通用的解題思路：
一、二次函數(shù)中的線段最值問(wèn)題有三種形式:
1.平行于坐標(biāo)軸的線段的最值問(wèn)題:常通過(guò)線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)差表示線段長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式,運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求解，求最值時(shí)應(yīng)注意:
①當(dāng)線段平行于y軸時(shí),用上端點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去下端點(diǎn)的縱坐標(biāo);
②當(dāng)線段平行于x軸時(shí),用右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去左端點(diǎn)的橫坐標(biāo).在確定最值時(shí),函數(shù)自變量的取值范圍應(yīng)確定正確。
2.兩條線段和的最值問(wèn)題:解決這類問(wèn)題最基本的定理就是“兩點(diǎn)之間線段最短”,解決這類問(wèn)題的方法是:作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn),連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn),它們與已知直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn),其變形問(wèn)題有三角形周長(zhǎng)最小或四邊形周長(zhǎng)最小等.
【常見(jiàn)模型一】（兩點(diǎn)在河的異側(cè)）：在直線L上找一點(diǎn)M，使PA+PB的值最小.

方法：如右圖，連接AB，與直線L交于點(diǎn)M,在M處渡河距離最短，最短距離為線段AB的長(zhǎng)。
【常見(jiàn)模型二】（兩點(diǎn)在河的同側(cè)）：在直線L上找一點(diǎn)M，使PA+PB的值最小.

方法：如右圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B’，連接AB’,與直線L的交點(diǎn)即為所求的渡河點(diǎn)，最短距離為線段AB’的長(zhǎng)。
3. 兩條線段差的最值問(wèn)題：解決這類問(wèn)題最基本的定理就是“三角形任何兩邊之差小于第三邊”， 解決這類問(wèn)題的方法是：求解時(shí),先根據(jù)原理確定線段差取最值時(shí)的圖形,再根據(jù)已知條件求解。
【常見(jiàn)模型一】（兩點(diǎn)在同側(cè)）：在直線L上求一點(diǎn)P,求|PA-PB|的最大值

