通用的解題思路：
二次函數中的面積最值問題通常有以下3種解題方法：
1）當所求圖形的面積沒有辦法直接求出時，通常采用分割或補全圖形的方法表示所求圖形的面積，如下：
一般步驟為：①設出要求的點的坐標；
②通過割補將要求的圖形轉化成通過條件可以表示的圖形面積和或差；
③列出關系式求解；
④檢驗是否每個坐標都符合題意．
2）用鉛垂定理巧求斜三角形面積的計算公式：三角形面積等于水平寬和鉛錘高乘積的一半.
3）利用平行線間的距離處處相等，根據同底等高，將所求圖形的面積轉移到另一個圖形中，如圖所示：
一般步驟為：①設出直線解析式，兩條平行直線k值相等；
②通過已知點的坐標，求出直線解析式；
③求出題意中要求點的坐標；
④檢驗是否每個坐標都符合題意．
題型01 三角形面積最值問題
1．（2024·寧夏銀川·一模）如圖，二次函數的圖象與x軸的正半軸交于點A，經過點A的直線與該函數圖象交于點，與y軸交于點C．
(1)求直線的函數表達式及點C的坐標；
(2)點P是二次函數圖象上的一個動點，且在直線上方，過點P作直線軸于點E，與直線交于點D，設點P的橫坐標為m．
①當時，求m的值；
②設的面積為S，求S關于m的函數表達式，并求出S的最大值．
【答案】(1)直線解析式為，
(2)①或；②，最大值為
【分析】本題主要考查了二次函數綜合，一次函數與幾何綜合：
（1）先求出點A的坐標，進而利用待定系數法求出直線的解析式，最后求出點C的坐標即可；
（2）①根據題意可得，，則，根據，得到，解方程即可得到答案；②根據列出S關于m的關系式，再利用二次函數的性質求出其最大值即可．
【詳解】（1）解：在中，當時，解得或，
∴，
設直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線解析式為，
在中，當時，，
∴；
（2）解：①由題意得，，
∵軸，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得或；
②∵，
∴
，
∵，
∴當時，S有最大值，最大值為
2．（2024·新疆克孜勒蘇·二模）如圖，拋物線（b，c 是常數）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，，，點P為線段上的動點，過P作交于點Q．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求面積的最大值，并求此時P點坐標．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用待定系數法求解函數解析式即可；
（2）過C作軸于F，過Q作于E，設，證明，得到，進而得到，利用二次函數的性質求解即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
將，代入中，
得，解得，
∴該拋物線的解析式為；
（2）解：過C作軸于F，過Q作于E，
設，則，
∵，
∴，則，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
，
∵，，
∴當時，面積的最大，最大值為，此時點P坐標為．
【點睛】本題考查二次函數的綜合，涉及待定系數法求函數解析式、二次函數的性質、相似三角形的判定與性質、坐標與圖形等知識，熟練掌握二次函數的性質，利用相似三角形的性質求解是解答的關鍵．
3．（23-24九年級下·湖北武漢·開學考試）如圖，拋物線交軸于兩點（點在點的左側），交軸正半軸于點，點在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若，求點的橫坐標．
(3)平面上有兩點，求的面積的最小值．
【答案】(1)
(2)點的橫坐標為
(3)
【分析】（1）分別令，根據，得出，進而即可求解；
（2）在線段上取點D，使，過點D作交于點E，過點C作交拋物線于點P，設，表示出，然后利用勾股定理求出，得到，求出，，然后求出，進而得到所在直線的解析式，然后求出所在直線的解析式，最后和拋物線聯立求解即可；
（3）根據題意得出在上，設與平行的直線為，聯立，令，得出直線根據題意當拋物線只有一個交點，過點作，連接，當時的面積的最小值，根據平行線的距離求得，進而根據三角形的面積公式即可求解；
【詳解】（1）解：∵拋物線，
當時，，又，
解得：，
∴，，
當時，，即，
∵，
∴，
解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）如圖所示，在線段上取點D，使，過點D作交于點E，過點C作交拋物線于點P，

∵，，
∴，
∴點P即為所求，
∵，，
∴設，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴，，
∴，
∴，
∴
設所在直線的解析式為，
∴，解得，
∴所在直線的解析式為，
∵，
∴設所在直線的解析式為，
將代入得，，
∴所在直線的解析式為，
∴聯立拋物線和所在直線得，，
解得，，
∴點的橫坐標為；
（3）∵，，
設直線解析式為，
∴，
解得：，
∴在上，
設與平行的直線為，
聯立，
即，
∴，
令，
即，
解得：，
∴直線，
當直線與拋物線只有一個交點，如圖所示，過點作，連接，當時的面積的最小值，

∵，，
∴，
∵，與軸的交點分別為和，且直線與軸的夾角為，
∴，則，
∴．
【點睛】本題考查了二次函數的性質和結合綜合題，一次函數的圖象和性質，解直角三角形，待定系數法求解析式，勾股定理，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
4．（23-24九年級下·遼寧沈陽·階段練習）中，，，， 點 P從點C出發(fā)，沿射線方向運動，速度為每秒1個單位長度，同時點Q以相同的速度從點 B 出發(fā)，沿射線方向運動．設運動時間為x （且）秒， 的面積為S．
(1)當時， 如圖①， 求S與x的函數關系式；
(2)當時， 如圖②， 求S的最大值；
(3)若在運動過程中，存在兩個時刻，，對應的點P和點Q分別記為 ，和，對應的和的面積分別記為和，且當時，，請求出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了二次函數及一元二次方程在幾何動點中的應用，弄清動點的運動過程是解題的關鍵．
（1）由已知條件得，，由三角形面積公式得即可求解；
（2）由已知條件得，，由三角形面積公式得即可求解；
（3）由已知條件得，，可求，由可求，由三角形面積公式得，，由得一元二次方程，解方程，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得
，
，
，
故S與x的函數關系式為；
（2）解：由題意得
，
，
，
，
當時，；
（3）解：如圖，
由題意得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：，(舍去)，
故的值為．
5．（2023·山東聊城·二模）如圖，拋物線與軸交于兩點（點在點的左側），點的坐標為，與軸交于點，直線與軸交于點．動點在拋物線上運動，過點作軸，垂足為點，交直線于點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)當點在線段上時，的面積是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；
(3)點在運動過程中，能否使以為頂點的三角形是以為腰的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標．
【答案】(1)；
(2)存在，最大值為；
(3)不存在．理由見解析．
【分析】
本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、二次函數的最值、等腰直角三角形的判定和性質等知識點．
（1）利用待定系數法求解即可；
（2）設，且，求得，，，利用三角形的面積公式列出關于的二次函數，利用二次函數的性質求解即可；
（3）當是以為腰的等腰直角三角形時，則有，據此求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線過點和，
∴，
解得，
∴拋物線的表達式為；
（2）解：對于直線，
令，則，
∴，
設，且，
∴，，
∴，
∴，
∵，對稱軸為直線，
∴時，的值隨的增大而增大，
∴當，有最大值，最大值為；
（3）解：∵軸，
∴當是以為腰的等腰直角三角形時，則有，
∴M點縱坐標為，
∴，
解得或，
當時，則點M和點C重合，不能構成三角形，不符合題意，舍去，
當時，則點M和點C重合，不能構成三角形，不符合題意，舍去，
點的坐標為，點的坐標為，
此時，，，
，則不是以為腰的等腰直角三角形，
∴不存在這樣的點，使以為頂點的三角形是以為腰的等腰直角三角形．
6．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，一次函數的圖象與坐標軸交于點、，拋物線的圖象經過、兩點．

(1)求二次函數的表達式；
(2)若點為拋物線上一動點，在直線上方是否存在點使的面積最大？若存在，請求出面積的最大值及點的坐標，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)當時，面積的最大值為， 點的坐標是
【分析】本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式以及二次函數的性質，根據數形結合的思想解題時關鍵．
（）根據一次函數解析式求出點、的坐標，然后運用待定系數求二次函數解析式即可；
（）設的面積為，，則，列出關于的二次函數，利用二次函數的性質即可得解。
【詳解】（1）解：在中，令得，令得
，，
二次函數的圖象過、兩點，
，
解得
二次函數的表達式為；
（2）解：過點作軸交于點，

設的面積為，，則，
∴
∵，，
∴
∴當時，面積的最大值為，，
點的坐標是
7．（2024·甘肅隴南·一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，過A，C兩點的拋物線與x軸交于另一點，拋物線對稱軸為直線l．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點M為直線下方拋物線上一點，當的面積最大時，求點M的坐標；
(3)點P是拋物線上一點，過點P作l的垂線，垂足為D，E是l上一點． 要使得以P，D，E為頂點的三角形與全等，請直接寫出點P的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)點坐標為或或或
【分析】
（1）先求出的坐標，進而利用待定系數法求出二次函數解析式即可；
（2）過點作垂直于軸交于點，設，，則，由即可求解；
（3）拋物線對稱軸為直線．，，．設，則，分兩種情況當，時，，此時，當，時，，此時，求解即可．
【詳解】（1）解：把代入得；
把代入得．
，．
拋物線經過三點，
，
解得．
拋物線的解析式為；
（2）過點作垂直于軸交于點，設，則，
則，
，
當時，最大，此時．
當坐標為時，取得最大值．
（3）∵，
∴拋物線對稱軸為直線．
∵過點P作l的垂線，垂足為D，
∴，
∵，，
∴，．
設，則
當，時，，
此時，
解得或．
∴點坐標為或,
當，時，，
此時，
解得或．
∴點坐標為或,
綜上：或或或．
【點睛】本題考查了二次函數求解析式，二次函數的性質，三角形全等的性質，最值問題等，熟練掌握各知識點，能準確作出輔助線，并結合圖形列出相應關系式是解題的關鍵．
8．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）已知拋物線與x軸交于A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且．
(1)求拋物線的解析式和點A的坐標；
(2)如圖1，點P為直線下方拋物線上一點，求的最大面積；
(3)如圖2，M、N是拋物線上異于B，C的兩個動點，若直線與直線的交點始終在直線上，求證：直線必經過一個定點，并求該定點坐標．
【答案】(1)該函數表達式為，點A坐標為
(2)
(3)直線恒過定點
【分析】
（1）求出點即可得拋物線的解析式，令可得點A的坐標；
（2）過點P作于D，P作軸于E，交于點F，求出直線的解析式，設，則；可證得，根據即可求解；
（3）設點，，直線，直線，直線，求出直線與直線的交點即可求解；
【詳解】（1）解：對于，令，則，
，
，
點，
，
，
即該函數表達式為，
令，則，
解得，，
點A坐標為；
（2）解：過點P作于D，P作軸于E，交于點F，如圖1，
設直線的解析式為，將點，代入得：，
解得：，
直線的解析式為，
設，則，
，
軸，
軸，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
當時，的最大面積為：；
（3）證明：如圖2，設點，，
直線，直線，直線，
將點代入直線的解析式得：，
將點代入直線的解析式得：，
聯立直線與拋物線的解析式得：，
整理得：，則，，
同理：，，
，，
，，
，
，
聯立直線與直線的解析式得：，
解得：，
直線與直線的交點始終在直線上，
，化簡得：，
，
直線，
不論為何值，均有時，，即：直線恒過定點．
【點睛】本題綜合考查了二次函數與一次函數的性質、二次函數的解析式、相似三角形的判定與性質以及二次函數與面積問題，掌握函數的相關性質是解題關鍵.
9．（2024·四川廣元·二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x 軸交于點 B，，與y軸交于點．

