通用的解題思路：
二次函數(shù)中的面積最值問題通常有以下3種解題方法：
1）當(dāng)所求圖形的面積沒有辦法直接求出時(shí)，通常采用分割或補(bǔ)全圖形的方法表示所求圖形的面積，如下：
一般步驟為：①設(shè)出要求的點(diǎn)的坐標(biāo)；
②通過割補(bǔ)將要求的圖形轉(zhuǎn)化成通過條件可以表示的圖形面積和或差；
③列出關(guān)系式求解；
④檢驗(yàn)是否每個(gè)坐標(biāo)都符合題意．
2）用鉛垂定理巧求斜三角形面積的計(jì)算公式：三角形面積等于水平寬和鉛錘高乘積的一半.
3）利用平行線間的距離處處相等，根據(jù)同底等高，將所求圖形的面積轉(zhuǎn)移到另一個(gè)圖形中，如圖所示：
一般步驟為：①設(shè)出直線解析式，兩條平行直線k值相等；
②通過已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線解析式；
③求出題意中要求點(diǎn)的坐標(biāo)；
④檢驗(yàn)是否每個(gè)坐標(biāo)都符合題意．
題型01 三角形面積最值問題
1．（2024·寧夏銀川·一模）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動點(diǎn)，且在直線上方，過點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)E，與直線交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
①當(dāng)時(shí)，求m的值；
②設(shè)的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值．
2．（2024·新疆克孜勒蘇·二模）如圖，拋物線（b，c 是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，，，點(diǎn)P為線段上的動點(diǎn)，過P作交于點(diǎn)Q．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．
3．（23-24九年級下·湖北武漢·開學(xué)考試）如圖，拋物線交軸于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），交軸正半軸于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
(3)平面上有兩點(diǎn)，求的面積的最小值．
4．（23-24九年級下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）中，，，， 點(diǎn) P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線方向運(yùn)動，速度為每秒1個(gè)單位長度，同時(shí)點(diǎn)Q以相同的速度從點(diǎn) B 出發(fā)，沿射線方向運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為x （且）秒， 的面積為S．
(1)當(dāng)時(shí)， 如圖①， 求S與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)時(shí)， 如圖②， 求S的最大值；
(3)若在運(yùn)動過程中，存在兩個(gè)時(shí)刻，，對應(yīng)的點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別記為 ，和，對應(yīng)的和的面積分別記為和，且當(dāng)時(shí)，，請求出的值．
5．（2023·山東聊城·二模）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．動點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的面積是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；
(3)點(diǎn)在運(yùn)動過程中，能否使以為頂點(diǎn)的三角形是以為腰的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
6．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)、，拋物線的圖象經(jīng)過、兩點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)，在直線上方是否存在點(diǎn)使的面積最大？若存在，請求出面積的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)，請說明理由．
7．（2024·甘肅隴南·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，過A，C兩點(diǎn)的拋物線與x軸交于另一點(diǎn)，拋物線對稱軸為直線l．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)M為直線下方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為D，E是l上一點(diǎn)． 要使得以P，D，E為頂點(diǎn)的三角形與全等，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
8．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）已知拋物線與x軸交于A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且．
(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)如圖1，點(diǎn)P為直線下方拋物線上一點(diǎn)，求的最大面積；
(3)如圖2，M、N是拋物線上異于B，C的兩個(gè)動點(diǎn)，若直線與直線的交點(diǎn)始終在直線上，求證：直線必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo)．
9．（2024·四川廣元·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x 軸交于點(diǎn) B，，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求直線和拋物線的解析式．
(2)若點(diǎn) M 是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn) M，使得以 M，A，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是以為底的等腰三角形? 若存在，請求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
(3)若點(diǎn) P 是第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，求 面積的最大值．
10．（2024·安徽安慶·一模）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)E為直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與此拋物線交于點(diǎn)F．
①若點(diǎn)E在第一象限，連接，求面積的最大值；
②此拋物線對稱軸與直線交于點(diǎn)D，連接，若為直角三角形，請直接寫出E點(diǎn)坐標(biāo)．
11．（2024·安徽合肥·一模）如圖，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)直接寫出當(dāng)時(shí)，x的取值范圍；
(3)點(diǎn)P是位于直線BC下方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，連接．求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
12．（2024·天津西青·一模）已知拋物線（）與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左邊），與軸交于點(diǎn)．
(1)若點(diǎn)在拋物線上．
①求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
②連接，若點(diǎn)是直線上方的拋物線上一點(diǎn)，連接，，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及面積的最大值；
(2)已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在拋物線上，求拋物線的解析式．
13 ．（2024·山東臨沂·二模）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)D在拋物線上．
(1)求拋物線的解析式；
(2)小明探究點(diǎn)D位置時(shí)發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)D在第一象限內(nèi)的拋物線上，連接，面積存在最大值，請幫助小明求出面積的最大值；
