通用的解題思路：
1、角的數(shù)量關(guān)系處理的一般方法如下：
（1）證等角：常運(yùn)用等腰三角形兩底角相等，等角的余角相等，等角的補(bǔ)角相等、全等三角形和相似三角形的對應(yīng)角相等及兩角的銳角三角函數(shù)值相等，等等；
（2）證二倍角：常構(gòu)造輔助圓，利用圓周角定理；
（3）證和差角：常旋轉(zhuǎn)、翻折、平移構(gòu)造角．
2.特殊角問題處理的一般方法如下：
（1）運(yùn)用三角函數(shù)值；
（2）遇45°構(gòu)造等腰直角三角形；
（3）遇30°，60°構(gòu)造等邊三角形；
（4）遇90°構(gòu)造直角三角形．
題型一：角相等問題
對于二次函數(shù)中的角相等問題，首選方法是利用等角的三角比解決問題（利用一線三等角模型或者拆分特殊角來發(fā)現(xiàn)等角），其次選擇利用相似三角形中的比例線段解決問題。
二次函數(shù)中的角相等問題比較靈活，在遇到具體問題時具體分析，合理構(gòu)造等角，解決問題。
1．（2024·山西太原·三模）綜合與探究
如圖1，經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為A，直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)M為拋物線上一動點(diǎn)．

(1)求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線l的函數(shù)表達(dá)式．
(2)如圖2，若點(diǎn)M是直線l上方的拋物線上的一個動點(diǎn)，直線交直線l于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，求的最大值．
(3)如圖3，連接，拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得，若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)A的坐標(biāo)為，B的坐標(biāo)為，直線函數(shù)表達(dá)式為；
(2)；
(3)或．
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、相似三角形的性質(zhì)證明、一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
（1）在中，令得得，在中，令得，設(shè)直線函數(shù)表達(dá)式為，把，代入，即可求解；
（2）過M作軸于K，過C作軸于T，則，設(shè)直線函數(shù)表達(dá)式為，把代入得直線函數(shù)表達(dá)式為，進(jìn)而得，由， ，即可求解 ；
（3）過B作軸于R，設(shè)直線l交y軸于點(diǎn)E，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)為，則，由得到，則，設(shè)，則，得到，解得或，進(jìn)而可求解；
【詳解】（1）解：在中，令得，
解得或，
∴，
在中，令得，
∴，
設(shè)直線函數(shù)表達(dá)式為，
把，代入得：
，
解得，
∴直線函數(shù)表達(dá)式為；
∴A的坐標(biāo)為，B的坐標(biāo)為，直線函數(shù)表達(dá)式為；
（2）過M作軸于K，過C作軸于T，如圖：
∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，
∴，
設(shè)直線函數(shù)表達(dá)式為，把代入得：
，
解得，
∴直線函數(shù)表達(dá)式為，
由得，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴當(dāng)時， 取最大值，最大值為 ；
（3）拋物線上存在一點(diǎn)M，使得，理由如下：
過作軸于R，設(shè)直線l交y軸于點(diǎn)E，如圖：
當(dāng)時，，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
解得或，
經(jīng)檢驗(yàn)，或是方程的解且符合題意，
∴或．
2．（23-24九年級下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．

(1)請直接寫出、、三點(diǎn)坐標(biāo)．
(2)如圖，點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，求線段長度的最大值；
(3)如圖，若點(diǎn)在拋物線上且滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為
(2)
(3)或
【分析】（1）由拋物線，分別令，，則可確定拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可確定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)軸于點(diǎn)，設(shè)，確定直線的解析式為，得到，繼而得到，根據(jù)二次函數(shù)的最值可得結(jié)論；
（3）確定直線的解析式為，然后分兩種情況進(jìn)行討論即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
當(dāng)時，得，解得：或，
當(dāng)時，得，
∴，，，
∵拋物線的頂點(diǎn)為，
∴，即，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）設(shè)軸于點(diǎn)，設(shè)，
設(shè)直線的解析式為，過點(diǎn)，，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵過點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴當(dāng)時，線段的長度取得最大值，此時最大值為；

（3）設(shè)直線的解析式為，過點(diǎn)，，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，
①如圖，
∵，
∴，
設(shè)直線的解析式為，過點(diǎn)，
∴，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得：或，
此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②如圖，設(shè)交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，即，
設(shè)直線的解析式為，過點(diǎn)，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
∵直線：與直線：交于點(diǎn)，
聯(lián)立，
解得：，
∴，
設(shè)直線的解析式為，過點(diǎn)，，
∴，
∴解得：，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得：或，
此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的最值，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行線的判定，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，等角對等邊，中點(diǎn)坐標(biāo)，垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)．掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、確定二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的方法是解題的關(guān)鍵．
3．（23-24九年級下·湖南永州·開學(xué)考試）綜合與探究．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接．
(1)求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)是二次函數(shù)圖象上的一個動點(diǎn)，請問是否存在點(diǎn)使？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，，
(2)或或或
(3)或
【分析】（1）當(dāng)時，即，解方程可得圖象與軸交于點(diǎn)，，當(dāng)時，，從而得圖象與軸交于點(diǎn)；
（2）先利用勾股定理求出，再分當(dāng)，當(dāng)時，當(dāng)時，三種情況討論求解即可；
（3）分點(diǎn)在上方時和點(diǎn)在下方兩種情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，即，解得：．
∴圖象與軸交于點(diǎn)，，
當(dāng)時，，
∴圖象與軸交于點(diǎn)，
（2）解：∵，，
∴，
當(dāng)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；
當(dāng)時，∵，
∴，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
當(dāng)時，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
解得，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或；
（3）解：當(dāng)點(diǎn)在上方時，

∵，
∴，即軸，
∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
∵拋物線解析式為，
∴拋物線的對稱軸為直線；
∵，
∴；
當(dāng)點(diǎn)在下方時，設(shè)交軸于點(diǎn)，

