1．以下事件是隨機事件的是（ ）
A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到，必會沸騰
B．走到十字路口，遇到紅燈
C．長和寬分別為的矩形，其面積為
D．實系數(shù)一元一次方程必有一實根
2．抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件次品，則A的對立事件為（ ）
A．至多兩件次品B．至多一件次品
C．至多兩件正品D．至少兩件正品
3．兩名同學(xué)分3本不同的書，其中一人沒有分到書，另一人分得3本書的概率為（ ）
A．B．C．D．
4．?dāng)S一個骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗中事件發(fā)生的概率為（ ）
A．B．C．D．
5．直三棱柱中，若，則（ ）
A．B．
C．D．
6．已知空間向量，，，，則（ ）
A．B．C．D．
7．端午節(jié)放假，甲回老家過節(jié)的概率為 ，乙、丙回老家過節(jié)的概率分別為 ，．假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少 人回老家過節(jié)的概率為 （ ）
A．B．C．D．
8．在調(diào)查運動員是否服用過興奮劑的時候，給出兩個問題作答，無關(guān)緊要的問題是：“你的身份證號碼的尾數(shù)是奇數(shù)嗎？”敏感的問題是：“你服用過興奮劑嗎？”然后要求被調(diào)查的運動員擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個問題，否則回答第二個問題．由于回答哪一個問題只有被測試者自己知道，所以應(yīng)答者一般樂意如實地回答問題．如我們把這種方法用于300個被調(diào)查的運動員，得到80個“是”的回答，則這群人中服用過興奮劑的百分率大約為（ ）
A．4.33%B．3.33%C．3.44%D．4.44%
二、多選題（本大題共3小題）
9．在平行六面體中，若所在直線的方向向量為，則所在直線的方向向量可能為（ ）
A．B．
C．D．
10．下列各組事件中，是互斥事件的是（ ）
A．一個射手進行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6
B．統(tǒng)計一個班的數(shù)學(xué)成績，平均分不低于90分與平均分不高于90分
C．播種100粒菜籽，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒
D．檢驗?zāi)撤N產(chǎn)品，合格率高于70%與合格率低于70%
11．已知點為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點，且（，），則，的值可能為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
三、填空題（本大題共3小題）
12．從長度分別為2,3,4,5的四條線段中任意取出三條，則以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是 ．
13．已知事件A，B，C兩兩互斥，且，，，則 ．
14．在長方體中，，以D為原點，，，方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則 ，若點P為線段AB的中點，則P到平面距離為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．（1）已知且求
（2）已知，求
16．已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽?。访瑢W(xué)去某敬老院參加獻愛心活動．
（Ⅰ）應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？
（Ⅱ）設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作．
（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；
（ii）設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，求事件M發(fā)生的概率．
17．甲、乙二人進行一次圍棋比賽，采用5局3勝制，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，同時比賽結(jié)束．假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨立．已知前2局中，甲、乙各勝1局．
(1)求再賽2局結(jié)束這次比賽的概率；
(2)求甲獲得這次比賽勝利的概率．
18．如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是線段EF的中點.求證:AM⊥平面BDF.
19．在長方體中，，為線段中點．
(1)求直線與直線所成的角的余弦值；
(2)在棱上是否存在一點，使得平面？若存在，求的長；若不存在，說明理由．
參考答案
1．【答案】B
【詳解】解：A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃必會沸騰，是必然事件；故本選項不符合題意；
B．走到十字路口，遇到紅燈，是隨機事件；故本選項符合題意；
C．長和寬分別為的矩形，其面積為是必然事件；故本選項不符合題意；
D．實系數(shù)一元一次方程必有一實根，是必然事件．故本選項不符合題意．
故選：B．
2．【答案】B
【詳解】試題分析：事件A不包含沒有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A的對立事件為至多一件次品．故B正確．
考點：對立事件．
3．【答案】B
【解析】列舉出所有的可能事件，結(jié)合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.
【詳解】兩名同學(xué)分3本不同的書，記為，
基本事件有(0，3)，(1a，2)，(1b，2)，(1c，2)，(2，1a)，(2，1b)，(2，1c)，(3，0)，共8個，其中一人沒有分到書，另一人分到3本書的基本事件有2個，∴一人沒有分到書，另一人分得3本書的概率p＝＝.
故選:B
4．【答案】C
【分析】由互斥事件的概率可知，從而得解.
【詳解】由已知得，，
事件B表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，
則事件表示“出現(xiàn)5點或6點”
故事件與事件互斥，
所以
故選C.
5．【答案】D
【詳解】.
故選：D．
6．【答案】D
【詳解】空間向量，，，，
則三向量可能構(gòu)成三角形的三邊.
