1．圓的圓心與半徑分別為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．兩平行直線和之間的距離為（ ）
A．B．2C．D．3
3．已知點，且四邊形是平行四邊形，則點的坐標為（ ）
A．B．
C．D．
4．經(jīng)過直線和的交點，且傾斜角是直線的傾斜角的兩倍的直線方程為（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，且平面平面，若平面與平面的夾角的余弦值為，則實數(shù)的值為（ ）
A．或B．或1C．或2D．
6．直線關于直線對稱的直線方程為（ ）
A．B．C．D．
7．在空間直角坐標系中，已知，則點A到直線的距離為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，在棱長為1的正方體中，，，若平面，則線段的長度的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知向量，則下列向量中與共面的向量是（ ）
A．B．C．D．
10．已知動點分別在直線與上移動，則線段的中點P到坐標原點O的距離可能為（ ）
A．B．C．D．
11．如圖，在四棱錐中，底面，底面為邊長為2的菱形，，為對角線的交點，為的中點．則下列說法正確的是（ ）
A．B．三棱錐的外接球的半徑為
C．當異面直線和所成的角為時，D．點F到平面與到平面的距離相等
三、填空題（本大題共3小題）
12．過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程是
13．已知點，過點的直線l與線段相交，則直線l的傾斜角的取值范圍為 ，直線l的斜率的取值范圍為 ．
14．如圖，在三棱柱中，，為的中點，E為的中點，和相交于點P，則 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知三個頂點的坐標分別是.
(1)求的面積
(2)求外接圓的方程
16．在中，頂點A在直線上，頂點B的坐標為邊的中線所在的直線方程為邊的垂直平分線的斜率為．
(1)求直線的方程；
(2)若直線l過點B，且點A、點C到直線l的距離相等，求直線l的方程．
17．如圖，在長方體中，，，.

(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
18．已知直線與x軸，y軸的正半軸分別交于兩點，O為坐標原點．
(1)求的最小值；
(2)求的最小值．
19．如圖，在四棱錐中，，為的中點．
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍．
參考答案
1．【答案】C
【詳解】圓心為，即，
半徑為.
故選：C
2．【答案】A
【詳解】平行直線和之間的距離.
故選：A
3．【答案】A
【詳解】設設點D的坐標為，
由題意得
，
因為四邊形是平行四邊形，所以，
所以，解得，
故選：A
4．【答案】C
【詳解】由，解得，即所求方程的直線過點，
令直線的傾斜角為，則，顯然是銳角，
因此所求方程的直線斜率，
所以所求的直線方程為，即.
故選：C
5．【答案】B
【分析】利用向量的夾角公式列方程求解即可.
【詳解】因為，
所以，
因為平面平面，若平面與平面的夾角的余弦值為，
所以，化簡得，解得或1．
故選B.
6．【答案】D
【詳解】由，解得，則直線與直線交于點，
在直線上取點，設點關于直線的對稱點，
依題意，，整理得，解得，即點，
直線的方程為，即，
所以直線關于直線對稱的直線方程為.
故選：D
7．【答案】A
【詳解】，，
.
故選：A.
8．【答案】D
【分析】建系，求出相關點的坐標，用表示出，證明平面，求得平面的法向量，由條件得到，將的表達式整理成二次函數(shù)，利用其最小值即得.
【詳解】
如圖，以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系.
則有,
依題意，，
,
于是，.
又因為平面，平面,則,
又,平面，故平面,
故平面的法向量可取為，
因為平面，故，即.
則
，
因為，故當時，.
故選D.
9．【答案】AC
【詳解】對于A，設，則得，解得，即，故A正確；
對于B，設，則得，該方程組無解，故不存在的值滿足，故B錯誤；
對于C，設，則得，解得，即，故C正確；
對于D，設，則得，該方程組無解，故不存在的值滿足，故D錯誤.
故選：AC.
10．【答案】CD
【詳解】令Ax1,y1、Bx2,y2分別在直線：與：上，
設AB的中點M的坐標為，則有：
，兩式相加得：，
所以，則原點到該直線的距離，大于該值的都有可能.
