1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為（ ）
A．B．C．D．
2．已知，是相互垂直的單位向量，則＝（ ）
A．1B．2
C．3D．4
3．如圖，在平行六面體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
4．已知向量，且平面平面，若平面與平面的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．或B．或1C．或2D．
5．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．直線與直線垂直B．直線與平面平行
C．三棱錐的體積為D．直線BC與平面所成的角為
6．已知M，N 分別是正四面體中棱AD，BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足則DP與AB夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別在線段和上，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的結(jié)論是（ ）
A．的最小值為2
B．四面體的體積為
C．有且僅有一條直線與垂直
D．存在點(diǎn)，使為等邊三角形
8．在正四面體中，點(diǎn)E在棱AB上，滿足，點(diǎn)F為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．存在某個(gè)位置，使得
B．存在某個(gè)位置，使得
C．存在某個(gè)位置，使得直線DE與平面DBF所成角的正弦值為
D．存在某個(gè)位置，使得平面DEF與平面DAC夾角的余弦值為
二、多選題（本大題共3小題）
9．直線的方向向量為，兩個(gè)平面的法向量分別為，則下列命題為真命題的是（ ）
A．若，則直線平面
B．若，則平面平面
C．若，則平面所成銳二面角的大小為
D．若，則直線與平面所成角的大小為
10．下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．若是空間任意四點(diǎn)，則有
B．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得
C．若共線，則
D．對(duì)空間任意一點(diǎn)與不共線的三點(diǎn)，若（其中），則四點(diǎn)共面
11．在棱長(zhǎng)均為1的三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，則下列說法一定正確的有（ ）
A．當(dāng)點(diǎn)為三角形的重心時(shí)，
B．當(dāng)時(shí)，的最小值為
C．當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，的最大值為2
D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離的最小值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知空間向量，若，則實(shí)數(shù) .
13．平面內(nèi)的點(diǎn)、直線可以通過平面向量及其運(yùn)算來表示，數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常會(huì)用到類比的方法，把平面向量推廣到空間向量，利用空間向量表示空間點(diǎn)、直線、平面等基本元素，經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，平面向量中的加減法、數(shù)乘與數(shù)量積運(yùn)算法則同樣也適用于空間向量.在四棱錐中，已知是平行四邊形，，且平面，則向量在向量方向上的投影向量是 (結(jié)果用表示).
14．如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直．點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．設(shè)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①存在點(diǎn)，使；
②存在點(diǎn)，使；
③到直線和的距離相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)；
④若，則四面體體積的最大值為．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．如圖，在四棱錐中，平面平面，，四邊形為梯形，，，，，，，交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.
(1)證明：平面.
(2)求二面角的正弦值.
16．在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，且，．
(1)求證：平面平面AEF；
(2)當(dāng)，，求平面與平面的夾角的余弦值．
17．如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，，平面平面.

(1)求證：平面；
(2)若，點(diǎn)在棱上，且二面角的大小為.
①求證：；
②設(shè)是直線上的點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.
18．《瀑布》（圖1）是最為人所知的作品之一，圖中的瀑布會(huì)源源不斷地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至極，但又會(huì)讓你百看不膩，畫面下方還有一位饒有興致的觀察者，似乎他沒發(fā)現(xiàn)什么不對(duì)勁.此時(shí)，他既是畫外的觀看者，也是埃舍爾自己.畫面兩座高塔各有一個(gè)幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”由三個(gè)正方體構(gòu)成，右塔上的幾何體是首次出現(xiàn)，后稱“埃舍爾多面體”（圖2）.
埃舍爾多面體可以用兩兩垂直且中心重合的三個(gè)正方形構(gòu)造，設(shè)邊長(zhǎng)均為2，定義正方形，的頂點(diǎn)為“框架點(diǎn)”，定義兩正方形交線為“極軸”，其端點(diǎn)為“極點(diǎn)”，記為，將極點(diǎn)，分別與正方形的頂點(diǎn)連線，取其中點(diǎn)記為，，，如（圖3）.埃舍爾多面體可視部分是由12個(gè)四棱錐構(gòu)成，這些四棱錐頂點(diǎn)均為“框架點(diǎn)”，底面四邊形由兩個(gè)“極點(diǎn)”與兩個(gè)“中點(diǎn)”構(gòu)成，為了便于理解，圖4我們構(gòu)造了其中兩個(gè)四棱錐與
(1)求異面直線與成角余弦值；
(2)求平面與平面的夾角正弦值；
(3)求埃舍爾體的表面積與體積（直接寫出答案）.
19．如圖1，在平行四邊形中，，E為的中點(diǎn)．將沿折起，連接與，如圖2．

