，
∴的周長，
要使的周長最小，只需使最小，
由三角形三邊關系可知（當點在上時取等號），即的最小值為，
∴的周長的最小值為；
（3）①由題意可知，，，
當時，，當時，，
即：當或，平行于坐標軸，此時不存在滿足題意的矩形，
當時，如圖，此時，矩形內部沒有隨增大而減小的函數圖象，故不符合題意；

當時，如圖，此時，矩形內部有隨增大而減小的函數圖象，
最高點在上，縱坐標為，最低點為點，縱坐標為，
∴，解得：，（舍去）；

當時，如圖，此時，矩形內部有隨增大而減小的函數圖象，
最高點為點，縱坐標為，最低點在上，縱坐標為，
∴，解得：；

當時，如圖，此時，矩形內部有隨增大而減小的函數圖象，
最高點為點，縱坐標為，最低點在上，縱坐標為，
∴，解得：，（舍去）；

當時，如圖，此時，矩形內部有隨增大而減小的函數圖象也有隨增大而增大的函數圖象，故不符合題意；

綜上，的值為或或3；
②如圖，是銳角三角形，，，，

過點作，則，
∵，，在，，
∴，
即：，同理，，，
∴，
即：在銳角三角形中，兩邊的平方和大于第三邊的平方，兩邊的平方差小于第三邊的平方；
∵，，
則
∵點為的中點，
∴，
則，
，
當時，，，此時不存在，
當時，，，，三個點均在直線上，此時不存在，
∴，，
∵是銳角三角形，
∴，
先求，
即：，
整理得：，即，
，
當時，，則，即：，
可得，此時無解，或，解得；
∴，
當時，，則，即：，
可得，解得，或，解得（舍去）；
∴，
即：當時，或；
再求，
即：，
整理得：，即，
，
，
當時，，則，即：，
可得，解得：（舍去），或，解得：，
∴，
當時，，則，即：，
可得，此時無解，或，解得：，
∴，
即：當時，或；
∴當時，或，
綜上，當以、、為頂點的三角形為銳角三角形時，或．
47．（2024·內蒙古烏海·模擬預測）如圖（1），在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點點在點的左側，與軸交于點，點的坐標為，且，點和點關于拋物線的對稱軸對稱．
(1)分別求出，的值和直線的解析式；
(2)直線下方的拋物線上有一點，過點作于點，作平行于軸交直線于點，交軸于點，求的周長的最大值；
(3)在（2）的條件下，如圖，在直線的右側、軸下方的拋物線上是否存在點，過點作軸交軸于點，使得以點、、為頂點的三角形與相似？如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)存在，點的坐標為或
【分析】本題主要考查的是二次函數的綜合應用，掌握二次函數的交點式、配方法求二次函數的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出的長與的函數關系式是解題的關鍵．
（1）先求得的坐標，從而得到點的坐標，設拋物線的解析式為，將點的坐標代入求解即可；先求得拋物線的對稱軸，從而得到點，然后可求得直線的解析式；
（2）求得，接下來證明為等腰直角三角形，所當有最大值時三角形的周長最大，設，，則，然后利用配方可求得的最大值，最后根據的周長求解即可；
（3）當時，如果 或時，則∽，設點的坐標為，則，則，，然后根據題意列方程求解即可．
【詳解】（1）點的坐標為，
．
令，則，
，，
，
，
，
設拋物線的解析式為，
將，代入得：，
解得，
拋物線的解析式為；
，；
拋物線的對稱軸為，，
點和點關于拋物線的對稱軸對稱，
；
設直線的解析式為．
將、代入得：
，
解得，，
直線的解析式；
（2）直線的解析式，
直線的一次項系數，
．
平行于軸，
，
．
的周長．
設，則，
則．
當時，有最大值，最大值為．
的周長的最大值；
（3）在直線的右側、軸下方的拋物線上存在點，過點作軸交軸于點，使得以點、、為頂點的三角形與相似；理由如下：
設點的坐標為，則
如圖，

