1．已知復數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
2．圖為某地2014年至2023年的糧食年產量折線圖，則下列說法不正確的是（ ）
A．這10年糧食年產量的極差為15
B．這10年糧食年產量的平均數(shù)為31
C．前5年的糧食年產量的方差大于后5年糧食年產量的方差
D．這10年糧食年產量的中位數(shù)為29
3．正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側棱長為2,則其體積為 ( )
A．20+123 B．282
C．563 D．2823
4．已知，若與的夾角為，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
5．向量是空間的一個單位正交基底，向量在基底，，下的坐標為，則在基底的坐標為（ ）
A．B．C．D．
6．某商場開展20周年店慶購物抽獎活動（100%中獎），凡購物滿500元的顧客均可參加該活動，活動方式是在電腦上設置一個包含1，2，3，4，5，6的6個數(shù)字編號的滾動盤，隨機按下啟動鍵后，滾動盤上的數(shù)字開始滾動，當停止時滾動盤上出現(xiàn)一個數(shù)字，若該數(shù)字是大于5的數(shù)，則獲得一等獎，獎金為150元；若該數(shù)字是小于4的奇數(shù)，則獲得二等獎，獎金為100元；若該數(shù)字出現(xiàn)其它情況，則獲得三等獎，獎金為50元.現(xiàn)某顧客依次操作兩次，則該顧客獎金之和為200元的概率為（ ）
A．B．C．D．
7．在銳角中，角A，B，C的對邊分別為，，，S為的面積，且，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．在三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．8πB．16πC．26πD．32π
二、多選題（本大題共3小題）
9．在平面直角坐標系中，下列說法不正確的是（ ）
A．任意一條直線都有傾斜角和斜率
B．直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大
C．若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為
D．與坐標軸垂直的直線的傾斜角是或
10．一個不透明的盒子中裝有大小和質地都相同的編號分別為1，2，3，4的4個小球，從中任意摸出兩個球．設事件“摸出的兩個球的編號之和小于5”，事件“摸出的兩個球的編號都大于2”，事件“摸出的兩個球中有編號為3的球”，則（ ）
A．事件與事件是互斥事件B．事件與事件是對立事件
C．事件與事件是相互獨立事件D．事件與事件是互斥事件
11．如圖，在直三棱柱中，已知為的中點，過的截面與棱分別交于點，則下列說法正確的是（ ）
A．三棱錐的體積為定值
B．線段長度的取值范圍是
C．當點為中點時，截面的周長為
D．存在點，使得
三、填空題（本大題共3小題）
12．如圖所示，在平行六面體中，，，，則 ．

13．已知，，三點，則到直線的距離為 .
14．如圖，已知為等邊三角形，點是的重心．過點的直線與線段交于點，與線段交于點．設，且．設的周長為，的周長為，設，記，則的值域為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．為了選拔培養(yǎng)有志于服務國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質優(yōu)秀或基礎學科拔尖的學生，教育部啟動了“強基計劃”的招生改革工作.某校強基招生面試有兩道題，兩道題都答對者才能通過強基招生面試.假設兩題作答相互獨立，現(xiàn)有甲?乙?丙三名學生通過考核進入面試環(huán)節(jié)，他們答對第一題的概率分別是，答對第二題的概率分別是.
(1)求甲?乙兩位考生中有且只有一位考生通過強基招生面試的概率；
(2)求甲?乙?丙三人中至少有一人通過強基招生面試的概率.
16．已知的內角所對的邊分別為，且
(1)求角A；
(2)若為邊上一點，為的平分線，且，求的面積
17．如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，為的中點.
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
18．對800名參加競賽選拔學生的成績作統(tǒng)計（滿分：100分），將數(shù)據(jù)分成五組，從左到右依次記為50,60，60,70，，80,90，90,100，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計這800名學生成績的眾數(shù)和平均數(shù)（求平均數(shù)時同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
(2)現(xiàn)從以上各組中采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取40人.若分數(shù)在區(qū)間的學生實際成績的平均數(shù)與方差分別為78分和，第三組的學生實際成績的平均數(shù)與方差分別為72分和1，求第四組80,90的學生實際成績的平均數(shù)與方差.
19．在空間直角坐標系中，己知向量，點.若直線以為方向向量且經(jīng)過點，則直線的標準式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過點，則平面的點法式方程表示為.