方法：如右圖，延長(zhǎng)射線AB，與直線L交于點(diǎn)P，|PA-PB|最大值為AB
【常見(jiàn)模型二】（兩點(diǎn)在異側(cè)）：在直線L上求一點(diǎn)P,求|PA-PB|的最大值。
方法：如右圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B’， 延長(zhǎng)射線AB’，與直線L交于點(diǎn)P，|PA-PB|最大值為AB’
二、二次函數(shù)中的定值問(wèn)題
一般來(lái)說(shuō)，二次函數(shù)求解幾何線段代數(shù)式定值問(wèn)題屬于定量問(wèn)題，方法采用:
1.參數(shù)計(jì)算法:即在圖形運(yùn)動(dòng)中，選取其中的變量(如線段長(zhǎng)，點(diǎn)坐標(biāo))作為參數(shù),將要求的定值用參數(shù)表示出，然后消去參數(shù)即得定值。
2.韋達(dá)定理法:當(dāng)涉及到直線(一次函數(shù)圖象或x軸)與二次函數(shù)交點(diǎn)時(shí)，先聯(lián)立方程消去y之后整理得到一元二次方程，借助韋達(dá)定理可得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系，可以將要求的定值代數(shù)式用交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和或積表示，往往會(huì)剛好抵消掉參數(shù)，則得到定值。
題型 01 利用二次函數(shù)解決單線段的最值問(wèn)題
1．（2024·河南·一模）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，和點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)點(diǎn)為拋物線位于第一象限上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，求線段的最大值；
(3)點(diǎn)，，，，將拋物線向上平移個(gè)單位，若平移后的拋物線與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出的取值范圍．
2．（2024·甘肅平?jīng)觥ひ荒＃┤鐖D，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．連接為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
(1)求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)過(guò)點(diǎn)作，垂足為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)，并求出當(dāng)為何值時(shí)有最大值，最大值是多少？
(3)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在一點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
3．（2024·山西陽(yáng)泉·一模）綜合與探究
如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接，作直線．
(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出直線的表達(dá)式；
(2)如圖1，若點(diǎn)P是第四象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，交直線于點(diǎn)M，N，試探究線段長(zhǎng)的最大值；
(3)如圖2，若點(diǎn)Q是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)H，連接，在點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在點(diǎn)H，使以H，C，B為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
4．（2024·湖北襄陽(yáng)·一模）拋物線的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左邊）交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是y軸右側(cè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
(1)直接寫(xiě)出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖1，若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，點(diǎn)N是經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線上一點(diǎn)，直線軸，交直線BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作直線軸，交直線BC于點(diǎn)Q．
①當(dāng)時(shí)，求線段長(zhǎng)度的最大值；
②記線段的長(zhǎng)度為l，當(dāng)時(shí)，求m的取值范圍．
5．（2024·山西晉城·二模）綜合與探究
如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接．P是拋物線上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作直線，交y軸于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，連接，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式，并直接寫(xiě)出直線的函數(shù)表達(dá)式．
(2)求線段的最大值．
(3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在點(diǎn)F，使？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
6．（2024·天津南開(kāi)·一模）拋物線與y軸交于點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)，其中，連接．
(1)當(dāng)時(shí)，求拋物線解析式和其頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)M為拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線的垂線，垂足為N．求的最大值和此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(3)已知點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)P在線段上，且，連接，，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)b的值和點(diǎn)P的坐標(biāo)．
7．（2024·四川南充·一模）如圖，已知拋物線與x軸交于，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，點(diǎn)P是拋物線上位于第四象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，點(diǎn)E是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)M是線段BE上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與B重合），過(guò)點(diǎn)M作軸于N，是否存在點(diǎn)M，使為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
8．（2024·新疆巴音郭楞·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，并與x軸交于另一點(diǎn)B．
(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求點(diǎn)B坐標(biāo)；
(3)設(shè)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)M．交直線于點(diǎn)N．
①若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，試問(wèn)：線段的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時(shí)x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，能構(gòu)成以為底邊的等腰三角形，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及等腰的面積．
9．（2024·山東淄博·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知二次函數(shù)經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)，，．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)E是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)及；
(3)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的P點(diǎn)，使成為直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
10．（2024·湖北恩施·一模）如圖1，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)連接、，判斷的形狀并說(shuō)明理由．
(3)連接，若點(diǎn)P在第一象限，過(guò)點(diǎn)P作于E，求線段長(zhǎng)度的最大值；
(4)已知，是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
11．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，二次函數(shù)與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為D，交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，當(dāng)為何值時(shí)，最大？最大值是多少？
(3)如圖3，連接，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)，使原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在該矩形對(duì)角線所在的直線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
12．（2024·安徽黃山·一模）已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)若點(diǎn)M是x軸上位于點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含點(diǎn)A與點(diǎn)B），過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別交拋物線和直線于點(diǎn)E、點(diǎn)F．求線段的最大值．
13．（2024·天津·一模）拋物線（，為常數(shù)，）頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且平行于軸，為第一象限內(nèi)直線上一動(dòng)點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)．
(1)若，．
①求點(diǎn)和點(diǎn)，的坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)為直線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，求的最小值；
(2)若，，且的最小值等于時(shí)，求，的值．
14．（2024·安徽·二模）如圖1，拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)如圖2，連接交y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作交x軸于點(diǎn)F，連接交拋物線于點(diǎn)G，試求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
(3)如圖3，連接，，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)Q，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
15．（2024·廣東惠州·一模）綜合與探究：
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)且與軸的正半軸交于點(diǎn)．
(1)求的值及拋物線的解析式．
(2)如圖①，若點(diǎn)為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖②，若是線段的上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線垂直于軸交直線和拋物線分別于點(diǎn)、，連接．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
①當(dāng)為何值時(shí)，線段有最大值，并寫(xiě)出最大值為多少；
②是否存在以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，直接寫(xiě)出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
16．（2023·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，其中，．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個(gè)單位，點(diǎn)為點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)．寫(xiě)出所有使得以為腰的是等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的過(guò)程寫(xiě)出來(lái)．
17．（2023·四川涼山·中考真題）如圖，已知拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．直線過(guò)拋物線的頂點(diǎn)．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)若直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．
①當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值和的最大值；
②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
18．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，且對(duì)稱軸是直線．