故選：CD
11．【答案】ACD
【分析】在菱形中，過點作直線，以為原點建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，利用空間向量求出線線角判斷AC；求出點到平面距離判斷D；分析棱錐外接球球心并求出球半徑判斷B.
【詳解】在菱形中，過點作直線，由底面，得直線兩兩垂直，
以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，而，
則，
由，得，則，
對于A，，，
則，于是，A正確；
對于B，由，得三棱錐的外接球截平面所得截面圓圓心為，
則球心在過垂直于平面的直線上，直線，顯然球心在線段的中垂面上，
因此，三棱錐的外接球，B錯誤；
對于C，，由異面直線和所成的角為，
得，整理得，
而，解得，C正確；
對于D，，
設平面與平面的法向量分別為，
，令，得，
，令，得，
而，則點F到平面的距離，
點F到平面的距離，顯然，D正確.
故選：ACD
12．【答案】或.
【解析】分截距為0以及截距不為0兩種情況分別求解即可.
【詳解】當截距為0時,滿足在兩坐標軸上的截距相等.此時設直線方程為,則,故,化簡得.
當截距不為0時,設直線方程為,則.故,化簡可得.
故答案為：或.
13．【答案】
【詳解】如圖所示：
由點，可得直線的斜率為，直線的斜率為，
由直線與線段相交，可得的范圍是；
由斜率與傾斜角的正切圖象得傾斜角
故答案為：；.
14．【答案】/
【詳解】在三棱柱中，連接，由分別為的中點，
得，且，則，
，
，而，
所以
.
故答案為：.
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）三個頂點的坐標分別是，
直線的斜率，直線的斜率，
則，即.
，，
.
（2）由，外接圓是以線段AB為直徑的圓，
線段的中點為，半徑，
所以外接圓的方程是.
16．【答案】(1)；
(2)或.
【詳解】（1）由邊的垂直平分線的斜率為，得直線方程為，即，
而邊中線所在的直線方程為，
由，解得，則，設點，則點，
于是，解得，即點，直線的斜率，
所以直線的方程為，即.
（2）由（1）知，，，
由直線l過點B，且點A、點C到直線l的距離相等，得直線過邊的中點，或，
當直線過時，直線的斜率為，方程為，即，
當直線時，直線的斜率為，方程為，即，
所以直線l的方程為或.
17．【答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）在長方體中，以D為坐標原點，向量分別為軸建立空間直角坐標系，

有，，，，，，，
則，，，，，
因此，，又，，平面，
所以平面.
（2）設平面的法向量為，由，，
有，取，得，
設直線與平面所成的角為，而
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
18．【答案】(1)12
(2)
【詳解】（1）由整理得，，
令，解得，即直線經(jīng)過定點.
不妨設直線的方程為，則有（*）
由（*）和基本不等式可得，，解得，
當且僅當時，即時，等號成立，
故當時，的最小值為12；
（2）因，由（1）得，，
則，當且僅當時，等號成立，
故當時，取得最小值.
19．【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）
如圖，連接，兩線交于點，因則，，
在中，設，由余弦定理，，解得，則,
由題意知：共線且，取線段的三等分點（靠近點），
連接，則點是的中點，因為的中點，故有,
又平面，平面，故得，平面①
因且，易知為菱形，故得，
又平面，平面，故得，平面②
由① ，② ，因平面，故平面平面，
因平面，則平面.
（2）
如圖，分別以，過點豎直向上的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系.
設與軸成角，因，則且,
又，故即二面角的平面角，則，
于是，又.
則，
設平面的一個法向量為，則，可??；
又,
設平面的一個法向量為，則，可取.
設平面與平面的夾角為，則，
設，因，則，，
設，則，，
記，因函數(shù)在上單調遞增，故，
則，故，
即平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍為.