(1)已知直線的標準式方程為，平面的點法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；
(2)已知平面的點法式方程可表示為，平面外一點，點到平面的距離；
(3)（i）若集合，記集合中所有點構成的幾何體為，求幾何體的體積；
（ii）若集合.記集合中所有點構成的幾何體為，求幾何體相鄰兩個面（有公共棱）所成二面角的大小.
參考答案
1．【答案】C
【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)，即可根據(jù)模長公式求解.
【詳解】由可得，所以.
故選C.
2．【答案】C
【分析】由折線圖提供的數(shù)據(jù)進行計算估值判斷．
【詳解】由折線圖知最大值是40，最小值是25，極差是15，A不符合題意；
平均數(shù)為28+28+27+26+33+36+40+37+25+3010=31，B 不符合題意；
前5年數(shù)據(jù)波動比后5年數(shù)據(jù)波動要小，
因此前5年的糧食年產量的方差小于后5年糧食年產量的方差，C符合題意；
10年數(shù)據(jù)按從小到大排序為：25,26,27,28,28,30,33,36,37,40 ，
中位數(shù)為28+302=29，D 不符合題意．
故選C．
3．【答案】D
【詳解】
本題考查棱臺體積的計算.作出圖形,連接該正四棱臺上、下底面的中心,如圖.因為該四棱臺上、下底面邊長分別為2,4,側棱長為2,所以該棱臺的高h=22?(22?2)2=2,下底面面積S1=16,上底面面積S2=4,所以該棱臺的體積V=13h(S1+S2+S1S2)=13×2×(16+4+64)=2823.故選D.
4．【答案】B
【詳解】因為，與的夾角為，
所以，
則，
所以在上的投影向量為．
故選：B.
5．【答案】A
【詳解】
設；
由題意可知，
，解得；
在基底下的坐標為．
故選：A．
6．【答案】B
【分析】將兩次抽獎獎金之和為200元分為第一次與第二次都中二等獎，第一次中一等獎，第二次中三等獎，第一次中三等獎，第二次中一等獎三種情況，然后利用古典概型求概率的公式計算.
【詳解】由題意得，抽獎兩次滾動盤上出現(xiàn)兩個數(shù)字的情況為，，共36種情況，
兩次抽獎獎金之和為200元包括三種情況：①第一次與第二次都中二等獎，其包含的情況為，概率為；
②第一次中一等獎，第二次中三等獎，其包含的情況為，概率為；
③第一次中三等獎，第二次中一等獎，其包含的情況為，概率為，
所以該顧客兩次抽獎后獲得獎金之和為200元的概率為.
故選B.
7．【答案】C
【分析】由余弦定理結合面積公式，再應用同角三角函數(shù)關系求出，由正弦定理邊角互化，再應用兩角和差公式化簡，最后應用基本不等式及對勾函數(shù)的單調性求解即得.
【詳解】在銳角，由余弦定理可知，
由面積公式可得，代入到已知條件可得
，
因為，化簡可得，
根據(jù)恒等變換可得，因為銳角，
所以，所以可得，
所以，
則，
因為銳角，所以，
則，在單調遞增，
則，令，所以，
所以，由對勾函數(shù)的單調性知在單調遞減，在單調遞增，
當時，是極小值，當或時，最大值，
則.
故選C.
8．【答案】C
【詳解】在中，由余弦定理得，
由正弦定理得外接圓半徑，
令外接圓圓心為，三棱錐外接球的球心為，則平面，
而平面，于是，令的中點為，由，得，
又平面，則，，于是四邊形是矩形，，
因此三棱錐外接球的半徑，
所以三棱錐外接球的表面積.
故選C.
9．【答案】ABC
【分析】由題意利用直線的傾斜角和斜率的定義，逐一判斷即可.
【詳解】對于A，當直線的傾斜角為時，直線沒有斜率，故A錯誤；
對于B，當直線的傾斜角為時，斜率為，
當直線的傾斜角為時，斜率為，故B錯誤；
對于C，若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率不存在，故C錯誤；
對于D，當直線與軸垂直時，直線的傾斜角是，
當直線與軸垂直時，直線的傾斜角是，
即與坐標軸垂直的直線的傾斜角是或，故D正確.
故選：ABC.