(1)求直線l的解析式；
(2)求拋物線的解析式；
(3)點(diǎn)P是直線l下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為C，交直線l于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為M．求的最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．
題型02 利用二次函數(shù)解決兩條線段之和的最值問(wèn)題
19．（2024·山東棗莊·一模）已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn) C．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖1，點(diǎn)D是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，，將沿直線翻折，得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)如圖2，動(dòng)點(diǎn)P在直線下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作直線的垂線，分別交直線，線段于點(diǎn)E，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)F作軸，垂足為G，求的最大值．
20．（2024·廣東廣州·一模）如圖所示，拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)．．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，線段的長(zhǎng)度有最大值；
(3)點(diǎn)E為直線上一動(dòng)點(diǎn)，在（2）的條件下，當(dāng)有最小值時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)_____（直接寫(xiě)出答案）．
21．（2024·山東淄博·一模）如圖，已知直線與拋物線交于點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上，是軸上一點(diǎn)，連接．
(1)求的值；
(2)當(dāng)取得最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若直線交直線于點(diǎn)（點(diǎn)在線段上，不與端點(diǎn)重合），交拋物線于點(diǎn)，連接．設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出的最小值．
22．（2024·廣東江門·一模）如圖，已知拋物線，與軸交于兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使的值最小?若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)在以為直徑的圓中，直線與相切于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，求直線的解析式．
23．（2024·重慶·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 交x軸于，， 交y軸于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖2， 連接，點(diǎn)P是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn) P作軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作 交x軸于點(diǎn) F， 求 的最大值及此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)；
(3)將拋物線沿y軸方向向下平移，平移后所得新拋物線與y軸交于點(diǎn) D，過(guò)點(diǎn)D作軸交新拋物線于點(diǎn)M，射線交新拋物線于點(diǎn) N，如果請(qǐng)寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫(xiě)出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過(guò)程．
24．（2024·湖南懷化·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E．
圖1 圖2 圖3
(1)求拋物線的解析式、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)如圖2，點(diǎn)Q為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)Q在什么位置時(shí)最小，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出此時(shí)的周長(zhǎng)；
(3)如圖3，在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上有一點(diǎn)M，在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上有一點(diǎn)N，滿足．求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
25．（2023·寧夏·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的對(duì)稱軸是直線．

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使的值最?。簏c(diǎn)的坐標(biāo)和的最小值；
(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，連接交于點(diǎn)．依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
26．（2024·海南海口·一模）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)，，．
(1)求拋物線的解析式；
(2)設(shè)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
①當(dāng)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求證：直角三角形；
②求出的最大面積及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
③過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為N，與交于點(diǎn)E．當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
27．（2024·天津津南·一模）綜合與探究：如圖，拋物線上的點(diǎn)A，C坐標(biāo)分別為，，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，且，連接，．
(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)P是拋物線位于第一象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)將拋物線沿x軸的負(fù)方向平移得到新拋物線，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，的最小值為 ．
28．（2024·安徽馬鞍山·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)．點(diǎn)在軸正半軸上，且，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合，點(diǎn)不與點(diǎn)重合）．
(1)求此拋物線的表達(dá)式；
(2)連接．
①將沿軸翻折得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)和點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②連接，當(dāng)時(shí)，求的最小值．
29．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．
(1)填空：_________，點(diǎn)的坐標(biāo)是 _________；
(2)連接，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)不與端點(diǎn)，重合，過(guò)點(diǎn)作，交拋物線于點(diǎn)點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取得最大值時(shí)，求的最小值；
(3)在(2)中，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取得最大值時(shí)，取得最小值時(shí)，如圖，把點(diǎn)向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)，連接，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到，其中邊交坐標(biāo)軸于點(diǎn)．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
30．（2024·天津?yàn)I海新·一模）已知拋物線（，為常數(shù)，且），與軸交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．
(1)當(dāng)時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，若，求拋物線的解析式：
(3)當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線垂直于軸，垂足為，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，求的值．
31．（2024·山東臨沂·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．