(1)當(dāng)為何值時(shí)，平面平面?
(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
(3)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求三棱錐的內(nèi)切球的半徑．
參考答案
1．【答案】C
【分析】直接根據(jù)空間直角坐標(biāo)系對(duì)稱點(diǎn)的特征即可得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.
故選C．
2．【答案】A
【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積公式計(jì)算出答案.
【詳解】是相互垂直的單位向量，故，
故.
故選A.
3．【答案】A
【分析】由空間向量的加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可.
【詳解】根據(jù)題意，.
故選A.
4．【答案】B
【分析】利用向量的夾角公式列方程求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)槠矫嫫矫?，若平面與平面的夾角的余弦值為，
所以，化簡(jiǎn)得，解得或1．
故選B.
5．【答案】B
【分析】對(duì)于A，根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷；對(duì)于BD，利用空間向量判斷；對(duì)于C，利用體積公式求解即可.
【詳解】對(duì)于A：為正方體，所以，直線與直線不垂直，所以直線與直線不垂直，故A錯(cuò)誤；
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，
對(duì)于B：，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，則，
因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)樵谄矫嫱?，所以直線與平面平行，故B正確；
對(duì)于C：，所以三棱錐的體積為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，直線BC與平面所成的角為，，故D錯(cuò)誤.
故選B.
6．【答案】A
【分析】設(shè)，表達(dá)出，進(jìn)而求出，進(jìn)而得到，，從而利用夾角余弦公式求出DP與AB夾角的余弦值.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)?，所?br>，
設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，
故
，
又
，
所以，
故，
DP與AB夾角的余弦值為.
故選A.
7．【答案】C
【分析】利用異面直線的距離可判定A；利用棱錐的體積公式可判定B；利用特殊位置可排除C；利用坐標(biāo)法可判定D.
【詳解】根據(jù)正方體的特征可知平面，
又平面，所以，
即是異面直線和的公垂線，
當(dāng)分別與重合時(shí)，最小值，最小值為2，故A正確；
易知，所以，故B正確；
易知是等邊三角形，所以當(dāng)是中點(diǎn)，而N與重合時(shí)，，
又由A項(xiàng)可知當(dāng)分別與重合時(shí)，，故C錯(cuò)誤；
如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可設(shè)，，
若存在點(diǎn)，使為等邊三角形，則有，
由，由，
解方程得，
當(dāng)，舍去；
又因?yàn)椋?br>所以符合題意，故D正確.
故選C.
8．【答案】C
【分析】設(shè)正四面體的底面中心為點(diǎn)，連接，則平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，然后利用空間向量法逐一分析求解可得結(jié)果.
【詳解】如下圖所示，設(shè)正四面體的底面中心為點(diǎn)，連接，則平面，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，
則，，，，，
設(shè)，其中，
對(duì)于A：若存在某個(gè)位置使得，，，
所以，解得，不滿足題意，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若存在某個(gè)位置使得，，，
則，該方程無解，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
，，
由，令，則，
若存在某個(gè)位置，使得直線DE與平面DBF所成角的正弦值為，又，
則，
整理得，解得或（舍去），
所以存在，即為的中點(diǎn)，滿足題意，故C正確；
對(duì)于D：設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
又，，
由，取，得，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
，，
由，取，則，
若存在某個(gè)位置，使得平面DEF與平面DAC夾角的余弦值為，
則，
整理得，易得，所以該方程無解，故D錯(cuò)誤.
故選C.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題解決的關(guān)鍵點(diǎn)在于建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法解決立體幾何的相關(guān)問題，解題過程要注意利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，準(zhǔn)確計(jì)算．
9．【答案】BCD
【分析】由，則直線平面或，可判斷；根據(jù)平面法向量的概念及空間角的求解方法，可判斷.
【詳解】由，則直線平面或，故錯(cuò)誤；
由，則平面平面，故正確；
若，設(shè)平面和平面所成角為，且，
則，
所以平面所成銳二面角的大小為，故正確；
設(shè)直線與平面所成角為，
則，且，
所以直線與平面所成角的大小為，故正確.
故選.
10．【答案】BCD
【分析】利用向量加法運(yùn)算判斷A；利用共線向量定理判斷B；利用向量共線的意義判斷C；利用共面向量定理判斷D.
【詳解】對(duì)于A：，故A正確；
對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，不存在，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：共線，可以在同一條直線上，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，四點(diǎn)不共面，故D錯(cuò)誤.
故選BCD.
11．【答案】BCD
【分析】將用表示，再結(jié)合求出，即可判斷A；將平方，將代入，再結(jié)合基本不等式即可判斷B；當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得，再根據(jù)，求出，再根據(jù)即可判斷C；求出在方向上的投影，再利用勾股定理結(jié)合基本不等式即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A：當(dāng)點(diǎn)為三角形的重心時(shí)，，
所以，又因?yàn)椋?br>所以，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：
，
因?yàn)?，所以?br>則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，
所以，所以的最小值為，故B正確；
對(duì)于C：當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，
則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得，
則，又因?yàn)椋?br>所以，所以，
因?yàn)?，所以，所以的最大值?，故C正確；
對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，由A選項(xiàng)知，
，
在方向上的投影為，
所以點(diǎn)到的距離，
因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
所以點(diǎn)到的距離的最小值為，故D正確.
故選BCD.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得，再根據(jù)，求出，是解決C選項(xiàng)的關(guān)鍵.
12．【答案】
【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以，解?
13．【答案】
【分析】運(yùn)用投影向量的概念，結(jié)合數(shù)量積，基底，求解即可.
【詳解】向量在向量方向上的投影向量為.
運(yùn)用余弦定理求得.
，，
，展開化簡(jiǎn)得
，且平面，則,
則.
代入，得到.則向量在向量方向上的投影向量為.