則，．
∵，
∴．
在中，，
∴，
解得：，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，得，
解得：舍去，，
∴．
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
4．（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐標(biāo)系（如圖）中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)、兩點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，對稱軸為直線．
(1)求此拋物線的表達(dá)式；
(2)已知以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓記作圓，以點(diǎn)A為圓心的圓記作圓A，如果圓A與圓外切，試判斷對稱軸直線與圓A的位置關(guān)系，請說明理由；
(3)已知點(diǎn)在軸的正半軸上，且在點(diǎn)的上方，如果，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)此拋物線的表達(dá)式是
(2)對稱軸直線與圓A的位置是相離，理由見詳解
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為
【分析】（1）直接用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)圓A的半徑為r，又圓A與圓外切，所以，得到，即，即可判斷；
（3）過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作軸，垂足為G，利用等角的正切值相等解決問題，，所以，，所以，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)、兩點(diǎn)
∴，解得
∴此拋物線的表達(dá)式是；
（2）答：對稱軸直線與圓A的位置是相離
根據(jù)（1）得，拋物線的對稱軸是直線，
拋物線與y軸的交點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以，
所以圓的半徑是，
設(shè)圓A的半徑為r，又圓A與圓外切，所以，
又，
所以，
對稱軸與x軸垂直，設(shè)垂足為M，那么的長就是圓A到對稱軸的距離，
又對稱軸是直線，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，
因?yàn)?，即?br>所以對稱軸直線與圓A的位置是相離．
（3）解：過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作軸，垂足為G，
易得 ，，
又點(diǎn)坐標(biāo)為， 點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以軸，
所以，，由勾股定理得 ，
所以，在中，，
在中，，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與幾何綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，圓與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，二次函數(shù)與角度的存在性問題，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·海南·模擬預(yù)測）如圖1，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．直線與拋物線交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)．
(1)求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時，求四邊形的面積；
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
(4)如圖2，點(diǎn)、是對稱軸上的兩個動點(diǎn)，且，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，求四邊形的周長的最小值．
【答案】(1)拋物線的解析式為，
(2)
(3)存在，點(diǎn)的橫坐標(biāo)或
(4)
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用軸對稱求最短距離，解直角三角形；
（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作交于，過點(diǎn)作交于，利用割補(bǔ)法求四邊形的面積即可；
（3）連接交于點(diǎn)，則，先求兩直線的交點(diǎn)，可得，設(shè)，過點(diǎn)作軸交于，由，得到方程，求出的值即可；
（4）連接，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，四邊形的周長，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，四邊形的周長有最小值，分別求出，，即可得四邊形的周長的最小值為．
【詳解】（1）解：將、，代入，
，
解得，
拋物線的解析式為，
，
解得或，
；
（2）過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作交于，過點(diǎn)作交于，
、，，，
，，，，
四邊形的面積；
（3）存在點(diǎn)，使，理由如下：
連接交于點(diǎn)，
直線與直線平行，
，
，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
當(dāng)時，解得，
，
，，
，
設(shè)，
過點(diǎn)作軸交于，
，
，
解得或或（舍，
或；
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或；
（4）連接，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，
四邊形是平行四邊形，
，，
、關(guān)于對稱軸對稱，
，
四邊形的周長，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，四邊形的周長有最小值，
，，
，
、，
，，
四邊形的周長的最小值為．
6．（2024·上海靜安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線關(guān)于直線對稱，且經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)在此拋物線上．
(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)聯(lián)結(jié)、、，求的值；
(3)如果點(diǎn)P在對稱軸右方的拋物線上，且，過點(diǎn)P作軸，垂足為Q，請說明，并求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)該拋物線的表達(dá)式為；
(2)
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）先證得是等腰直角三角形，可得，，過點(diǎn)作軸于，則，，，進(jìn)而證得是等腰直角三角形，可得，，推出，再運(yùn)用三角函數(shù)定義即可求得答案；
（3）連接，先證得，得出，即，設(shè)，則，可得，得出，代入拋物線解析式求得，即可求得答案．
【詳解】（1）解：拋物線關(guān)于直線對稱，
設(shè)拋物線的解析式為，把、代入，
得：，
解得：，
，
該拋物線的表達(dá)式為；
（2）解：在中，令，得，
，
、，
，
是等腰直角三角形，
，，
如圖，過點(diǎn)作軸于，則，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
；
（3）證明：如圖，連接，
由（2）知是等腰直角三角形，
，
，
，
軸，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
點(diǎn)在對稱軸右方的拋物線上，
，且，
解得：，
當(dāng)時，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，熟練掌握等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識是解題關(guān)鍵．
7．（2024·廣西·一模）如圖，已知拋物線交x軸于，兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，P是拋物線上一點(diǎn)，連接、．
(1)求拋物線的解析式；
(2)連接，，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)若，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；
(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
【分析】
本題考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，正切函數(shù)的定義．
（1）將，兩點(diǎn)代入，即可求解；
（2）先求出，則，設(shè)，可得，即可求點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）設(shè)交y軸于點(diǎn)，利用正切函數(shù)求得，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，聯(lián)立求得即可；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)時，也符合題意，同理求解即可．
【詳解】（1）
解：將，兩點(diǎn)代入，
，
解得，
；
（2）
解：令，則，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，
，
，
，
解得或，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；
（3）解：設(shè)交y軸于點(diǎn)，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
解得，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得或，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)時，也符合題意，同理求得直線的解析式為，聯(lián)立，
解得或，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
8．（2024·山東濟(jì)南·一模）如圖，二次函數(shù) . 的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A 在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn) C，頂點(diǎn)為D，其對稱軸與線段交于點(diǎn) E，與x軸交于點(diǎn) F． 連接．

(1)若 ， 求B 點(diǎn)和C 點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)若 求m的值；
(3)若在第一象限內(nèi)二次函數(shù) 的圖象上，始終存在一點(diǎn)P，使得 請結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出m的范圍．
【答案】(1)，
(2)1
(3)
【分析】（1）令，解方程可得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，令，可得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由題意得，，，進(jìn)而可得，推出，連接，由，可得，推出，利用解直角三角形可得，，構(gòu)建方程，求出即可；
（3）設(shè)交軸于點(diǎn)，證明，推出，可得結(jié)論．
【詳解】（1）當(dāng) 時，，
令，得，
解得：，，
點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，
，
令，得，
；
（2）當(dāng)時，，
解得：，，
點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，且，
，，
當(dāng)時，，
，
，
，
，
如圖1中，連接，
，
，，
，，，
、關(guān)于對稱軸直線對稱，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
，
，
，
解得：或，
經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的根，
，
；
（3）如圖2，設(shè)交軸于點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)在第一象限時，點(diǎn)總是在點(diǎn)的左側(cè)，此時，即．
，
，
，
解得：，
又，
同法可得，
，
．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．
9．（2024·廣東·一模）綜合應(yīng)用．
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接．

(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個動點(diǎn)，請問是否存在點(diǎn)P使？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
(3)如圖2，作出該二次函數(shù)圖象的對稱軸直線l，交x軸于點(diǎn)D．若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上一動點(diǎn)，且點(diǎn)M始終位于x軸上方，作直線，，分別交l于點(diǎn)E，F(xiàn)，在點(diǎn)M的運(yùn)動過程中，的值是否為定值？若是，請直接寫出該定值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)，，，
(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或
(3)的值是定值；
【分析】（1）當(dāng)時，即，解方程可得圖象與軸交于點(diǎn)，，當(dāng)時，，從而得圖象與軸交于點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求解直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）分點(diǎn)在上方時和點(diǎn)在下方兩種情況討論求解即可；
（3）由（）得拋物線的對稱軸為直線，從而，設(shè)且，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求得直線和直線的解析式，從而得，于是即可得．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，即，
解得：．
∴圖象與軸交于點(diǎn)，，
當(dāng)時，，
∴圖象與軸交于點(diǎn)，
設(shè)直線為：，
把，代入得
，
解得，
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：存在，理由如下：
當(dāng)點(diǎn)在上方時，

∵，
∴，即軸，
∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線；
∵，
∴；
當(dāng)點(diǎn)在下方時，設(shè)交軸于點(diǎn)，

則，．
∵，
∴．
在中，，
∴，
解得：，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，得，
解得：舍去，，
∴．
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
（3）解：存在，的值為定值，理由如下：
由得拋物線的對稱軸為直線，
∴，
設(shè)且，
設(shè)直線的解析式為，
將和點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為，
當(dāng)時，，
∴，
同理，直線的解析式為：，
當(dāng)時，，
∴，
∴，
∴，
∴的值是定值，．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二元一次方程組的應(yīng)用以及勾股定理，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
10．（2024·江蘇宿遷·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過、、三點(diǎn)，已知，，．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，若以、、為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或或
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；
（2）①當(dāng)P在上方時，延長與y軸相交點(diǎn)Q，過B作于N，利用等積法求出，利用勾股定理求出，證明，利用正切定理可得出，求出，得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線解析式，把直線、拋物線解析式聯(lián)立方程組，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)P在下方時，設(shè)與y軸相交點(diǎn)Q，過B作于N，類似①的方法求解即可；
（3）分；；三種情況討論，根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線解析式為，
∵拋物線經(jīng)過，，，
∴，解得，
∴；
（2）解：①當(dāng)點(diǎn)P在上方時，延長與y軸相交點(diǎn)Q，過B作于N，
∵，，，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
設(shè)直線解析式為，
把B、Q坐標(biāo)代入，得，
解得，
∴，
聯(lián)立方程組，
解得或，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
②當(dāng)點(diǎn)P在下方時，設(shè)與y軸相交點(diǎn)Q，過B作于N，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
同理可求直線解析式為，
聯(lián)立方程組，
解得或，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；
（3）解：設(shè)，
∵，，
∴，，，
當(dāng)時，，
∴，
整理得，
∴，
解得（不符合題意，舍去），（不符合題意，舍去），，，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
∴M的坐標(biāo)為或；
當(dāng)時，，
∴，
整理得，
解得（不符合題意，舍去），
∴
∴M的坐標(biāo)為；
當(dāng)時，，
∴，
整理得，
解得（不符合題意，舍去），
∴
∴M的坐標(biāo)為，
綜上，M的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識，明確題意，數(shù)形結(jié)合，合理分類討論是解題的關(guān)鍵．
題型二：二倍角關(guān)系問題
對于平面直角坐標(biāo)系中的二倍角問題，往往將其轉(zhuǎn)化成等角問題。對于等角問題，往往有以下解決路徑：
等角的構(gòu)造方法
（1）將等角轉(zhuǎn)化在一個三角形中，利用等腰三角形兩邊相等，借助距離公式解決；
（2）用等角的三角比相等，構(gòu)造直角三角形，尋找比例關(guān)系；；
（3）利用角的和差關(guān)系，尋找等角，而等角存在兩個相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例線段構(gòu)建數(shù)量關(guān)系；
（4）利用角平分線的相關(guān)性質(zhì)定理。
二倍角的構(gòu)造方法
如圖，已知，我們可以利用等腰三角形和外角定理去構(gòu)造，在BC邊上找一點(diǎn)D，使得BD=AD，則.
這樣我們就構(gòu)造出了二倍角，接下來利用三角函數(shù)（一般用正切）計算就可以了
1．（2024·陜西西安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，與軸交于點(diǎn)，是拋物線上一動點(diǎn)，且位于第二象限，過點(diǎn)作軸，垂足為，線段與直線相交于點(diǎn)