如圖，設(shè)，則中，，
.
故選：D
7．【答案】B
【分析】
至少 人回老家過節(jié)的對立事件為三人都不回家過節(jié)，轉(zhuǎn)化為對立事件的概率易得解
【詳解】
“甲、乙、丙回老家過節(jié)”分別記為事件 ，，，
則 ，，，
所以 ，，．
由題知 ，， 為相互獨立事件，所以三人都不回老家過節(jié)的概率
，
所以至少有一人回老家過節(jié)的概率 ．
故選：B
8．【答案】B
【詳解】因為拋硬幣出現(xiàn)正面朝上的概率為，大約有150人回答第一個問題，
又身份證號碼的尾數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)是等可能的，
在回答第一個問題的150人中大約有一半人，即75人回答了“是”，
共有80個“是”的回答，故回答服用過興奮劑的人有5人，
因此我們估計這群人中，服用過興奮劑的百分率大約為3.33%.
故選：B
9．【答案】BC
【詳解】由已知可得，故它們的方向向量共線，
對于B選項，，滿足題意；
對于C選項，，滿足題意；
由于A、D選項不滿足題意．
故選：BC.
10．【答案】ACD
【詳解】根據(jù)互斥事件的定義，兩個事件不會同時發(fā)生，
對于A， 一個射手進行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6,為互斥事件；
對于B，統(tǒng)計一個班級數(shù)學(xué)期中考試成績，
平均分?jǐn)?shù)不低于90分與平均分?jǐn)?shù)不高于90分
當(dāng)平均分為90分時可同時發(fā)生，不為互斥事件；
對于C，播種菜籽100粒，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒,為互斥事件；
對于D，檢查某種產(chǎn)品，合格率高于與合格率為,為互斥事件；
故選：ACD.
11．【答案】CD
【詳解】因為點為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點，
所以由平面向量基本定理可知：
，
化簡得：，顯然有，
而，所以有，
當(dāng)，時，，所以選項A不可能；
當(dāng)，時，，所以選項B不可能；
當(dāng)，時，，所以選項C可能；
當(dāng)，時，，所以選項D可能，
故選：CD
12．【答案】
【詳解】從長度分別為2,3,4,5的四條線段中任意取出三條這一事件共有4種，而不能構(gòu)成三角形的情形為2,3,5.所以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是P＝.
13．【答案】0.9##
【分析】
由互斥事件與對立事件的相關(guān)公式求解
【詳解】
由題意得，則．
故答案為：0.9
14．【答案】 /
【詳解】
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因為，
則，，，，，
所以，，，，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則，故，
則P到平面距離為.
故答案為：；.
15．【答案】（1）
（2）
【詳解】（1）因為且，
所以.
（2）因為，則，
所以，
化簡得，所以.
16．【答案】（1）3，2，2；（2）（i）見解析；（ii）
【分析】（Ⅰ）結(jié)合人數(shù)的比值可知應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）由題意列出所有可能的結(jié)果即可，共有21種．
（ii）由題意結(jié)合（i）中的結(jié)果和古典概型計算公式可得事件M發(fā)生的概率為P（M）=．
【詳解】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）從抽出的7名同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．
（ii）由（Ⅰ），不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機抽取的2名同學(xué)來自同一年級的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．
所以，事件M發(fā)生的概率為P（M）=．
【點睛】本小題主要考查隨機抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計算公式等基本知識．考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力．
17．【答案】(1)0.52
(2)0.648
【詳解】（1）用表示事件“第局甲勝”，表示事件“第局乙勝”（），
設(shè)“再賽2局結(jié)束這次比賽”為事件，則，
由于各局比賽結(jié)果相互獨立，且事件與事件互斥.
所以
．
故再賽2局結(jié)束這次比賽的概率為.
（2）記“甲獲得這次比賽勝利”為事件，
因前兩局中，甲、乙各勝一局，故甲成為勝方當(dāng)且僅當(dāng)在后面的比賽中，甲先勝2局，
從而，
由于各局比賽結(jié)果相互獨立，且事件，，兩兩互斥，
所以.
故甲獲得這次比賽勝利的概率為.
18．【答案】見詳解
【詳解】以C為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),F(2,2,1),M22,22,1,
所以AM=?22,?22,1,DF=(0,2,1),BD=(2,-2,0).
設(shè)n=(x,y,z)是平面BDF的法向量,則n⊥BD,n⊥DF,
所以n·BD=2x?2y=0,n·DF=2y+z=0,得x=y,z=?2y,
取y=1,得x=1,z=-2,則n=(1,1,-2).
因為AM=?22,?22,1,所以n=-2AM,即n與AM共線,
所以AM⊥平面BDF.