10．【答案】ACD
【詳解】列舉各事件如下：，，，
A：由互斥事件同時發(fā)生的概率為0，即，故A正確；
B：由對立事件的概率和為1，，，，故B錯誤；
C：因為，故C正確；
D：事件，事件，為互斥事件，不可能同時發(fā)生，故D正確；
故選：ACD.
11．【答案】AC
【分析】直接證明三棱錐的體積為定值判斷；
由三角形相似可得與的關系，結合的范圍求得線段的長度的取值范圍判斷；根據(jù)題意，分別求出四邊形各邊長即可判斷；由反證法證明錯誤.
【詳解】
連接，則的面積為定值，
平面，平面，且，
平面，而，
到平面的距離為定值，
則三棱錐的體積為定值，故正確；
延長交的延長線于點，連接交于點，
則，即，
得，
又，則，
，
，，
，，，
，故錯誤；
當點為棱中點時，
，，
，
，，
故截面的周長為，故正確；
假設，
取上靠近點的四等分點，
則平面，平面，
所以，又，
因為平面，，
所以平面，平面，
則，
所以∽，得，則，矛盾
所以不存在點，使得，故錯誤；
故選.
【方法總結】分離常數(shù)法求值域：
一些簡單分式型函數(shù)求值域可用分離常數(shù)法，最常見類型為：，，，如本題中選項的為型.
具體方法為：（1）先將分子湊出和分母相同的式子，如；
（2）根據(jù)分式加減法則分類常數(shù)，如；
（3）根據(jù)題目所給范圍直接求值域（或可用換元法求值域）.
12．【答案】2
【詳解】在平行六面體中,，
所以，
因為，所以，
又，
所以，，
所以
所以.
故答案為：2.
13．【答案】
【分析】根據(jù)條件，利用點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】因為，，所以，
得到，
所以到直線的距離為，
故答案為：.
14．【答案】
【分析】根據(jù)題意，化簡得到，設的邊長為1，用和表示，，，再利用，得到，進而得到，通過和的范圍，求出的范圍，進而可求出的范圍.
【詳解】
延長，交于，因為為的重心，所以，為中點，
所以，，所以，
，得
，整理得，，設的邊長為1，則，，在中，由余弦定理得，，所以，
，因為，所以
，
因為，，所以，，，又，則有
，因為，所以，，因為，
，所以的最小值為，最大值為，所以，
單調遞增，則，所以，，即的值域為
故答案為：
15．【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）（1）甲通過考核進入面試環(huán)節(jié)，答對第一題的概率分別是，答對第二題的概率分別是，
甲考生通過某校強基招生面試的概率為，
同理，乙考生通過某校強基招生面試的概率為，
所以甲?乙兩位考生中有且只有一位考生通過強基招生面試的概率為：
.
（2）丙考生通過某校強基招生面試的概率為，
所以甲?乙?丙三人中至少有一人通過強基招生面試的概率為：.
16．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，
由正弦定理可得，
且，
即，
整理可得，
且，則，可得，
又因為，則，可得，所以.
（2）因為為的平分線，則，
因為，則，
即，可得，
在中，由余弦定理可得，
即，整理可得，解得或（舍去），
所以的面積.
17．【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取的中點，連接，即可得到，根據(jù)面面垂直的性質得到平面，從而證明平面，即可得到，再由，即可得證；
（2）由（1）可得平面，建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.
【詳解】（1）取的中點，連接，
因為為等邊三角形，所以，
又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，
因為平面，所以，
又平面，所以平面，
因為平面，所以，
因為是的中點，所以，
因為平面，且，
所以平面.
（2）因為，由（1）知四邊形為矩形，則，
又平面，所以平面，
以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
則，
取平面的法向量為，
設平面的法向量為，
則，即，令，則，
所以.
，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
18．【答案】(1)眾數(shù)為；平均數(shù)為
(2)平均數(shù)為；方差為
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的眾數(shù)和平均數(shù)的定義和計算方法，即可求解；
（2）根據(jù)題意，得到分數(shù)在區(qū)間的學生為10人，分別為，得到，設第三組分別為，得到，設第四組分別為，其平均數(shù)和方差為，求得，結合，即可求解.
【詳解】（1）解：根據(jù)頻率分布直方圖的眾數(shù)的定義，可得這800名學生成績的眾數(shù)為，
這800名學生成績的的平均數(shù)為：
（分）.
