1．已知，，是不共面的三個向量，則能構(gòu)成空間的一個基底的一組向量是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
2．已知平面的一個法向量為，點在外，點在內(nèi)，且，則點到平面的距離（ ）
A．1B．2C．3D．
3．已知空間向量，，若，則（ ）
A．1B．C．D．3
4．如圖，空間四邊形中，，，，點M在上，且，點N為中點，則等于（ ）
A．B．
C．D．
5．已知向量，，則向量在向量上的投影向量（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若，則等于（ ）
A．B．
C．D．
8．已知空間向量，，則以為單位正交基底時的坐標為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
10．如圖，四棱柱中，為的中點，為上靠近點的五等分點，則（ ）
A．B．
C．D．
11．下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（ ）
A．兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則
B．兩個不同的平面，的法向量分別是，，則
C．直線的方向向量，平面的法向量是，則
D．直線的方向向量，平面的法向量是，則
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知空間向量，若共面，則 .
13．已知均為空間單位向量，且它們的夾角為，則 ．
14．已知點，，，則平面ABC與平面xOy所成銳二面角的余弦值為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知向量，
(1)求與的夾角；
(2)若與垂直，求實數(shù)t的值．
16．設(shè)空間兩個單位向量，與向量的夾角都等于，求的值.
17．如圖，在四棱錐中，底面為正方形、平面分別為棱的中點
(1)證明：平面;
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值
18．在如圖所示的實驗裝置中，兩個正方形框架，的邊長都是1，且他們所在的平面互相垂直，活動彈子，分別在正方形對角線和上移動，且和的長度保持相等，及
(1)求的長；
(2)為何值時，的長最小，最小值是多少？
(3)當?shù)拈L最小時，求平面與平面的夾角的余弦值．
19．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，在棱上且，平面，在棱上存在一點滿足平面．

(1)證明：平面平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
參考答案
1．【答案】A
【詳解】假定向量，，共面，則存在不全為0的實數(shù)，
使得，顯然不成立，
所以向量不共面，能構(gòu)成空間的一個基底，故A正確；
由于，則，，共面，故B錯誤；
由于，則，，共面，故C錯誤；
由于，則，，共面，故D錯誤；
故選：A.
2．【答案】A
【詳解】由題得.
故選：A.
3．【答案】B
【詳解】因為，，且，所以，解得，
故選：B.
4．【答案】B
【分析】利用空間向量的線性運算法則求解.
【詳解】
.
故選B.
5．【答案】C
【詳解】由向量，，得，而，
向量在向量上的投影向量.
故選：C
6．【答案】D
【詳解】，
∴
，
當且僅當時取等號．
∴的最小值為．
故選：D.
7．【答案】D
【詳解】因為為與的交點，
所以
.
故選：D.
8．【答案】B
【詳解】空間向量，，則，
故以為單位正交基底時的坐標為.
故選：B.
9．【答案】AC
【詳解】若，則，得，故A正確，B錯誤；
若，則，即，故C正確，D錯誤；
故選：AC.
10．【答案】BD
【詳解】，
即，故A錯誤、B正確；
，
即，故C錯誤，D正確.
故選：BD.
11．【答案】AB
【詳解】兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則，所以，A正確；
兩個不同的平面，的法向量分別是，，則，所以，B正確；
直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以或，C錯誤；
直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，D錯誤．
故選：AB
12．【答案】0
【分析】由已知可得，代入坐標計算可求的值.
【詳解】因為共面，所以，即，
則.
故答案為：0.
13．【答案】
【詳解】因為，，
所以，，
故答案為：
14．【答案】
【分析】先求出平面ABC與平面xOy的法向量，然后利用向量的夾角公式求解即可.
【詳解】因為，，，
所以，
設(shè)平面的法向量為，則
，令，則，
平面xOy的一個法向量為，
所以，
所以平面ABC與平面xOy所成銳二面角的余弦值為.
故答案為：.
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），，
，，
，
令與的夾角為，
則，
則與的夾角為.
（2），，
又與垂直，，
即，解得.
16．【答案】或.
【詳解】因為兩個單位向量，與向量的夾角都等于，
，，
，
，
，
解得或，
，
，
或
17．【答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）分別為的中點
為正方形
平面平面
平面.
（2）由題知平面
建立如圖所示的空間直角堅標系，
，則,
,,,
設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z
則,令則,
設(shè)直線與平面所或的角為,
，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
18．【答案】(1)
(2)當時，最小，最小值為
(3)
【詳解】（1）如圖建立空間直角坐標系，
，，，，
因為，
所以，，
；
（2），
當時，最小，最小值為；
（3）由（2）可知，當，為中點時，最短，
則，，取的中點，連接，，
則，
因為，，
所以，，
是平面與平面的夾角或其補角，
因為，，
所以
，
所以平面與平面的夾角的余弦值是.
19．【答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）在四棱錐中，底面為矩形，則，
由平面，平面，得，
而平面，則平面，又平面，
所以平面平面.
（2）依題意，直線兩兩垂直，
以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，

