1.已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A.B.C.3D.5
2.無論為何值，直線過定點(diǎn)（ ）
A.B.C.D.
3.在平行四邊形中，，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A.B.C.D.
4.已知，則（ ）
A.B.C.D.
5.直線關(guān)于對稱的直線方程為（ ）
A.B.C.D.
6.已知橢圓：的離心率為，則（ ）
A.B.或C.8或2D.8
7.已知實(shí)數(shù)滿足，則的范圍是（ ）
A.B.C.D.
8.已知平面上一點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)使，則稱該直線為點(diǎn)的“相關(guān)直線”，下列直線中不是點(diǎn)的“相關(guān)直線”的是（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.已知直線：，圓：，為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）
A.若圓關(guān)于直線對稱，則
B.點(diǎn)到直線的距離的最大值為
C.存在兩個不同的實(shí)數(shù)，使得直線與圓相切
D.存在兩個不同的實(shí)數(shù)，使得圓上恰有三個點(diǎn)到直線的距離為
10.已知圓：與圓：的一個交點(diǎn)為，動點(diǎn)的軌跡是曲線，則下列說法正確的是（ ）
A.曲線的方程為
B.曲線的方程為
C.過點(diǎn)且垂直于軸的直線與曲線相交所得弦長為
D.曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為
11.在邊長為2的正方體中，為邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（ ）
A.與所成角的余弦值為
B.過，，三點(diǎn)的正方體的截面面積為3
C.當(dāng)在線段上運(yùn)動時，的最小值為3
D.若為正方體表面上的一個動點(diǎn)，，分別為的三等分點(diǎn)，則的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.通過科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)：地震釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為.已知2011年甲地發(fā)生里氏9級地震，2019年乙地發(fā)生里氏7級地震，若甲、乙兩地地震釋放的能量分別為，，則______.
13.直線的傾斜角的取值范圍是______
14.如圖，設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點(diǎn)，延長與橢圓交于點(diǎn)，若，則直線的斜率為______.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）已知兩圓和.求：
（1）m取何值時兩圓外切？
（2）當(dāng)時，兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦長.
16.（15分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
（1）求的值；
（2）若，，求的面積.
17.（15分）如圖，在四棱錐中，平面，，四邊形滿足，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的動點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出線段的長度；若不存在，說明理由.
18.（17分）某校高一年級設(shè)有羽毛球訓(xùn)練課，期末對學(xué)生進(jìn)行羽毛球五項(xiàng)指標(biāo)（正手發(fā)高遠(yuǎn)球、定點(diǎn)高遠(yuǎn)球、吊球、殺球以及半場計(jì)時往返跑）考核，滿分100分.參加考核的學(xué)生有40人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示.
（1）由頻率分布直方圖，求出圖中t的值，并估計(jì)考核得分的第60百分位數(shù)；
（2）為了提升同學(xué)們的羽毛球技能，校方準(zhǔn)備招聘高水平的教練.現(xiàn)采用分層抽樣的方法（樣本量按比例分配），從得分在內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，再從中挑出兩人進(jìn)行試課，求兩人得分分別來自和的概率；
（3）若一個總體劃分為兩層，通過按樣本量比例分配分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，.記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，證明：
19.（17分）已知動直線與橢圓：交于，兩點(diǎn)，且的面積，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）證明：和均為定值；
（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值；
（3）橢圓上是否存在三點(diǎn)D，E，G，，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請說明理由.
數(shù)學(xué)參考答案
一、二、選擇題
1.B 【解析】∵，∴. .故選B.
2.A 【解析】由得：，
由得
∴直線恒過定點(diǎn).故選A.
3.A 【解析】設(shè)，則，，得.故選A.
4.A 【解析】，
又，
所以.故選A.
5.C 【解析】取直線關(guān)于對稱的直線上任意一點(diǎn)，易知點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在直線上可知，即.故選C.