2024-2025學年河南省南陽市高二上學期9月月考數(shù)學檢測試題（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．直線的傾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（ ）
A．B．C．D．3
3．已知圓經(jīng)過兩點，且圓心在直線，則圓的標準方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知橢圓的左?右焦點分別為，點在橢圓上.若，則的面積為（ ）
A．4B．6C．8D．9
5．已知圓，則經(jīng)過圓內一點且被圓截得弦長最短的直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
6．動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，則動點的軌跡方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知是橢圓上一點，則點到直線的最小距離是（ ）
A．B．C．D．
8．已知是橢圓上關于原點對稱的兩點，是橢圓的右焦點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知直線，則下列結論正確的是（ ）
A．直線的一個方向向量為
B．直線的一個法向量為
C．若直線，則
D．點到直線的距離是2
10．已知直線，圓是以原點為圓心，半徑為2的圓，則下列結論正確的是（ ）
A．直線恒過定點
B．當時，圓上有且僅有兩個點到直線的距離都等于1
C．若圓與曲線恰有三條公切線，則
D．當時，過直線上一個動點向圓引兩條切線，其中為切點，則直線經(jīng)過點
11．已知橢圓的長軸端點分別為，兩個焦點分別為是上任意一點，則（ ）
A．橢圓的離心率為
B．的周長為
C．面積的最大值為
D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是 .
13．已知圓，若圓關于直線對稱，則的最小值為 ，此時直線的一般式方程為 .
14．橢圓的左?右焦點分別為，點在上，直線過左焦點，且與橢圓相交于兩點，若直線的傾斜角為，則的面積等于 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．（1）已知直線過定點，且其傾斜角是直線的傾斜角的二倍，求直線的方程；
（2）已知入射光線經(jīng)過點，且被直線反射，反射光線經(jīng)過點，求反射光線所在直線的方程.
16．已知直線，點和點分別是直線上一動點.
(1)若直線經(jīng)過原點，且，求直線的方程；
(2)設線段的中點為，求點到原點的最短距離.
17．已知圓過三點.
(1)求圓的標準方程；
(2)斜率為1的直線與圓交于兩點，若為等腰直角三角形，求直線的方程.
18．已知圓在橢圓里.過橢圓上頂點作圓的兩條切線，切點為，切線與橢圓的另一個交點為，切線與橢圓的另一個交點為.
(1)求的取值范圍；
(2)是否存在圓，使得直線與之相切，若存在求出圓的方程，若不存在，說明理由.
19．已知兩個定點.動點滿足直線和直線的斜率之積是
(1)求動點的軌跡方程，并說明該軌跡是什么曲線；
(2)記（1）中點的軌跡為曲線，不經(jīng)過點的直線與曲線相交于兩點，且直線與直線的斜率之積是，求證：直線恒過定點.
參考答案
1．【答案】D
【詳解】直線的方程可化為，可知傾斜角，且滿足，
因此.
故選:D.
2．【答案】A
【詳解】因為和互相平行，
所以，解得，
所以直線可以轉化為，
由兩條平行直線間的距離公式可得.
故選：A
3．【答案】C
【詳解】設圓心的坐標為.
因為圓心在直線上，所以①，
因為是圓上兩點，所以，根據(jù)兩點間距離公式，有，即②，
由①②可得.所以圓心的坐標是），圓的半徑.
所以，所求圓的標準方程是.
故選:C.
4．【答案】D
【詳解】由橢圓定義可得，
又因為，所以由勾股定理可得，
即，解得，
則的面積為.
故選：D.
5．【答案】B
【詳解】設經(jīng)過圓內一點且被圓截得弦長最短的直線的斜率為，直線的斜率為，
由題意得，，
過點P且弦長最短的弦應是垂直于直線CP的弦，則，得，
所以過點且被圓截得弦長最短的直線的方程為，即.
故選：B.
6．【答案】B
【詳解】設是點到直線的距離，
根據(jù)題意，動點的軌跡就是集合.
由此得，將上式兩邊平方并化簡，得，
即.
所以動點的軌跡方程為.
故選：B.
7．【答案】C
【詳解】解法一：設與直線平行的直線為，
聯(lián)立整理得，
令，解得或，所以與距離，
當時，最小，即點到直線的最小距離是.
解法二：設橢圓上點，則點到直線距離
，
其中，當時，，
故選:C.
8．【答案】C
【詳解】由對稱性和橢圓定義可知，其中，
故，
又因為，設點，則，
所以，
當時，取得最小值，最小值為4，當時，取得最大值，最大值為64，所以，
故當時，取得最小值，最小值為51，
當時，取得最大值，最大值為，
故的取值范圍是.
故選：C.