則，由，得，令，
則有，即，，
，由平面，得存在實數(shù)使，
即，解得，，
，
設(shè)平面的法向量，則，令，，
設(shè)平面的法向量，則，令，，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
2024-2025學年陜西省咸陽市高二上學期10月月考數(shù)學檢測試題（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．直線的傾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．在空間直角坐標系中，點關(guān)于軸對稱的點為（ ）
A．B．C．D．
3．已知兩點，，直線：線段相交，則的取值范圍是（ ）
A． B．或C． D．
4．如圖，在四面體中，．點在上，且為中點，則等于（ ）
A．B．
C．D．
5．如圖，在長方體中，已知，，E為的中點，則異面直線BD與CE所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
6．已知直線：與：，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
7．平行六面體的底面是邊長為2的正方形，且，，則線段的長為（ ）
A．B．C．D．
8．已知定點，點P為圓上的動點，點Q為直線上的動點.當取最小值時，設(shè)的面積為S，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．設(shè)l，m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．若，，，則
B．若，，，則
C．若直線，，且l⊥m，l⊥n，則
D．若l，m是異面直線，，，且，，則
10．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．向量是直線的一個方向向量；
B．“”是“與直線互相垂直”的充要條件；
C．已知直線l過點，且在軸上截距相等，則l的方程為；
D．直線在y軸上的截距為.
11．如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是棱，的中點，點在上，點在上，且，點在線段上運動，下列說法正確的有（ ）
A．當點是中點時，直線平面；
B．直線到平面的距離是；
C．存在點，使得；
D．面積的最小值是
三、填空題（本大題共3小題）
12．若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍為 .
13．已知在中，頂點，點在直線：上，點在軸上，則的周長的最小值 .
14．在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點， ，則 ；為線段上的動點，為中點，則的最小值為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．若圓C經(jīng)過點和，且圓心在x軸上，則：
(1)求圓C的方程．
(2)直線與圓C交于E、F兩點，求線段的長度．
16．已知三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，點D是AB的中點．
(1)求證：平面；
(2)若底面ABC為邊長為2的正三角形，，求三棱錐體積．
17．已知的三個頂點分別為，，.
(1)求邊上的高所在直線的方程；
(2)求邊上的中線所在直線的方程.
18．如圖，在棱長4的正方體中，是的中點，點在棱上，且.
(1)求平面與平面夾角的余弦值；
(2)若為平面內(nèi)一點，且平面，求點到平面的距離.
19．如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．
(1)證明：；
(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．
參考答案
1．【答案】C
【詳解】因為直線方程是，
所以該直線的斜率，
所以可得，
而
所以該直線的傾斜角是.
故選C
2．【答案】A
【詳解】關(guān)于軸對稱的點的坐標是只有橫坐標不變，縱坐標和豎坐標變?yōu)橄喾磾?shù)，
所以點關(guān)于軸對稱的點為.
故選：A．
3．【答案】B
【詳解】
因為直線，如圖
直線：即恒過，
而，
因為直線與線段相交，結(jié)合圖形，
故直線的斜率的范圍為：或．
故選：B
4．【答案】B
【分析】連接，利用空間向量基本定理可得答案.
【詳解】連接．
故選：B.
5．【答案】C
【詳解】取的中點F，連接EF，CF，，易知，所以為異面直線BD與CE所成的角或其補角.因為，，所以由余弦定理得.
故選：C
6．【答案】C
【分析】由兩線平行的判定列方程求參數(shù)a，注意驗證是否存在重合情況，結(jié)合充分、必要性定義判斷條件間的關(guān)系》
【詳解】由，則，即，故或，
時，，，即，顯然兩線重合；
時，則，，即，故.
綜上，“”是“”的充要條件.
故選：C
7．【答案】C
【分析】以為基底表示空間向量，再利用數(shù)量積運算求解.
【詳解】因為
所以
即
所以．
故選：C．
8．【答案】D
【詳解】圓的圓心為原點，半徑為2，