19．【答案】(1)0
(2)存在，
【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
故，
則，
故直線與直線所成的角的余弦值為0；
（2）存在滿足要求的點，理由如下：
設(shè)棱上存在點，使得平面，
D0,1,0，則，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，
取得，故，
要使平面，則，
即，所以，
解得，
故存在點，使得平面，此時.
2024-2025學(xué)年山東省濟寧市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測試題（二）
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將木試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊第十章?選擇性必修第一冊第一章.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1.已知空間向量，且，則（ ）
A. B.4 C.2 D.
2.已知在正四面體中，，則向量與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
3.有一個正十二面體，如圖所示.其12個面上分別寫著1到12這12個連續(xù)的整數(shù).投擲這個正十二面體一次，則向上一面的數(shù)是素數(shù)的概率為（ ）
A. B. C. D.
4.已知為空間的一個基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個基底的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知是直線的一個方向向量，是平面的一個法向量.若，則下列選項可能正確的是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知在空間直角坐標(biāo)系中，在方向上的投影向量為，則點到直線的距離為（ ）
A. B. C. D.2
7.在三棱錐中，為的重心，，若交平面于點，且，則的最小值為（ ）
A. B. C.1 D.
8.如圖，在正方體中，點滿足.設(shè)二面角的平面角為，則當(dāng)增大時，的大小變化為（ ）
A.增大 B.減小 C.先增大后減小 D.先減小后增大
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.有四個盲盒，每個盲盒內(nèi)都有3個水晶崽崽，其中三個盲盒里面分別僅裝有紅色水晶崽崽?藍色水晶崽崽?粉色水晶崽崽，剩下的那個盲盒里面三種顏色的水晶崽崽都有.現(xiàn)從中任選一個盲盒，設(shè)事件為“所選盲盒中有紅色水晶崽崽”，為“所選盲盒中有藍色水晶崽崽”，為“所選盲盒中有粉色水晶崽崽”，則（ ）
A.與不互斥 B.
C. D.與相互獨立
10.在長方體中，為長方體表面上一動點，則的值可能是（ ）
A. B. C. D.2
11.已知四棱柱的底面是邊長為4的菱形，平面，，點滿足，其中.若，則的值可能為（ ）
A. B. C.8 D.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知空間單位向量滿足，則__________.
13.在空間直角坐標(biāo)系中，點均在球的同一個大圓（球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓）上，則球的表面積為__________.
14.如圖，圖中共有10個交匯點：.已知質(zhì)點甲在地，質(zhì)點乙在地，若每經(jīng)過一次移動，兩質(zhì)點都將等可能地隨機移動到與之相鄰的任意一個交匯點，則同時經(jīng)過兩次移動后，兩質(zhì)點移動到同一個交匯點的概率為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（13分）
如圖，在正方體中，分別為棱的中點，.
（1）試用表示.
（2）證明：四點共面.
（3）證明：三點共線.
16.（15分）
如圖，在四棱錐中，，.
（1）證明：平面.
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
17.（15分）
某知識比賽積分規(guī)則如下：參賽隊勝一場積3分，平一場積1分，負(fù)一場積0分.某校代表隊參加該次知識比賽，已知該校代表隊與A隊進行一場紅色知識比賽獲勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為；與B隊進行一場科技知識比賽獲勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為.這兩場比賽結(jié)果相互獨立.
（1）求該校代表隊與隊進行紅色知識比賽獲得積分超過與B隊進行科技知識比賽獲得積分的概率；
（2）求該校代表隊與隊進行紅色知識比賽和與B隊進行科技知識比賽獲得的積分之和不小于4分的概率.
18.（17分）
在如圖1所示的圖形中，四邊形為菱形，和均為直角三角形，，現(xiàn)沿將和進行翻折，使（在平面同側(cè)），如圖2.
（1）當(dāng)二面角為時，判斷與平面是否平行；
（2）探究當(dāng)二面角為時，平面與平面是否垂直；
（3）在（2）的條件下，求平面與平面夾角的余弦值.
19.（17分）
若在空間直角坐標(biāo)系中，直線的方向向量為，且過點，直線的方向向量為，且過點，則與方向向量的叉積為與的混合積為.若，則與共面；若，則與異面.已知直線的一個方向向量為，且過點，直線的一個方向向量為，且過點.
（1）證明：與是異面直線.
（2）若點，求的長的最小值.
（3）若直線為坐標(biāo)原點，求的坐標(biāo).
高二質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)參考答案
1.D 依題意得，解得.
2.A 根據(jù)題意可得分別為的中點，則.因為，所以.