(1)求直線和拋物線的解析式．
(2)若點 M 是拋物線對稱軸上的一點，是否存在點 M，使得以 M，A，C三點為頂點的三角形是以為底的等腰三角形? 若存在，請求出點 M 的坐標；若不存在，請說明理由．
(3)若點 P 是第二象限內拋物線上的一個動點，求 面積的最大值．
【答案】(1)直線的解析式為 ；拋物線的解析式為 ；
(2)存在，
(3)
【分析】本題考查待定系數法求二次函數與一次函數解析式，二次函數動點圍城等腰三角形及最大面積問題：
（1）將點代入解析式求解即可得到答案；
（2）設存在，設出點的坐標根據等腰列式求解即可得到答案；
（3）設點P坐標，表示出面積，結合新函數性質求解即可得到答案；
【詳解】（1）解：設直線的解析式為：，將點， 代入，得，
，，
解得：，，
∴直線的解析式為 ；拋物線的解析式為 ；
（2）解：存在，理由如下，
拋物線的對稱軸為：，
設點，
∵M，A，C三點為頂點的三角形是以為底的等腰三角形，
∴，
∵， ，
，
解得：，
∴；
（3）解：設，且，連接，
∴
，
，
∵，，
∴當時，最大為．
10．（2024·安徽安慶·一模）如圖，拋物線與x軸交于點、兩點，與y軸交于點C．
(1)求此拋物線對應的函數表達式；
(2)點E為直線上的任意一點，過點E作x軸的垂線與此拋物線交于點F．
①若點E在第一象限，連接，求面積的最大值；
②此拋物線對稱軸與直線交于點D，連接，若為直角三角形，請直接寫出E點坐標．
【答案】(1)
(2)①；②或或或
【分析】本題考查二次函數的綜合應用，正確的求出函數解析式，利用數形結合和分類討論的思想進行求解是解題的關鍵．
（1）待定系數法求出函數解析式即可；
（2）①先求出的解析式，設，將三角形的面積轉化為二次函數求最值，即可；
②分點為直角頂點，點為直角頂點，兩種情況進行討論求解即可．
【詳解】（1）解：把點、代入解析式，得：
，解得：；
∴；
（2）①∵，
∴當時，，
∴，
設的解析式為，把代入，得：，
∴，
設點，則：，
∴，
∴，
∴當時，面積的最大值為；
②∵，
∴對稱軸為直線，
當時，，
∴
設點，則：，
∴，
當點為直角頂點時，則：，
∴，
解得：（舍去），或；
∴或
當點為直角頂點時：，
∴，
解得：（舍），（舍），或；
∴或；
綜上：或或或．
11．（2024·安徽合肥·一模）如圖，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線經過B、C兩點，拋物線與x軸負半軸交于點A．
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)直接寫出當時，x的取值范圍；
(3)點P是位于直線BC下方拋物線上的一個動點，過點P作于點E，連接．求面積的最大值及此時點P的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)；
【分析】（1）令直線解析式，即可求得點B的坐標，令，即可求得點C的坐標，利用待定系數法直接代入求解即可；
（2）根據函數圖象即可解答；
（3）過點P作軸于點H，交直線于點G，過點E作于點F，設點，則點，，證明是等腰直角三角形，得到，利用二次函數的性質即可求解．
【詳解】（1）解：時，，，
，
時，，
，
將，代入得：
解得，
；
（2）解：，，
時，
由函數圖象可得：；
（3）解：如圖，過點P作軸于點H，交直線BC于點G，過點E作于點F，
設點，
則點，，
，
，
，軸，
是等腰直角三角形，，
，
，
∵P在直線下方，
，
，對稱軸為直線，
當時，，
此時點P坐標為．
【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數的性質，待定系數法，圖像法解不等式，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是利用數形結合的思想解決問題．
12．（2024·天津西青·一模）已知拋物線（）與軸交于，兩點（點在點左邊），與軸交于點．
(1)若點在拋物線上．
①求拋物線的解析式及點的坐標；
②連接，若點是直線上方的拋物線上一點，連接，，當面積最大時，求點的坐標及面積的最大值；
(2)已知點的坐標為，連接，將線段繞點順時針旋轉，點的對應點恰好落在拋物線上，求拋物線的解析式．
【答案】(1)①，；②，最大值是
(2)
【分析】本題考查二次函數和一次函數的解析式，二次函數性質，三角形全等等知識，
（1）①把點坐標代入，解得，即可求得拋物線的解析式，當時，解得，，根據題意可求點的坐標；
②設點坐標為（），設直線的解析式為，把，分別代入，即可求得直線的解析式為，過點作軸的垂線，交于點，則得點坐標為，根據可得，即可求解；
（2）根據拋物線，可知對稱軸是，點坐標為，可知點在拋物線對稱軸上，由線段繞點順時針旋轉后對應點是點，得，，分別過點，作直線的垂線，垂足分別為點，點，則，先證明，得點坐標可表示為，把點坐標代入可求得，即可求解．
【詳解】（1）解：①把點坐標代入，
有，解得．
拋物線的解析式為．
當時，有，解得，．
根據題意知點的坐標是
②設點坐標為（）
設直線的解析式為，把，分別代入，
得，解得
直線的解析式為．
如圖，過點作軸的垂線，交于點，
則點坐標為．
．
即．
當時，面積最大，最大值是．
此時點坐標為．
（2）解：由拋物線解析式為，
可知其對稱軸是直線，點坐標為，
故點在拋物線對稱軸上．
線段繞點順時針旋轉后對應點是點，
，．
如圖，分別過點，作直線的垂線，垂足分別為點，點，
則
．
．
．
，
點坐標可表示為．
把點坐標代入，得，
解得（舍），．
拋物線的解析式為．
13 ．（2024·山東臨沂·二模）如圖，拋物線與x軸交于點A和點，與y軸交于點，連接，點D在拋物線上．
(1)求拋物線的解析式；
(2)小明探究點D位置時發(fā)現：如圖1，點D在第一象限內的拋物線上，連接，面積存在最大值，請幫助小明求出面積的最大值；
(3)小明進一步探究點D位置時發(fā)現：如圖2，點D在拋物線上移動，連接CD，存在，請幫助小明求出時點D的坐標．
【答案】(1)
(2)面積的最大值是4
(3)點D的坐標為或
【分析】（1）由待定系數法即可求解；
（2）先直線的解析式，設點，，根據三角形的面積公式列出函數解析式求解即可；
（3）分兩種情況求解：當點D在x軸上方時和當點D在x軸下方時．
【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點A和點，與y軸交于點，
∴
解得
∴求拋物線的解析式為；
（2）如答圖1，過點D做軸，交線段于點E，垂足為點F，
當時，，則，
∵直線經過點，，
設
∴，
解得：
∴直線的解析式為：，
設點，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴當，面積最大，面積的最大值是4．
（3）如答圖2，當點D在直線的上方的拋物線上時，
∵，
∴ ，
∴點C，D的縱坐標相等，即點D的縱坐標為2，
當時，則，
解得，（舍去），
∴ ，
如答圖3，當點D在直線的下方的拋物線上時，
設交x軸于點G，
∵，
∴．
設，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
解得： ，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
綜上所述，點D的坐標為或．
【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式，二次函數與坐標軸的交點，平行線的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，二次函數與幾何綜合，數形結合是解題的關鍵．
14．（2024·廣東深圳·二模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸交于A，B點，與y軸交于點，點B的坐標為，點P是拋物線上一個動點．
(1)求二次函數解析式；
(2)若P點在第一象限運動，當P運動到什么位置時，的面積最大？請求出點P的坐標和面積的最大值；
(3)連接，并把沿翻折，那么是否存在點P，使四邊形為菱形；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)點的坐標為，的面積最大．
(3)存在，或
【分析】此題是二次函數綜合題，考查了待定系數法、二次函數圖象與面積問題、二次函數與特殊四邊形等知識，數形結合是解題的關鍵．
（1）利用待定系數法求出函數解析式即可；
（2）設，求出直線的解析式為，設，得到，根據二次函數的性質解答即可；
（3）設點，交于點E，若四邊形是菱形，連接，則，，得到方程，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：將，代入，
得，
解得，
∴二次函數的解析式為．
（2）設，
設直線的解析式為，
則，
解得，
∴直線的解析式為，
設，
∴
當時，的面積最大，
，
此時，點的坐標為，的面積最大值為．
（3）存在．如圖，設點，交于點E，
若四邊形是菱形，連接，則，，
∴，
解得，
∴或
15．（2024·湖北·模擬預測）如圖，拋物線與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點．設P點在拋物線上運動，橫坐標為m．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)當P點位于第四象限時，求面積的最大值，并求出此時P點坐標；
(3)設此拋物線在點C與點P之間部分（含點C和點P）最高點與最低點的縱坐標之差為 h．
① 求h關于m的函數解析式，并寫出自變量m的取值范圍；
② 根據h的不同取值，試探索點P的個數情況．
【答案】(1)
(2)面積最大值為；
(3)①；時，點只有1個；時，點有無數個；或時，點有2個
【分析】本題考查了二次函數的圖象及性質及二次函數的綜合運用，熟練掌握二次函數的性質，數形結合，分類討論是解題的關鍵．
（1）將代入拋物線即可解答；
（2）設點P為，過點P作軸交直線于點Q，求出直線的解析式為，故點Q的坐標為，得到，根據二次函數的性質進行解答即可；
（3）①出的頂點坐標為，對稱軸為直線，根據m的取值范圍，求出函數解析式即可；②出函數圖象，根據圖象解答即可．
【詳解】（1）把代入得到
解得
∴
（2）設點P為，過點P作軸交直線于點Q，
當時，，
解得
∴點B的坐標是，點A的坐標是，
設直線的解析式為，則
解得
∴直線的解析式為，
故點Q的坐標為，
∴，
∴，
當時，面積有最大值，最大值為，
此時，
即點P的坐標為
（3）①∵
∴拋物線的頂點坐標為，對稱軸為直線，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
∴，
②函數圖象如下：
根據函數圖象可知，
當時，m的值只有一個，故點P只有一個，
當時，m的值有無數個，故點P有無數個，
當或時，m的值有2個，故點P有2個，
16．（22-23九年級下·重慶·階段練習）拋物線 經過點和點．該拋物線與直線 相交于C、D兩點，點P是拋物線上的動點且位于x軸下方，直線軸，分別與x軸和直線交于點 M、N．
(1)求該拋物線所對應的函數解析式；
(2)連接，如圖1，在點P運動過程中，的面積是否存在最大值？ 若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由；
(3)連接，過點 C作垂足為點 Q，如圖2，是否存在點 P，使得與相似？ 若存在，求出滿足條件的點 P 的坐標；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)在點P運動過程中，的面積存在最大值，最大值為
(3)或
【分析】（1）由A、B兩點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；
（2）聯立拋物線與直線的解析式成方程組，通過解方程組可求出點C、D的坐標，設點P的坐標為，則點N的坐標為，，根據三角形面積公式可得，利用二次函數的性質即可解決最值問題；
（3）利用相似三角形的性質可得出：若與相似，則有或，設點P的坐標為，則點N的坐標為，點M的坐標為，點Q的坐標為，進而可得出，，，，將其代入或中即可求出x的值，結合即可得出點P的坐標．
【詳解】（1）解：∵拋物線經過點和點，
，
解得，
該拋物線對應的函數解析式為；
（2）解：聯立拋物線與直線的解析式成方程組，得：，
解得：，，
點C的坐標為，點D的坐標為．
設點P的坐標為，則點N的坐標為，
，
，
當時，取最大值，最大值為 ，
在點P運動過程中，的面積存在最大值，最大值為．
（3）解：，
若與相似，則有或．
設點P的坐標為，則點N的坐標為，點M的坐標為，點Q的坐標為，
，，，．
當時，則，
解得：，舍去，
點P的坐標為；
當時，有，
解得：，舍去，
點P的坐標為．
綜上所述：存在點P，使得與相似，點P的坐標為或．
【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數圖象上點的坐標特征、一次函數圖象上點的坐標特征、三角形的面積、二次函數的性質以及相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是：（1）由點A、B的坐標，利用待定系數法求出二次函數的解析式；（2）利用三角形的面積公式找出；（3）分、兩種情況求出x的值．
17．（2024·江蘇宿遷·一模）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸分別相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，已知點A的坐標為，點B的坐標為．
(1)求出這條拋物線的函數表達式；
(2)如圖2，點D是第一象限內該拋物線上一動點，過點D作直線軸，直線l與的外接圓相交于點E．
①僅用無刻度直尺找出圖2中外接圓的圓心P．
②連接、，與直線的交點記為Q，如圖3，設的面積為S，在點D運動的過程中，S是否存在最大值？如果存在，請求出S的最大值；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)①圖見解析②存在，2
【分析】（1）待定系數法求出函數解析式即可；
（2）①畫出對稱軸，根據三角形的外接圓在三邊的中垂線上，結合拋物線和圓的軸對稱性，得到兩點關于對稱軸對稱，連接，得到，圓周角定理得到為圓的直徑，則與對稱軸的交點即為點；
②連接，設相交于點，設，證明，求出的長，進而表示出，利用，列出二次函數解析式，求最值即可。
【詳解】（1）解：把，代入二次函數解析式，得：
，解得：，
∴；
（2）①如圖所示，點即為所求；