過原點且與直線垂直的直線方程為，
則點到直線的距離為.
又因為原點到直線的距離為，
所以的最小值為，則，
故選：D
9．【答案】ABC
【分析】ABC可舉出反例；D選項，作出輔助線，由線面平行得到線線平行，進而得到面面平行.
【詳解】對于A，若，，，則l與m可能平行，可能相交，也可能異面，A錯誤．
對于B，若，，，則l與m可能平行，可能相交，也可能異面，B錯誤．
對于C，沒有說m，n是相交直線，所以不能得到，C錯誤．
對于D，因為，設(shè)平面平面，，所以，
因為l，m是異面直線，，所以l，a相交，
因為，，，所以，
因為，，l，a相交，所以，D正確．
故選ABC.
10．【答案】AD
【詳解】解：對于A中，直線的斜率為，所以向量是直線的一個方向向量，所以A正確；
對于B中，當直線與直線互相垂直，則，
解得或，故“”是“與直線互相垂直”的充分不必要條件，所以B錯誤；
對于C中，直線l過點，且在軸上截距相等，當截距為0時，直線方程為；
當截距不為0時，可得直線方程為，所以C錯誤；
對于D中，由，令，可得，所以在軸上的截距為，所以D正確．
故選：AD．
11．【答案】AC
【分析】根據(jù)線面平行的判定判斷A；根據(jù)等體積法求得點到平面的距離判斷B；建立空間直角坐標系，利用空間向量的數(shù)量積運算解決垂直問題判斷C；求出面積的表達式，再求得面積的最小值判斷D.
【詳解】對于A，由是中點，，得點是的中點，連接，顯然也是的中點，連接，
于是，而平面，平面，所以直線平面，A正確；
對于B，分別是棱的中點，則，平面，平面，于是平面，
因此直線到平面的距離等于點到平面的距離h，
，
，，，
由，得，B錯誤；
以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，,
對于C，設(shè)，則，，，，
由，得，解得，
由于，因此存在點，使得，C正確；
對于D，由選項C得在的投影點為，
則P到的距離，
面積為 ，所以當時，取得最小值為，D錯誤.
故選：AC
12．【答案】
【詳解】根據(jù)題意，方程表示圓，
則，解得.
所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
13．【答案】
【分析】設(shè)點關(guān)于直線：的對稱點，點關(guān)于軸的對稱點為，
連接交于，交軸于，則此時的周長取最小值，且最小值為，利用對稱知識求出和，再利用兩點間距離公式即可求解.
【詳解】如圖：
設(shè)點關(guān)于直線：的對稱點，點關(guān)于軸的對稱點為，
連接交于，交軸于，
則此時的周長取最小值，且最小值為，
與關(guān)于直線：對稱，
，解得：，
，易求得：，
的周長的最小值.
故答案為：.
【點睛】本題主要考查求一個點關(guān)于某直線的對稱點的坐標的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，綜合性較強.
14．【答案】
【詳解】解法一：因為，即，則，
可得，所以；
由題意可知：，
因為為線段上的動點，設(shè)，
則，
又因為為中點，則，
可得
，
又因為，可知：當時，取到最小值；
解法二：以B為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示，
則，
可得，
因為，則，所以；
因為點在線段上，設(shè)，
且為中點，則，
可得，
則，
且，所以當時，取到最小值為；
故答案為：；.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由圓心既在線段的垂直平分線上，又在x軸上，可聯(lián)立直線方程求圓心，進而得半徑與圓的方程；
（2）利用幾何法，先求圓心到直線的距離，再利用勾股定理求半弦長即可得.
【詳解】（1）因為和，線段的中點為0,2，且，
則的垂直平分線方程為，由圓的性質(zhì)可知，圓心在該直線上，
又已知圓心在軸上，令，得，
故圓心為，半徑，
則圓圓C的方程為.
（2）由圓心2,0到直線的距離，.
故線段的長度為.