(1)求該拋物線的解析式；
(2)連接，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線的解析式為；
(2)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度．
（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）證明，則，由，即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，
則，
解得：，
拋物線的解析式為；
（2）解：設(shè)存在點(diǎn)，使得，理由如下：
延長到，設(shè)，連接，如圖：
，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，，
，
，
，
，
，
解得（舍去）或（舍去）或，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
2．（2024·河南·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，與y軸交于點(diǎn)C，P是拋物線上一動點(diǎn)，且位于第二象限，過點(diǎn)P作軸，垂足為D，線段與直線相交于點(diǎn)E．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)連接，是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為
【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度．
（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）延長到H，設(shè)，連接，證明，可得，設(shè)，則，根據(jù)，列出方程，即可求解．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，
∴可設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，
∵拋物線的表達(dá)式為：，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：設(shè)存在點(diǎn)P，使得，理由如下：
對于，當(dāng)時，,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，即，
延長到H，設(shè)，連接，如圖：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去）或或（舍去），
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．
3．（2023·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．
(1)請直接寫出，的值；
(2)直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．
①求的最大值；
②若中有一個內(nèi)角是的兩倍，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【答案】(1)，
(2)①；②2或
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）①過點(diǎn)作軸平行線分別交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，則，進(jìn)而可得，求得直線的解析式為，設(shè)，則，進(jìn)而表示出，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
②根據(jù)已知，令，，在上取點(diǎn)，使得，得出，然后根據(jù)，設(shè)，．進(jìn)而分兩種情況討論，ⅰ當(dāng)時，，則相似比為，得出代入拋物線解析式，即可求解；ⅱ當(dāng)時，，同理可得，代入拋物線解析式即可求解．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)
∴
解得：
∴，，；
（2）①如圖1，過點(diǎn)作軸平行線分別交、于、．
∵，
當(dāng)時，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵
設(shè)直線的解析式為
∴
解得：
直線解析式為．
設(shè)，
，
，
當(dāng)時，取得最大值為，
的最大值為．
②如圖2，已知，令，則，
在上取點(diǎn)，使得，
∴，
設(shè)，則，
則，
解得，
∴，即．
如圖3構(gòu)造，且軸，相似比為，
又∵，
設(shè)，則．
分類討論：ⅰ當(dāng)時，則，
∴與的相似比為，
∴，，
∴，
代入拋物線求得，（舍）．
∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為．
ⅱ當(dāng)時，則，
∴相似比為，
∴，，
∴，
代入拋物線求得，（舍）．
∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為．
綜上所示，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段長的最值問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，正切的定義．利用分類討論的思想并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2024·西藏·二模）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，對稱軸為直線，拋物線與y軸交于C點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖（甲），P是拋物線第一象限內(nèi)的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于D，直線與交于點(diǎn)E，當(dāng)是以為底的等腰三角形時，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖（乙），若點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，且滿足，求M的坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（1）求出直線解析式，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為：，則點(diǎn)E坐標(biāo)為，當(dāng)是以為底的等腰三角形時，點(diǎn)C在線段垂直平分線上，線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，由此求出x即可；
（3）如圖所示，取點(diǎn)，連，在上取點(diǎn)F，使得，連并延長交拋物線于點(diǎn)M，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和證明，再分別用待定系數(shù)法依次求出直線和直線的解析式，求出直線與拋物線交點(diǎn)M的坐標(biāo)，再由對稱性求出另一點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：由題意，得
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：由題意點(diǎn)C坐標(biāo)為，
由拋物線的對稱性，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，
則B點(diǎn)的坐標(biāo)為：，
設(shè)直線解析式為：，
把，代入，得，
，
解得：，
∴直線解析式為：，
∴設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為：，則點(diǎn)E坐標(biāo)為，
當(dāng)是以為底的等腰三角形時，
點(diǎn)C在線段垂直平分線上，線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，
∴，
解得，（舍去），
∴，
故P點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（3）解：取直線與x軸交點(diǎn)，記為點(diǎn)D，
連，在上取點(diǎn)F，使得，連并延長交拋物線于點(diǎn)M，