（2）解：根據(jù)題意，采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取40人，
各段抽取的人生分別為：12人，16人，6人，4人和2人，
其中分數(shù)在區(qū)間的學生為10人，分別為，
其中平均成績與方差分別為，則，
設第三組學生實際成績分別為，其平均數(shù)和方差為，則，
設第四組學生實際成績分別為，其平均數(shù)和方差為，
由，可得，
由，
可得，解得，
所以第四組的學生實際成績的平均數(shù)為與方差為.
19．【答案】(1)
(2)
(3)（i）；（ii）
【分析】（1）利用題中概念分別計算出直線方向向量與平面法向量，然后利用線面角與直線方向向量和平面法向量所成角的關系計算即可；
（2）先計算平面法向量，找到平面上一點然后利用向量的投影計算即可；
（3）（i）先建立等式，然后畫出所表示的面，計算所圍成的圖形的面積即可；（ii）因為是一個完全對稱的圖形，只需計算第一卦限內相鄰面的二面角，我們需要畫出第一卦限內圖像，得到其二面角為鈍角；
【詳解】（1）由題可知，直線的一個方向向量坐標為，平面的一個法向量為，
設直線與平面所成角為，
則有，所以，
直線與平面所成角的余弦值為.
（2）由題可知平面的法向量為，且過點，
因為,所以，
所以點到平面的距離為.
（3）（i）建立空間直角坐標系，
先分別畫平面 ，
然后得到幾何體為
幾何體是底面邊長為的正方形，高為的長方體，
故幾何體的體積為，
（ii）由（i）可知，的圖像是一個完全對稱的圖像，所以我們只需討論第一卦限的相鄰兩個平面的二面角即可，
此時，
得，
畫出第一卦限圖像，
顯然其二面角為鈍角，
計算平面得二面角，
所以兩個平面的法向量分別為，
所以其二面角的余弦值為，所以二面角為
【點睛】思路點睛：我們需要按照解析式畫出平面，在空間中三點確定一個平面，可以直接找三個點即可，找到的點，最好是三個平面的交點，一般直接建立方程求解即可.
2024-2025學年湖北省荊州市高二上學期9月月考數(shù)學檢測試題（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．給出下列命題：
①若空間向量，滿足，則與的夾角為鈍角；
②空間任意兩個單位向量必相等；
③對于非零向量，若，則；
④若為空間的一個基底，則構成空間的另一個基底．
其中說法正確的個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．袋內裝有大小、形狀完全相同的3個白球和2個黑球，從中不放回地摸球，設事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，則下列說法中正確的是（ ）
A．A與B是互斥事件B．A與B不是相互獨立事件
C．B與C是對立事件D．A與C是相互獨立事件
3．“”是“直線和直線互相垂直”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．在空間四邊形中，若分別是的中點，是上的點，且，記，則等于（ ）
A．B．C．D．
5．在空間直角坐標系中，已知點，則點到直線的距離為（ ）
A．B．2C．D．3
6．已知動點在所在平面內運動，若對于空間中不在平面上的任意一點，都有，則實數(shù)的值為（ ）
A．0B．2C．D．
7．已知正方體中，是的中點，則直線與平面所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
8．直線l1：y＝ax＋b與直線l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐標系內的圖象只可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知空間向量，，則下列選項中正確的是（ ）
A．當時，B．當時，
C．當時，D．當時，
10．下列描述正確的是（ ）
A．若事件，相互獨立，，，則
B．若三個事件，，兩兩獨立，則滿足
C．若，，則事件，相互獨立與，互斥一定不能同時成立
D．必然事件和不可能事件與任意事件相互獨立
11．下列說法正確的是（ ）
A．直線恒過點
B．經(jīng)過點，且在軸上截距相等的直線方程為
C．已知，點在軸上，則的最小值是5
D．若直線過點，且與軸的正半軸分別交于兩點，為坐標原點，則面積的最小值為12
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知，，，夾角為，則 ．
13．已知甲、乙、丙三人投籃的命中率分別為0.7，0.5，0.4，若甲、乙、丙各投籃一次（三人投籃互不影響），則至多有一人命中的概率為 .
14．已知點，，直線是過點且與線段AB相交且斜率存在，則的斜率的取值范圍是
四、解答題（本大題共4小題）
15．（1）已知，，求邊的垂直平分線的方程.