(3)小明進(jìn)一步探究點(diǎn)D位置時(shí)發(fā)現(xiàn)：如圖2，點(diǎn)D在拋物線上移動，連接CD，存在，請幫助小明求出時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．
14．（2024·廣東深圳·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于A，B點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)解析式；
(2)若P點(diǎn)在第一象限運(yùn)動，當(dāng)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，的面積最大？請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和面積的最大值；
(3)連接，并把沿翻折，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形為菱形；若不存在，請說明理由．
15．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)．設(shè)P點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動，橫坐標(biāo)為m．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)當(dāng)P點(diǎn)位于第四象限時(shí)，求面積的最大值，并求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)設(shè)此拋物線在點(diǎn)C與點(diǎn)P之間部分（含點(diǎn)C和點(diǎn)P）最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為 h．
① 求h關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫出自變量m的取值范圍；
② 根據(jù)h的不同取值，試探索點(diǎn)P的個(gè)數(shù)情況．
16．（22-23九年級下·重慶·階段練習(xí)）拋物線 經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．該拋物線與直線 相交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)且位于x軸下方，直線軸，分別與x軸和直線交于點(diǎn) M、N．
(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；
(2)連接，如圖1，在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，的面積是否存在最大值？ 若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由；
(3)連接，過點(diǎn) C作垂足為點(diǎn) Q，如圖2，是否存在點(diǎn) P，使得與相似？ 若存在，求出滿足條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
17．（2024·江蘇宿遷·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
(1)求出這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖2，點(diǎn)D是第一象限內(nèi)該拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線軸，直線l與的外接圓相交于點(diǎn)E．
①僅用無刻度直尺找出圖2中外接圓的圓心P．
②連接、，與直線的交點(diǎn)記為Q，如圖3，設(shè)的面積為S，在點(diǎn)D運(yùn)動的過程中，S是否存在最大值？如果存在，請求出S的最大值；如果不存在，請說明理由．
18．（2024·新疆烏魯木齊·一模）如圖，在中，，于點(diǎn)D，，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段上以每秒的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，與此同時(shí)，垂直于的直線m從底邊出發(fā)，以每秒的速度沿方向勻速平移，分別交、、于E、F、H，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C，點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．
(1)__________，__________（用含t的式子表示）．
(2)在整個(gè)運(yùn)動過程中，所形成的的面積存在最大值，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求線段的長；
(3)是否存在某一時(shí)刻t，使為直角三角形？若存在，請求出此時(shí)刻t的值；若不存在，請說明理由．
19．（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)連接，，為線段上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，連接，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）中面積取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長度，是平移后的拋物線上一動點(diǎn)，連接，當(dāng)與的一個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
20．（2024·湖南衡陽·一模）如圖，已知拋物線經(jīng)過三點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)D為第二象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，求面積的最大值；
(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，求使為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
21．（2024·甘肅天水·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，開口向下的拋物線與軸交于兩點(diǎn)，是拋物線的頂點(diǎn)．為坐標(biāo)原點(diǎn)．兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是方程的兩根，且．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)作交拋物線于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的函數(shù)解析式；
(3)在（2）的條件下，在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)，使的面積最大？如果存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)和的最大面積；如果不存在，請說明理由．
22．（2024·山東聊城·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（點(diǎn)不與兩端點(diǎn)重合），是否存在以、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
23．（2024·吉林長春·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸、軸于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸垂線，垂足為，連接．現(xiàn)有動點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，分別沿向終點(diǎn)和終點(diǎn)運(yùn)動，若點(diǎn)的運(yùn)動速度為每秒個(gè)單位長度，點(diǎn)的運(yùn)動速度為每秒2個(gè)單位長度．設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為秒．
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)時(shí)，__________；
(3)設(shè)的面積為，寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并求面積的最大值；
(4)當(dāng)為軸對稱圖形時(shí)，直接寫出的值．
24．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)、點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求b，c的值．
(2)點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)