若 時，∽．
則 ，整理得：．
得：負值舍去，
點為；
如圖，

若時，∽，
則，整理得：，
得：負值舍去，
點為，
綜上所述，點的坐標為或．
48．（2023·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點，且交x軸于點，B兩點，交y軸于點C．

(1)求拋物線的表達式；
(2)點P是直線上方拋物線上的一動點，過點P作于點D，過點P作y軸的平行線交直線于點E，求周長的最大值及此時點P的坐標；
(3)在（2）中周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個單位長度，點M為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平面內確定一點N，使得以點A，P，M，N為頂點的四邊形是菱形，寫出所有符合條件的點N的坐標，并寫出求解點N的坐標的其中一種情況的過程．
【答案】(1)
(2)周長的最大值，此時點
(3)以點A，P，M，N為頂點的四邊形是菱形時或或
【分析】（1）把、代入計算即可；
（2）延長交軸于，可得，進而得到，，求出的最大值即可；
（3）先求出平移后的解析式，再設出M，N的坐標，最后根據菱形的性質和判定計算即可．
【詳解】（1）把、代入得，，
解得，
∴拋物線的表達式為；
（2）延長交軸于，

∵過點P作于點D，過點P作y軸的平行線交直線于點E，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴當最大時周長的最大
∵拋物線的表達式為，
∴，
∴直線解析式為，
設，則
∴，
∴當時最大，此時
∵周長為，
∴周長的最大值為，此時，
即周長的最大值，此時點；
（3）∵將該拋物線沿射線方向平移個單位長度，可以看成是向右平移2個單位長度再向下平移一個單位長度，
∴平移后的解析式為，此拋物線對稱軸為直線，
∴設，
∵，
∴，，，
當為對角線時，此時以點A，P，M，N為頂點的四邊形是菱形
∴與互相平分，且
∴，解得
∵中點坐標為，中點坐標為，
∴，解得，
此時；
當為邊長且和是對角線時，此時以點A，P，M，N為頂點的四邊形是菱形
∴與互相平分，且
∴，解得
∵中點坐標為，中點坐標為，
∴，解得，
此時或；
同理，當為邊長且和是對角線時，此時以點A，P，M，N為頂點的四邊形是菱形
∴和互相平分，且
，此方程無解；
綜上所述，以點A，P，M，N為頂點的四邊形是菱形時或或；
【點睛】本題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法，相似三角形的性質與判定，菱形的性質及應用，中點坐標公式等知識，解題的關鍵是用含字母的代數式表示相關點的坐標及相關線段的長度．
題型06 利用二次函數解決四邊形周長的最值問題
49．（2024·四川涼山·模擬預測）如圖，拋物線的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式及頂點的坐標；
(2)若點在拋物線上，且，求點的坐標；
(3)點是拋物線上、之間的一點，過點作軸于點，過點作交拋物線于點，過點作軸于點．設點的橫坐標為點，請用含的代數式表示矩形的周長，并求矩形周長的最大值．
【答案】(1)，頂點D的坐標為
(2)
(3)矩形的周長為，矩形的周長最大值為
【分析】本題考查了二次函數的綜合運用，待定系數法求解析式，面積問題，線段周長問題；
（1）待定系數法求解析式即可求解；
（2）根據三角形的面積公式求得E點的橫坐標為，即可求解；
（3）根據對稱軸為直線，設M點的橫坐標為m，則，表示出矩形的周長，然后根據二次函數的性質求得最值，即可求解．
【詳解】（1）解：由拋物線經過點、，
所以有，解得．
∴拋物線的解析式為．
（2）將代入，解得，，
∴
∵，
∴E點的橫坐標為，
把代入
∴，
（3）由拋物線可知，對稱軸為直線，
∵P點的橫坐標為m，軸，
則，
，
∴矩形的周長，
∴當時矩形的周長最大值為．
50．（2022·廣西柳州·中考真題）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（m，0）兩點，與y軸交于點C（0，5）．