16．【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接交于點，連接DE，只要證明即可；
（2）求出面，得到CD是棱錐的高，利用棱錐的體積公式解答即可.
【詳解】（1）連接交于點，連接DE，
四邊形是矩形，
為的中點，又是AB的中點，
，又平面平面,
平面；
（2）是AB的中點，
，
又平面平面,
平面,
平面,
則CD是三棱錐的高,
又
.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得直線的斜率，利用點斜式求得邊上的高所在直線的方程.
（2）先求得點坐標，再根據(jù)兩點式求得邊上的中線所在直線的方程.
【詳解】（1），所以直線的斜率為，
所以直線的方程為
（2）線段的中點，
所以直線所在直線方程為.

18．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
.
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，
取，則，得.
因為平面，所以平面的一個法向量為，
則平面與平面夾角的余弦值為.
（2）設(shè)，則.
因為平面，所以，則，得，即.
因為，所以點到平面的距離為.
19．【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由，
得，又，在中，
由余弦定理得,
所以，則，即，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
故；
（2）連接，由，則，
在中，，得，
所以，由（1）知，又平面，
所以平面，又平面，
所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系，
則，
由是的中點，得，
所以，
設(shè)平面和平面的一個法向量分別為，
則，，
令，得，
所以，
所以，
設(shè)平面和平面所成角為，則，
即平面和平面所成角的正弦值為.

相關(guān)試卷

2024-2025學年湖南省長沙市高二上學期10月月考數(shù)學檢測試題合集2套（附解析）：

這是一份2024-2025學年湖南省長沙市高二上學期10月月考數(shù)學檢測試題合集2套（附解析），共38頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024-2025學年湖北省荊州市高二上學期9月月考數(shù)學檢測試題合集2套（附解析）：

這是一份2024-2025學年湖北省荊州市高二上學期9月月考數(shù)學檢測試題合集2套（附解析），共32頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024-2025學年河南省南陽市高二上學期9月月考數(shù)學檢測試題合集2套（附解析）：

這是一份2024-2025學年河南省南陽市高二上學期9月月考數(shù)學檢測試題合集2套（附解析），共30頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2024-2025學年河北省衡水市高二上學期9月月考數(shù)學檢測試題合集2套（附解析）

2024-2025學年河北省衡水市高二上學期9月月考數(shù)學檢測試題合集2套（附解析）
2024-2025學年廣西欽州市高二上學期第一次月考數(shù)學檢測試題合集2套（附解析）

2024-2025學年廣西欽州市高二上學期第一次月考數(shù)學檢測試題合集2套（附解析）
2024-2025學年廣東省深圳市高二上學期9月月考數(shù)學檢測試題合集2套（附解析）

2024-2025學年廣東省深圳市高二上學期9月月考數(shù)學檢測試題合集2套（附解析）
2024-2025學年福建省福州市高二上學期10月月考數(shù)學檢測試題合集2套（附解析）

2024-2025學年福建省福州市高二上學期10月月考數(shù)學檢測試題合集2套（附解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部