9．【答案】ACD
【詳解】對于A，因為直線的斜率，所以直線的一個方向向量為，故A正確；
對于B， 直線的一個方向向量為，由，所以不是直線的一個法向量，故B錯誤；
對于C，因為直線的斜率，且，所以直線與直線垂直，故C正確；
對于D，點到直線的距離，故D正確.
故選：ACD.
10．【答案】ACD
【詳解】對于，整理得，
所以解得所以直線恒過定點，故A正確；
對于B，當時，直線為，
則圓心到直線的距離，而圓的半徑為2，
所以圓上有且僅有4個點到直線的距離都等于1，故B錯誤；
對于C，曲線整理得，
當時，曲線是圓心為，半徑為的圓，
圓的圓心，半徑為2，所以兩圓的圓心距為，此時兩圓外切，恰有3條公切線，所以，故C正確；
對于D，當時，直線的方程為，設，則以為直徑的圓的方程為，
即
圓兩圓的公共弦的方程為，
整理得解得
直線經(jīng)過點.故D正確.
故選：ACD
11．【答案】ABD
【詳解】橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，
對于A，橢圓的離心率為，故A正確；
對于B，的周長為，故B正確；
對于C，，設，則面積的最大值為，故C錯誤；
對于D，設，
，
因此，故D正確.
故選：ABD.
12．【答案】
【詳解】由題意可得解得，故實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
13．【答案】
【詳解】圓，整理得，則的圓心為，
由題意得直線過圓心，所以，
又，所以.
（當且僅當時，取“）.此時直線方程為，即.
故答案為:.
14．【答案】
【詳解】已知點在橢圓上，可得，所以，
又因為直線的斜率，所以的方程為.
設，聯(lián)立方程組消去得，可得，
所以，
點到直線的距離，
所以.
故答案為:.
15．【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）因為直線的斜率為，則直線的傾斜角為，
故所求直線的傾斜角為，直線斜率為，
所求直線的方程為，即.
（2）設關于直線對稱的點為，
則解得
因為反射光線經(jīng)過點，
所以所在直線的斜率為，
故反射光線所在直線方程為，即.
16．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）將化為一般式方程，得，
,則兩直線平行，
故兩直線的距離為，
因為，所以和兩直線垂直.
因為的斜率為，所以.
又因為直線經(jīng)過原點，所以直線的方程為.
（2）因為互相平行，所以線段的中點的軌跡為，
即
所以點到原點的最短距離即點到直線的距離，
因為點到直線的距離為.
所以點到原點的最短距離為.
17．【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）設所求的圓的方程是，其中，
把已知三點坐標代入得方程組解得
所以圓的一般方程為.
故圓的標準方程為.
（2）設直線的方程為：，
因為為等腰直角三角形，又由（1）知圓的圓心為，半徑為5.
所以圓心到直線的距離
解得或，所以直線的方程為：或.
18．【答案】(1)
(2)存在滿足條件的圓，其方程為
【詳解】（1）設為橢圓上任意一點，則，，
則.
則.故.
（2）由題意可知，設，因為，故切線的斜率都存在.
又直線的方程為，即為，
同理直線的方程為.

則，故.
而，故，又因為.
故，同理：.
故直線的方程為.
若直線與圓相切，則，令.
故，即.
故或或，
因為，所以不滿足，
故存在滿足條件的圓，其方程為
19．【答案】(1)的軌跡方程為，即點的軌跡是除去兩點的橢圓
(2)證明見解析
【詳解】（1）設點的坐標為，因為點的坐標是，
所以直線的斜率，
同理，直線的斜率，
由已知，有，
化簡，得點的軌跡方程為，
即點的軌跡是除去兩點的橢圓.
（2）設
如圖：
①當直線斜率不存在時，可知，
且有，
解得或，當時，則直線經(jīng)過點，與題意不符，舍去，故，此時直線為，
②當直線斜率存在時，設直線，則
.
聯(lián)立直線方程與橢圓方程，
消去可得：，
根據(jù)韋達定理可得：，
所以，
即
整理得：，
所以，則或，
當時，則直線恒過點，與題意不符，舍去，
故，直線恒過原點，
結合①②可知，直線恒過原點，原命題得證.

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