(1)求b，c，m的值；
(2)如圖1，點D是拋物線上位于對稱軸右側的一個動點，且點D在第一象限內，過點D作x軸的平行線交拋物線于點E，作y軸的平行線交x軸于點G，過點E作EF⊥x軸，垂足為點F，當四邊形DEFG的周長最大時，求點D的坐標；
(3)如圖2，點M是拋物線的頂點，將△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB與y軸交于點Q，在對稱軸上找一點P，使得△PQB是以QB為直角邊的直角三角形，求出所有符合條件的點P的坐標．
【答案】(1)b=4，c=5， m=5
(2)當四邊形DEFG的周長最大時，點D的坐標為（3，8）
(3)所有符合條件的點P的坐標為（2，），（2，﹣9）
【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，利用待定系數法求解b，c即可，再令y=0，再解方程求解m即可；
（2）先求解拋物線的對稱軸為x＝2，設D（x，﹣x2+4x+5），則E（4﹣x，﹣x2+4x+5），證明四邊形DEFG是矩形，而 可得四邊形DEFG的周長＝2（﹣x2+4x+5）+2（2x﹣4）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，再利用二次函數的性質可得答案；
（3）過點C作CH⊥對稱軸于H，過點N作NK⊥y軸于K，證明△MCH≌△NCK（AAS），再求解N（﹣4，3），求解直線的解析式為： 可得 設P（2，p），再利用勾股定理表示 BP2＝， 再分兩種情況建立方程求解即可．
【詳解】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，
，解得：
∴這個拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x+5，
令y＝0，則﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴B（5，0），
∴m＝5；
（2）∵拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴對稱軸為x＝2，
設D（x，﹣x2+4x+5），
∵軸，
∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），
∵過點D作x軸的平行線交拋物線于點E，作y軸的平行線交x軸于點G，過點E作EF⊥x軸，
∴四邊形DEFG是矩形，
∴
∴四邊形DEFG的周長＝2（﹣x2+4x+5）+2（2x﹣4）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，
∴當x＝3時，四邊形DEFG的周長最大，
∴當四邊形DEFG的周長最大時，點D的坐標為（3，8）；
（3）過點C作CH⊥對稱軸于H，過點N作NK⊥y軸于K，

∴∠NKC＝∠MHC＝90°，
由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，
∵B（5，0），C（0，5）．
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵CH⊥對稱軸于H，
∴軸，
∴∠BCH＝45°，
∴∠BCH＝∠OCB，
∴∠NCK＝∠MCH，
∴△MCH≌△NCK（AAS），
∴NK＝MH，CK＝CH，
∵拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴對稱軸為x＝2，M（2，9），
∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，
∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，
∴N（﹣4，3），
設直線BN的解析式為y＝mx+n，
∴ 解得：
∴直線的解析式為：
∴
設P（2，p），
∴
BP2＝，

分兩種情況：
①當∠BQP＝90°時，BP2＝PQ2+BQ2，
∴
解得：
∴
②當∠QBP＝90°時，P′Q2＝BP′2+BQ2，
∴
解得：
∴點P′的坐標為（2，﹣9）．
綜上，所有符合條件的點P的坐標為或．
【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解二次函數的解析式，二次函數與坐標軸的交點坐標問題，二次函數的性質，對稱軸的性質，二次函數與直角三角形，勾股定理的應用，清晰的分類討論是解本題的關鍵．
51．（2023·遼寧丹東·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A?1,0，B5,0兩點，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的函數表達式；
(2)若點P是位于直線BC上方拋物線上的一個動點，求△BPC面積的最大值；
(3)若點D是y軸上的一點，且以B、C、D為頂點的三角形與△ABC相似，求點D的坐標；
(4)若點E為拋物線的頂點，點F3,a是該拋物線上的一點，點M在x軸、點N在y軸上，是否存在點M、N使四邊形EFMN的周長最小，若存在，請直接寫出點M、點N的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)y=?x2+4x+5
(2)1258
(3)D的坐標為0,?1或0,?103
(4)M1117,0，N0,115
【分析】（1）把A?1,0，B5,0分別代入y=ax2+bx+5，利用待定系數法求解；
（2）過點P作PH⊥OB交BC于點H，根據S△PBC=12OB?PH得到S△PBC關于點P的橫坐標的二次函數關系式，進而求出二次函數的最值即可；
（3）由∠OBC=∠OCB=45°可知：要使△BCD與△ABC相似，則有ABBC=BCCD或ABBC=CDBC，分別求解即可；
（4）作點E關于y軸的對稱點E'，作點F3,a關于x軸的對稱點F'，由軸對稱的性質可得四邊形EFMN的周長=MN+NE+MF+EF=MN+NE'+MF'+EF，可知當E'，F'，M，N在一條直線上時，四邊形EFMN的周長取最小值，直線E'F'與x軸、y軸的交點即為點M、N，由此可解．
【詳解】（1）解：把A?1,0，B5,0分別代入y=ax2+bx+5得：
0=a?b+50=25a+5b+5 ，
解得a=?1b=4，
∴拋物線的表達式為y=?x2+4x+5．
（2）解：如圖，過點P作PH⊥OB交BC于點H，

