1．直線的傾斜角為（ ）
A．0B．C．D．
2．雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
3．過點且在兩坐標軸上截距相等的直線的方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
4．“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．已知，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
6．已知，若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知是橢圓的一個焦點，是的上頂點，BF的延長線交于點，若，則的離心率是（ ）
A．B．C．D．
8．已知圓，過軸上的點作直線與圓交于A，B兩點，若存在直線使得，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．平行六面體的底面ABCD是正方形，，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．四邊形的面積為
D．若，則點在平面內(nèi)
10．已知拋物線的焦點為，準線為，經(jīng)過的直線與交于A，B兩點（A在第一象限），D（0,1），E為上的動點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．滿足為直角三角形的點有且僅有2個
B．過點且與有且僅有一個公共點的直線恰有3條
C．若在直線上的射影為，則
D．若直線的傾斜角為，則
11．關(guān)于曲線，下列說法正確的是（ ）
A．曲線關(guān)于直線對稱
B．曲線圍成的區(qū)域面積小于2
C．曲線上的點到軸、軸的距離之積的最大值是
D．曲線上的點到軸、軸的距離之和的最大值是
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知空間向量是實數(shù)，則的最小值是 .
13．如圖是正在施工建設(shè)的濟新黃河三峽大橋鳥瞰圖，該橋是世界首座獨塔地錨式回轉(zhuǎn)纜懸索橋，大橋主跨長約500米，主塔的高約100米.纜懸索是以為頂點并開口向上的拋物線的一部分，則主塔頂端點到拋物線的焦點的距離為 米.
14．設(shè)直線與圓交于A，B兩點，對于任意的實數(shù)，在軸上存在定點，使得的平分線在軸上，則的值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知點，直線方程為.
(1)證明：無論取何值，直線必過第三象限；
(2)若點A，B到直線的距離相等，求的值.
16．已知拋物線與圓相交于、兩點，且.
(1)求拋物線的方程;
(2)若直線與相交于、兩點，是的焦點，求的周長.
17．設(shè)，圓的圓心在軸的正半軸上，且過中的三個點.
(1)求圓的方程；
(2)若圓上存在兩個不同的點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.
18．已知是橢圓上的一點，是的一個焦點，為坐標原點.
(1)求的方程;
(2)是上的四個點，與相交于點.
①若分別為與軸的正半軸的交點，求直線的斜率;
②若直線的斜率為，求面積的最大值，并求出此時直線的方程.
19．在平面直角坐標系xOy中，若在曲線的方程中，以且代替得到曲線的方程，則稱是由曲線通過關(guān)于原點的“伸縮變換”得到的曲線，稱為伸縮比.
(1)若不過原點的直線通過關(guān)于原點的“伸縮變換”得到的曲線是，證明:是與平行的直線;
(2)已知伸縮比時，曲線通過關(guān)于原點的“伸縮變換”得到的曲線是，且與軸有A，B兩個交點（在的左側(cè)），過點且斜率為的直線與在軸的右側(cè)有，兩個交點.
①求的取值范圍;
②若直線的斜率分別為，證明：為定值.
答案
1．【正確答案】B
【詳解】直線垂直于軸，所以其傾斜角為.
故選：B.
2．【正確答案】A
【詳解】雙曲線的漸近線方程是，即.
故選：A.
3．【正確答案】C
【詳解】當直線過原點時，其方程是，符合題意;
當直線不過原點時，設(shè)直線方程為，代入，
可得：，解得：，所以方程是.
故選：C.
4．【正確答案】A
【詳解】方程表示雙曲線，則，解得或，
所以“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.
故選：A.
5．【正確答案】C
【詳解】因為，且，
所以，解得.
故選：C.
6．【正確答案】A
【詳解】由題意，表示焦點在軸上的橢圓的上半部分，且左頂點為，
當直線經(jīng)過點時，，當直線與橢圓相切時，
由，得，
所以，解得（負根舍去），當直線與半橢圓有兩個交點時，
根據(jù)圖象，的取值范圍為.
故選：A.
7．【正確答案】D
【詳解】
不妨設(shè)是橢圓的左焦點，是的右焦點，的焦距為2c，連接，
則，又，所以.
在中，由余弦定理得，
所以，即，
所以.
故選：D.
8．【正確答案】B
【詳解】