14．【答案】①③④
【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助空間向量研究位置關(guān)系，結(jié)合距離公式、三棱錐體積公式逐項(xiàng)判斷即可得.
【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則有,,,,,，
設(shè)，，其中，，
對(duì)于①：，則，
當(dāng)，，時(shí)，有，
故存在點(diǎn)，使，故①正確；
對(duì)于②：，，
若，則有，
由，，故當(dāng)時(shí)，，，
此時(shí)有，即，即，
此時(shí)與重合，與重合，故不存在點(diǎn)，使，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③：點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，
即有，即，由，
故其軌跡為雙曲線的一部分，即點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，故③正確；
對(duì)于④：，，
由，故有，則，
又，
故，故④正確.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】第④個(gè)結(jié)論的關(guān)鍵點(diǎn)在于借助四面體的體積公式，分別求出高與底面三角形的最大值.
15．【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角形邊角關(guān)系可證明相似，即可得,即可求證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角求解即可.
【詳解】（1）平面平面，且兩平面交于，又，
平面.
在中，，，.
且，是等腰直角三角形，
，.
，，
又，為等腰直角三角形，.
，，
又，，平面,平面，
平面.
（2）由（1）得平面，且，所以建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
可得，，，
即，.
設(shè)平面的法向量為，則，
令，得.
平面的法向量為.
設(shè)二面角為，所以，
則.
16．【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）先證明線面垂直，再應(yīng)用面面垂直判定定理證明即可；
（2）應(yīng)用空間向量法求二面角余弦值.
【詳解】（1）為長(zhǎng)方體，平面，
平面，，
又，且，平面，
平面，
平面AEF ，
平面平面；
（2）依題意，建立以D為原點(diǎn)，以DA，DC，分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系，，
則，
則，
設(shè)平面的法向量為．則，即，
令，則，.
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，平面的法向量為，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
平面與平面的夾角的余弦值為.
17．【答案】(1)證明見詳解
(2)①證明見詳解；②
【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)得到平面，再利用線面垂直的性質(zhì)得到，結(jié)合條件及線面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，①求出平面和平面的法向量，結(jié)合條件得到，從而有，即可證明結(jié)果；②設(shè)，結(jié)合①中結(jié)果，利用向量法求線面角，得到，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）在四棱錐中，
因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所?
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)槠矫妫遥?br>所以平面.
（2）①以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，所以設(shè)或顯然不滿足題設(shè)，
因?yàn)?，所以?br>所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則，即，取，則，
所以，是平面的一個(gè)法向量，
所以，
因?yàn)槎娼堑拇笮?，所以?br>即，解得，
此時(shí)，，
，所以，
所以，即.
②因?yàn)槭侵本€上的點(diǎn)，所以設(shè)，
由①可得，所以，平面的一個(gè)法向量.
設(shè)直線與平面所成角為，則.
則，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，
所以當(dāng)，即時(shí)，取最大值，
所以，
即直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
18．【答案】(1)
(2)
(3)表面積為，體積為
【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，，根據(jù)向量即可結(jié)果；
（2）根據(jù)坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，根據(jù)向量法可以求出法向量夾角的余弦值，進(jìn)而得出結(jié)果；
（3）由已知可得，四邊形為菱形.根據(jù)向量法求出四棱錐的體積以及表面積即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）由題意可知，兩兩垂直，且.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，如圖5，建立空間直角坐標(biāo)系.
則由題意可得，，，，，，，.
又分別是的中點(diǎn)，所以，.
所以，，
則，
所以異面直線與成角余弦值為.
（2）由（1）可得，，，.
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則，
即，
令，可得是平面的一個(gè)法向量.
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
因?yàn)?
則，
即，取，可得是平面的一個(gè)法向量.
則，
所以平面與平面的夾角正弦值為.
（3）由（1）（2）可得，，，，，.
所以，
所以且，所以四邊形為平行四邊形.
又，
所以，即，
所以四邊形為菱形.
又，，
所以.
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，
即，取，
則是平面的一個(gè)法向量.
又，所以點(diǎn)到平面的距離.
所以四棱錐的體積，
四棱錐的體積，
因?yàn)椋?
所以在方向上的投影為，
所以點(diǎn)到直線的距離.
同理可得點(diǎn)到直線的距離.
所以四棱錐的側(cè)面積.
所以埃舍爾體的表面積為，體積為.
19．【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【分析】（1）先探索面面垂直的必要條件，再證明充分性即可.
（2）由（1）得面面垂直、線面垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法表示線面角的正弦值，建立關(guān)于的方程求解即可.
（3）借助體積公式可得當(dāng)平面時(shí)，三棱錐的體積最大，借助等體積法計(jì)算可得內(nèi)切球半徑.
【詳解】（1）連接，由題意得，
則為等邊三角形，，
在中，，
由余弦定理得，
所以，由，
則，故.
若平面平面，
由平面平面，平面，，
則平面，又平面，則，
所以.
下面證明當(dāng)時(shí)，平面平面.
證明：由，則，
所以，又，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
故當(dāng)時(shí)，平面平面；
（2）由（1）知，，則平面平面.
在平面內(nèi)過作，
由平面平面，平面，
則平面，又平面，則.
如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
故，
由，
所以，
因?yàn)檩S垂直平面，故可取平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以，
化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），
故當(dāng)時(shí)，存在，使直線與平面所成角的正弦值為；