（2）求過點且在兩坐標軸上的截距是互為相反數(shù)的直線的方程.
16．在試驗“袋中有白球3個（編號為1，2，3）、黑球2個（編號為1，2），這5個球除顏色外完全相同，從中不放回地依次摸取2個，每次摸1個，觀察摸出球的情況”中，摸到白球的結果分別記為，，，摸到黑球的結果分別記為，．求：
(1)取到的兩個球都是白球的概率；
(2)取到的兩個球顏色相同的概率；
(3)取到的兩個球至少有一個是白球的概率．
17．如圖，四邊形是正方形，平面，，，分別為的中點．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的大小；
(3)求點到平面的距離．
18．在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產企業(yè)加班加點生產口罩、防護服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應，在國際社會上贏得一片贊譽.我國某口罩生產企業(yè)在加大生產的同時，狠抓質量管理，不定時抽查口罩質量，該企業(yè)質檢人員從所生產的口罩中隨機抽取了100個，將其質量指標值分成以下六組：40,50，50,60，60,70，…，90,100，得到如下頻率分布直方圖.

(1)求出直方圖中m的值；
(2)利用樣本估計總體的思想，估計該企業(yè)所生產的口罩的質量指標值的平均數(shù)和中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）；
(3)現(xiàn)規(guī)定：質量指標值小于70的口罩為二等品，質量指標值不小于70的口罩為一等品.利用分層抽樣的方法從該企業(yè)所抽取的100個口罩中抽出5個口罩，并從中再隨機抽取2個作進一步的質量分析，試求這2個口罩中恰好有1個口罩為一等品的概率.
參考答案
1．【答案】B
【詳解】對于①，當與的夾角為，滿足，所以①錯誤；
對于②，因為向量既有大小又有方向，兩向量相等要滿足方向相同，長度相等，任意兩個單位向量，只能確定長度相等，所以②錯誤；
對于③，由，得到，所以或與垂直，所以③錯誤；
對于④，因為為空間向量的一個基底，所以不共面，故也不共面，所以構成空間的另一個基底，所以④正確.
故選：B.
2．【答案】B
【詳解】根據(jù)題意可知，事件和事件可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯；
不放回摸球，第一次摸球對第二次摸球有影響，所以事件和事件不相互獨立，故B正確；
事件的對立事件為“第二次摸到黑球”，故C錯；
事件與事件為對立事件，故D錯.
故選：B.
3．【答案】B
【詳解】直線和直線的充要條件為即，
可以推出，但推不出，
故“”是“直線和直線互相垂直”的必要而不充分條件，
故選：B.
4．【答案】A
【詳解】連接，因為，分別是的中點，
所以
，
故．
故選：A
5．【答案】A
【詳解】根據(jù)題意，，
則，
設向量是直線的單位方向向量，，
，
則點C到直線AB的距離為.
故選：A.
6．【答案】B
【詳解】因為，動點在所在平面內運動，所以，解得．
故選：B．
7．【答案】A
【詳解】
如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，
則A2,0,0，，，，
，，，
設平面的法向量為，則
∴可取.
設直線與平面所成角的，則，
于是直線與平面所成角的余弦值為.
故選：A.
8．【答案】D
【詳解】對B，斜率為正，在軸上的截距也為正，故不可能有斜率為負的情況.故B錯.
當時， 和斜率均為正，且截距均為正.僅D選項滿足.
故選：D
9．【答案】ACD
【詳解】對A，，存在實數(shù)，使得，則，即，
解得，，故A正確；
對B，，，即，解得，故B錯誤；
對C，當時，，，
，故C正確；
對D，當時，，，
，故D正確.
故選：ACD.
10．【答案】ACD
【詳解】A選項：由，，則，，又事件，相互獨立，則，A選項正確；
B選項：若三個事件，，兩兩獨立，由獨立事件的乘法公式，，，無法確定，B選項錯誤；
C選項：，，若事件，相互獨立則，若事件，互斥，則，C選項正確；
D選項：設任意事件發(fā)生的概率為，必然事件事件發(fā)生的概率為，不可能事件發(fā)生的概率為，則，，D選項正確；
故選：ACD.
11．【答案】ACD
【詳解】對于，整理，得，
令，解得所以直線恒過點，故正確.