由題意可知，點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，則有，，
∵，
∴，
∴，
設(shè)直線解析式為：，
把，代入，得，
，
解得，
，
∴直線解析式為：
設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為，
，，
∵，
∴，
解得，（舍去），
則點(diǎn)F坐標(biāo)為：，
設(shè)直線的解析式為，
把點(diǎn)，代入，得
，
解得，
的解析式為，
當(dāng)時，
解得（舍去）
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
由對稱性可知當(dāng)F坐標(biāo)為時，直線與拋物線的另一個交點(diǎn)也滿足題意，
同理可以求出此時M的坐標(biāo)為；
綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合與一次函數(shù)的綜合，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠利用等腰三角形的性質(zhì)構(gòu)造出等角關(guān)系．
題型三：兩角和與差問題
1．（2024·山西臨汾·一模）綜合與探究
如圖，拋物線的圖像與x軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)，作直線．
(1)求拋物線表達(dá)式及所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，連接，求面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)M是拋物線上的點(diǎn)，且，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】(1)拋物線解析式為，直線的解析式為，
(2)面積的最大值為4，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為
(3)或
【分析】（1）設(shè)出直線解析式，分別把，代入拋物線解析式中和直線解析式中，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）過點(diǎn)P作軸交于D，設(shè)，則，可得；再由，得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案；
（3）如圖所示，取點(diǎn)，連接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明是等腰直角三角形，得到，則點(diǎn)M即為為拋物線的交點(diǎn)，同理可得直線解析式為，聯(lián)立，解得或，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為；求出直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；取，則直線解析式為，由對稱性可得，則射線與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，同理可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為．
【詳解】（1）解：把，代入中得：，
∴，
∴拋物線解析式為；
設(shè)直線的解析式為，
把，代入中得：，
∴，
∴直線的解析式為；
（2）解：如圖所示，過點(diǎn)P作軸交于D，
設(shè)，則，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴當(dāng)時，最大，最大值為4，
∴此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為
（3）解：如圖所示，取點(diǎn)，連接，
∵，，
∴，，
，
∴，，
∴是直角三角形，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴點(diǎn)M即為為拋物線的交點(diǎn)，
同理可得直線解析式為，
聯(lián)立，解得或，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；
在中，當(dāng)時，，
∴直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；
取，則直線解析式為，
由對稱性可得，
∴射線與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，
聯(lián)立，解得或，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，解（2）的關(guān)鍵在于利用線段的長表示出對應(yīng)三角形的面積，解（3）的關(guān)鍵在于取出H點(diǎn)證明等腰直角三角形得到45度的角．
2．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)；
(1)如圖1，求的長度．
(2)如圖2，點(diǎn)為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接，取上一點(diǎn)，以為底向下作等腰，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，試用含的代數(shù)式表示的值為______（直接填空）．
(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接、且，連接并延長與交于點(diǎn)，當(dāng)時，求點(diǎn)橫坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令，解方程，即可求解；
（2）以為斜邊向上作等腰，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，證明，證明得出，進(jìn)而設(shè)，則，則， ，得出，根據(jù)正切的定義，即可求解；
（3）證明得出，進(jìn)而可得，則求得直線的解析式為，證明得出，則，可得直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，，
解得：
∴
∴
（2）解：如圖所示，以為斜邊向上作等腰，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，
∵等腰，
∴
又∵
∴，則,
∵軸，
∴
∴
在中，
∴
∴
∵點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
∴
設(shè)，則，則，
∴
∴
∴
∴
故答案為：．
（3）解：如圖所示，連接，
∵，是等腰直角三角形，
∴，又
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
設(shè)直線的解析式為
∴
解得：
∴直線的解析式為
∵是等腰直角三角形，
∴
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∵且
∴
又∵，即
∴
∴
∴
∵是的中點(diǎn)，
∴
∴直線的解析式為
∴
解得：（負(fù)值舍去）
∴的橫坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
3．（2024·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與x軸分別交于點(diǎn)A，B．連接，點(diǎn)D是線段上方拋物線上的一動點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，在點(diǎn)D運(yùn)動過程中，連接，求面積的最大值；
(3)如圖2，在點(diǎn)D運(yùn)動過程中，連接交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段上，連接，若，求點(diǎn)F橫坐標(biāo)的最大值．
【答案】(1)
(2)1
(3)
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，一次函數(shù)與幾何綜合：
（1）把拋物線設(shè)為頂點(diǎn)式即可得到答案；
（2）先求出，進(jìn)而求出直線解析式為；如圖所示，過點(diǎn)D作軸，交于E，設(shè)，則，可得；進(jìn)而得到，據(jù)此可得答案；
（3）利用勾股定理得到，，，則，可得，利用三角形外角的性質(zhì)證明，進(jìn)而證明，得到，設(shè)，則，可得，則當(dāng)時，有最大值，最大值為1，即點(diǎn)F的橫坐標(biāo)的最大值為．
【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴拋物線解析式為；
（2）解：在中，當(dāng)時，解得或，
∴；
設(shè)直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線解析式為；
如圖所示，過點(diǎn)D作軸，交于E，
設(shè)，則，
∴；
∴
，
∵，
∴當(dāng)時，有最大值，最大值為1；
（3）解：∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴，
∴當(dāng)時，有最大值，最大值為1，
∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)的最大值為．
4．（2024·山東泰安·一模）如圖，拋物線的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，作直線．
(1)求拋物線表達(dá)式及所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)是拋物線上在第三象限的一個點(diǎn)，且，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)是拋物線上的一個動點(diǎn)，連接，，當(dāng)面積是面積的一半時，請直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【答案】(1)拋物線表達(dá)式為；所在直線的函數(shù)表達(dá)式為；
(2)；
(3)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或或或．
【分析】（1）設(shè)出直線解析式，分別把，代入拋物線解析式中和直線解析式中，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）如圖所示，取點(diǎn)，連接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明是等腰直角三角形，得到，則點(diǎn)M即為為拋物線的交點(diǎn)，同理可得直線解析式為，聯(lián)立，解得或，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為；
（3）分點(diǎn)在直線的上方和下方，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）解：把，代入中得：
，
∴，
∴拋物線解析式為；
設(shè)直線的解析式為，
把，代入中得：
，
∴，
∴直線的解析式為；
（2）解：已知，
∴，則，
如圖所示，取點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，使得，，連接，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴點(diǎn)M即為為拋物線的交點(diǎn)，
同（1）法可得直線解析式為，
聯(lián)立，
解得或，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；
（3）∵，，
∴，
∴，
如圖所示，
當(dāng)點(diǎn)在直線上方時：
將直線向上平移1個單位，得到，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，當(dāng)時，，
∴，
∴，
∵，
∴點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn)，
令，解得：，
當(dāng)點(diǎn)在直線下方時，
將直線向下平移1個單位，得到直線，則點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn)，
令：，
解得：．
綜上：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象的平移等知識點(diǎn)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·湖北黃石·中考真題）如圖，拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C三點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為m．
(1)A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)為____________，____________，____________；
(2)連接，交線段于點(diǎn)D，
①當(dāng)與x軸平行時，求的值；
②當(dāng)與x軸不平行時，求的最大值；
(3)連接，是否存在點(diǎn)P，使得，若存在，求m的值，若不存在，請說明理由．
【答案】(1);;
(2)①；②
(3)存在點(diǎn)P，
【分析】(1)令x=0，則y=4，令y=0，則=0，所以x=-2或x=3，由此可得結(jié)論；
(2)①由題意可知，P(1，4)，所以CP=1，AB=5，由平行線分線段成比例可知，．
②過點(diǎn)P作PQ∥AB交BC于點(diǎn)Q，所以直線BC的解析式為：y=-x+4．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P(m，-)，Q(，-)．所以PQ=m-()=-，因?yàn)镻Q∥AB，所以=，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論；
(3)假設(shè)存在點(diǎn)P使得∠BCO+2∠BCP=90°，即0＜m＜3．過點(diǎn)C作CFx軸交拋物線于點(diǎn)F，由∠BCO+2∠PCB=90°，可知CP平分∠BCF，延長CP交x軸于點(diǎn)M，易證△CBM為等腰三角形，所以M(8，0)，所以直線CM的解析式為：y=-x+4，令=-x+4，可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：令x=0，則y=4，
∴C(0，4)；
令y=0，則=0，
∴x=-2或x=3，
∴A(-2，0)，B(3，0)．
故答案為：(-2，0)；(3，0)；(0，4)．
（2）解：①∵軸，，
∴，，
又∵軸，
∴△CPD∽△BAD
∴；
②過P作交于點(diǎn)Q，
設(shè)直線BC的解析式為，
把B(3，0)，C(0，4)代入，得
，解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)，則，
∴，
∵，
∴△QPD∽△BAD
∴，
∴當(dāng)時，取最大值；
（3）解：假設(shè)存在點(diǎn)P使得，即，
過C作軸，連接CP，延長交x軸于點(diǎn)M，
∴∠FCP=∠BMC，
∵，
∴平分，
∴∠BCP=∠FCP，
∴∠BCP=∠BMC，
∴BC=BM，
∴為等腰三角形，
∵，
∴，，，
設(shè)直線CM解析式為y=kx+b，
把C(0，4)，代入，得
，解得：，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得或(舍)，
∴存在點(diǎn)P滿足題意，即．
【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平行線分線段成比例，角度的存在性等相關(guān)內(nèi)容，解本題的關(guān)鍵是求拋物線解析式，確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．
6．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對稱軸交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接和交于點(diǎn)，當(dāng)時．求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，連接，在直線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或．
【分析】（1）根據(jù)拋物線過點(diǎn)，對稱軸為直線，待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)題意求得，，求得，則，進(jìn)而求得直線的解析式為，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，證明，根據(jù)已知條件得出設(shè)，則，將點(diǎn)代入，即可求解．
（3）根據(jù)題意可得，以為對角線作正方形，則，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求得的解析式，聯(lián)立解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，拋物線的對稱軸交軸于點(diǎn)，則對稱軸為直線，
∴，
解得：
∴拋物線解析式為；
（2）解：由，當(dāng)時，，
解得：，
∴，
當(dāng)時，，則，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，則，
設(shè)直線的解析式為，則，解得：，
∴直線的解析式為，
如圖所示，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，

∵，
∴
∵
∴，則
設(shè)，則即，
將點(diǎn)代入
即
解得：或（舍去）
當(dāng)時，，
∴；
（3）∵，，
則，是等腰直角三角形，
∴，由（2）可得，
∵
∴，
由（2）可得，
設(shè)直線的解析式為，則
解得：
∴直線的解析式為
如圖所示，以為對角線作正方形，則，