6.C 【解析】橢圓：的離心率為，
可得或，解得或.故選C.
7.A 【解析】表示函數(shù)圖象上的點(diǎn)與的連線的斜率，
結(jié)合圖象可知，斜率分別在與（相切時）處取最大值和最小值，
所以的范圍是.故選A.
8.D 【解析】根據(jù)題意，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離時，該直線上存在點(diǎn)使得，此時直線為點(diǎn)的“相關(guān)直線”，
對于A，，即，點(diǎn)到直線的距離，該直線是點(diǎn)的“相關(guān)直線”；
對于B，，點(diǎn)到直線的距離，該直線是點(diǎn)的“相關(guān)直線”；
對于C，，點(diǎn)到直線的距離，該直線是點(diǎn)的“相關(guān)直線”；
對于D，，點(diǎn)到直線的距離，該直線不是點(diǎn)的“相關(guān)直線”.故選D.
9.ABD 【解析】直線：過定點(diǎn)，
圓：，圓心，半徑，
對選項(xiàng)A：直線過圓心，則，解得，故選項(xiàng)A正確；
對選項(xiàng)B：點(diǎn)O到直線l的距離的最大值為，故選項(xiàng)B正確；
對選項(xiàng)C：直線與圓相切，則圓心到直線的距離，
解得，故選項(xiàng)C錯誤；
對選項(xiàng)D：當(dāng)圓上恰有三個點(diǎn)到直線的距離為時，圓心到直線的距離，
解得，故選項(xiàng)D正確.故選ABD.
10.BCD 【解析】對A選項(xiàng)與B選項(xiàng)，由題意知圓與圓交于點(diǎn)，
則，，所以，
所以點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，，即，，
所以，所以曲線的方程為，故A選項(xiàng)錯誤，B選項(xiàng)正確；
對C選項(xiàng)，通徑的長度為，故C選項(xiàng)正確；
對D選項(xiàng)，設(shè)與直線平行的直線為，，
將與聯(lián)立得，
令，解得，此時直線與橢圓相切，
當(dāng)時，切點(diǎn)到直線的距離最大，
直線的方程為，此時兩平行線的距離為，
故曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故D選項(xiàng)正確.故選BCD.
11.AC 【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
∴，，
∴，
∴與所成角的余弦值為，故A正確；
取的中點(diǎn)，連接，，，
則，
故梯形為過點(diǎn)，，的該正方體的截面，
∵，，，
∴梯形的高為，
∴梯形的面積為，故B錯誤；
由對稱性可知，，故，
又由于，，，四點(diǎn)共面，故，當(dāng)為與的交點(diǎn)時等號成立，故C正確，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，連接，當(dāng)與平面的交點(diǎn)為時，
最小，
過點(diǎn)作的平行線，過點(diǎn)作的平行線，兩者交于點(diǎn)，此時，，，故D錯誤.故選AC.
三、填空題
12.1000 【解析】由題知，.
13. 【解析】設(shè)直線的傾斜角為，
當(dāng)時，直線為，；
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號， ∴；
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號， ∴，綜上可得.
14. 【解析】連接，，由點(diǎn)在以為直徑的圓上，故.
又，在橢圓上，故有，.
設(shè)，則，，，.
在中，由勾股定理得，
解得，于是，，故.
四、解答題
15.【解析】（1）由已知化簡兩圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，
，
則圓心分別為，，半徑分別為和，
當(dāng)兩圓外切時，滿足，解得.
（2）當(dāng)時，有，
則，所以兩圓相交，
則兩圓的公共弦所在直線的方程為：，
即，
圓心到直線的距離，
所以公共弦長.
16.【解析】（1）由正弦定理得，
所以，
所以，
化簡得，
又，所以，因此.
（2）由，得，由余弦定理及，
又，得，解得，從而.
又因?yàn)?，且，所?
因此.