①當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大？并求出面積的最大值；
②過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)E，再過點(diǎn)P作軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接，問：是否存在點(diǎn)P，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
25．（2024·河南安陽·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與拋物線的形狀相同，且與軸交于點(diǎn)和．直線分別與軸、軸交于點(diǎn)，，與于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上的任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求面積的最大值；
(3)若拋物線與線段有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象請直接寫出的取值范圍．
26．（2024·湖南長沙·一模）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，直線交y軸于點(diǎn)E．
(1)求拋物線的解析式．
(2)設(shè)點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，D兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)F，連接，，求面積的最大值．
(3)連接，在線段上是否存在點(diǎn)Q，使得？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
27．（2024·江西萍鄉(xiāng)·一模）如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D．已知，，連接，．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，且位于第一象限內(nèi)，連接，．設(shè)的面積為S，試求S的最大值．
28．（2024·四川廣元·二模）如圖1，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為，與y軸交于點(diǎn)C，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
(1)求拋物線和直線的解析式．
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得是以為底邊的等腰三角形？若存在，求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
(3)如圖2，以點(diǎn)B為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)P為上的一個(gè)動點(diǎn)，連接，求面積的最大值．
29．（2023·山東青島·中考真題）如圖，在菱形中，對角線相交于點(diǎn)O，，．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動，速度為；同時(shí)，動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動，速度為．以為鄰邊的平行四邊形的邊與交于點(diǎn)E．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，解答下列問題：

(1)當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，求t的值；
(2)連接．設(shè)的面積為，求S與t的函數(shù)關(guān)系式和S的最大值；
(3)是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)B在的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
30．（2023·湖南懷化·中考真題）如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，作直線，連接、，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)設(shè)直線交拋物線于點(diǎn)、，求證：無論為何值，平行于軸的直線上總存在一點(diǎn)，使得為直角．
31．（2024·海南省直轄縣級單位·一模）如圖，已知拋物線，與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)．

圖1 圖2
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖1，點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
①當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大？并求出最大面積；
②當(dāng)為何值時(shí)，是直角三角形？
(3)如圖2，過作軸于，若是軸上一動點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，若，請直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍．
32．（2024·四川成都·一模）如圖，直線分別交x軸，y軸于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸正半軸上．拋物線過A，B，C三點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)過點(diǎn)B作交y軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)F．若點(diǎn)P為直線下方拋物線上的一動點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，連接，求的最大值及最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，將原拋物線進(jìn)行平移，使其頂點(diǎn)為原點(diǎn)，進(jìn)而得到新拋物線，直線與新拋物線交于O，G兩點(diǎn)，點(diǎn)H是線段的中點(diǎn)，過H作直線（不與重合）與新拋物線交于R，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)R在點(diǎn)Q左側(cè)．直線與直線交于點(diǎn)T，點(diǎn)T是否在某條定直線上？若是，請求出該定直線的解析式，若不是，請說明理由．
33．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)分別為，，其中（），且，與軸的交點(diǎn)為，直線軸，在軸上有一動點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線軸，與拋物線、直線的交點(diǎn)分別為．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)時(shí)，求面積的最大值；
(3)當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請說明理由．
題型02 四邊形面積最值問題
34．（2024·安徽阜陽·一模）如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn) P，使的周長最小，求的周長的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)若M為拋物線在第一象限內(nèi)的一動點(diǎn)，求出四邊形的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
35．（2024·山東臨沂·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上方的拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求線段長的最大值；
(3)連接，請直接寫出四邊形的面積最大值為________．
36．（2024·山西運(yùn)城·一模）綜合與探究
如圖，拋物線與x軸交于、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)P是拋物線在第四象限內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作交直線于點(diǎn)Q，連接、、，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得，若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
37．（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)．拋物線與軸交于兩點(diǎn)，直線：與拋物線交于兩點(diǎn)，且，．