（3）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
由，其中為定值，
則要使三棱錐的體積最大，則點(diǎn)到平面的距離最大，
取中點(diǎn)，連接，則，
當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，
此時(shí)，由平面，則平面平面，
由（1）知，，為直角三角形，.
則，
，
，
在中，，取中點(diǎn)，
則，且，
所以，
設(shè)內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球半徑為，由等體積法知，
，
其中，，
故，
故當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐的內(nèi)切球的半徑為.
【方法總結(jié)】空間幾何體的內(nèi)切球問題，一是找球心，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑，作出或找到截面，在截面中求半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑；三是建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出球心坐標(biāo)，利用有關(guān)半徑等的等量關(guān)系解方程組可得.
2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，且，則的值為（ ）
A．6B．10C．12D．14
3．在中，三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，則（ ）
A．B．C．D．.
4．已知點(diǎn)，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則a，b的值分別是（ ）
A．，3B．，2C．1，3D．，2
5．如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為中點(diǎn)，則等于（ ）
A．B．
C．D．
6．已知為空間的一個(gè)基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如圖，為了測(cè)量某鐵塔的高度，測(cè)量人員選取了與該塔底在同一平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，米，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋瑒t該鐵塔的高度約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，，，）

A．米B．米C．米D．米
8．平面四邊形ABCD中，，，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．如圖，在底面為等邊三角形的直三棱柱中，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則（ ）
A．平面
B．
C．異面直線與所成角的余弦值為
D．平面與平面的夾角的正切值為
10．中，角所對(duì)的邊為下列敘述正確的是（ ）
A．若，則一定是銳角三角形
B．若，則一定是等邊三角形
C．若，則
D．若，則
11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方體表面運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論中正確的為（ ）

A．在中點(diǎn)時(shí)，平面平面
B．異面直線所成角的余弦值為
C．在同一個(gè)球面上
D．，則點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是 ．
13．若圓錐的底面半徑為，側(cè)面積為，則該圓錐的體積為
14．榫卯結(jié)構(gòu)是中國古代建筑文化的瑰寶，在連接部分通過緊密的拼接，使得整個(gè)結(jié)構(gòu)能夠承受大量的重量，并且具有較高的抗震能力.這其中木楔子的運(yùn)用，使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足，木楔子是一種簡(jiǎn)單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛?木片等.如圖為一個(gè)木楔子的直觀圖，其中四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，且均為正三角形，則該木楔子的外接球的表面積為 .

四、解答題（本大題共5小題）
15．記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若是邊上一點(diǎn)，且，求的面積．
16．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)．
(1)求證平面；
(2)求二面角的大?。?br>17．三棱臺(tái)中，，平面平面ABC，，與交于D．

(1)證明：平面；
(2)求異面直線與DE的距離．
18．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，且，為邊的中點(diǎn).是平面外的一點(diǎn)，且有.