(1)填空：a＝_____，點(diǎn)B的坐標(biāo)是______；
(2)連接，點(diǎn)M是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與端點(diǎn)B，D重合），過(guò)點(diǎn)M作，交拋物線于點(diǎn)N（點(diǎn)N在對(duì)稱軸的右側(cè)），過(guò)點(diǎn)N作軸，垂足為H，交于點(diǎn)F，點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取得最大值時(shí)，求的最小值；
(3)在（2）中，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取得最大值時(shí)，取得最小值時(shí)，如圖2，把點(diǎn)P向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)Q，連接，把繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到，其中邊交坐標(biāo)軸于點(diǎn)G．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在一點(diǎn)G，使得？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
32．（2024·湖北·一模）如圖1，拋物線與x軸交于A，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M．
(1)直接寫(xiě)出b，c的值；
(2)若，求k的值；
(3)若D為上的點(diǎn)，F(xiàn)為上的點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，連接，，如圖2，當(dāng)取得最小值時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．
33．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．
(2)點(diǎn)，為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．這樣的，兩點(diǎn)是否存在？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)將拋物線的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)）．點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在直線下方．已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．求為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？
題型03 利用二次函數(shù)解決兩條線段之差的最值問(wèn)題
34．（2024·安徽合肥·一模）已知拋物線與直線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線與拋物線L的對(duì)稱軸交于點(diǎn)B．
(1)求m的值；
(2)求證：；
(3)當(dāng)時(shí)，將拋物線L向左平移個(gè)單位得到拋物線P，拋物線P與拋物線L的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，且點(diǎn)M在點(diǎn)B的下方．過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線P于點(diǎn)N，且點(diǎn)N在點(diǎn)A的右側(cè)，求的最大值，并求出此時(shí)n的值．
35．（2024·寧夏銀川·一模）如圖，已經(jīng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且它的對(duì)稱軸為．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)；求點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)在（2）的條件下，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求的坐標(biāo)以及的最大值．
題型04 利用二次函數(shù)解決三條線段之和的最值問(wèn)題
36．（2021·湖北恩施·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為正方形，點(diǎn)，在軸上，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，且與直線交于另一點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）為軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為，連接，．探究是否存在最小值．若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
37．（2024·天津河北·一模）已知拋物線與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，若C點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為
(1)求拋物線頂點(diǎn)P和點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，連接，，若將沿所在直線翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，求D點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)拋物線上點(diǎn)M在直線上方，過(guò)M作的垂線交線段于點(diǎn)N，過(guò)N點(diǎn)向y軸作垂線，垂足為Q，求的最小值．
38．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸上，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C4,?5兩點(diǎn)，且與直線DC交于另一點(diǎn)E．
(1)求拋物線的解析式：
(2)P為y軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為Q，連接EQ，AP．試求EQ+PQ+AP的最小值；
(3)N為平面內(nèi)一點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E，A為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
題型05 利用二次函數(shù)解決三角形周長(zhǎng)的最值問(wèn)題
39．（2024·江西·一模）已知關(guān)于的二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是直線，其最大值是，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺按下列要求作圖．
(1)在圖1中作二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)；
(2)在圖2中二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最短．
40．（2024·山東濟(jì)寧·一模）如圖，頂點(diǎn)坐標(biāo)為的拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)連接，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連接．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在使為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
41．（2023·湖南張家界·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)如圖1，求周長(zhǎng)的最小值；
(3)如圖2，過(guò)動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．
42．（2023·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中．拋物線與軸交于和，與軸交于點(diǎn)，連接，．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)如圖，點(diǎn)為直線上方的拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交直線于點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最大值；
(3)點(diǎn)為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
43．（2024·山東濱州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)C．
(1)求a，b滿足的關(guān)系式及c的值；
(2)當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求周長(zhǎng)的最小值
(3)當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)m取何值時(shí)，的面積最大？并求出面積的最大值．
44．（2024·廣東東莞·一模）如題，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，．
(1)求拋物線的解析式．
(2)點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)點(diǎn)是的中點(diǎn)，射線交拋物線于點(diǎn)，是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交射線與點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
45．（2024·山西晉中·一模）綜合與探究
如圖，拋物線 與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)．連接，將 沿軸向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到 ．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式與頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)如圖，連接，當(dāng) 周長(zhǎng)最短時(shí)，求的值．
(3)如圖，設(shè)邊與邊交于點(diǎn)，連接，是否存在，使得與 的一邊相等?若存在，直接寫(xiě)出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
46．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)．點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，連結(jié)，求周長(zhǎng)的最小值；
(3)已知點(diǎn)，連結(jié)，以為對(duì)角線作矩形，且矩形各邊直于坐標(biāo)軸．
①拋物線在矩形內(nèi)的部分圖象隨增大而減小，且最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為2時(shí)，求的值；
②連結(jié)，設(shè)的中點(diǎn)為，當(dāng)以為頂點(diǎn)的三角形為銳角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．
47．（2024·內(nèi)蒙古烏海·模擬預(yù)測(cè)）如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．
(1)分別求出，的值和直線的解析式；
(2)直線下方的拋物線上有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作平行于軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求的周長(zhǎng)的最大值；
(3)在（2）的條件下，如圖，在直線的右側(cè)、軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
48．（2023·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)點(diǎn)，且交x軸于點(diǎn)，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)P是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)E，求周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在（2）中周長(zhǎng)取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)M為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)．在平面內(nèi)確定一點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，P，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并寫(xiě)出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中一種情況的過(guò)程．
題型06 利用二次函數(shù)解決四邊形周長(zhǎng)的最值問(wèn)題
49．（2024·四川涼山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)在拋物線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)是拋物線上、之間的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示矩形的周長(zhǎng)，并求矩形周長(zhǎng)的最大值．
50．（2022·廣西柳州·中考真題）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（m，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．