(1)求的值；
(2)點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，，且點(diǎn)在的左邊．過點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)．過點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．
當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
記以為頂點(diǎn)的四邊形面積為，求的最大值．
38．（2024·安徽蚌埠·一模）如圖1，已知直線與坐標(biāo)軸相交于A、B，點(diǎn)C坐標(biāo)是，拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．點(diǎn)P 是拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，與直線交于點(diǎn)D，與x軸相交于點(diǎn)F．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，連接交于點(diǎn)E，連接，如圖2所示；
①求的值；
②設(shè)四邊形的面積為S，則點(diǎn)P在運(yùn)動過程中是否存在面積S的最大值，若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由．
39．（2024·安徽馬鞍山·一模）如圖，過原點(diǎn)的二次函數(shù)的圖象與x軸正半軸交于點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該函數(shù)交于，與y軸交于點(diǎn)．
(1)分別求此二次函數(shù)與直線的解析式．
(2)點(diǎn)P是第四象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)E，與直線交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．
①當(dāng)時(shí)，求t的值；
②當(dāng)點(diǎn)P在直線下方時(shí)，連接，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)Q，與交于點(diǎn)F，連接，求四邊形面積的最大值．
40．（2024·山東濟(jì)南·一模）如圖，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，且交軸于另一點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)在直線上方的拋物線上有一點(diǎn)，求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)將線段繞軸上的動點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，若線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，請結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍．
41．（2024·四川廣元·二模）如圖，二次函數(shù)的圖象與x 軸交于原點(diǎn)O 和點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該函數(shù)圖象交于另一點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求直線的函數(shù)解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)．
(2)點(diǎn)P是拋物線上位于直線上方的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)E，與直線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)F，連接，與交于點(diǎn)G，連接．求四邊形面積的最大值．
(3)拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
42．（2024·廣東珠海·一模）如圖，拋物線和直線交于，點(diǎn)，點(diǎn)B在直線上，直線與x軸交于點(diǎn)C．
(1)求的度數(shù)．
(2)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒個(gè)單位長度的速度沿線段向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿線段向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．以為邊作矩形，使點(diǎn)N在直線上．
①當(dāng)t為何值時(shí)，矩形的面積最??？并求出最小面積；
②直接寫出當(dāng)為何值時(shí)，恰好有矩形的頂點(diǎn)落在拋物線上．
43．（2024·安徽宿州·二模）如圖1，拋物線（a，b是常數(shù)且）與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，是拋物線的對稱軸且交x軸于點(diǎn).
(1)求a，b的值；
(2)點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)且位于點(diǎn)A和點(diǎn)D之間．
（i）如圖2，連接，，，求四邊形面積的最大值；
（ii）如圖3，連接并延長交延長線于點(diǎn)Q，連接交于點(diǎn)E，求的值.
44．（2024·安徽·二模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上，橫坐標(biāo)為，將該拋物線兩點(diǎn)之間（包括兩點(diǎn)）的部分記為圖象．
(1)求拋物線的解析式；
(2)圖象的最大值與最小值的差為4時(shí)，求的值；
(3)如圖2，若點(diǎn)位于下方，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，連接，求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
45．（2024·四川廣安·二模）如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式．
(2)點(diǎn)在線段上運(yùn)動，過點(diǎn)作軸的垂線，與交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，連接、，求四邊形的面積的最大值．
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、C、M為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
46．（23-24九年級上·重慶渝北·期末）二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)C，點(diǎn)D分別二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)和頂點(diǎn)，點(diǎn)M為二次函數(shù)圖象上第一象限內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)如圖1，連接，過點(diǎn)作的平行線交二次函數(shù)于點(diǎn)，連接，，，．求四邊形面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
題型03面積比最值問題
47．（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于A、 B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．
(1)求a的值；
(2)點(diǎn)D為第四象限拋物線上一點(diǎn)
①求的面積最大值
②連接交于點(diǎn)E，連接，記的面積為，的面積為，求的最大值；
48．（2023·四川遂寧·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，對稱軸過點(diǎn)，，直線過點(diǎn)，且垂直于軸．過點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)、，交直線于點(diǎn)，其中點(diǎn)、Q在拋物線對稱軸的左側(cè)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)恰好在軸上時(shí)，為直線下方的拋物線上一動點(diǎn)，連接、，其中交于點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為．求的最大值．
49．（2024·湖北省直轄縣級單位·一模）拋物線與直線交于原點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)，頂點(diǎn)為．