(1)證明：；
(2)已知，，，直線與平面所成角的正弦值為.
（i）求的面積；
（ii）求三棱錐的體積.
19．在空間直角坐標(biāo)系中，己知向量，點(diǎn)．若直線以為方向向量且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程可表示為，一般式方程可表示為．
(1)若平面，平面，直線為平面和平面的交線，求直線的單位方向向量（寫出一個(gè)即可）；
(2)若三棱柱的三個(gè)側(cè)面所在平面分別記為，其中平面經(jīng)過點(diǎn)，，平面，平面，求實(shí)數(shù)m的值；
(3)若集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體的體積和相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角的大?。?br>參考答案
1．【答案】C
【分析】利用空間直角坐標(biāo)系對(duì)稱點(diǎn)的特征即可求解.
【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選C.
【方法總結(jié)】關(guān)于誰對(duì)稱，誰就不變，其余互為相反數(shù).
2．【答案】C
【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算以及空間向量垂直的坐標(biāo)表示可以計(jì)算得到答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>解得.
故選C.
3．【答案】B
【分析】由正弦定理列方程，即可求出的值.
【詳解】由，則，
，即，解得.
故選B.
4．【答案】D
【分析】由A，B，C三點(diǎn)共線，得與共線，然后利用共線向量定理列方程求解即可.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，，
因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使，
所以，
所以，解得.
故選D.
5．【答案】B
【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算法則求解.
【詳解】
.
故選B.
6．【答案】B
【分析】直接利用空間向量的基底概念判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，設(shè)，則，無解，則不共面，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故B正確；
對(duì)于C，設(shè)，則，則共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，設(shè)，則，則共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤.
故選B.
7．【答案】C
【分析】在中，由兩角和的正弦得到，由同角三角函數(shù)關(guān)系得到，由正弦定理得到，在中，，代入數(shù)值即可得到答案.
【詳解】在中，，
則，
，
由正弦定理，可得，
在中，可得.
所以該鐵塔的高度約為米．
故選C.
8．【答案】D
【分析】由已知，得，，，四點(diǎn)共圓，從而判斷點(diǎn)的軌跡是以為弦，圓周角為的劣?。ú缓?，兩點(diǎn)），根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，得出結(jié)論．
【詳解】由，，，
可得，故，
又，所以，
以為直徑作圓，則，，，四點(diǎn)共圓，
如圖所示，故點(diǎn)的軌跡是以為弦，圓周角為的劣?。ú缓?，兩點(diǎn)），
則，
又表示在上的投影，
由圖可知，，
故（此時(shí)點(diǎn)在劣弧的中點(diǎn)位置），
即的最小值為．
故選D．
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】①由，得到，，，四點(diǎn)在以為直徑的圓上，
②看作是在上的投影,結(jié)合圖形特征可得投影的取值范圍.
9．【答案】ABD
【分析】選項(xiàng)A由線面平行的判定定理可證；選項(xiàng)B由線面垂直可證線線垂直；選項(xiàng)CD可由空間向量法可得.
【詳解】選項(xiàng)A：
如圖連接交于，連接，
由題意可知為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，故，
又平面，平面，故平面，故A正確；
選項(xiàng)B：由題意為等邊三角形，為的中點(diǎn)，
故,
又棱柱為直三棱柱，故，
又，平面，平面，
故平面，又平面，故，故B正確；
選項(xiàng)C：
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，
因，故A3,0,0，
所以，，
設(shè)異面直線與所成角為，則
故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：由題意平面的一個(gè)法向量為，