∵，則，則，，
設(shè)，則，
解得：，，
則，，
設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為
則，，
解得：，，
設(shè)直線的解析式為，直線的解析式為，
∴解得：，則，
解得：,則，
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求此拋物線的解析式；
(2)已知拋物線上有一點(diǎn)，其中，若，求的值；
(3)若點(diǎn)D，E分別是線段，上的動點(diǎn)，且，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）在中，，則，得到直線的表達(dá)式為：，進(jìn)而求解；
（3）作，證明且相似比為，故當(dāng)、、共線時，為最小，進(jìn)而求解．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，
即，則，
故拋物線的表達(dá)式為：①；
（2）解：在中，，
，
則，
故設(shè)直線的表達(dá)式為：②，
聯(lián)立①②得：，
解得：（不合題意的值已舍去）；
（3）解：作，
設(shè)，
，
且相似比為，
則，
故當(dāng)、、共線時，為最小，
在中，設(shè)邊上的高為，
則，
即，
解得：，
則，
則，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
則，
即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，
同理可得，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，
即點(diǎn)，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，，
即的最小值為．
【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．
8．（23-24九年級下·重慶北碚·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，連接，點(diǎn)P是直線上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作交直線于點(diǎn)D，求的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)連接，過點(diǎn)A作，交于點(diǎn)F，將原拋物線沿射線方向平移個單位長度得到新拋物線，點(diǎn)Q為新拋物線上一點(diǎn)，直線與射線交于點(diǎn)G，連接．當(dāng)時，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)當(dāng)時，的最大值為
(3)或或或
【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)銳角三角函數(shù)得到，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；
（3）先求出，進(jìn)而得到為的中點(diǎn)，推出拋物線的平移規(guī)則，求出新的拋物線的解析式，根據(jù)，當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)時，得到四點(diǎn)共圓，推出，利用銳角三角函數(shù)求出的長，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線的解析式，聯(lián)立直線和拋物線的解析式，求出點(diǎn)坐標(biāo)即可，當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)，點(diǎn)是中點(diǎn)時，，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到直線的解析式，聯(lián)立直線和拋物線的解析式，求出點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：把，，代入函數(shù)解析式，得：
，解得：，
∴；
（2）∵，
∴當(dāng)時，，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，把代入，得：，
∴，
過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
∵，
∴，
又：，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則：，
∴，
∴當(dāng)時，有最大值為，此時最大為；
∴當(dāng)時，的最大值為．
（3）∵，
∴，
∴，
∵，
∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴，
過點(diǎn)作軸，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
將原拋物線沿射線方向平移個單位長度得到新拋物線，即將原拋物線先向右平移1個單位，再向上平移1個單位，
則新拋物線的的解析式為：，
即：
∵垂直平分，且點(diǎn)在上，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)時，，
∴，
過點(diǎn)作交于點(diǎn)
∵，
∴，
∴，
即：，
∴，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)的解析式為：，把代入，得：，解得：，
∴，
聯(lián)立，解得：或，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：或，
當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)時，點(diǎn)是中點(diǎn)時，，
設(shè)點(diǎn)，則：解得：，
∴，
設(shè)的解析式為：，把代入，得：，解得：，
∴，
聯(lián)立，解得：或，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：或，
故答案為：或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解直角三角形，四點(diǎn)共圓，二次函數(shù)求最值，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度大，計算量大，屬于壓軸題，掌握相關(guān)知識點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
9．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)______________；
(2)如圖1，點(diǎn)在第二象限的拋物線上，連接交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的長為，請直接寫出與的函數(shù)解析式；
(3)如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)在第四象限的拋物線上，點(diǎn)在第一象限的拋物線上，連接交軸于點(diǎn)，若
，求點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫出直線的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）待定系數(shù)法求得的值，即可求解；
（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)在第二象限的拋物線上，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，得出，，，根據(jù)得出，即可求解；
（3）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證明是等腰直角三角形，得出，，設(shè)則，過點(diǎn)作軸，交的延長線于點(diǎn)，設(shè)交軸于點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)，連接，證明是等腰直角三角形，得出，，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，進(jìn)而求得待定系數(shù)法求得直線的解析式為得出直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式得出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出的解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，，
∴，即
∵
∴
將代入
∴
解得：
故答案為：．
（2）如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

由（1）可得
令，則
解得:
∴
點(diǎn)在第二象限的拋物線上，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
即
∴
（3）解：如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

∵，，
∴，
在中，
∴
∴，
又
∴
∴，則是等腰直角三角形，
∵
∴
解得：或（舍去）
∴，，，，則是的中位線
∴，
設(shè)
∴，
如圖所示，過點(diǎn)作軸，交的延長線于點(diǎn)，設(shè)交軸于點(diǎn)，

∵，
∴，
又
∴，
∴
在中，
∴
∴
連接并延長，交于點(diǎn)，連接，
∵
∴
又∵，，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
同理可得
∴
∴
∴
又∵
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
∵，則，，
∴，，
過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
∵
∴，
又∵
即
∵
∴
∵，
∴
∴
設(shè)直線的解析式為
將，代入得，
解得：
∴直線的解析式為
設(shè)直線的解析式為
將代入，得
解得：
∴直線的解析式為
聯(lián)立
解得：
∴
設(shè)直線的解析式為，將，
代入得，
解得：
∴直線的解析式
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求解析式，平行線分線段成比例定理，解直角三角形，二次函數(shù)的線段周長問題，角度問題，全等三角形的性質(zhì)；綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．
10．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）如圖，拋物線分別交軸于點(diǎn)和（在左側(cè)），交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，的面積是．
(1)如圖1，求的值；
(2)如圖2，點(diǎn)為第一象限拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，連接和，的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
(3)如圖3，在（2）的條件下，，直線和直線相交于點(diǎn)，為延長線上一點(diǎn)，連接，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，，且，在軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，使，若求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出，得到，進(jìn)而根據(jù)的面積是，求出，則，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出對稱軸，進(jìn)而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，則可求出的長，再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式求解即可；
（3）根據(jù)（2）所求，結(jié)合可得，求出直線解析式為，聯(lián)立，可得；過點(diǎn)F作交軸于，可證明，設(shè)，利用勾股定理得到，可得，，，證明，求出，設(shè)，利用勾股定理可得，解方程可得；過點(diǎn)M作軸，延長交直線于Q，過點(diǎn)G、F分別作的垂線，垂足分別為S、R，過點(diǎn)G作軸于K，設(shè)，則，解直角三角形得到，，則，，可得；證明四邊形是矩形，得到，則，，解，得到；進(jìn)而得到；，證明，求出，則，可證明，推出，則；取，連接，可證明是等腰直角三角形，且，得到，則點(diǎn)H即為與y軸的交點(diǎn)，同理可得直線解析式為，則．
【詳解】（1）解：在中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴，
∴，
∵的面積是，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
把代入中得：，
∴；
（2）解：由（1）得拋物線解析式為，
∵點(diǎn)為第一象限拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴；
∵拋物線對稱軸為直線，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
∴，
∴；
（3）解：由（2）可得，
解得或（舍去），
∴；
設(shè)直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線解析式為，
聯(lián)立，解得，
∴；
如圖所示，過點(diǎn)F作交軸于，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
設(shè)，
∴，
解得或（舍去），
∴；
如圖所示，過點(diǎn)M作軸，延長交直線于Q，過點(diǎn)G、F分別作的垂線，垂足分別為S、R，過點(diǎn)G作軸于K，設(shè)，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
在中，；
∵軸，
∴，
∴；，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得或（此時不滿足，舍去）；
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
如圖所示，取，連接，
∴，，
，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴點(diǎn)H即為與y軸的交點(diǎn)，
同理可得直線解析式為，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形，相似三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．
題型四：特殊角問題
1．（2024·安徽蕪湖·二模）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)），且．在軸上有一動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，交拋物線于點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
(2)如圖2，連接，若，求此時點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖3，連接并延長交軸于點(diǎn)，連接，記的面積為的面積為，若，求此時點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)．
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，解直角三角形：
（1）先求出，接著利用待定系數(shù)法求出對應(yīng)的函數(shù)解析式，再根據(jù)對稱性求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可；
（2）點(diǎn)坐標(biāo)為，則，求出，解直角三角形得到，則，解方程即可得到答案；
（3）設(shè)直線的表達(dá)式為，則，解得，則直線的表達(dá)式為，即可得到點(diǎn)坐標(biāo)為，則，據(jù)此分別求出，再由建立方程求解即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴拋物線解析式為，
∵拋物線對稱軸為直線，
∴；
（2）解：由題意得點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴
，
∴，
，
∴，
∴，
，
（舍去）或，
；
（3）解：由題意得點(diǎn)坐標(biāo)為
設(shè)直線的表達(dá)式為，
則，解得
∴直線的表達(dá)式為，當(dāng)時，，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴
，
，
，
∴或，
解得（舍去）或（負(fù)值舍去）
．
2．（2024·廣東東莞·一模）如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，．