3.C 投擲這個正十二面體一次，則向上一面的數(shù)是素數(shù)的情況有，則向上一面的數(shù)是素數(shù)的概率為.
4.B ，A錯誤.易得三個向量不共面，B正確.
錯誤.錯誤.
5.C 因為，所以.對于，A錯誤.
對于B，，B錯誤.對于C，，C正確.
對于D，，D錯誤.
6.B 根據(jù)題意可得點到直線的距離為.
7.C 因為，所以.
因為，所以.
因為四點共面，所以，即.
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為1.
8A 以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系（圖略）.設(shè)，則，所以，.設(shè)平面的法向量為，則得取.連接（圖略），易得平面的一個法向量為，所以.因為
，所以的值隨著的增大而減小，則鈍角隨著的增大而增大.由圖可知為鈍角，所以隨著的增大而增大.
9.ACD 和可以同時發(fā)生，A正確.因為，所以，B錯誤.，C正確.因為，所以正確.
10.BC 以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（圖略），則.設(shè)，則，所以.設(shè)，連接（圖略），則.
因為為長方體的中心，所以.因為，所以，所以.
11.BCD 因為點滿足，所以點在底面上，連接（圖略），則，得.因為平面，所以，則5.因為，且當(dāng)點與點或重合時，取得最大值，最大值為4，所以，即的取值范圍為.
12.2 因為，所以.
由，得，則，所以為直角三角形，則即外接圓的直徑，即是球的直徑.因為，所以，得球的半徑為，故球的表面積為.
14. 由題意可得同時經(jīng)過兩次移動后，兩質(zhì)點都移動到交匯點的概率為，易得同時經(jīng)過兩次移動后，兩質(zhì)點都移動到交匯點的概率相等.同時經(jīng)過兩次移動后，兩質(zhì)點都移動到交匯點的概率為，易得同時經(jīng)過兩次移動后，兩質(zhì)點都移動到交匯點的概率相等.故同時經(jīng)過兩次移動后，兩質(zhì)點移動到同一個交匯點的概率為.
15.（1）解：依題意可得，
.
（2）證明：連接.因為
所以，
則共面，故四點共面.
（3）證明：連接.
因為
，
，
所以，則.
因為，所以三點共線.
16.（1）證明：取的中點，連接.
因為，所以.
因為，所以四邊形是平行四邊形，
所以.
因為，所以，
所以.
因為，所以.
因為平面，且，所以平面.
（2）解：易證兩兩垂直，則以為原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由題意可得，
則.
設(shè)平面的法向量為，
則
令，得.
設(shè)直線與平面所成的角為，
則.
故直線與平面所成角的正弦值為.
17.解：（1）設(shè)事件為“該校代表隊與A隊進行一場紅色知識比賽獲得積分3分，與B隊進行一場科技知識比賽獲得積分1分”，則；
事件為“該校代表隊與A隊進行一場紅色知識比賽獲得積分3分，與B隊進行一場科技知識比賽獲得積分0分”，則；
事件為“該校代表隊與A隊進行一場紅色知識比賽獲得積分1分，與B隊進行一場科技知識比賽獲得積分0分”，則.
故該校代表隊與A隊進行紅色知識比賽獲得積分超過與B隊進行科技知識比賽獲得積分的概率為.
（2）設(shè)事件為“該校代表隊與A隊進行紅色知識比賽和與B隊進行科技知識比賽獲得的積分之和等于4分”，則；
設(shè)事件為“該校代表隊與A隊進行紅色知識比賽和與B隊進行科技知識比賽獲得的積分之和等于6分”，則.
故該校代表隊與A隊進行紅色知識比賽和與B隊進行科技知識比賽獲得的積分之和不小于4分的概率為.
18.解：（1）若二面角為，則平面平面.
因為平面平面，且，所以平面.
如圖，以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則.
設(shè)平面的法向量為，因為，
所以令，得.
因為，所以，所以不與平面平行.
（2）取的中點，連接，則，
因為，所以二面角的平面角為，即.
如圖，以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則.
設(shè)平面的法向量為，因為，
所以令，得.
設(shè)平面的法向量為，
因為，
所以令，得
因為，所以不垂直，所以平面不與平面垂直.
（3）在（2）中的坐標(biāo)系中，設(shè)平面的法向量為，
因為，
所以令，得.
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
19.（1）證明：由題意得.
因為
所以，故與是異面直線.
（2）解：設(shè)與都垂直的向量，由，
可取.則的長的最小值為.
（3）解：（方法一）由題意可設(shè)，
則.
設(shè)平面的法向量為，則取
由，解得，
則.
（方法二）由題意可設(shè)，
，
則.
由（2）得，
則
解得
故.

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