17.【解析】（1）因?yàn)槠矫?，，平面?br>所以，，又，所以，，兩兩垂直.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，
則，，，，
因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以，，
又，，
所以，
所以，，為共面向量，
則在平面內(nèi)存在直線與平面外的直線平行，所以平面.
（2）設(shè)，，，，
依題意可知，平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則令，則.
因?yàn)槠矫媾c平面所成角的余弦值為，
所以，即，
解得或，所以存在點(diǎn)使得平面與平面所成角的余弦值為，或.
18.【解析】（1）由題意得：，解得，
設(shè)第60百分位數(shù)為，則，
解得，即第60百分位數(shù)為85.
（2）由題意知，抽出的5位同學(xué)中，得分在的有人，設(shè)為，，
在的有人，設(shè)為a，b，c.
則樣本空間為，.
設(shè)事件“兩人分別來自和”，
則，，
因此，
所以兩人得分分別來自和的概率為.
（3）由題得：①；
②略
19.【解析】（1）（?。┊?dāng)直線的斜率不存在時，，兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，所以，，
因?yàn)樵跈E圓上，所以，①
又因?yàn)?，所以，?br>由①②得，，此時，.
（ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，
由題意知，將其代入得，
其中，即，（*）
又，，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，
所以，
又，整理得，且符合（*）式，
此時，，
綜上所述，，，結(jié)論成立。
（2）解法一：（?。┊?dāng)直線的斜率不存在時，由（1）知，，
因此，，
（ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時，由（1）知：，
，
，
，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
綜上可得，的最大值為.
解法二：，
所以，，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.因此的最大值為.
（3）橢圓上不存在三點(diǎn)，，，使得.
證明：假設(shè)存在，，滿足，
由（1）得，，，，，，
解得，，
因此，，只能從中選取，，，只能從中選取，
因此，，只能在這四點(diǎn)中選取三個不同點(diǎn)，
而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過原點(diǎn)，與矛盾.
所以橢圓上不存在滿足條件的三點(diǎn)，，.
2024-2025學(xué)年湖南省長沙市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試題（二）
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1. 已知空間三點(diǎn)A(1，0，3)，B(－1，1，4)，C(2，－1，3)．若 AP→∥ BC→，且| AP→|＝ 14，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A. (4，－2，2) B. (－2，2，4)
C. (4，－2，2)或(－2，2，4) D. (－4，2，－2)或(2，－2，4)
2. 已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點(diǎn)，P為x軸上的動點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為( )
A. 5－4 B. －1 C. 6－2 D.
3. 直線x＋y＋2＝0分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是( )
A. [2,6] B. [4,8] C. [，3] D. [2，3]
4. 在四面體中，E為的中點(diǎn)，G為平面的重心．若與平面交于點(diǎn)F，則（ ）
A. B. C. D.
5. 為空間任意一點(diǎn)，若，若，，，四點(diǎn)共面，則（ ）
A. 1 B. C. D.
6. 已知直線與直線互相垂直，垂足為則( )