對于，可知所求直線的斜率存在且不為0，設為，則它的方程為.
令，得，即該直線在軸上的截距為；
令，得，即該直線在軸上的截距為.

因為該直線在軸上的截距相等，所以，解得，
所以所求直線的方程為或，B錯誤.
對于C，點關于軸的對稱點為，連接交軸于點，點是軸上任意一點，連接，
于是，
當且僅當點與重合時，等號成立，
因此，C正確.
對于D，直線與軸的正半軸分別交于兩點，可知直線的斜率為負數(shù)，
設直線，
令，得，令，得，可知，
可得，
當且僅當，即時，等號成立，
所以面積的最小值為12，D正確.
故選：ACD.
12．【答案】
【詳解】由，，得，，
由，夾角為，得，解得，
所以.
故答案為：
13．【答案】0.45/
【詳解】甲、乙、丙各投籃一次（三人投籃互不影響），
則沒有人命中的概率為，
恰有一人命中的概率為，
所以至多有一人命中的概率為.
故答案為：0.45
14．【答案】
【詳解】因為，，，
所以，．
直線過點且與線段相交，如下圖所示：
或，
直線的斜率的取值范圍是：．
故答案為：．
15．【答案】（1） （2）或
【解析】（1）先求得中點坐標,根據(jù)垂直的斜率關系可求得直線的斜率,進而利用點斜式求得直線方程,化簡為一般式即可.
（2）討論截距是否為0:當截距為0時,可設正比例函數(shù),代入點求解;當截距不為0時,設截距式,代入點坐標即可求得參數(shù),進而得直線方程.
【詳解】（1）因為,
則中點坐標為
根據(jù)垂直直線的斜率關系可得
所以由點斜式可得
化簡得
（2）當截距為0時,設直線方程為
代入可得
則
此時
當截距不為0時,設直線方程為
代入可得
解得,即
化簡可得
綜上可知,直線方程為或
16．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【詳解】（1）由前面的分析可知試驗的樣本空間，
共有20個樣本點，且每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同，可用古典概型來計算概率．
設事件A表示“取到的兩個球都是白球”，則，
共含有6個樣本點，所以，即取到的兩個球都是白球的概率為；
（2）設事件B表示“取到的兩個球顏色相同”，則，
共含有8個樣本點，所以，即取到的兩個球顏色相同的概率為；
（3）設事件C表示“取到的兩個球至少有一個是白球”，
則，
共含有18個樣本點，所以，即取到的兩個球至少有一個是白球的概率為.
17．【答案】(1)證明見解析
(2)；
(3)
【詳解】（1）由題意分別為的中點，
所以是的中位線，
即，
又平面，平面，
所以平面；
（2）由于四邊形是正方形，平面，
所以兩兩垂直，
以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，
如圖所示：

又，分別為的中點，
則，
所以；
設平面的一個法向量m=x1,y1,z1，
則，
解得，令，得；
即，
設平面的一個法向量為n=x2,y2,z2，
則，
解得，令，
即；
設平面與平面夾角的大小為，
所以，
又，所以；
即平面與平面夾角的大小為；
（3）由（2）平面的一個法向量為；
又，
所以點到與平面的距離距為：
.
18．【答案】(1)
(2)平均數(shù)為71，中位數(shù)為73.33
(3)
【詳解】（1）由，
得.
（2）平均數(shù)為.
設中位數(shù)為，
質量指標值位于之間的頻率為0.4，位于之間的頻率為0.7，
所以，，
且，
解得.
故可以估計該企業(yè)所生產口罩的質量指標值的平均數(shù)為71，中位數(shù)為73.33.
（3）由頻率分布直方圖可知，質量指標小于70的頻率為0.4，大于70的頻率為0.6，
所以100個口罩中一等品、二等品各有60個、40個.
又抽樣比為，
由分層抽樣可知，所抽取的5個口罩中一等品有個、二等品有個.
記這3個一等品為，2個二等品為，
則從5個口罩中抽取2個，所以可能的樣本點的有：，，，，，，，，，，共10個等可能的樣本點，
其中恰有1個口罩為一等品包含的樣本點有：，，，，，，共6種.
根據(jù)古典概型可知，這2個口罩中恰好有1個口罩為一等品的概率為.

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