②存在；
連接，設相交于點，設，則：，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴當時，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當時，S有最大值為：2．
【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，涉及待定系數法求二次函數的解析式，三角形的外接圓，圓周角定理，相似三角形的判定和性質，綜合性強，難度較大，屬于壓軸題，熟練掌握相關知識點，利用數形結合的思想進行求解是解題的關鍵．
18．（2024·新疆烏魯木齊·一模）如圖，在中，，于點D，，，點P從點B出發(fā)，在線段上以每秒的速度向點C勻速運動，與此同時，垂直于的直線m從底邊出發(fā)，以每秒的速度沿方向勻速平移，分別交、、于E、F、H，當點P到達點C，點P與直線m同時停止運動，設運動時間為t秒．
(1)__________，__________（用含t的式子表示）．
(2)在整個運動過程中，所形成的的面積存在最大值，當的面積最大時，求線段的長；
(3)是否存在某一時刻t，使為直角三角形？若存在，請求出此時刻t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)當秒或秒時，為直角三角形
【分析】（1）根據運動求出，證明，得出，求出即可；
（2）先求出的面積的表達式，然后利用二次函數的性質求解；
（3）分三種情況，利用平行線分線段成比例及勾股定理求解即可．
【詳解】（1）解：根據題意可知，，，
∵，
∴，
，
即，
解得：；
（2）解：，
當秒時，存在最大值，最大值為，此時．
（3）解：存在，分三種情況，具體如下：
①若點為直角頂點，如圖：
此時，，，
，即，
此比例不成立，故不存在這種情況；
②若為直角頂點，如圖：
此時，，，，，
，
，即，
解得；
③若為直角頂點，如圖：
過點作于點，過點作于點，則：
，
，
，即
解得，
，
，
，即，
解得，
，
，
，
解得或（舍去）．
綜上，當秒或秒時，為直角三角形．
【點睛】本題是運動型的綜合題，考查動點及動線兩種運動類型，涉及相似三角形、圖形面積、二次函數極值和勾股定理等知識，重點考查分類討論數學思想．
19．（2024·重慶·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點，交軸于點，兩點，交軸于點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)連接，，為線段上一動點，過點作交直線于點，連接，求面積的最大值及此時點的坐標；
(3)在（2）中面積取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個單位長度，是平移后的拋物線上一動點，連接，當與的一個內角相等時，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．
【答案】(1)；
(2)最大值為，點；
(3)點的坐標為或或或．
【分析】（1）由待定系數法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）當與的一個內角相等時，即或；當時，在中，，，，用解直角三角形的方法求出點的坐標，即可求解；當點在軸右側時，同理可解；當時，求出直線的表達式為：，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得：
，解得：，
則拋物線的表達式為：；
（2）解：由拋物線的表達式知，點、、的坐標分別為：、、，
由點、、的坐標得，直線的表達式為：，直線的表達式為：，
連接，設點，
∵，則，
則直線的表達式為：，
聯立直線和直線的表達式得：，
解得：，
則點，
則，
故面積的最大值為，此時，則點；
（3）解：該拋物線沿射線方向平移個單位長度，則相當于將拋物線向左向上分別平移1個單位，
則新拋物線的表達式為：，
當與的一個內角相等時，即或；
當時，如下圖：
當點在軸左側時，
設交軸于點，過點作于點，
在中，，，，
則設，則，
則，則，
則，
則點，
由點、的坐標得，直線的表達式為：，
將上式和新拋物線的表達式聯立得：，
解得：（舍去）或，
即點的坐標為；
當點在軸右側時，
則直線的表達式為：，
將上式和新拋物線的表達式聯立得：，
解得：（不合題意的值已舍去），
即點的坐標為；
當時，如下圖：
則直線的表達式為：，
將上式和新拋物線的表達式聯立得：，
解得：
即點的坐標為或；
綜上，點的坐標為或或或．
【點睛】本題屬于二次函數的綜合題，主要考查二次函數性質，三角形的面積．解直角三角形，要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，分類討論思想等相關知識，解題的關鍵是進行正確的分類討論．
20．（2024·湖南衡陽·一模）如圖，已知拋物線經過三點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若點D為第二象限內拋物線上一動點，求面積的最大值；
(3)設點P為拋物線的對稱軸上的一個動點，求使為直角三角形的點P的坐標．
【答案】(1)
(2)的面積最大，最大面積為，此時
(3)點P的坐標為或或
【分析】（1）將點代入解析式求解即可；
（2）過點向軸作垂線交于點Q，設，，得到的值，計算即可；
（3）設，直角三角形的性質分類討論即可；
【詳解】（1）解：根據題意，將點，代入，
可得，
解得，
拋物線的解析式為，
（2）解：連接，過點向軸作垂線交直線于點Q，垂足為G，

設直線的解析式為，
，
解得：，
直線的解析式為，
設，，
，
當時，最大，最大為，
，
∴最大時，的面積最大，最大面積為，此時；
（3）解：拋物線，
拋物線的對稱軸為，
設，
∵，，
，，
當時，，
解得：或，
點P的坐標為或；
當時，，
解得：，
點P的坐標為；
當時，，
解得：，
點P的坐標為；
綜上所述，存在這樣的點P，使得為直角三角形，點P的坐標為或或．
【點睛】本題考查待定系數法求拋物線解析式，特殊三角形與的存在問題，二次函數的面積問題，一次函數，利用分類討論組成直角三角形，應用勾股定理構造方程求點P坐標是解題關鍵．
21．（2024·甘肅天水·一模）如圖，在平面直角坐標系中，開口向下的拋物線與軸交于兩點，是拋物線的頂點．為坐標原點．兩點的橫坐標分別是方程的兩根，且．
(1)求拋物線的函數解析式；
(2)作交拋物線于點，求點的坐標及直線的函數解析式；
(3)在（2）的條件下，在軸上方的拋物線上是否存在一點，使的面積最大？如果存在，請求出點的坐標和的最大面積；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)，直線的解析式為．
(3)存在，，的面積最大面積為
【分析】（1）解出方程的兩根即可求出、兩點的坐標，再利用求出點坐標，進而利用頂點式、兩根式或一般式求出二次函數的解析式．
（2）由（1）推得是等腰直角三角形，據此設出點坐標，將其代入拋物線即可求出的值，進而求出、的坐標，從而求出直線解析式；
（3）過點作軸交于點，設，則，，利用面積公式構造二次函數即可得解．
【詳解】（1）解：解方程得，．
，．過作軸于，
是頂點，
點是的中點，
．
在中，
，
，
，
設拋物線的函數解析式為，
把，，分別代入，得
解得：
拋物線的解析式為；
（2）解：，由（）得：
，作軸于，

∴是等腰直角三角形．
設（顯然，，
則，即，
點在拋物線上，
，
，
解之得：，（舍去），
，
設直線的方程為，代入、的坐標，得
，
解之得：，
直線的解析式為．
（3）如下圖，過點作軸交于點，設，則，
∴，
∵，，
∴，
∴存在點，使得的面積最大，當時，的面積最大，最大面積為，此時．
【點睛】本題考查求拋物線的解析式，求直線的解析式，拋物線圖象上點的坐標特征，解直角三角形，熟練掌握用待定系數法求函數解析式是解題的關鍵．
22．（2024·山東聊城·一模）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．
(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；
(2)若點為第四象限內拋物線上一點，當面積最大時，求點的坐標；
(3)若點為拋物線上一點，點是線段上一點（點不與兩端點重合），是否存在以、、為頂點的三角形是等腰直角三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)點
(3)點P的坐標為或或或
【分析】（1）利用待定系數法求解析式即可；
（2）作交于點，先求得直線的解析式，設點P的坐標為，則點R的坐標為，利用三角形面積公式列式，利用二次函數的性質求解即可；
（3）分四種情況討論，利用等腰直角三角形的性質求解即可．
【詳解】（1）解：將、代入得，
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：；
頂點坐標為；
（2）解：作交于點，
令，則，
∴，
∵，
設直線的解析式為，
∴，
解得，
∴直線的解析式為，
設點P的坐標為，則點R的坐標為，
∴
，
∵，
∴時，有最大值，此時點P的坐標為；
（3）解：∵點Q是線段上一點，
∴設點Q的坐標為，
∵，，
∴，
∴當點P與點B重合，點Q與點C重合時，是等腰直角三角形，此時點P的坐標為；
同理當點P與點C重合，點Q與點B重合時，是等腰直角三角形，此時點P的坐標為；
如圖，當點P在第四象限時，過點Q作軸于點，作交于點，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即點P的縱坐標為，
∴，
解得或，
∴點P的坐標為；
如圖，當點P在第三象限時，過點P作軸于點，作交于點，設，
同理，
∴，，，，
∴，，
∴，
解得，
∴點P的縱坐標為，
∴，
解得（舍去）或，
∴點P的坐標為；
綜上，點P的坐標為或或或．
【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了二次函數的圖象和性質、待定系數法求函數的解析式、軸對稱的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質等知識；本題綜合性較強，具有一定的難度，熟練掌握二次函數的圖形和性質，學會用代數的方法求解幾何問題，分類思想的應用是解題的關鍵．
23．（2024·吉林長春·一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別交軸、軸于A、B兩點，過點作軸垂線，垂足為，連接．現有動點同時從點出發(fā)，分別沿向終點和終點運動，若點的運動速度為每秒個單位長度，點的運動速度為每秒2個單位長度．設運動的時間為秒．
(1)求A、B兩點的坐標；
(2)當時，__________；
(3)設的面積為，寫出與的函數關系式，并求面積的最大值；
(4)當為軸對稱圖形時，直接寫出的值．
【答案】(1)，
(2)1
(3)，（）， ．
(4)當為軸對稱圖形，t的值是或或
【分析】（1）把，分別代入函數解析式，求出即可；
（2）根據平行四邊形的性質得出，即可求出答案；
（3）先證明，得到，根據列出y關于t的一元二次函數，根據函數得性質求解即可．
（4）當為軸對稱圖形，即為等腰三角形或者等邊三角形，根據勾股定理分別求出、、的平方，分為三種情況：當時，當時，當時，以及當代入求出t值即可．
【詳解】（1）解：直線分別交軸、軸于、兩點，
當時，，
當時，，
，．
（2），，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
；
故答案為：1．
（3）∵，，，，
∴，，，
∴，
即，
∵點的運動速度為每秒個單位長度，點的運動速度為每秒2個單位長度．
∴，，
∴，
∵，
∴
∵
，
即，（）
∴當時，．
（4）當為軸對稱圖形，即為等腰三角形，
如圖1，過作，交于，交直線于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
分為四種種情況：①如圖2，當時，，
（不滿足，舍去），；
②如圖2，
當時，，
（舍去），；
③如圖3，

當時，，，，，
由勾股定理得：，解得，
④當時，
即，t無解．
故不存在這樣的t值．
故當為軸對稱圖形時，的值是或或
【點睛】本題考查了二次函數的面積綜合問題，等腰三角形的性質和判定，平行四邊形的判定以及性質，勾股定理的應用等知識，用了分類討論思想．
24．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線過點、點，交y軸于點C．

(1)求b，c的值．
(2)點是拋物線上的動點
①當取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值；
②過點P作軸，交于點E，再過點P作軸，交拋物線于點F，連接，問：是否存在點P，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)①當時，的面積由最大值，最大值為；
②當點的坐標為或時，為等腰直角三角形
【分析】（1）將將、代入拋物線即可求解；
（2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式為，過點P作軸，交于點E，交軸于點，易得，根據的面積，可得的面積，即可求解；
②由題意可知拋物線的對稱軸為，則，分兩種情況：當點在對稱軸左側時，即時，當點在對稱軸右側時，即時，分別進行討論求解即可．
【詳解】（1）解：將、代入拋物線中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
當時，，即，
設的解析式為：，
將，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式為：，
過點P作軸，交于點E，交軸于點，