(1)求的面積；
(2)點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
(3)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），且使得中有一個角是，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)6
(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，理由見詳解
(3)點(diǎn)坐標(biāo)為，或．
【分析】（1）分別確定點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的長度，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；
（2）若與相似，則進(jìn)行分類討論，當(dāng)或當(dāng)，由相似三角形的性質(zhì)可得對應(yīng)邊成比例，再代入數(shù)值進(jìn)行計算，即可求解；
（3）分三種情況討論：根據(jù)題意，點(diǎn)與點(diǎn)不重合，當(dāng)時；當(dāng)時，設(shè)交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明為等腰直角三角形，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)可得，設(shè)，則，，進(jìn)而解得，即可確定點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法解得直線的解析式，聯(lián)立直線的解析式與拋物線解析式，求解即可確定點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)時，同理可解．
【詳解】（1）解：對于拋物線，
當(dāng)時，可有，即，
當(dāng)時，可有，
解得，，
即，，
∴，，
∴；
（2）解：存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或
理由如下：
∵，，，
∴，，，
如下圖，當(dāng)時，

則有，即，
∴，
∴，
∴；
當(dāng)時，如圖：

則有，即，
∴，
∴
則，
綜上：或
（3）解：根據(jù)題意，點(diǎn)與點(diǎn)不重合；且，如圖

結(jié)合二次函數(shù)的對稱性，且
∴
∴
則
∵
∴對稱軸
則
則
∴的坐標(biāo)為
當(dāng)時，如下圖，

設(shè)交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
設(shè)，則，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入，
可得，
解得，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立直線的解析式與拋物線解析式，
可得，
解得（舍去）或，
∴點(diǎn)；
當(dāng)時，如下圖，

設(shè)交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
∴，
解得，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入，
可得，
解得，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立直線的解析式與拋物線解析式，
可得，
解得（舍去）或，
∴點(diǎn)．
綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為，或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合應(yīng)用，主要考查了坐標(biāo)與圖形、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、解直角三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)等知識，綜合性強(qiáng)，難度較大，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想分析問題．
3．（2024·福建泉州·一模）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)經(jīng)過的直線軸，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H．
①求證：A，D，H三點(diǎn)共線；
②M是拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)①證明見解析；②
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)解析式，勾股定理和勾股定理的逆定理：
（1）利用對稱軸公式求出；代入點(diǎn)C坐標(biāo)即可求出c，進(jìn)而求出解析式；
（2）①先求出A、B坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)H坐標(biāo)，再求出直線解析式，最后驗(yàn)證點(diǎn)H是否在直線上即可；②取，連接，可證明是等腰直角三角形，且，則，即直線與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∵拋物線經(jīng)過，
∴，
∴拋物線解析式為；
（2）解：①在中，當(dāng)時，解得或，
∴，
∵經(jīng)過的直線軸，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，
∴；
設(shè)直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線解析式為，
在中，當(dāng)時，，
∴點(diǎn)在直線上，
∴A，D，H三點(diǎn)共線；
②如圖所示，取，連接，
∵，，
∴，，
，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴直線與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，
同理可得直線解析式為，
聯(lián)立，解得或，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．
4．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于，B兩點(diǎn)，與y軸交于，直線l與y軸交于點(diǎn)D．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式：
(2)設(shè)直線l與拋物線的對稱軸的交點(diǎn)為F，若，求直線l的解析式：
(3)若在x軸上存在一點(diǎn)P，使，且，直接寫出k的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）將點(diǎn)，代入，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出對稱軸，過點(diǎn)A作對稱軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作對稱軸于點(diǎn)N，易得，從而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線l的解析式；
（3）過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)H，易證，設(shè)點(diǎn)，表示出點(diǎn)B 的坐標(biāo)，代入拋物線解析式，從而求出點(diǎn)B坐標(biāo)的兩種情況，分情況將點(diǎn)B和點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，從而得解．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)，代入得：，
解得：，
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
（2）解：拋物線的對稱軸：，
如圖，過點(diǎn)A作對稱軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作對稱軸于點(diǎn)N，
則，
，
，
，
，
，
，
，
，
的橫坐標(biāo)為：，即點(diǎn)，
把點(diǎn)和代入得，
解得：，
直線l的解析式：．
（3）解：如圖，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)H，
則，
，
，
，
，
，
，
，，
設(shè)點(diǎn)，
則，，，
，
，
解得：，，
或，
①當(dāng)，時，得，
解得：，
②當(dāng)，時，得，
解得：，
綜上所述：k的值為或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)知識數(shù)形結(jié)合解決問題．
5．（2024·河北邯鄲·一模）【建立模型】（1）如圖1，點(diǎn)B是線段上的一點(diǎn)，，，，垂足分別為C，B，D，．求證：；
【類比遷移】（2）如圖2，一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A、與x軸交于點(diǎn)B，將線段繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到、直線交x軸于點(diǎn)D．
①點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；
②求直線的解析式；
【拓展延伸】（3）如圖3，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)，連接，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得，若存在，直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．
【答案】（1）見解析； （2）①；②直線的解析式為；（3）或
【分析】（1）根據(jù)題意得出，，證明，即可得證；
（2）①過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，同（1）的方法，證明，根據(jù)一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、與軸交于點(diǎn)，求得，，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)；②由，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得直線的解析式為；
（3）根據(jù)解析式求得，；①當(dāng)點(diǎn)在軸下方時，如圖所示，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，于點(diǎn)，證明，根據(jù)得出，設(shè)，則，求得點(diǎn)，進(jìn)而求得直線的解析式，聯(lián)立拋物線解析式即可求解；②當(dāng)點(diǎn)在軸的上方時，如圖所示，過點(diǎn)作，于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，同①的方法即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

∵將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、與軸交于點(diǎn)，
當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，即，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
②∵，設(shè)直線的解析式為，
將代入得：
解得：
∴直線的解析式為，
（3）∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，
當(dāng)時，，
解得：，
∴，；
①當(dāng)點(diǎn)在軸下方時，如圖所示，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，于點(diǎn)，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
代入，得：，
解得：，
∴直線解析式為，
聯(lián)立，
解得：（舍去），；
②當(dāng)點(diǎn)在軸的上方時，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

同理可得，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
代入，得：，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，
解得：（舍去），，
綜上所述，的橫坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
6．（2024·安徽滁州·一模）已知拋物線交x軸于點(diǎn)和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)如圖1，已知點(diǎn)P是位于上方的拋物線上的一點(diǎn)，作，垂足為M，求線段長度的最大值；
(3)如圖2，已知點(diǎn)Q是第四象限拋物線上一點(diǎn)，，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)的最大值為；
(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．
【分析】（1）將點(diǎn)代入，求得，即可得解；
（2）求得點(diǎn)和的坐標(biāo)，推出，作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，得到是等腰直角三角形，，設(shè)，求得關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，求得，證明，利用正切函數(shù)的定義求得，證明是等腰直角三角形，求得，再求得直線的解析式，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線交x軸于點(diǎn)，
∴，
解得，
∴拋物線的函數(shù)解析式為；
（2）解：當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
解得或；
∴，，
∴，
∴，
作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
把代入得，
解得，
∴直線的解析式為，
設(shè)，則，
∴，
∵，
∴有最大值，最大值為；
（3）解：作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，
∵，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
同理直線的解析式為，
聯(lián)立得，
解得或；
當(dāng)時，，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，勾股定理等知識，根據(jù)題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·四川自貢·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線解析式及，兩點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)該拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線解析式為，，
(2)或或
(3)
【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線解析式，待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而分別令，即可求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）分三種情況討論，當(dāng)，為對角線時，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；
（3）根據(jù)題意，作出圖形，作交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，則在上，根據(jù)等弧所對的圓周角相等，得出在上，進(jìn)而勾股定理，根據(jù)建立方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出的解析式，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于，
∴
解得：，
∴拋物線解析式為，
當(dāng)時，，
∴，
當(dāng)時，
解得：，
∴
（2）∵，，，
設(shè)，
∵以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形
當(dāng)為對角線時，
解得：，
∴；
當(dāng)為對角線時，
解得：
∴
當(dāng)為對角線時，
解得：
∴
綜上所述，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，或或
（3）解：如圖所示，作交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，

∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
設(shè)，則
解得：（舍去）
∴點(diǎn)
設(shè)直線的解析式為
∴
解得：.
∴直線的解析式
∵，，
∴拋物線對稱軸為直線，
當(dāng)時，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)，圓周角角定理，勾股定理，求一次函數(shù)解析式，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
8．（2024·山西大同·一模）綜合與探究
如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和B，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，交y軸于點(diǎn)C，作直線．
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線的表達(dá)式；
(2)當(dāng)點(diǎn)D在直線下方的拋物線上運(yùn)動時，連接交于點(diǎn)E，若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)F．使得?若存在，直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)是，直線BC的表達(dá)式是；
(2)點(diǎn)的坐標(biāo)是或；
(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)是或．
【分析】
（1）令和，解方程即可求得點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）作軸，垂足為，交直線于點(diǎn)，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；
（3）分兩種情況討論，利用待定系數(shù)法和解方程組即可求解．
【詳解】（1）解：令，解方程得或，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為；
令，則，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為；
設(shè)直線的表達(dá)式為，則，
解得，
∴直線的表達(dá)式為；
（2）解：作軸，垂足為，交直線于點(diǎn)，
∴，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
∴，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，整理得，
解得或，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
（3）解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴或，
當(dāng)時，以為邊作等邊，直線交拋物線于點(diǎn)，此時，如圖，
作軸于點(diǎn)，
在中，，，
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理，求得直線的表達(dá)式為，聯(lián)立，
解得或（舍去），
∴點(diǎn)的坐標(biāo)是；
當(dāng)時，設(shè)交軸于點(diǎn)，此時，如圖，
在中，，，
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
同理，求得直線的表達(dá)式為，
聯(lián)立，
解得或（舍去），
∴點(diǎn)的坐標(biāo)是；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)是或．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)表達(dá)式的確定，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，解一元二次方程，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，分類討論思想等，屬于中考壓軸題，解題關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，運(yùn)用方程思想和分類討論思想．
9．（2024·山東濟(jì)南·一模）如圖，拋物線（）與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線軸，過點(diǎn)D作，交直線l于點(diǎn)E．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)Q，當(dāng)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)F，使得，若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)P；
(3)F的坐標(biāo)為或．
【分析】（1）由題意得到①，②，聯(lián)立得到方組組，解方程組得到，，即可得到拋物線的解析式；
（2）設(shè)交y軸于G，過P作交于H，求出，，則，設(shè)，則，得到，證明，利用相似的性質(zhì)列方程解方程得到或1，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）分F在x軸上和在y軸上兩種情況，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∴①，
∵點(diǎn)在拋物線上，
∴②，
由①②聯(lián)立方程組，
，
解得：，，
∴拋物線的解析式為；
（2）設(shè)交y軸于G，過P作交于H，如圖：
在中，令得，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線函數(shù)表達(dá)式為，把，代入得到，
，
解得，
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為；
在中，令得；
解得或，
∴，
在中，令得，
∴，
∴，
設(shè)，則
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或1，
經(jīng)檢驗(yàn)，或1都是分式方程解，
又∵P為第四象限拋物線上的點(diǎn)，
∴；
（3）坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)F，使得，理由如下：
當(dāng)F在x軸上時，如圖：
由（2）知，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
當(dāng)F在y軸上時，過E作軸于T，如圖：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
綜上所述，F(xiàn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．
10．（2024·山東濟(jì)南·一模）如圖，二次函數(shù) . 的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A 在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn) C，頂點(diǎn)為D，其對稱軸與線段交于點(diǎn) E，與x軸交于點(diǎn) F． 連接．

(1)若 ， 求B 點(diǎn)和C 點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)若 求m的值；
(3)若在第一象限內(nèi)二次函數(shù) 的圖象上，始終存在一點(diǎn)P，使得 請結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出m的范圍．
【答案】(1)，
(2)1
(3)
【分析】（1）令，解方程可得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，令，可得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由題意得，，，進(jìn)而可得，推出，連接，由，可得，推出，利用解直角三角形可得，，構(gòu)建方程，求出即可；
（3）設(shè)交軸于點(diǎn)，證明，推出，可得結(jié)論．
【詳解】（1）當(dāng) 時，，
令，得，
解得：，，
點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，
，
令，得，
；
（2）當(dāng)時，，
解得：，，
點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，且，
，，
當(dāng)時，，
，
，
，
，
如圖1中，連接，
，
，，
，，，
、關(guān)于對稱軸直線對稱，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
，
，
，
解得：或，
經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的根，
，
；
（3）如圖2，設(shè)交軸于點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)在第一象限時，點(diǎn)總是在點(diǎn)的左側(cè)，此時，即．
，
，
，
解得：，
又，
同法可得，
，
．
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．
11．（2024·山東棗莊·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，B（點(diǎn)A在B左邊），交y軸于C，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)．
(1)求拋物線的關(guān)系式；
(2)在對稱軸上找一點(diǎn)M，使的值最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(3)如圖2，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，將點(diǎn)A，點(diǎn)P代入拋物線解析式，解關(guān)于b，c的二元一次方程組，即可求得拋物線的解析式；
（2）由對稱可得，直線與對稱軸的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)M，求出直線的關(guān)系式和對稱軸，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）分兩種情況：當(dāng)Q在下方或當(dāng)Q在上方，構(gòu)造等腰直角三角形和全等三角形求解即可．
【詳解】（1）將點(diǎn)，代入，
得： ，
解得：
∴拋物線的解析式為 ；
（2）當(dāng)時，，
∴點(diǎn)，
當(dāng)時，有，
解得：，，
∴點(diǎn)，
∴拋物線的對稱軸為：直線
設(shè)直線的關(guān)系式為，把點(diǎn)B坐標(biāo)代入，
得：，解得，，
∴直線的關(guān)系式為，
由對稱可得，直線與對稱軸交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)M，
當(dāng)時，，
∴時，最??；
（3）當(dāng)Q在下方時，如圖，過P作于H，過H作軸， 交y軸于M，過P作于N，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∵，,
∴，解得 ，
∴,
設(shè)直線的解析式為 ，
∴，解得，
∴直線的解析式為 ，
聯(lián)立直線與拋物線解析式得
，
解得或 ，
∴；
②當(dāng)Q在上方時， 如圖，過P作.于H，過H作.軸， 交y軸于M，過P作于N，

同理得.
綜上，存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或
【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法確定出解析式是解本題的關(guān)鍵.
12．（2024·黑龍江大慶·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)，B與y軸交于點(diǎn)，對稱軸為，點(diǎn)P，Q在此拋物線上，其橫坐標(biāo)分別為m，，連接．

(1)求此拋物線的解析式；
(2)當(dāng)時，求m的值，并直接寫出的面積；
(3)設(shè)此拋物線在點(diǎn)C與點(diǎn)P之間部分（包括點(diǎn)C和點(diǎn)P）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為，在點(diǎn)C與點(diǎn)Q之間部分（包括點(diǎn)C和點(diǎn)Q）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為．當(dāng)時，直接寫出m的值．
【答案】(1)
(2)當(dāng)時，，當(dāng)時，
(3)或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）如圖所示，過點(diǎn)P作軸交y軸于E，過點(diǎn)Q作于F，證明，得到，根據(jù)題意得到，，則，，則，解得或，再分兩種情況求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后求出對應(yīng)三角形面積即可；
（3）分四種情況討論，如圖所示，當(dāng)，都在對稱軸的左側(cè)時，當(dāng)，在對稱軸兩側(cè)時，當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時，當(dāng)?shù)目v坐標(biāo)小于1時，分別求得，，根據(jù)建立方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：把，代入中得：，
∴，
∴拋物線解析式為；
（2）解：如圖所示，過點(diǎn)P作軸交y軸于E，過點(diǎn)Q作于F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)P，Q在此拋物線上，其橫坐標(biāo)分別為m，，
∴，，
∴，，
∴，
解得或，
經(jīng)檢驗(yàn)，或都符合題意；