(1)求b，c，m的值；
(2)如圖1，點(diǎn)D是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，當(dāng)四邊形DEFG的周長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)如圖2，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，將△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB與y軸交于點(diǎn)Q，在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得△PQB是以QB為直角邊的直角三角形，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
51．（2023·遼寧丹東·校考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A?1,0，B5,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)P是位于直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△BPC面積的最大值；
(3)若點(diǎn)D是y軸上的一點(diǎn)，且以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(4)若點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)F3,a是該拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸、點(diǎn)N在y軸上，是否存在點(diǎn)M、N使四邊形EFMN的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M、點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
52．（2022·廣東東莞·東莞市光明中學(xué)校考一模）二次函數(shù)y=ax2+bx+3a≠0的圖像與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A1,0、B92,0．
(1)求a、b的值；
(2)P是二次函數(shù)圖像在第一象限部分上一點(diǎn)，且∠PAB=∠OCA，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，有一條長(zhǎng)度為1的線段EF落在OA上（E與點(diǎn)O重合，F(xiàn)與點(diǎn)A重合），將線段EF沿x軸正方向以每秒613個(gè)單位向右平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)四邊形CEFP周長(zhǎng)最小時(shí)，求t的值．
53．（2022·安徽六安·校考一模）如圖，直線AB∶y=x-3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，與直線AB交于點(diǎn)N，頂點(diǎn)為C
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)M在線段BN上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作線段EF平行于y 軸，分別交拋物線于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)E，作FG⊥CD于點(diǎn)G；
①若設(shè)E（t，0），試用含t的式子表示 DE的長(zhǎng)度；
②試求四邊形 EFGD的周長(zhǎng)取得最大值．
題型07 利用二次函數(shù)解決線段比最值問(wèn)題
54．（2024·山西太原·三模）綜合與探究
如圖1，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線l的函數(shù)表達(dá)式．
(2)如圖2，若點(diǎn)M是直線l上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線交直線l于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，求的最大值．
(3)如圖3，連接，拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
55．（2024·山東濟(jì)南·一模）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交軸于點(diǎn)A，B (點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，連接直線與軸交于點(diǎn)D，與上方的拋物線交于點(diǎn)E與交于點(diǎn)F．
(1)求拋物線的解析式；
(2)是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出其最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)第一象限內(nèi)拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得中有一個(gè)銳角與相等？若存在，求點(diǎn)P得橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
56．（2024·四川廣元·二模）如圖1，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)．，與y軸交于點(diǎn)
(1)求二次函數(shù)的解析式．
(2)點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
①如圖2，連接，若點(diǎn)P在直線下方的拋物線上，連接，與交于點(diǎn)E，求的最小值；
②如圖3，過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線與拋物線交于另一點(diǎn)D，連接，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
57．（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖1，在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使是以直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)如圖2，點(diǎn)在直線下方的拋物線上，連接交于點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．
題型08 利用二次函數(shù)解決線段定值問(wèn)題
58．（2024·山東濟(jì)寧·一模）如圖1，已知二次函數(shù) (a、b、c為常數(shù)，且a≠0)的圖象，與x軸交于，，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn) P為該拋物線在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m．
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)連接，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，連接．設(shè)四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求的最大值；
(3)如圖2，若直線為該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，交軸于點(diǎn)，直線，分別交直線于點(diǎn)、．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
59．（2024·天津和平·一模）已知拋物線：（是常數(shù)，）的頂點(diǎn)為，與x軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
(1)求點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)在直線下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)作軸，軸，分別與直線相交于點(diǎn)和點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)拋物線：（是常數(shù)，）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若點(diǎn)在軸下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，與拋物線相交于點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的比值是否為一個(gè)定值?如果是，請(qǐng)求出此定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
60．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）探究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，探究過(guò)程如下：