∵，則，
∴點E的橫坐標也為，則縱坐標為，
∴，
的面積
，
∵，
∴當時，的面積有最大值，最大值為；
②存在，當點的坐標為或時，為等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由題意可知拋物線的對稱軸為直線，
∵軸，
∴，，則，
當點在對稱軸左側時，即時，
，當時，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合題意，舍去）
此時，即點；
當點在對稱軸右側時，即時，
，當時，為等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合題意，舍去）
此時：，即點；
綜上所述，當點的坐標為或時，為等腰直角三角形．
【點睛】本題二次函數綜合題，考查了利用待定系數法求函數解析式，二次函數的性質及圖象上的點的特點，等腰直角三角形的性質，解本題的關鍵是表示出點的坐標，進行分類討論．
25．（2024·河南安陽·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與拋物線的形狀相同，且與軸交于點和．直線分別與軸、軸交于點，，與于點（點在點的左側）．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點是直線上方拋物線上的任意一點，當時，求面積的最大值；
(3)若拋物線與線段有公共點，結合函數圖象請直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)
(2)面積的最大值為
(3)的取值范圍為或
【分析】（1）運用待定系數法即可求解；
（2）求出直線與拋物線的交點的坐標，過點作軸的平行線交于點，交軸于點，設點坐標為，由此用含的式子表示的面積，結合二次函數的最值計算方法即可求解；
（3）根據題意，分類討論：當時；當時；由此即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線與拋物線的形狀相同，
∴，
∵拋物線與軸交于點和，
∴，
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：當時，直線的解析式為：，
聯立方程組，
解得或，
∴，，
過點作軸的平行線交于點，交軸于點，
設點坐標為，
∴點，
∴，，
∴，
∵，，
∴當時，有最大值．
∴面積的最大值為；
（3）解：令，則，
∴點坐標為，
令，則，
解得，
∴點坐標為，
若拋物線與線段有公共點，
當時，如圖所示，
則，
解得；
當時，如圖所示：
則，
解得；
綜上所述，的取值范圍為或．
【點睛】本題主要考查二次函數圖象的性質，待定系數法求解析式，二次函數圖象與一次函數圖象的綜合，二次函數的最值問題，掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵．
26．（2024·湖南長沙·一模）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點，頂點為D，直線交y軸于點E．
(1)求拋物線的解析式．
(2)設點P為線段上一點（點P不與B，D兩點重合），過點P作x軸的垂線與拋物線交于點F，連接，，求面積的最大值．
(3)連接，在線段上是否存在點Q，使得？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，點Q的坐標為
【分析】此題考查了二次函數的圖象和性質、待定系數法、等腰三角形的性質、勾股定理，一次函數的圖象和性質，數形結合和準確計算是解題的關鍵．
（1）將，代入拋物線，求出b，c的值，即可得到拋物線的解析式；
（2）先求出點D坐標為，①設點F的坐標為，則點P的坐標為，表示出，根據二次函數的性質即可得到答案；
（3）連接，先推出．再由，得到比例式，進而即可求解
【詳解】（1）解：將，代入拋物線，
得，解得，
∴拋物線的解析式為．
（2）由（1）可得點D的坐標為．
當時，，解得，，
∴點B的坐標為，
∴直線BD的解析式為．
設點F的坐標為，則點P的坐標為，
∴，整理得，
∴當時，．
（3）存在．理由如下：
如圖，連接，
則由勾股定理，得，，
，
∴，
∴．
設，過點Q作軸于點M，連接．
∵，
∴∽，
∴，
∴，解得，
此時點Q的坐標為．
∴在線段BD上存在點Q，使得，點Q的坐標為．
27．（2024·江西萍鄉(xiāng)·一模）如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D．已知，，連接，．
(1)求拋物線的函數解析式；
(2)在拋物線的對稱軸上找一點P，使得以為頂點的三角形與相似，求出點P的坐標；
(3)若點M是拋物線上的一個動點，且位于第一象限內，連接，．設的面積為S，試求S的最大值．
【答案】(1)
(2)或或或
(3)
【分析】本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、待定系數法、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會構建二次函數解決最值問題，學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數，構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．
（1）根據待定系數法解答即可；
（2）根據為頂點的三角形與相似，，得出或，列出等式解出，解答即可；
（3）過點作交于點，交軸于點，設點的坐標為，根據位于第一象限，得出，解出直線的解析式，得出點的坐標為，再根據列出式子并配方即可
【詳解】（1）∵拋物線經過和兩點，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式：；
（2）解：，
∴的坐標是，，，
∵拋物線的對稱軸是，，
∴點的橫坐標是1，
∵為頂點的三角形與相似，，
∴或；
∴或，
∴或，
∴點的坐標為或或或；
（3）如圖，過點作交于點，交軸于點，
設點的坐標為，
∵位于第一象限，
∴，
∵和，
∴直線的解析式為：，則點的坐標為，
故
，
∴S的最大值是．
28．（2024·四川廣元·二模）如圖1，拋物線與x軸交于兩點，且點B的坐標為，與y軸交于點C，該拋物線的頂點坐標為．
(1)求拋物線和直線的解析式．
(2)在拋物線上是否存在點M，使得是以為底邊的等腰三角形？若存在，求出所有點M的坐標；若不存在，請說明理由．
(3)如圖2，以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點P為上的一個動點，連接，求面積的最大值．
【答案】(1)拋物線的解析式為；直線的解析式為
(2)存在點M，坐標為，
(3)
【分析】（1）由拋物線的頂點坐標為，可設拋物線的解析式為，將代入即可求得拋物線的解析式，設直線的解析式為，由待定系數法即可求解；
（2）由是以為底邊的等腰三角形，可得，由（1）可知連接交于點D，是線段的中垂線，的中點坐標D，設的垂直平分線的解析式為由待定系數法可得直線解析式，聯立直線與拋物線即可求解；
（3）過點B作，交的延長線于點H，此時點P的位置使得的面積最大，由可得，由勾股定理即可求得，證明可得，由即可求解．
【詳解】（1）解∶拋物線的頂點坐標為，
設拋物線的解析式為．
將代入，
解得，
拋物線的解析式為．
令，
解得
當，得，
．
設直線的解析式為，
將代入，
得，
直線的解析式為．
（2）存在點M，使得是以為底邊的等腰三角形．
是以為底邊的等腰三角形．
，
，
，
連接交于點D如圖：
，
是中垂線，
是中點，
，
設直線為，
將代入可得
直線為，
聯立，
解得或，
∴點M的坐標為，．
（3）如圖2，過點B作，交的延長線于點H，此時點P的位置使得的面積最大．
，
．
．
，
．
，
．
．
【點睛】本題考查了二次函數綜合問題，等腰三角形的性質，勾股定理，相似三角形等知識，解題關鍵是根據拋物線的頂點坐標求二次函數的解析式，根據等腰三角形的性質，求滿足條件的M點坐標，的面積最大時P的位置．
29．（2023·山東青島·中考真題）如圖，在菱形中，對角線相交于點O，，．動點P從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；同時，動點Q從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為．以為鄰邊的平行四邊形的邊與交于點E．設運動時間為，解答下列問題：

(1)當點M在上時，求t的值；
(2)連接．設的面積為，求S與t的函數關系式和S的最大值；
(3)是否存在某一時刻t，使點B在的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)；的最大值為
(3)
【分析】（1）證明， 則 ， 即可求解；
（2）由 即可求解；
（3）當點在的平分線上時，則 ，在中， ，即可求解．
【詳解】（1）∵平行四邊形，
∴，，，
由題意得∶，，
如下圖，點在上時，

∵，，，
∴，
∴，
則 即
解得：
（2）如上圖，
∵，
∴，
∵四邊形是菱形，
則，
∴，
∴為等腰三角形， 則
過點作于點，
則
即 解得∶ ，
則 ，
設中邊上的高為，則
即：
，故有最大值，
當時， 的最大值為；
（3）存在， 理由∶
如下圖， 過點作于點，

當點在的平分線上時，則
，
在中，
，
解得：
【點睛】本題為四邊形綜合題，涉及到特殊四邊形性質、三角形相似、解直角三角形、函數的表達式確定等，綜合性強，難度適中．
30．（2023·湖南懷化·中考真題）如圖一所示，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．

(1)求拋物線的函數表達式及頂點坐標；
(2)點為第三象限內拋物線上一點，作直線，連接、，求面積的最大值及此時點的坐標；
(3)設直線交拋物線于點、，求證：無論為何值，平行于軸的直線上總存在一點，使得為直角．
【答案】(1)
(2)面積的最大值為，此時點的坐標為
(3)見解析
【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；
（2）如圖所示，過點作軸于點，交于點，得出直線的解析式為，設，則，得出，當取得最大值時，面積取得最大值，進而根據二次函數的性質即可求解；
（3）設、，的中點坐標為，聯立，消去，整理得：，得出，則，設點到的距離為，則，依題意，，，得出，則，，點總在上，為直徑，且與相切，即可得證．
【詳解】（1）解：將代入，得
，
解得：，
∴拋物線解析式為：；
（2）解：如圖所示，過點作軸于點，交于點，

由，令，
解得：，
∴，
設直線的解析式為，將點代入得，，
解得：，
∴直線的解析式為，
設，則，
∴
，
當時，的最大值為
∵
∴當取得最大值時，面積取得最大值
∴面積的最大值為，
此時，
∴
（3）解：設、，的中點坐標為，
聯立，消去，整理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
設點到的距離為，則，
∵、，
∴，
∴
∴，
∴

∴，
∴點總在上，為直徑，且與相切，
∴為直角．
∴無論為何值，平行于軸的直線上總存在一點，使得為直角．
【點睛】本題考查了二次函數的應用，一元二次方程根與系數的關系，切線的性質與判定，直角所對的弦是直徑，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
31．（2024·海南省直轄縣級單位·一模）如圖，已知拋物線，與軸交于點和點，與軸交于點，為拋物線的頂點．