(1)求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖①，連接，為軸的負(fù)半軸上的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖②，是點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)，是拋物線上的動點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為，連接，，與直線交于點(diǎn)，設(shè)和的面積分別為和，求的最大值．
50．（2023·湖南永州·中考真題）如圖1，拋物線（，，為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn)，軸于H，且．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖1，直線交于點(diǎn)，求的最大值；
(3)如圖2，四邊形為正方形，交軸于點(diǎn)，交的延長線于，且，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
51．（2024·四川南充·一模）拋物線與軸分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，拋物線對稱軸為，點(diǎn)是拋物線在第一象限上動點(diǎn)，連接，．
(1)求拋物線和直線的解析式；
(2)如圖，連接，交于點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
52．（2024·湖北孝感·一模）如圖1，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，連接．
(1)求，的值及直線的解析式；
(2)如圖1，點(diǎn)是拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
(ⅰ)若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，
(ⅱ)連接，，記的面積為，的面積為，求的最大值；
(3)如圖2，將拋物線位于軸下方面的部分不變，位于軸上方面的部分關(guān)于軸對稱，得到新的圖形，將直線向下平移個(gè)單位，得到直線，若直線與新的圖形有四個(gè)不同交點(diǎn)，請直接寫出的取值范圍．
題型04 面積和最值問題
53．（2024·吉林長春·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，連結(jié)、．點(diǎn)在該拋物線上，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連結(jié)、、．設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，的面積為，的面積為．
(1)求a，b的值；
(2)設(shè)拋物線上D、B兩個(gè)點(diǎn)和它們之間的部分為圖象G，當(dāng)圖象G的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)與m無關(guān)時(shí)，求m的取值范圍；
(3)當(dāng)點(diǎn)D在第一象限時(shí)，求＋的最大值；
(4)當(dāng)時(shí)，直接寫出m的值．
題型05 面積差最值問題
54．（2024·安徽合肥·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對稱軸為直線，且與軸相交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖2，點(diǎn)在軸上（在的右側(cè)），且，過點(diǎn)，分別作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接，并延長交于點(diǎn)．
①求的長（用含的代數(shù)式表示）；
②若的面積記作的面積記作，記，則是否有最大值，若有請求出，若沒有，請說明理由．
55．（2024·安徽合肥·一模）已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過點(diǎn)A．
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若直線與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E．
①若點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)，求a的值；
②若點(diǎn)E在第四象限并且在拋物線的上方，記的面積為，記的面積為，，求S與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值．
56．（2024·安徽淮北·模擬預(yù)測）已知拋物線（為常數(shù)，且）與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)．
(1)如圖1，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，試求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖2，若，試確定的值；
(3)如圖3，在（1）的情形下，連接，點(diǎn)為拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，試求點(diǎn)的坐標(biāo)．
57．（2024·廣東廣州·一模）綜合應(yīng)用
如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)直線與拋物線在第二象限交于點(diǎn)，若動點(diǎn)在上運(yùn)動，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)首次落在軸上時(shí)記為點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動過程中，判斷的大小是否發(fā)生變化？并說明理由．
(3)在（）的條件下，連接，記的外接圓的最小面積為，記的外接圓的最大面積為，試求的值（結(jié)果保留）．
58．（2023·湖北荊州·中考真題）已知：關(guān)于的函數(shù)．

(1)若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，且，則的值是___________；
(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，并與動直線交于點(diǎn)，連接，，，，其中交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．設(shè)的面積為，的面積為．
①當(dāng)點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，求的面積；
②探究直線在運(yùn)動過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由．
59．（2024·安徽·一模）已知拋物線為常數(shù)，且與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)B的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為點(diǎn)D，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)．
(1)如圖1，若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3，試求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖2，若，試確定a的值；
(3)如圖3，在（1）的情形下，連接，，點(diǎn)P為拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，連接交于點(diǎn)Q，當(dāng)取最大值時(shí)，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
題型06 五邊形面積最值問題
60．（2024·安徽宣城·一模）如圖，已知拋物線與x軸的交點(diǎn)為，與y軸交點(diǎn)為C．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，在拋物線的A~B段上存在點(diǎn)P，求五邊形面積的最大值；
(3)問該拋物線上是否還存在與點(diǎn)P不重合的點(diǎn)Q，使以A、B、C、D、Q五點(diǎn)為頂點(diǎn)的凸五邊形面積等于題（2）中五邊形面積的最大值，若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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二次函數(shù)中面積的最值問題（六大題型）-2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練
2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練 壓軸題08二次函數(shù)與面積最值定值問題（六大類型）（試題+答案）

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