(1)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，與的幾組對(duì)應(yīng)值列表如下
其中，________．根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在圖1所示的平面直角坐標(biāo)系中，通過(guò)描點(diǎn)畫(huà)出了函數(shù)圖象的一部分，請(qǐng)畫(huà)出該函數(shù)圖象的另一部分．觀察圖象，寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì)；
(2)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在圖2中，當(dāng)在一切實(shí)數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，拋物線交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于拋物線頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，不平行軸的直線分別交線段，（不含端點(diǎn)）于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，與的和是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

相關(guān)試卷

專題09 二次函數(shù)中線段周長(zhǎng)最值及定值問(wèn)題 (八大題型)-2025年中考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練：

這是一份專題09 二次函數(shù)中線段周長(zhǎng)最值及定值問(wèn)題 (八大題型)-2025年中考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練，文件包含專題09二次函數(shù)中線段周長(zhǎng)最值及定值問(wèn)題八大題型教師版-2025年中考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練docx、專題09二次函數(shù)中線段周長(zhǎng)最值及定值問(wèn)題八大題型學(xué)生版-2025年中考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共234頁(yè)， 歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型訓(xùn)練專題18二次函數(shù)中線段、周長(zhǎng)、面積最值問(wèn)題(學(xué)生版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型訓(xùn)練專題18二次函數(shù)中線段、周長(zhǎng)、面積最值問(wèn)題(學(xué)生版+解析)，共31頁(yè)。

二次函數(shù)與線段最值定值問(wèn)題（八大類型）練習(xí)-中考數(shù)學(xué)專題：

這是一份二次函數(shù)與線段最值定值問(wèn)題（八大類型）練習(xí)-中考數(shù)學(xué)專題，文件包含二次函數(shù)與線段最值定值問(wèn)題八大類型-2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練教師版pdf、二次函數(shù)與線段最值定值問(wèn)題八大類型-2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練學(xué)生版pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共81頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型（全國(guó)通用）專題09 二次函數(shù)中線段周長(zhǎng)最值及定值問(wèn)題（八大題型）（含解析）

2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題型（全國(guó)通用）專題09 二次函數(shù)中線段周長(zhǎng)最值及定值問(wèn)題（八大題型）（含解析）
二次函數(shù)中線段周長(zhǎng)最值及定值問(wèn)題（八大題型）-2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練

二次函數(shù)中線段周長(zhǎng)最值及定值問(wèn)題（八大題型）-2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練
二次函數(shù)中的線段、周長(zhǎng)與面積的最值問(wèn)題及定值問(wèn)題--2024年中考數(shù)學(xué)

二次函數(shù)中的線段、周長(zhǎng)與面積的最值問(wèn)題及定值問(wèn)題--2024年中考數(shù)學(xué)
2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練 壓軸題07二次函數(shù)與線段最值定值問(wèn)題（八大類型）（試題+答案）

2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練 壓軸題07二次函數(shù)與線段最值定值問(wèn)題（八大類型）（試題+答案）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部