圖1 圖2
(1)求該拋物線的函數表達式；
(2)如圖1，點是第一象限內拋物線上一動點，連接，設點的橫坐標為．
①當為何值時，的面積最大？并求出最大面積；
②當為何值時，是直角三角形？
(3)如圖2，過作軸于，若是軸上一動點，是線段上一點，若，請直接寫出實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)①當時，的最大面積為；②為1或
(3)
【分析】（1）將的坐標代入即可得到拋物線的解析式；
（2）①根據拋物線求點的坐標，由待定系數法求直線的解析式，設，用代數式表示，進而求出的最大面積；②先確定，分兩種情況討論：當時，直接利用勾股定理建立方程即可求出的值；當時，過作軸于，作軸于，證明，根據列出方程即可求出的值；
（3）首先過C作于H點，則，然后分別從點M在左側與M在右側時去分析求解即可求得答案．
【詳解】（1）解：∵拋物線，與軸交于點和點，
∴，
解得：，
∴拋物線為：；
（2）①過作軸交于，如圖1，
在中，令得，
∴，而點和點，
設直線的解析式為，將代入得
直線解析式為
設
，
當時，的最大面積為；
②
當時，設，
∴，，，
∴，
解得：（舍去），；
當時，如下圖
過作軸于，作軸于，
∴四邊形為矩形，
∴，
∴，而，
∴，
解得，（負根舍去）
∴，
綜上所述，為1或．
（3）∵為拋物線的頂點，
∴，
∴，，而，
過C作于H點，則，
如圖，當M在左側時，
∵，
同理可得：，
∴， 設，則，
∴， 即，
由關于n的方程有解，可得，
得且；
當M與F重合時，；
如圖，當M在右側時，中，，，即，
作交x軸于點M，則，
∵，
∴， 即N為點E時，，
∴，
綜上，m的變化范圍為：．
【點睛】此題考查了待定系數法求函數的解析式、相似三角形的判定與性質、二次函數的最值問題、判別式的應用以及等腰直角三角形的性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握數形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用．
32．（2024·四川成都·一模）如圖，直線分別交x軸，y軸于A，C兩點，點B在x軸正半軸上．拋物線過A，B，C三點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)過點B作交y軸于點D，交拋物線于點F．若點P為直線下方拋物線上的一動點，連接交于點E，連接，求的最大值及最大值時點P的坐標；
(3)如圖2，將原拋物線進行平移，使其頂點為原點，進而得到新拋物線，直線與新拋物線交于O，G兩點，點H是線段的中點，過H作直線（不與重合）與新拋物線交于R，Q兩點，點R在點Q左側．直線與直線交于點T，點T是否在某條定直線上？若是，請求出該定直線的解析式，若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)的最大值為2，此時點P的坐標為
(3)點T在定直線上，該直線解析式為
【分析】（1）由題意易得，然后利用待定系數法可求解函數解析式；
（2）由（1）可得，則有直線的解析式為，連接，過點P作軸交于點M，設點，則，則，然后根據鉛垂法及二次函數的性質可進行求解；
（3）由題意可知平移后的二次函數解析式為，則有，根據中點坐標公式可得，設點，然后可得直線的解析式為，直線的解析式為，直線的解析式為，進而可聯立函數解析式進行求解．
【詳解】（1）解：當時，則有，即；當時，則有；
∴，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：由（1）可知拋物線解析式為，
當時，則有，解得：，
∴，
由可設直線的解析式為，把點代入得：，
∴直線的解析式為，
∴當時，則有，即，
連接，過點P作軸交于點M，如圖所示：
設點，則，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，開口向下，
∴當時，則取得最大值，最大值為2，此時點P的坐標為；
（3）解：點T在某條定直線上，理由如下：
由題意可知平移后的二次函數解析式為，則聯立方程得：，
解得：，
∴，
∵點H是線段的中點，
∴根據中點坐標公式可得：，即，
設點，直線的解析式為，則有：
，
解得：，
∴直線的解析式為，
代入點H得：，
∴，
同理可得直線的解析式為，
直線的解析式為，
聯立上述兩個函數表達式得：
，
解得：，
∴代入直線的解析式得，
∴，
設點T在直線，則有：
∴，即，
整理得：，
比較系數得：，
∴當時，無論m、n為何值時，都符合題設條件，
∴點T在定直線上．
【點睛】本題主要考查二次函數的綜合，熟練掌握二次函數的圖象與性質、鉛垂法及設而不求的思想是解題的關鍵．
33．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點分別為，，其中（），且，與軸的交點為，直線軸，在軸上有一動點，過點E作直線軸，與拋物線、直線的交點分別為．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當時，求面積的最大值；
(3)當時，是否存在點，使以為頂點的三角形與相似？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)當時，面積有最大值，為
(3)、或
【分析】（1）根據拋物線對稱性得到，再由得到，聯立方程組求解得到，，利用待定系數法確定函數解析式即可得到答案；
（2）由（1）中所求解析式，得到，，求出直線：，根據在軸上有一動點，過點E作直線軸，與拋物線的交點為，分二種情況：①當在軸之間時；②當在軸右邊時；利用平面直角坐標系中三角形面積的表示方法，最后結合拋物線圖象與性質求解即可得到答案；
（3）分兩種情況：點在上方；點在下方；當點在上方時，如圖所示，，當以為頂點的三角形與相似時，分兩種情況：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案；同理，當點在下方時，如圖所示，，當以為頂點的三角形與相似時，分兩種情況：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：拋物線，
對稱軸為，
拋物線與軸的交點分別為，，其中（），且，
，，則，解得，
，，
將代入得，解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：由得：，
設直線：，將，代入得，解得，
直線：，
在軸上有一動點，過點E作直線軸，與拋物線、直線的交點分別為，根據，，則分二種情況：①當在軸之間時；②當在軸右邊時；
當在軸之間時，如圖所示：
，，
，
，，
拋物線開口向下，當時，有最大值，為；
當在軸右邊時，過作軸，如圖所示：
，，
，
，對稱軸為，，
拋物線開口向上，則當時，隨著的增大而增大，即當時，有最大值，為；
，
當時，面積有最大值，為；
（3）解：由（1）知，當時，，解得或，
，
當在上方，即時，如圖所示：
，
當以為頂點的三角形與相似時，分兩種情況：①；②；
由（1）（2）可知，，，且，，
當時，，
，
，即，解得（舍去）或；
當時，，
，
，即，解得（舍去）或（舍去）；
當在下方，即時，如圖所示：
，
當以為頂點的三角形與相似時，分兩種情況：①；②；
由（1）（2）可知，，，且，，
當時，，
，
，即，解得（舍去）或；
當時，，
，
，即，解得（舍去）或；
綜上所述，存在點，使以為頂點的三角形與相似，此時，、或．
【點睛】本題考查二次函數綜合，涉及待定系數法確定函數關系式、二次函數圖象與性質、拋物線與三角形面積問題、拋物線與三角形相似、解一元二次方程等知識，熟記二次函數圖象與性質，掌握二次函數綜合題型的解法，分類討論是解決問題的關鍵．
題型02 四邊形面積最值問題
34．（2024·安徽阜陽·一模）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與軸交于點C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對稱軸上找一點 P，使的周長最小，求的周長的最小值及此時點P的坐標；
(3)若M為拋物線在第一象限內的一動點，求出四邊形的面積的最大值及此時點M的坐標.
【答案】(1)；
(2)的周長的最小值為，點P的坐標為；
(3)的最大值為，此時．
【分析】
題目主要考查二次函數的綜合問題，包括待定系數法確定函數解析式，最短周長及最大面積問題，理解題意，熟練掌握二次函數的應用是解題關鍵．
（1）利用待定系數法求解即可；
（2）連接交對稱軸于點，此時的周長最小，利用勾股定理以及待定系數法求得直線的解析式，據此求解即可；
（3）連接，設，根據列得二次函數的解析式，利用二次函數的性質求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，
連接交對稱軸于點，此時，取得最小值，最小值為的長，
令，則，
∴，
∵，，
∴，，
∴的周長的最小值為，
設直線的解析式為，
則，
解得,
∴直線的解析式為，
當時，，
∴點P的坐標為；
（3）解：連接，設，
依題意得
，
∵，
∴當時，有最大值，最大值為，此時．
35．（2024·山東臨沂·一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點是直線上方的拋物線上一點（點不與點B，C重合），過點作軸交直線于點．
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)求線段長的最大值；
(3)連接，請直接寫出四邊形的面積最大值為________．
【答案】(1)
(2)4
(3)36
【分析】此題分別考查了拋物線與軸的交點、待定系數法求解析式及拋物線上點的坐標特點，二次函數中套用二次函數，綜合性比較強．
（1）利用待定系數法確定函數的解析式；
（2）設點的坐標為，則點的坐標為，然后利用坐標表示線段長即可求解．
（3）根據當取最大值時，四邊形的面積最大即可求解；
【詳解】（1）解：依題意將點和點代入，
得，
，
；
（2）當時，，
∴，
∴點坐標，
設直線的解析式為，
∴，
∴，
故直線的解析式為，
設點的坐標為，
，
當時，線段有最大值，最大值為4．
（3）
四邊形的面積
，
故當取最大值時，四邊形的面積最大，
故四邊形的面積的最大值．
36．（2024·山西運城·一模）綜合與探究
如圖，拋物線與x軸交于、B兩點，與y軸交于點C，點在拋物線上，點P是拋物線在第四象限內的一個動點，過點P作交直線于點Q，連接、、，設點P的橫坐標為m．
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)求四邊形面積的最大值及此時點P的坐標；
(3)若點M是拋物線上任意一點，是否存在點M，使得，若存在，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，或
【分析】（1）待定系數法進行求解即可；
（2）根據四邊形的面積等于的面積加上的面積，轉化為二次函數求最值即可；
（3）取的中點，連接，作，勾股定理求出的長，等積法求出的長，根據斜邊上的中線和三角形的外角推出，進而求出，根據，得到，設，過點作于點，分點在的上方和下方，兩種情況進行討論求解即可．
【詳解】（1）把，代入解析式，得：
，解得，
∴；
（2）∵，當時，，解得：，
∴，
設直線的解析式為，則：
，解得：，
∴，
∵點P是拋物線在第四象限內的一個動點，過點P作交直線于點Q，
∴，
∴，
設與交于點，
則：四邊形的面積
，
∴當時，四邊形的面積最大，為；此時；
（3）存在；
∵，
∴當時，，
∴，
∵，
∴，
取的中點，連接，過點O作于點F，
則：，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
設，過點作于點，則：，，
∴，
當在下方時：，
解得：（舍去）或，經檢驗是原方程的解；
∴；
當在上方時：，
解得：（舍去）或，經檢驗是原方程的解；
∴；
綜上：或．
【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，涉及到待定系數法求函數解析式，分割法求面積，二次函數求最值，斜邊上的中線，解直角三角形等知識點，綜合性強，屬于壓軸題，正確的求出解析式，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．
37．（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐標系中，點是坐標原點．拋物線與軸交于兩點，直線：與拋物線交于兩點，且，．
(1)求的值；
(2)點是線段上的動點，點在軸上，，且點在的左邊．過點作軸，交拋物線于點．過點作軸的垂線，交拋物線于點，交直線于點．
當以為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點的坐標．
記以為頂點的四邊形面積為，求的最大值．
【答案】(1)，，；
(2)或；．
【分析】（）利用待定系數法解答即可求解；
（）由（）可得，拋物線解析式為，直線解析式為，設點（），則，，，，由點，由圖象可知，點必在點的下方，得，，根據以為頂點的四邊形是平行四邊形，得到，解方程即可求解；
由圖可知，四邊形始終為梯形，得到，分別求出時和時函數的最大值即可求解；
本題考查了一次函數與二次函數的交點問題，待定系數法求函數解析式，平行四邊形的性質，函數的最值問題，正確畫出圖形，運用分類討論思想解答是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：把，代入拋物線得，
，
解得，
把代入直線得，
，
解得，
∴，，；
（2）解：由（）可得，拋物線解析式為，直線解析式為，
根據題意，可畫出如下圖形，
設點（），
則由題意可得，，，，
∵點，
由圖象可知，點必在點的下方，
∴，，
∵軸，軸，
∴，
∴當以為頂點的四邊形是平行四邊形時，，
∴，
當時，
解得，
∴；
當時，
整理得，，
解得（不合，舍去）或，
∴；
綜上，點的坐標為或；
由圖可知，四邊形始終為梯形，
∴,
當時，
，
∴當時，有最大值，；
當時，
，
∵，，
∴當，有最大值，；
綜上，的最大值為．
38．（2024·安徽蚌埠·一模）如圖1，已知直線與坐標軸相交于A、B，點C坐標是，拋物線經過A、B、C三點．點P 是拋物線上的一點，過點P作y軸的平行線，與直線交于點D，與x軸相交于點F．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當點P在第一象限時，連接交于點E，連接，如圖2所示；
①求的值；
②設四邊形的面積為S，則點P在運動過程中是否存在面積S的最大值，若存在，請求出此時點P的坐標； 若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)①；②當點P在第一象限時，不存在S的最大值，理由見解析
【分析】（1）利用待定系數法求出函數解析式即可；
（2）①設點P的坐標為則點D的坐標為，點F的坐標為，根據，求出，得出，求出，最后求出結果即可；
②根據，得出對稱軸為 ，拋物線開口向上，根據，說明即可．
【詳解】（1）解：把代入得：，
∴點，
把代入得：，解得：
∴點，
又∵點，
∴可設此拋物線的解析式為，
把點A代入可得:，
解得：
∴，
即：此拋物線的解析式為．
（2）解：設點P的坐標為則點D的坐標為，點F的坐標為．
①在和中，，
∴，
∴，
∴，
由點D的坐標為得：，
∴；
②不存在．理由如下：