A. B. C. D.
7. 已知圓，圓， 分別是圓上兩個動點(diǎn)，是軸上動點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列命題中正確的個數(shù)為( )
①面積的最小值為4；
②以為直徑的圓與x軸相切；
③記，，的斜率分別為，，，則；
④過焦點(diǎn)F作y軸的垂線與直線，分別交于點(diǎn)M，N，則以為直徑的圓恒過定點(diǎn).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題.每題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.）
9. (2023·四川省成都市樹德中學(xué)期中)點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，則下面正確的有( )
A. 圓的半徑為3 B. 既沒有最大值，也沒有最小值
C. 的范圍是 D. 的最大值為72
10. 在棱長為1正方體中，點(diǎn)P為線段上異于端點(diǎn)的動點(diǎn)，（ ）
A. 三角形面積的最小值為
B. 直線與DP所成角的余弦值的取值范圍為
C. 二面角的正弦值的取值范圍為
D. 過點(diǎn)P做平面，使得正方體的每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的取值范圍為
11. 已知直線與直線，下列說法正確的是（）
A. 當(dāng)a=8時，直線的傾斜角為
B. 直線恒過點(diǎn)
C. 若，則
D. 若，則
12. 正方體棱長為4，動點(diǎn)、分別滿足，其中，n∈R且，；在上，點(diǎn)在平面內(nèi)，則（ ）
A. 對于任意的，且，都有平面平面
B. 當(dāng)時，三棱錐的體積不為定值
C. 若直線到平面的距離為，則直線與直線所成角正弦值最小為．
D. 的取值范圍為
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）
13. 直線(1＋λ)x－(1－2λ)y＋3－6λ＝0(λ∈R)被圓x2＋y2＝25截得的弦長的最小值是________．
14. 若點(diǎn)與關(guān)于直線對稱，寫出一個符合題意的θ值為 ．
15. 如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的圓O上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)Q是以AB為直徑的圓O的下半個圓(包括A，B兩點(diǎn))上的一個動點(diǎn)，，則的最小值為 .
16. 已知A，B是曲線上兩個不同的點(diǎn)，，則的取值范圍是 .
四、解答題：寫出必要的文字描述、解題過程.共6題。
17. 已知直線 l：y＝x和兩個定點(diǎn)A(1,1)，B(2,2)，問直線l上是否存在一點(diǎn)P，使得|PA|2＋|PB|2取得最小值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和|PA|2＋|PB|2的最小值；若不存在，說明理由．
18. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn)，經(jīng)過這三個交點(diǎn)的圓記為C.
(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
(2)求圓C的方程；
(3)圓C是否經(jīng)過某定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無關(guān))？請證明你的結(jié)論．
19. 如圖，已知△ABC的三個頂點(diǎn)分別為A(4,3)，B(1,2)，C(3，－4)．
(1)試判斷△ABC的形狀；
(2)設(shè)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求BC邊上中線的長．
20. (2023·安徽省淮北市樹人高級中學(xué)期中)如圖，在三棱錐中，，，為棱的中點(diǎn)
(1)證明：平面⊥平面；
(2)若點(diǎn)在棱上，且與平面所成角的正弦值為，求二面角的大小
21. (2023·四川省綿陽市南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中)如圖，等腰梯形中，，現(xiàn)以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.
(1)證明：面面；
(2)若為上的一點(diǎn)，點(diǎn)到面的距離為，求的值及平面和平面夾角的余弦值.
22. 已知直線.
(1)求證：直線過定點(diǎn)；
(2)若直線不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求的方程.
參考答案
1. 【答案】C
【解析】∵ AP→∥ BC→，
∴可設(shè) AP→＝λ BC→.
易知 BC→＝(3，－2，－1)，
則 AP→＝(3λ，－2λ，－λ)．
又| AP→|＝ 14，
∴ (3λ)2+(?2λ)2+(?λ)2＝ 14，
解得λ＝±1，
∴ AP→＝(3，－2，－1)或 AP→＝(－3，2，1)．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y，z)，
則 AP→＝(x－1，y，z－3)，
∴ x－1＝3，y＝－2，z－3＝－1或 x－1＝－3，y＝2，z－3＝1，
解得 x＝4，y＝－2，z＝2或 x＝－2，y＝2，z＝4.
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，－2，2)或(－2，2，4)．
2. 【答案】A
【解析】由題意知，圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圓心分別為C1(2,3)，C2(3,4)，且|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，點(diǎn)C1(2,3)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|＝|PC|＋|PC2|≥|CC2|＝5，即|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.
3. 【答案】A
【解析】由題意知圓心的坐標(biāo)為(2,0)，半徑r＝，圓心到直線x＋y＋2＝0的距離d＝＝2，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是d＋r＝3，最小距離是d－r＝.易知A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以(|AB|·(d－r))≤S△ABP≤|AB|·(d＋r)，即2≤S△ABP≤6.故S△ABP的取值范圍為[2,6].