，，，
設(shè)平面的法向量為，則
，即，設(shè)，則，，
故，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
故，
故，故D正確，
故選ABD.
10．【答案】BC
【分析】由余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A；由正弦定理及正切函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；由余弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；由余弦定理，基本不等式及余弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D．
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在中，因?yàn)?，又?br>所以，即為銳角，但題中沒有告訴最大，
所以不一定是銳角三角形，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，，由正弦定理得，
整理得，即一定是等邊三角形，故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，在單調(diào)遞減，
所以，故C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，由，得，所以，
由余弦定理可得，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則當(dāng)，時(shí)，，即角可以大于，故D錯(cuò)誤.
故選BC．
11．【答案】ACD
【分析】根據(jù)正方體圖象特征證明面，結(jié)合面面垂直的判定定理判斷A；根據(jù)異面直線所成的角判斷B錯(cuò)誤；根據(jù)五點(diǎn)共圓得到C；分析可知點(diǎn)軌跡是過點(diǎn)與平行的線段，根據(jù)軌跡求出長(zhǎng)度得到D.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：取的中點(diǎn)，連接，

在棱長(zhǎng)為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，
易知，因?yàn)?，所以平面，在平面?nèi)，
所以，平面，平面，，
所以平面，平面，所以，
連接，是正方形，，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)槠矫妫矫?，?br>所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?br>綜上，平面，平面，又，
所以平面，平面，故平面平面，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：取的中點(diǎn)，連接，則，
所以是異面直線所成的角，
又，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：記正方體的中心為點(diǎn)，則，
所以在以為球心，以為半徑的球面上，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，
所以，故，
所以點(diǎn)軌跡是過點(diǎn)與平行的線段，且，
所以，故D正確；
故選ACD.
12．【答案】
【分析】利用投影向量的定義結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算即可.
【詳解】易知向量在向量上的投影向量為
.
故答案為：.
13．【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐的母線及高，再利用錐體的體積公式計(jì)算即得.
【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，則，解得，因此圓錐的高，
所以圓錐的體積.
故答案為：.
14．【答案】
【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征可知球心在直線上，由勾股定理可得，進(jìn)而可得，進(jìn)而，即可求解，再由表面積公式即可求解.
【詳解】如圖，分別過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，連接，
則，故.
取的中點(diǎn)，連接，
又，則.
由對(duì)稱性易知，過正方形的中心且垂直于平面的直線必過線段的中點(diǎn)，
且所求外接球的球心在這條直線上，如圖.
設(shè)球的半徑為，則，且，
從而，即，
當(dāng)點(diǎn)在線段內(nèi)（包括端點(diǎn)）時(shí)，有，可得，
從而，即球心在線段的中點(diǎn)，其半徑.
當(dāng)點(diǎn)在線段外時(shí)，，解得（舍）.
故所求外接球的表面積為.
故答案為：.