，
∴對稱軸為 ，
，
∴拋物線開口向上，
又∵點P在第一象限，
∴，
∴當點 P 在對稱軸左側時，
S隨m的減小而增大，且無限趨近時S的值，但無法等于；
當點P在對稱軸右側時，S隨m的增大而增大，且無限趨近時S的值最大，但無法等于；
∴當點P在第一象限時，不存在S的最大值．
【點睛】本題主要考查了求一次函數與坐標軸的交點，二次函數的綜合，求二次函數解析式，解直角三角形的相關計算，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握二次函數的性質．
39．（2024·安徽馬鞍山·一模）如圖，過原點的二次函數的圖象與x軸正半軸交于點A，經過點A的直線與該函數交于，與y軸交于點．
(1)分別求此二次函數與直線的解析式．
(2)點P是第四象限內二次函數圖象上的一個動點，過點P作直線軸于點E，與直線交于點D，設點P的橫坐標為t．
①當時，求t的值；
②當點P在直線下方時，連接，過點B作軸于點Q，與交于點F，連接，求四邊形面積的最大值．
【答案】(1)直線的函數表達式為，二次函數表達式為
(2)①的值為2或3或②面積最大值為
【分析】（1）利用待定系數法可求得直線的函數表達式，再求得點A的坐標，代入二次函數表達式求出即可；
（2）①分當點在直線上方和點在直線下方時，兩種情況討論，根據列一元二次方程求解即可；
②證明，推出，再證明四邊形為矩形，利用矩形面積公式得到二次函數的表達式，再利用二次函數的性質即可求解．
【詳解】（1）解：設直線的函數表達式為．
將兩點的坐標分別代入，
得，
解得，
∴直線的函數表達式為．
將代入，得．
∴點A的坐標為；
將兩點的坐標分別代入，
得，
解得，
∴二次函數表達式為；
（2）①解：點在第一象限內二次函數的圖象上，且軸于點，與直線交于點，其橫坐標為．
∴點的坐標分別為．
∴．
∵點的坐標為，
∴．
∵，
∴．
如圖，當點在直線上方時，．

∵，
∴．
解得，
∵，
∴；
如圖，當點在直線下方時，．

∵，
∴．
解得，
綜上所述，的值為2或3或；
②解：如圖，由（1）得，．

∵軸于點，交于點，點B的坐標為，
∴．
∵點在直線下方，
∴．
∵軸于點，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四邊形為平行四邊形．
∵軸，
∴四邊形為矩形．
∴．
即．
，
∵，
∴當時，S的最大值為．
【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數、一次函數、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知識點，第二問難度較大，需要分情況討論，畫出大致圖形，用含t的代數式表示出是解題的關鍵．
40．（2024·山東濟南·一模）如圖，直線交軸于點，交軸于點，拋物線經過點，點，且交軸于另一點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)在直線上方的拋物線上有一點，求四邊形面積的最大值及此時點的坐標；
(3)將線段繞軸上的動點順時針旋轉得到線段，若線段與拋物線只有一個公共點，請結合函數圖象，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)，
(3)當或時，線段與拋物線只有一個公共點
【分析】（1）令，由，得點坐標，令，由，得點坐標，將、的坐標代入拋物線的解析式便可求得拋物線的解析式，進而由二次函數解析式；
（2）連接，設，求出，得到，再根據二次函數的性質求得最大值，便可得點的坐標；
（3）根據旋轉性質，求得點和點的坐標，令點和點在拋物線上時，求出的最大和最小值便可．
【詳解】（1）解：令，得，
∴，
令，得，解得，，
∴，
把、兩點代入得，
，解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）連接，如圖，

設，
令，得，
解得：，或，
∴；
則
，
∴當時，四邊形面積最大，其最大值為，
此時M的坐標為；
（3）∵將線段繞x軸上的動點順時針旋轉得到線段，如圖，

∴，，
∴，，
當在拋物線上時，有，
解得，，
當點在拋物線上時，有，
解得，，
∴當或時，線段與拋物線只有一個公共點．
【點睛】本題是一個二次函數的綜合題，主要考查了二次函數的圖象與性質，旋轉的性質，待定系數法，求函數圖象與坐標軸的交點，求函數的最大值，三角形的面積公式，第（3）關鍵是確定，點的坐標與位置．
41．（2024·四川廣元·二模）如圖，二次函數的圖象與x 軸交于原點O 和點，經過點A的直線與該函數圖象交于另一點，與y軸交于點C．
(1)求直線的函數解析式及點C的坐標．
(2)點P是拋物線上位于直線上方的一個動點，過點P作直線軸于點E，與直線交于點D，過點B作軸于點F，連接，與交于點G，連接．求四邊形面積的最大值．
(3)拋物線上是否存在這樣的點Q，使得？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用待定系數法求出直線的解析式，然后計算出與x軸交點坐標即可；
（2）運用待定系數法求出二次函數的解析式，設點P的坐標為，可以得到四邊形為矩形，然后根據配方找到頂點坐標即可解題；
（3）如圖，連接，過點B作軸，垂足為N，過點A作軸，兩線相交于點M，在線段上取點H，使，連接，，則與拋物線的交點即為所求點Q，得到，則有，且即可得到方程解題即可．
【詳解】（1）設直線的函數解析式為．
將A，B兩點的坐標分別代入中，
得解得
∴直線的函數解析式為
將代入，得，
∴點C的坐標為
（2）由題可知，拋物線過三點，
解得
,
設點P的坐標為，設直線的解析式為，
則，解得
∴直線的解析式為
∵直線為，
∴．
∵軸，交直線于點D，
∴．
∴．
∴軸．
∴四邊形為矩形．
∴，
，
∵，對稱軸為直線，
∴當時，最大為；
（3）存在．如圖，連接，過點B作軸，垂足為N，過點A作軸，兩線相交于點M，在線段上取點H，使，連接，，則與拋物線的交點即為所求點Q．理由如下：
∵點，
∴．
又點，
∴點．
∴．
又，，
∴．
∴，且．
∴．
∴與拋物線的交點Q即為所求的點．
∵，
∴點．
∴直線的解析式為．
令．
解得（舍去），．
．
∴點 Q的坐標為．
【點睛】本題考查待定系數法求函數解析式，二次函數與幾何圖形面積的綜合，等腰直角三角形的判定和性質，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
42．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┤鐖D，拋物線和直線交于，點，點B在直線上，直線與x軸交于點C．
(1)求的度數．
(2)點P從點A出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段向點B運動，點Q從點C出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段向點A運動，點P，Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設運動時間為t秒．以為邊作矩形，使點N在直線上．
①當t為何值時，矩形的面積最??？并求出最小面積；
②直接寫出當為何值時，恰好有矩形的頂點落在拋物線上．
【答案】(1)
(2)①，矩形面積的最小值為②、或2
【分析】（1）設直線與軸交于點，求出點坐標，得到，即可得出結果；
（2）①分別用t表示，證明，表示及，列出矩形面積與t的函數關系式問題可解；
②由①利用線段中點坐標公式，表示點坐標，分別討論M、N、Q在拋物線上時的情況，并分別求出t值即可．
【詳解】（1）解：設直線與軸交于點，如圖：
當時，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①如圖，過點P作軸于點E，
∵，P點速度為每秒個單位長度，點Q的速度為每秒2個單位長度，
∴，，，
∵點為直線與x軸的交點，
∴，，
∴t秒時點E坐標為，Q點坐標為，
∴，
∵矩形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴矩形的面積，
∵，
∴，
當時，
矩形的面積最?。海?br>②由①點Q坐標為，，，
∵，
∴，
∴，
∴N點坐標為，
∵矩形對邊平行且相等，Q，，N，
∴點M坐標為
當M在拋物線上時，則有
，
解得：，
當點Q到A時，Q在拋物線上，此時，
當N在拋物線上時，重合：
∴，
∴，
綜上所述當、或2時，矩形的頂點落在拋物線上．
【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，涉及一次函數與坐標軸的交點問題，相似三角形的判定和性質，矩形的性質，二次函數求最值等知識點，綜合性強，屬于壓軸題，熟練掌握相關知識以及應用數形結合和分類討論的數學思想是解題的關鍵．
43．（2024·安徽宿州·二模）如圖1，拋物線（a，b是常數且）與x軸交于點和點B（點B在點A的右側），點D是拋物線的頂點，是拋物線的對稱軸且交x軸于點.
(1)求a，b的值；
(2)點P是拋物線上一點且位于點A和點D之間．
（i）如圖2，連接，，，求四邊形面積的最大值；
（ii）如圖3，連接并延長交延長線于點Q，連接交于點E，求的值.
【答案】(1)
(2)（i）9；（ii）8
【分析】此題考查了二次函數綜合題，還考查了一次函數的圖象和性質、待定系數法求函數解析式，數形結合是解題的關鍵．
（1）根據題意得到，解方程組即可得到答案；
（2）（i）求出點B的坐標是，則，過點P作軸，交線段于點Q，求出點的 D的坐標是，得到，可得，求出直線的解析式為，設點P的坐標為，則點Q的坐標為，則，得到，得到四邊形面積，由，即可得答案；
（ii）設點P的坐標為，求出直線的解析式為，求出，則，求出直線的解析式為，則點E的坐標是，求出，即可求出定值．
【詳解】（1）解：把點代入得到，①
∵是拋物線的對稱軸且交x軸于點.
∴，②
聯立①②得，
解得
（2）（i）由（1）可得，，
當時，，
當時，，解得，，
∴點B的坐標是，
∴，
過點P作軸，交線段于點Q，
∵
∴點的 D的坐標是，
∴
∴，
設直線的解析式為，
則，
解得，
∴直線的解析式為，
設點P的坐標為，則點Q的坐標為，
∴，
∴，
∴四邊形面積，
∵點P是拋物線上一點且位于點A和點D之間．
∴，
∴當時，有最大值，最大值為9；
（ii）設點P的坐標為，
設設直線的解析式為，
則，
解得，
∴直線的解析式為，
∴
∴，
設的解析式為，
則，
解得，
∴直線的解析式為，
當時，，
∴點E的坐標是，
∴，
∴
44．（2024·安徽·二模）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點，交軸于點，點在該拋物線上，橫坐標為，將該拋物線兩點之間（包括兩點）的部分記為圖象．
(1)求拋物線的解析式；
(2)圖象的最大值與最小值的差為4時，求的值；
(3)如圖2，若點位于下方，過點作交拋物線于點，點為直線上一動點，連接，求四邊形面積的最大值及此時點的坐標．
【答案】(1)
(2)或
(3)面積的最大值為18，
【分析】（1）利用待定系數法求解即可；
（2）根據，求出點C的坐標，分為當時，時，時，三種情況討論即可；
（3）根據，得到，求出直線的解析式，過點作軸交于點，設，則，根據，利用二次函數的性質求出的最大值即可．
【詳解】（1）解：代入
得，解得
（2）解：，
當時，，
，
點關于直線的對稱點為
①當時，，
，
，
的值不存在
②當時，，
，
，
，解得或（舍）
③當時，，
，
，
此時點與點重合，
綜上所述，的值為或；
（3）解：，
，
，
設直線的解析式為，則，
解得，
過點作軸交于點，
設，則
，
，開口向下，對稱軸為直線，
又，
當時，的最大值為8，
四邊形面積的最大值為18，此時
【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，以及運用鉛垂法求與二次函數相關的面積最值，熟練掌握待定系數法與鉛錘法是解題的關鍵．
45．（2024·四川廣安·二模）如圖，拋物線交軸于，兩點，交軸于點．
(1)求拋物線的函數解析式．
(2)點在線段上運動，過點作軸的垂線，與交于點，與拋物線交于點，連接、，求四邊形的面積的最大值．
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點，使得以點A、C、M為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)四邊形的面積最大為16；
(3)點的坐標為或．
【分析】本題主要考查了二次函數綜合，熟練掌握用待定系數法求解函數解析式的方法和步驟，以及二次函數的圖象和性質，是解題的關鍵．
（1）把，代入，求出b和c的值，即可得出函數解析式；
（2）易得，設，則，求出，則，根據四邊形的面積，結合二次函數的增減性，即可解答；
（3）設，根據兩點之間距離公式得出，，，然后分情況根據勾股定理列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：把，代入得∶
，
解得：，
∴該二次函數的解析式；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
代入得，，
解得，
∴直線的解析式為，
設，則，
∴，
∴，
∴四邊形的面積，
∵，
∴當時，四邊形的面積最大為16；
（3）解：設，
∵，，
∴，，，
當斜邊為時，，
即，整理得：，
無解；
當斜邊為時，，
即，
解得：；
∴
當斜邊為時，，
即，
解得：；
∴
綜上：點的坐標為或．
46．（23-24九年級上·重慶渝北·期末）二次函數經過點，點，點C，點D分別二次函數與y軸的交點和頂點，點M為二次函數圖象上第一象限內的一個動點.
(1)求二次函數的解析式；
(2)如圖1，連接，過點作的平行線交二次函數于點，連接，，，．求四邊形面積的最大值以及此時點的坐標；
(3)如圖2，過點作軸，交于點（點不與點重合），過點作軸，交于點，當時，直接寫出點的坐標．
【答案】(1)
(2)四邊形的面積有最大值18，此時
(3)或．
【分析】（1）用待定系數法即可求出函數解析式；
（2）求出直線的解析式，再由平行線的性質求出直線的解析式從而確定點坐標，再由直線的解析式求出直線與軸的交點坐標，從而求出的面積，過點作軸交直線于點，設，則，可得，從而求出四邊形面積的最大值及點的坐標；
（3）求出，，設，則，則，，再由，求出（舍或或，即可求點坐標．
【詳解】（1）解：將點，點代入，
，
解得，
二次函數的解析式為；
（2）解：當時，，
，
∵點，
，
設的解析式為，代入，，
得，解得：，
直線的解析式為，
∵，，則設直線的解析式為，
代入，得，解得，
直線的解析式為，
當時，解得或，
，
設的直線解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
直線與軸的交點為，
，
過點作軸交直線于點，
設，則，
，
，
四邊形的面積，
∵，
當時，四邊形的面積有最大值18，此時；
（3）解：∵，
∴，
∵軸，則當時，，
∴，
設，則，
，，
∵，
，
解得（舍去）或或，
∴或．
【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，兩點間距離公式，平行線的性質，鉛錘法求面積是解題的關鍵．
題型03面積比最值問題
47．（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于A、 B兩點，與y軸交于點．
(1)求a的值；
(2)點D為第四象限拋物線上一點
①求的面積最大值
②連接交于點E，連接，記的面積為，的面積為，求的最大值；
【答案】(1)
(2)①4；②
【分析】
（1）利用待定系數法求解即可；
（2）①先求出點C的坐標，進而求出直線解析式，如圖所示，過點D作軸交于E，設，則，則，由，利用二次函數的性質求解即可；
②過點作軸于點，交于點，過點作軸交的延長線于點，證明，得到，則，求出，設，則，則，可得．則當時，有最大值，最大值是．
【詳解】（1）解：把代入中得，
∴；
（2）解：①由（1）得拋物線解析式為，
∴點A和點B的坐標分別為，
設直線的解析式為，
∴，
解得，
∴直線的解析式為，
如圖所示，過點D作軸交于E，
設，則，
∴，
∴
，
∵，
∴當時，有最大值，最大值為4；
②過點作軸于點，交于點，過點作軸交的延長線于點，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，當時，，
∴
∴，
設，則，
∴，
∴．
∴當時，有最大值，最大值是．
【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，相似三角形的性質與判定，一次函數與幾何綜合，通過把求面積的最值問題轉換成求線段的最值問題是解題的關鍵．
48．（2023·四川遂寧·中考真題）在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線經過點，，對稱軸過點，，直線過點，且垂直于軸．過點的直線交拋物線于點、，交直線于點，其中點、Q在拋物線對稱軸的左側．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，當時，求點的坐標；
(3)如圖2，當點恰好在軸上時，為直線下方的拋物線上一動點，連接、，其中交于點，設的面積為，的面積為．求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）待定系數法求解析式即可求解；
（2）過點作，垂足為根據已知條件得出，進而列出方程，解方程，即可求解；
（3）先求得直線的解析式為，設，得出直線的解析式為，聯立得出，根據等底兩三角形的面積比等于高之比，得出，進而得出關于的二次函數關系，根據二次函數的性質即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經過點，，對稱軸過點，，
∴
解得：
∴拋物線解析式為；
（2）解：如圖所示，過點作對稱軸的垂線，垂足為，