4. 【答案】C
【解析】如圖：連接交于H，則H為中點(diǎn)，連接,
因?yàn)槠矫妫矫?，設(shè)，則，
又平面，所以平面，故K為與平面的交點(diǎn)，
又因?yàn)榕c平面交于點(diǎn)F，所以F與K重合，
又E為的中點(diǎn)，G為平面的重心，
因?yàn)辄c(diǎn)A，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線，則
又因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)，H三點(diǎn)共線，則，
,
所以，解得，即，故.
故選：C.
5. 【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以?br>可化簡為：，即，
由于，，，四點(diǎn)共面，則，解得：；
故選：C.
6. 【答案】D
【解析】因?yàn)橹本€與直線互相垂直，則，可得，
由題意可知，點(diǎn)為兩直線的公共點(diǎn)，則，解得，
再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程可得，解得，
因此，.
故選：D.
7. 【答案】A
【解析】由題意知，圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，
作關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，如圖所示，

，當(dāng)共線時等號成立，
所以的最大值為.
故選：A.
8. 【答案】C
【解析】當(dāng)?shù)男甭蕿?時，，所以①錯誤.
設(shè)的中點(diǎn)為E，作軸交x軸于點(diǎn)G，作準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)C，則，又，
所以，所以②正確.
直線的方程為，聯(lián)立，得.設(shè)，，則，，所以，所以③正確.
直線，所以.同理可得.所以以為直徑的圓的方程為，即.
令，得或3，所以④正確.
故選：Ｃ.
9. 【答案】BC
【解析】圓轉(zhuǎn)化為，
則圓的圓心為，半徑為2，選項(xiàng)A錯誤.
設(shè)，則直線與圓有交點(diǎn)，即，
整理得，解得或.
既沒有最大值，也沒有最小值，選項(xiàng)B正確.
設(shè)，，
則，其中.
則的取值范圍為，選項(xiàng)C正確.
又，則，
因此
其中.
則的最大值為，選項(xiàng)D錯誤.
故選：BC
10. 【答案】AB
【解析】對于A，要使三角形面積的最小，即要使得到直線距離最小，這最小距離就是異面直線和的距離，也就是直線到平面的距離，等于到的距離，為.由于，所以三角形面積的最小值為，故A正確；
對于B，先證明一個引理：
直線在平面中的射影直線為,平面中的直線,直線所成的角的余弦值滿足三余弦定理，直線的角為，直線的角為，直線的角為，則.
證明：如上圖，在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)為原點(diǎn)，取兩條射線分別為軸，得到坐標(biāo)平面，然后從作與平面垂直的射線作為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線的方向向量為,則為射影直線的方向向量,設(shè)直線的方向向量坐標(biāo)為，則，，，
所以，
，引理得證.
如上圖所示，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知在平面中的射影為,設(shè) 與所成的角為，，
設(shè)直線與直線所成的角為，,.
設(shè)直線與DP所成角為，
根據(jù)上面的引理可得：，故B正確；
對于C，如上圖所示，設(shè)、交點(diǎn)為，連接，，
由正方體性質(zhì)易知，平面，
所以平面，故,為二面角的平面角，
當(dāng)與重合時，，
，所以，∴，
在上從下往上移動時，逐漸變大，最終是鈍角，其正弦值可以等于1，故C錯誤；
對于D，因?yàn)檫^正方體頂點(diǎn)與各棱所成的角的都相等的直線是體對角線所在的直線，所以過點(diǎn)的平面與各棱所成的角相等必須且只需與某一條體對角線垂直，過P與對角線垂直的截面中，當(dāng)P為中點(diǎn)時取得最大值，是一個邊長為的正六邊形，如下圖所示，面積為，不在區(qū)間內(nèi)，故D不正確.