【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查球的切接問題，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何體的對(duì)稱性，通過直觀想象明確外接球的球心位置，結(jié)合正方形ABCD的外接圓半徑求解可得.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換可得，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）根據(jù)題意利用余弦定理解得，再結(jié)合面積公式運(yùn)算求解.
【詳解】（1）因?yàn)?，則，
可得，
則，
若，則，且，所以；
若，則，即，
且，所以，
但，由正弦定理可得，不合題意；
綜上所述：.
（2）因?yàn)?，則，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，解得或（舍去），
則，所以的面積.
16．【答案】(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）先利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證平面，進(jìn)而可得，再由利用線面垂直的判定定理可證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法求二面角的大小.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，平面?br>所以，，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
有題意可知，又，平面，平面，
所以平面．
（2）分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因平面，平面，所以，
因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，
故，
平面的一個(gè)法向量為，
，
設(shè)平面的法向量為，
由得，令得，，
則，所以，
因?yàn)槎娼鞘氢g二面角，所以二面角的大小為．
17．【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）由題意和三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可得，進(jìn)而證得，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；
（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的判定定理與性質(zhì)證得、，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線線距，即可求解.
【詳解】（1）三棱臺(tái)中，，則，
有，得，所以，
又，所以在平面內(nèi)，，有，
平面平面，所以平面．
（2）已知平面平面ABC，平面平面，，
平面，所以平面，由平面，得，
又平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC，由平面ABC，得.
以B為坐標(biāo)原點(diǎn)的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．
則有，
，
因?yàn)?，所以?br>設(shè)向量，且滿足：，
則有，令，
在的投影數(shù)量為，
異面直線與DE的距離.

18．【答案】(1)證明見解析；
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）由空間向量的運(yùn)算可得，，再由線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可證明；
（2）（i）由余弦定理求，根據(jù)同角的平方關(guān)系求出，再由三角形面積公式即可求解；
（ii）由（i）得即為與平面所成角，根據(jù)及即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)镋為邊AB的中點(diǎn)，所以.
又，即，即.
，
所以.
又因?yàn)?，所以，?
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面.
因?yàn)槠矫?，所?

（2）（i）由余弦定理可得，
所以，
所以.
（ii）由（1）可知，平面，
所以即為與平面所成角.
因?yàn)?，所以，?br>所以，得.
設(shè)到平面的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，
則
.
因?yàn)椋?br>又，所以.
19．【答案】(1)
(2)
(3)體積為128，相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角為
【分析】（1）記平面，的法向量為，設(shè)直線的方向向量，由直線為平面和平面的交線，則，，列出方程即可求解；
（2）設(shè)，由平面經(jīng)過點(diǎn)，，列出方程中求得，記平面的法向量為，求出與交線方向向量為，根據(jù)，即可求得的值；
（3）由題可知，由一個(gè)邊長(zhǎng)是4的正方體和6個(gè)高為2的正四棱錐構(gòu)成，即可計(jì)算出體積，設(shè)幾何體相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角為，由題得出平面和平面的法向量，根據(jù)兩平面夾角的向量公式計(jì)算即可．
【詳解】（1）記平面，的法向量為，設(shè)直線的方向向量，
因?yàn)橹本€為平面和平面的交線，
所以，，即，取，則，
所以直線的單位方向向量為．
（2）設(shè)，
由平面經(jīng)過點(diǎn)，，
所以，解得，即，
所以記平面的法向量為，
與（1）同理，與確定的交線方向向量為，
所以，即，解得．
（3）由集合知，由一個(gè)邊長(zhǎng)是4的正方體和6個(gè)高為2的正四棱錐構(gòu)成，如圖所示，
，，
設(shè)幾何體相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角為，
平面，設(shè)平面法向量，
平面，設(shè)平面法向量，
所以，
所以幾何體相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角為．

【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題第三問的關(guān)鍵是作出空間圖形，求出相關(guān)法向量，利用二面角的空間向量求法即可.

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