設，則，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∵其中點在拋物線對稱軸的左側．
∴，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯立，
解得：或，
∴；
（3）解：依題意，點恰好在軸上，則，
設直線的解析式為，
將代入得，
解得：，
∴直線的解析式為，
設，設直線的解析式為，
則，
∴直線的解析式為，
聯立，
解得：，
∴，
∴
，
∴當時，取得最大值為．
【點睛】本題考查了二次函數綜合問題，平行線分線段比例，面積問題，待定系數法求解析式，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
49．（2024·湖北省直轄縣級單位·一模）拋物線與直線交于原點和點，與軸交于另一點，頂點為．
(1)求出點和點的坐標；
(2)如圖①，連接，為軸的負半軸上的一點，當時，求點的坐標；
(3)如圖②，是點關于拋物線的對稱軸的對稱點，是拋物線上的動點，它的橫坐標為，連接，，與直線交于點，設和的面積分別為和，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）令，可求出點的坐標，將函數化為頂點式，可求出點的坐標；
（2）過點作軸于點，可得，推出，由點為軸的負半軸上的一點，設直線與軸交于點，則是等腰三角形，可得，設，則，，根據勾股定理求出值，進而得到點的坐標，利用待定系數法求出直線的解析式，即可求解；
（3）分別過點，作軸的平行線，交直線于點，，則，，由點的橫坐標為，可表達，利用二次函數的性質可得結論．
【詳解】（1）解：令，
解得或，
；
，
頂點；
（2）如圖，過點作軸于點，
，，
，
，
，
為軸的負半軸上的一點，設直線與軸交于點，則是等腰三角形，
，
設，則，，
在中，，
解得：，
，
設直線的解析式為：，將點、代入得：
，
解得：，
直線的解析式為：，
令，則，
解得：，
；
（3）點與點關于對稱軸對稱，
，
如圖，分別過點，作軸的平行線，交直線于點，，
，，
點橫坐標為，
，，
，
，，
，
，
當時，的最大值為．
【點睛】本題考查了二次函數的綜合應用，涉及二次函數的性質，三角形的面積，一次函數，解直角三角形等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識．
50．（2023·湖南永州·中考真題）如圖1，拋物線（，，為常數）經過點，頂點坐標為，點為拋物線上的動點，軸于H，且．

(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖1，直線交于點，求的最大值；
(3)如圖2，四邊形為正方形，交軸于點，交的延長線于，且，求點的橫坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據頂點式坐標公式和待定系數法分別求出，，值，即可求出拋物線解析式．
（2）利用拋物線的解析式可知道點坐標，從而求出直線的解析式，從而設，根據直線的解析式可推出，從而可以用表達長度，在觀察圖形可知，將其和長度代入，即可將面積比轉化成二次函數的形式，根據橫坐標取值范圍以及此二次函數的圖像性質即可求出的最大值．
（3）根據正方形的性質和可求出，再利用相似和可推出，設，即可求出直線的解析式，用表達點的橫縱坐標，最后代入拋物線解析式，求出的值即可求出點橫坐標．
【詳解】（1）解：拋物線（，，為常數）經過點，頂點坐標為，
，，，
，
，
拋物線的解析式為：．
故答案為：．
（2）解：過點作軸于點，如圖所示，

拋物線的解析式為：，且與軸交于，兩點，
，
，
設直線的解析式為：，則，
，
直線的解析式為：．
在直線上，，
在直線上，的解析式為：，
，
．
，
．
，
．
，，
當時， 有最大值，且最大值為： ．
故答案為：．
（3）解:∵＋，
，
，
，
，
，
，
設，，
，
拋物線的解析式為：，且與軸交于，兩點，
．
設直線的解析式為：，則，
，
直線的解析式為：．
，在直線上，
，
，
，
，
（十字相乘法），
由，得：，
，
，
，即，
解得：，，
，
，
點橫坐標為：．
故答案為：．
【點睛】本題考查的是二次函數的綜合應用題，屬于壓軸題，解題的關鍵在于能否將面積問題和二次函數有效結合．
51．（2024·四川南充·一模）拋物線與軸分別交于兩點（點在點的左側），與軸交于點，拋物線對稱軸為，點是拋物線在第一象限上動點，連接，．
(1)求拋物線和直線的解析式；
(2)如圖，連接，交于點，設的面積為，的面積為，求的最小值及此時點的坐標．
【答案】(1)拋物線的解析式為，直線的解析式為；
(2)的最小值為，．
【分析】（）利用待定系數法及二次函數對稱軸公式即可求解；
（）作，交于，可證得，從而得出，設 ，表示出點的坐標，進而得出的表達式，利用二次函數的性質即可求解；
本題考查了二次函數的圖象和性質，二次函數的幾何應用，待定系數法求函數解析式，相似三角形的判定和性質，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：由題意可得，
，
解得，
∴拋物線的解析式為，
由得，
，，
∴，
設直線的解析式為，把、代入得，
，
解得，
∴直線的解析式為；
（2）解：如圖，作，交于，
∴，
∴，
設，
由得，，
∴，
∵，
∴，
∴當時，的最大值為，
∴的最小值為，
當時，，
∴．
52．（2024·湖北孝感·一模）如圖1，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點，連接．
(1)求，的值及直線的解析式；
(2)如圖1，點是拋物線上位于直線上方的一點，連接交于點，過作軸于點，交于點，
(ⅰ)若，求點P的坐標，
(ⅱ)連接，，記的面積為，的面積為，求的最大值；
(3)如圖2，將拋物線位于軸下方面的部分不變，位于軸上方面的部分關于軸對稱，得到新的圖形，將直線向下平移個單位，得到直線，若直線與新的圖形有四個不同交點，請直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)(ⅰ)；(ⅱ)
(3)
【分析】（1）待定系數法求解析式，先求得拋物線解析式，得出點，然后待定系數法求一次函數解析式即可求解；
（2）（i）設 ，則，，得出，是等腰直角三角形，根據等腰三角形的性質可得，建立方程，解方程，即可求解；
（ii）過作軸，交于點，則，得出，根據相似三角形的性質得出面積比，進而根據二次函數的性質，即可求解．
（3）先求得折疊部分的拋物線解析式為，觀察函數圖象，可得當經過點時，當與只有一個交點，直線與新的圖形有三個不同交點，進而求得的值，根據函數圖象，即可求解．
【詳解】（1）解：依題可得：
解得：
∴，
令，得，即
設直線的解析式為，將，代入得：
解得：
直線的解析式為
（2）設 ，則，
（i），
是等腰直角三角形
，
，
是等腰直角三角形，
，解得，舍
點的坐標為
（ii）如圖，
過作軸，交于點，則，
∴
，