故選：AB.
11. 【答案】BD
【解析】A中，當(dāng)a=8時，直線的斜率，設(shè)其傾斜角為，
所以，則，所以A不正確；
B中，直線，整理可得，
令，可得，
即直線恒過定點(diǎn)，所以B正確；
C中，當(dāng)時，兩條直線方程分別為：，
則兩條直線重合，所以C不正確；
D中，當(dāng)時，兩條直線方程分別為：，
顯然兩條直線垂直，所以D正確.
故選：BD.
12. 【答案】ACD
【解析】對于A，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
設(shè)平面的法向量為，
，
則，令，則，，
則，
，，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，，
則，
又，
所以，所以對于任意的，且，都有平面平面，故A正確；
對于B，當(dāng)時，
設(shè)平面的法向量為
，，
則，令，則，，
所以，
又，
點(diǎn)到平面的距離為
又，
又因?yàn)榈拿娣e為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B錯誤；
對于C，設(shè)，,則
因?yàn)橹本€到平面的距離為，所以平面，
，
設(shè)面為，則
，令，則，
所以，
所以，即，
又，則，解得或，
若，所以，，
又，
設(shè)直線與直線所成角為，
所以
當(dāng)最大時，最小，
令，，
在單調(diào)遞增，
所以，，
最大值為，所以最小為，所以直線與直線所成角正弦值最小為；
若，所以，，根據(jù)對稱性可得最小為，故C正確；
對于D，設(shè)因?yàn)椋?，?br>，
所以，
整理得，
即
所以點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為一個以為球心，半徑為2的球面上一點(diǎn)，所以，
所以，
當(dāng)時，最小為，當(dāng)時，最大為
所以的取值范圍為，故D正確.
故選：ACD.
13. 【答案】8
【解析】圓O：x2＋y2＝25的圓心為O(0,0)，半徑為5，直線l：(1＋λ)x－(1－2λ)y＋3－6λ＝0，即λ(x＋2y－6)＋(x－y＋3)＝0，由解得x＝0，y＝3，故直線l經(jīng)過定點(diǎn)A(0,3)．要使直線l被圓O截得的弦長最短，需OA和直線l垂直，|OA|＝3，∴最短的弦長為2＝8.
14. 【答案】（答案不唯一）
【解析】由題設(shè)，中點(diǎn)在直線上，且，
所以，且，
即，且，
所以，且，
故，且，
所以，且，
綜上，Z，可得Z，顯然滿足.
故答案為：（答案不唯一）.
15. 【答案】
【解析】以O(shè)為原點(diǎn), 以為 軸, 以的中垂線為 軸建立平面直角坐標(biāo)系 ,
則圓的半徑為 ,
,,,
設(shè) ,,
則 ,
,
,
當(dāng) 時, 取得最小值，
故答案為：.
16. 【答案】
【解析】由，得.
由，所以或.
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
所以表示的曲線為圓的左半部分和圓的右半部分.
當(dāng)A，B分別與圖中的M，N重合時，取得最大值，為6；
當(dāng)A，B為圖中E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)中的某兩點(diǎn)時，取得最小值，為.
故的取值范圍是.
故答案為：.
17. 【答案】解 假設(shè)直線l上存在一點(diǎn)P，使得|PA|2＋|PB|2取得最小值．設(shè)此點(diǎn)為P(2x0，x0)，則|PA|2＋|PB|2＝(2x0－1)2＋(x0－1)2＋(2x0－2)2＋(x0－2)2＝10x－18x0＋10.
因?yàn)閤0∈R，所以當(dāng)x0＝，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為時，
|PA|2＋|PB|2取得最小值，且最小值為.
18. 【答案】解 (1)令x＝0時，得第二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)是(0，b)；
令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由題意知b≠0且Δ＝4－4b＞0，
解得b＜1且b≠0，所以b的取值范圍為｛b|b

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