令x=0，得y=5，
∴C0,5，
∴設直線BC的表達式為：y=kx+b，
將C0,5，B5,0代入y=kx+b，
得5=b0=5k+b，
解得k=?1b=5，
∴直線BC的表達式為y=?x+5，
設Pm,?m2+4m+5，則Hm,?m+5，
∴PH=?m2+4m+5+m?5=?m2+5m，
∴S△PBC=12OB?PH=12×5×?m2+5m=?52m?522+1258，
∴當m=52時，S△PBC取最大值，最大值為1258，
即△BPC面積的最大值為1258；
（3）解：如圖，

∵C0,5，B5,0，A?1,0，
∴OC=OB=5，AB=5??1=6，
∴∠OBC=∠OCB=45°，BC=OC2+OB2=52，
要使△BCD與△ABC相似，
則有ABBC=BCCD或ABBC=CDBC，
①當ABBC=BCCD時，652=52CD，
解得CD=253，
則OD=CD?OC=103，
∴D0,?103；
② 當ABBC=CDBC時，CD=AB=6，
則OD=CD?OC=6?5=1，
∴D0,?1，
即D的坐標為0,?1或0,?103；
（4）解：y=?x2+4x+5=?x?22+9，
∵E為拋物線的頂點，
∴E2，9，
∵F3,a在拋物線上，
∴a=?32+4×3+5=8，
∴F3,8，
如圖，作點E關于y軸的對稱點E'?2，9，作點F關于x軸的對稱點F'3,?8，

由軸對稱的性質可知E'N=EN，F'M=FM，
∴四邊形EFMN的周長=MN+NE+MF+EF=MN+NE'+MF'+EF，
∴當E'，F'，M，N在一條直線上時，四邊形EFMN的周長取最小值，
因此，直線E'F'與x軸、y軸的交點即為點M、N，
設直線E'F'的解析式為：y=mx+n，將E'?2，9，F'3,?8代入，
得9=?2m+n?8=3m+n，
∴m=?175n=115，
∴直線E'F'的解析式為：y=?175x+115，
當x=0時，y=115；
當y=?175x+115=0時，x=1117，
∴M1117,0，N0,115．
【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查一次函數、二次函數、軸對稱、相似三角形等知識點，綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是綜合運用上述知識點，第四問的關鍵是利用軸對稱的性質找出點M和點N的位置．
52．（2022·廣東東莞·東莞市光明中學校考一模）二次函數y=ax2+bx+3a≠0的圖像與y軸交于點C，與x軸交于點A1,0、B92,0．
(1)求a、b的值；
(2)P是二次函數圖像在第一象限部分上一點，且∠PAB=∠OCA，求P點坐標；
(3)在（2）的條件下，有一條長度為1的線段EF落在OA上（E與點O重合，F與點A重合），將線段EF沿x軸正方向以每秒613個單位向右平移，設移動時間為t秒，當四邊形CEFP周長最小時，求t的值．
【答案】(1)a=23,b=?113
(2)P5,43
(3)6
【分析】（1）把A1,0、B92,0代入數y=ax2+bx+3即可得出結果；
（2）先得出tan∠PAB=13，設Px,23x2?113x+3(0

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