當時，有最大值為
（3）解：依題意，
新的圖形的頂點坐標為
則新的拋物線解析式為
設平移后的直線解析式為
當經過點時，有3個交點，即
解得：，
當與只有一個交點，
則
消去得，
即
∴
解得：
結合函數圖象可得：
【點睛】本題考查了二次函數綜合，待定系數法求解析式，面積問題，軸對稱的性質，一次函數的平移，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
題型04 面積和最值問題
53．（2024·吉林長春·一模）在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點、，交軸于點，連結、．點在該拋物線上，過點作，交直線于點，連結、、．設點橫坐標為，的面積為，的面積為．
(1)求a，b的值；
(2)設拋物線上D、B兩個點和它們之間的部分為圖象G，當圖象G的最高點的縱坐標與m無關時，求m的取值范圍；
(3)當點D在第一象限時，求＋的最大值；
(4)當時，直接寫出m的值．
【答案】(1)a的值為，b的值為2，見解析
(2)或，見解析
(3)
(4)或
【分析】（1）由待定系數法求出函數表達式，即可求解；
（2）分、、時，三種情況分別討論即可求解；
（3）證明的面積 的面積，則，即可求解；
（4）當點在軸上方時，證明，求出點，，即可求解；當點在軸下方時，同理可解．
【詳解】（1）解：設拋物線的表達式為：，
則，
則，
解得：，；
（2）解：由（1）可得：二次函數解析式為：，
當時，圖象的最高點為原拋物線的頂點，
此時最高點的縱坐標為4，與無關；
當時，圖象的最高點為點，此時最高點的縱坐標為，與有關；
當時，圖象的最高點為點，此時最高點的縱坐標為0，與無關．
綜上，當圖象的最高點的縱坐標與無關時，的取值范圍是或；
（3）解：連接，
，
的面積 的面積，
過點D作軸，交與點F，
令，則，即，
∵，
∴的解析式為：，
∴，
∴
，
當 時， 有最大值，最大值為；
（4）解：設交于點，
當點在軸上方時，
過點、分別作的垂線交的延長線于點、，則，
，
則，
，
，
則，
則，
則點，，
由點、的坐標得，直線的表達式為：，
，
設直線的表達式為：，代入，得：，
解得：，
則直線的表達式為：，
聯立上式和拋物線的表達式得：，
解得：（不合題意的值已舍去）；
當點在軸下方時，
同理可得：點，
則直線的表達式為：，
聯立上式和拋物線的表達式得：，
解得：（不合題意的值已舍去）；
綜上， 或．
【點睛】本題為二次函數綜合運用，涉及到三角形相似、面積的計算、平行線的性質等知識，分類求解是解題的關鍵．
題型05 面積差最值問題
54．（2024·安徽合肥·一模）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸為直線，且與軸相交于點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)如圖2，點在軸上（在的右側），且，過點，分別作軸的垂線交拋物線于點，連接，并延長交于點．
①求的長（用含的代數式表示）；
②若的面積記作的面積記作，記，則是否有最大值，若有請求出，若沒有，請說明理由．
【答案】(1)
(2)①；②有最大值，最大值為
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，求二次函數的解析式：
（1）利用待定系數法解答，即可求解；
（2）①先求出點，點，再直線的解析式，可得點，即可求解；②分別過點作，垂足分別為M，N，則，可得，再根據二次函數的性質，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸為直線，且與軸相交于點．
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：①∵，
∴，
∴點，
當時，，
∴點，
當時，，
∴點，
設直線的解析式為，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，
當時，，
∴點，
∴；
②有最大值，最大值為，
如圖，分別過點作，垂足分別為M，N，則，
∴，
∴，
∵，
∴當時，S取得最大值，最大值為．
55．（2024·安徽合肥·一模）已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，直線經過點A．
(1)求A、B兩點的坐標;
(2)若直線與拋物線的對稱軸交于點E．
①若點E為拋物線的頂點，求a的值；
②若點E在第四象限并且在拋物線的上方，記的面積為，記的面積為，，求S與x的函數表達式，并求出S的最大值．
【答案】(1)，
(2)①；②；S的最大值為．
【分析】本題考查了二次函數的綜合題，數形結合，靈活運用分類討論的思想是正確解答此類題的關鍵．
（1）令，解方程，即可求解；
（2）①先求得直線解析式為：，頂點坐標為，根據直線過點，列式計算即可求解；
②根據題意畫出示意圖，利用三角形面積公式列式得到，，再求得，據此求解即可．
【詳解】（1）解：令，則有：
，
即，
，，
，；
（2）解：直線經過，
，
，
直線解析式為：，
拋物線配方得，
其頂點坐標為；
①當E為頂點時：即過，
，
，（舍去），
；
②根據題意可畫出示意圖，
設直線交y軸于F，交拋物線對稱軸于E點，且點E在第四象限并且在拋物線的上方，
則，，，
又，
，
，
．
，
∵，
∴當，S的最大值為．
56．（2024·安徽淮北·模擬預測）已知拋物線（為常數，且）與軸交于兩點（點在點的右側），與軸交于點，經過點的直線與拋物線的另一交點為點，與軸的交點為點．
(1)如圖1，若點的橫坐標為3，試求拋物線的函數表達式；
(2)如圖2，若，試確定的值；
(3)如圖3，在（1）的情形下，連接，點為拋物線在第一象限內的點，連接交于點，當取最大值時，試求點的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)點的坐標為
【分析】（1）令，則，求出，，將代入一次函數求出，從而得出點的坐標，再將的坐標代入二次函數即可得解；
（2）由（1）得：，，設點的坐標為，由得出點的橫坐標為，代入一次函數解析式得出點的坐標，再將的坐標代入二次函數即可得解；
（3）由（1）知：，，，得出，求出點的坐標得出，根據，得出關系式，根據二次函數的性質即可得出答案．
【詳解】（1）解：在中，令，則，
解得：，，
，，
將代入得：，
解得：，
，
點的橫坐標為3，
當時，，
，
將代入拋物線解析式得：，
解得：，
；
（2）解：由（1）得：，，
設點的坐標為，
，
為的中點，
在軸上，
，
，
在中，當時，，
，
將代入拋物線解析式得：，
解得：；
（3）解：由（1）知：，，，
，
在中，當時，，
，
，
設，
，
，
當時，的值最大，此時．
【點睛】本題考查了一次函數與二次函數的交點問題、二次函數綜合—面積問題，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
57．（2024·廣東廣州·一模）綜合應用
如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)直線與拋物線在第二象限交于點，若動點在上運動，線段繞點順時針旋轉，點首次落在軸上時記為點，在點運動過程中，判斷的大小是否發(fā)生變化？并說明理由．
(3)在（）的條件下，連接，記的外接圓的最小面積為，記的外接圓的最大面積為，試求的值（結果保留）．
【答案】(1)；
(2)大小不變，理由見解析；
(3)．
【分析】（）利用待定系數法即可求解；
（）大小不變．過點作軸于，過點作交的延長線于點，設，可得，即可證明，得到，得到，進而得到，即可求證；
（）連接，結合由（）可得為等腰直角三角形，故得的外接圓是以為直徑的圓，設圓的半徑為，則，得，根據圓的面積公式可知，最小時，圓的面積為，最大時，圓的面積為，由時，最小，此時，與重合，及當點與點重合時，最大，分別求出半徑，得出
的值即可求解．
【詳解】（1）解：把、代入得，
，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：大小不變，理由如下：
過點作軸于，過點作交的延長線于點，
∵點在直線上，
∴設，
∴，，
∴，
又由旋轉可得，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴大小不變，為；
（3）解：連接，
由（）得，，
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴的外接圓是以為直徑的圓，
設圓的半徑為，則，
∵，
∴，
∵圓的面積，
∴最小時，圓的面積為，最大時，圓的面積為，
當時，最小，此時，與重合，
∴，
當點與點重合時，最大，最大，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了二次函數的幾何應用，待定系數法求二次函數的解析式，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，解直角三角形，三角形的外接圓，最值問題，正確作出輔助線是解題的關鍵．
58．（2023·湖北荊州·中考真題）已知：關于的函數．

(1)若函數的圖象與坐標軸有兩個公共點，且，則的值是___________；
(2)如圖，若函數的圖象為拋物線，與軸有兩個公共點，，并與動直線交于點，連接，，，，其中交軸于點，交于點．設的面積為，的面積為．
①當點為拋物線頂點時，求的面積；
②探究直線在運動過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)0或2或
(2)①6，②存在，
【分析】（1）根據函數與坐標軸交點情況，分情況討論函數為一次函數和二次函數的時候，按照圖像的性質以及與坐標軸交點的情況即可求出值．
（2）①根據和的坐標點即可求出拋物線的解析式，即可求出頂點坐標，從而求出長度，再利用和的坐標點即可求出的直線解析式，結合即可求出點坐標，從而求出長度，最后利用面積法即可求出的面積．
②觀察圖形，用值表示出點坐標，再根據平行線分線段成比例求出長度，利用割補法表示出和，將二者相減轉化成關于的二次函數的頂點式，利用取值范圍即可求出的最小值．
【詳解】（1）解：函數的圖象與坐標軸有兩個公共點，
，
，
，
當函數為一次函數時，，
．
當函數為二次函數時，
，
若函數的圖象與坐標軸有兩個公共點，即與軸，軸分別只有一個交點時，
，
．
當函數為二次函數時，函數的圖象與坐標軸有兩個公共點， 即其中一點經過原點，
，
，
．
綜上所述，或0．
故答案為：0或2或．
（2）解：①如圖所示，設直線與交于點，直線與交于點．

依題意得：，解得：
拋物線的解析式為：．
點為拋物線頂點時，，，
，，
由，得直線的解析式為，
在直線上，且在直線上，則的橫坐標等于的橫坐標，
，
，，
，
．
故答案為：6．
②存在最大值，理由如下：
如圖，設直線交軸于．
由①得：，，，，，
，
，，
，
，
即，
，，
，
，
，，
當時，有最大值，最大值為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數的綜合應用，涉及到函數與坐標軸交點問題，二次函數與面積問題，平行線分線段成比例，解題的關鍵在于分情況討論函數與坐標軸交點問題，以及二次函數最值問題．
59．（2024·安徽·一模）已知拋物線為常數，且與x軸交于A，B兩點（點A在點B的右側），與軸交于點，經過點B的直線與拋物線的另一交點為點D，與軸的交點為點．
(1)如圖1，若點D的橫坐標為3，試求拋物線的函數表達式；
(2)如圖2，若，試確定a的值；
(3)如圖3，在（1）的情形下，連接，，點P為拋物線在第一象限內的點，連接交于點Q，當取最大值時，試求點P的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令，則，求出，，將代入一次函數求出，從而得出點的坐標，再將的坐標代入二次函數即可得解；
（2）由（1）得：，，設點的坐標為，由得出點的橫坐標為2，代入一次函數解析式得出點的坐標，再將的坐標代入二次函數即可得解；
（3）由（1）知：，，，得出，求出點的坐標得出，根據，得出關系式，根據二次函數的性質即可得出答案．
【詳解】（1）解：在中，令，則，
解得：，，
，，
將代入得：，
解得：，
，
點的橫坐標為3，
當時，，
，
將代入拋物線解析式得：，
解得：，
；
（2）解：由（1）得：，，
設點的坐標為，
，
為的中點，
在軸上，
，
，
在中，當時，，
，
將代入拋物線解析式得：，
解得：；
（3）解：由（1）知：，，，
，
在中，當時，，
，
，
設，
，
，
當時，的值最大，此時．
【點睛】本題考查了一次函數與二次函數的交點問題、二次函數綜合—面積問題，待定系數法求函數解析式，二次函數圖象性質．熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
題型06 五邊形面積最值問題
60．（2024·安徽宣城·一模）如圖，已知拋物線與x軸的交點為，與y軸交點為C．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)設點C關于拋物線對稱軸的對稱點為點B，在拋物線的A~B段上存在點P，求五邊形面積的最大值；
(3)問該拋物線上是否還存在與點P不重合的點Q，使以A、B、C、D、Q五點為頂點的凸五邊形面積等于題（2）中五邊形面積的最大值，若存在，直接寫出所有滿足條件的點Q的橫坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本題主要考查了二次函數綜合，一次函數與幾何綜合，
（1）利用待定系數法求解即可；
（2）先求出點C的坐標，進而根據對稱性求出點B的坐標，再求出直線解析式，過點P作軸交于E，設，則，則，根據進行求解即可；
（3）由對稱性可知，點P與對稱軸對稱的點一定符合題意，即此時點Q的橫坐標為；求出拋物線頂點坐標為，可得頂點與B、C組成的三角形面積為，再由四邊形，則頂點與A、B、C、D組成的五邊形面積為，即當點Q與頂點重合時，符合題意，即此時點Q的橫坐標為1；當點Q在x軸上方時，只需要滿足即可，求出此時點Q的橫坐標即可．
【詳解】（1）解：把代入中得：，
∴，
∴拋物線解析式為；
（2）解：在中，當時，，
∴，
∵與x軸的交點為，
∴對稱軸為直線，
∵點C關于拋物線對稱軸的對稱點為點B，
∴；
設直線解析式為，
∴，
∴，
∴直線解析式為，
過點P作軸交于E，設，則，
∴，
∴
，
∴當時，的面積有最大值；
（3）解：由（2）可知，的面積最大時，點P的橫坐標為3，
由對稱性可知，點P與對稱軸對稱的點一定符合題意，即此時點Q的橫坐標為；
∵拋物線解析式為，
∴頂點坐標為，
∴頂點與B、C組成的三角形面積為，
又∵四邊形，
∴頂點與A、B、C、D組成的五邊形面積為，
∴當點Q與頂點重合時，符合題意，即此時點Q的橫坐標為1；
當點Q在x軸上方時，只需要滿足即可，
∴，
∴，
∴，
當時，解得，
∴此時點Q的橫坐標為；
綜上所述，符合題意的點Q的橫坐標為或．

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