在中，當(dāng)時，解得或，
∴；
當(dāng)時，，
∴；
當(dāng)時，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
∴
；
綜上所述，當(dāng)時，，當(dāng)時，；

（3）解： 由題意得，，，
∵拋物線解析式為，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
如圖所示，當(dāng)，都在對稱軸的左側(cè)時，

∴，
，
，
，
，
解得： 或（舍去）；
②當(dāng)，在對稱軸兩側(cè)或其中一點(diǎn)在對稱軸上時，如圖，

則，即，
∴ ，，
，
解得： （舍去）或 （舍；
③當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)且在直線上方時，如圖3，即，
，，
，
解得： 或（舍去）；
④當(dāng)在直線上或下方時，即時，如圖，
，
，
解得：（舍去）或（舍去），
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)的最值問題等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·湖南郴州·中考真題）已知拋物線與軸相交于點(diǎn)，，與軸相交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖1，點(diǎn)是拋物線的對稱軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求的值；
(3)如圖2，取線段的中點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)的周長等于，以及為定長，得到當(dāng)?shù)闹底钚r，的周長最小，根據(jù)拋物線的對稱性，得到關(guān)于對稱軸對稱，則：，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時，，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可得解；
（3）求出點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而得到，得到，分點(diǎn)在點(diǎn)上方和下方，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸相交于點(diǎn)，，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，當(dāng)時，，
∴，拋物線的對稱軸為直線
∵的周長等于，為定長，
∴當(dāng)?shù)闹底钚r，的周長最小，
∵關(guān)于對稱軸對稱，
∴，當(dāng)三點(diǎn)共線時，的值最小，為的長，此時點(diǎn)為直線與對稱軸的交點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為：，
則：，解得：，
∴，
當(dāng)時，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）解：存在，
∵為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時：
過點(diǎn)作，交拋物線與點(diǎn)，則：，此時點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，
設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
則：，
解得：，
∴或；
②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時：設(shè)與軸交于點(diǎn)，
則：，
設(shè)，
則：，，
∴，解得：，
∴，
設(shè)的解析式為：，
則：，解得：，
∴，
聯(lián)立，解得：或，
∴或；
綜上：或或或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．本題的綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于中考壓軸題．
14．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，拋物線交x軸正半軸于點(diǎn)A，過頂點(diǎn)作軸于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若時，則函數(shù)的取值范圍是______；
(3)點(diǎn)為右側(cè)第一象限拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，連接，，延長線交軸于點(diǎn)B，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，連接、，若，求直線的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)，，得出，代入解析式即可求出
（2）分別根據(jù)函數(shù)解析式求出頂點(diǎn)函數(shù)最大值和取值范圍的函數(shù)端點(diǎn)值，即可確定在時，函數(shù)的取值范圍，
（3）根據(jù)，在上取點(diǎn)，使，過點(diǎn)作軸于，構(gòu)造K全等模型，得，，確定直線上點(diǎn)K坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出直線的解析式為，進(jìn)而確定點(diǎn)B坐標(biāo)，由，得、、、四點(diǎn)共圓，進(jìn)而證明，得，即可求出點(diǎn)，從而求出直線的解析式．
【詳解】（1）解：拋物線交x軸正半軸于點(diǎn)A，
時，即，
，代入，
得，解得（舍去），
故拋物線的解析式；
（2）解：
時，有最大值，
時，，
時，，
若時，函數(shù)的取值范圍是；
（3）如圖，在上取點(diǎn)，使，過點(diǎn)作軸于，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，，
由可知點(diǎn)，即，
設(shè)，由得，
∴點(diǎn)，點(diǎn)，，，
設(shè)直線的解析式為，則，
解得：，
即直線的解析式為，
當(dāng)時，，
解并檢驗(yàn)得：，（負(fù)值，不合題意，舍去），（不合題意，舍去）
故，
∴點(diǎn)，，，直線的解析式為，
當(dāng)時，，即點(diǎn)B坐標(biāo)為，
∵，，即，
∴、、、四點(diǎn)共圓，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴點(diǎn)N坐標(biāo)為，
線設(shè)直線的解析式為，則，
∴直線解析式為．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問題，包括了待定系數(shù)法求解析式，解直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等知識點(diǎn)，構(gòu)造K字型模型，確定解析式，由、、、四點(diǎn)共圓證明是解題關(guān)鍵．
15．（2024·廣東廣州·一模）已知二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)D是直線上方的拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸交射線于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，求的最大值及此時點(diǎn)D坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)P，Q為x軸下方的拋物線上的兩個動點(diǎn)，并且這兩個點(diǎn)滿足，試求點(diǎn)D到直線的最大距離．
【答案】(1)
(2)最大值為4，此時點(diǎn)D的坐標(biāo)為；
(3)
【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可；
（2）先求出直線解析式為，同理可得直線解析式為，設(shè)，則，，可得，；再證明是等腰直角三角形，得到，則，據(jù)此可得答案；
（3）設(shè)，設(shè)直線解析式為，可利用待定系數(shù)法求出，，同理可得直線解析式為，；如圖所示，設(shè)直線，分別與y軸交于T、R，可求出，證明，可推出，進(jìn)而得到；設(shè)直線解析式為，聯(lián)立得，則，據(jù)此可得，即直線經(jīng)過定點(diǎn)；設(shè)點(diǎn)D到直線得距離為h，由垂線段最短可得，則當(dāng)時，h最大，最大值為．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過，，
∴，
∴，
∴拋物線解析式為，
在中，當(dāng)，解得或，
∴；
（2）解：設(shè)直線解析式為，直線交直線于H，
∴，
∴，
∴直線解析式為，
同理可得直線解析式為，
設(shè)，則，，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴時，有最大值，最大值為4，
∴此時點(diǎn)D的坐標(biāo)為；
（3）解：設(shè)，
設(shè)直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線解析式為，
同理可得直線解析式為，
如圖所示，設(shè)直線，分別與y軸交于T、R，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
設(shè)直線解析式為，
聯(lián)立得，
∴，
∴，
∴，
∴直線經(jīng)過定點(diǎn)；
設(shè)點(diǎn)D到直線得距離為h，
由垂線段最短可得，
∴當(dāng)時，h最大，最大值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，解（2）的關(guān)鍵在于證明是等腰直角三角形得到，解（3）的關(guān)鍵是推出直線經(jīng)過定點(diǎn)．
16．（2024·重慶南岸·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線交軸于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖1，若點(diǎn)M是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，軸交于點(diǎn)N，求的最大值；
(3)如圖2，在軸上取一點(diǎn)，拋物線沿方向平移個單位得新拋物線，新拋物線與軸交于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，線段關(guān)于線段的對稱線段所在直線交新拋物線于點(diǎn)，直線與直線所成夾角為，直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【答案】(1)拋物線的解析式為；
(2)有最大值；
(3)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或6或或．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，可得四邊形是平行四邊形，再由，，推導(dǎo)出，設(shè)，，可得，當(dāng)時，有最大值；
（3）求出平移后的函數(shù)解析式為，直線的解析式為，設(shè)，當(dāng)軸時，直線與直線所成夾角為，求出，可得直線的解析式為，直線與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)；當(dāng)軸時，直線與直線所成夾角為，求出，可得直線的解析式為，直線與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)，代入，
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：當(dāng)時，，
，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入，可得，
解得，
直線的解析式為，
過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，
∵軸，
∴，
∵，
四邊形是平行四邊形，
，
∵，
，
，
，
，
，
設(shè)，，
，
當(dāng)時，有最大值；
（3）解：拋物線沿方向平移個單位，
拋物線沿軸負(fù)半軸平移2個單位，沿軸正方向平移2個單位，
平移后的函數(shù)解析式為，
當(dāng)時，，
解得或，
，，
當(dāng)時，，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
設(shè)，
，
，
當(dāng)軸時，直線與直線所成夾角為，
，，
，
，
解得或（舍，
，
直線的解析式為，
當(dāng)時，解得或，
點(diǎn)橫坐標(biāo)為或6；
當(dāng)軸時，直線與直線所成夾角為，
，，
，
，
，
解得（舍或，
，
直線的解析式為，
當(dāng)時，解得或，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或；
綜上所述：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或6或或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合問題，考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解直角三角形，二次函數(shù)的平移，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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