結(jié)合圖像易知對于給定的點，當直線過圓心時，AB最大，最小，此時有最大值，又，所以，所以，即，解得.
故選：B.
9．【正確答案】ACD
【詳解】

因為，所以
，
，故A正確;
因為，故B錯誤；
因為，
所以，四邊形為矩形，其面積，故C正確；
因為，由于，所以四點共面，
即在平面內(nèi)，故D正確.
故選：ACD.
10．【正確答案】BCD
【詳解】對于A，顯然滿足的點恰有1個，又以DF為直徑的圓與拋物線在第一象限有1個交點，當時，，所以滿足為直角三角形的點恰有3個，故A錯誤；
對于B，當直線斜率不存在時，直線方程為，與拋物線只有一個公共點；
當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立消得，
當時，方程為，此時直線與拋物線只有一個交點；
當時，則，解得.
綜上所述，過點與有且僅有一個公共點的直線有3條，故B正確;
對于C，如圖所示，拋物線的焦點為，
當且僅當在線段DF上時取等號，故C正確；
對于D，因為，直線的傾斜角為，則直線的方程為，
聯(lián)立得，解得，
所以，則，故D正確.
故選：BCD.
11．【正確答案】ABC
【詳解】對于方程，以代替，同時以代替方程不變，所以曲線關(guān)于對稱，故A正確；
對于B，設(shè)分別為與圖象上第一象限內(nèi)的點，，
則，所以在的下方，
所以曲線圍成的面積小于圍成的面積，圍成的面積為，故B正確；
對于C，因為，等號僅當時成立，
所以曲線上的點到軸、軸的距離之積，故C正確;
對于D，因為，所以，
等號僅當時成立，所以曲線上的點到軸、軸的距離之和的最小值為，故D錯誤.
故選:ABC.
12．【正確答案】3
【詳解】因為，
所以，
所以當時，取最小值，且最小值為3.
故3
13．【正確答案】725
【詳解】以為坐標原點，過且與主塔AB平行的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，
設(shè)拋物線的方程為，則100，解得，
所以拋物線的準線方程為.
故725
14．【正確答案】3
【詳解】設(shè)，由題得，即，
整理得，又，
所以，整理得，
由聯(lián)立得，
所以，代入①并整理得，
此式對任意的都成立，所以.
故3
15．【正確答案】(1)證明見解析
(2)或.
【詳解】（1）直線的方程為，即，所以直線過定點，
因為位于第三象限，所以無論取何值，直線必過第三象限.
（2）法一：由點到直線的距離公式知：，
即，
所以或，
解得或.
法二：若點A、B到直線l的距離相等，則直線或直線l經(jīng)過線段AB的中點，
當時，，解得，
線段AB的中點坐標為，即，
當直線經(jīng)過線段AB的中點時，，解得，
綜上，或.
16．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，根據(jù)圓與拋物線的對稱性，不妨設(shè)，
因為點在圓上，所以，
解得（負值舍去），所以的方程是.
（2）由消去并整理得，
設(shè)Mx1,y1、Nx2,y2，則，
由韋達定理可得，，
所以，
，
所以的周長為.

17．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）若圓經(jīng)過A，C，則圓心必在AC的垂直平分線上，不符合圓在軸正半軸；
根據(jù)題意得圓只能過點A，B，D三點，
因為，所以的中點為，兩點的斜率為，
利用互相垂直的兩直線斜率之積為，可知兩點的中垂線斜率為，
所以由點斜率式可得線段AB的垂直平分線的方程為，
整理得：
又因為，所以的中點為，兩點的斜率不存在，
所以線段AD的垂直平分線的方程為
聯(lián)立方程組解得
所以圓心為，即圓心到點的距離為半徑，即半徑為2，
所以圓的方程為
（2）設(shè)存在點，因為，
所以有，
化簡得，所以，
且滿足這個方程的點可以理解為一個圓上的點 ，而點又在圓上且有兩個點，
所以這兩個圓應(yīng)該是相交，
此兩圓的圓心分別為和，所以圓心距為，
而兩圓的半徑分別為和2，
則有，
解得.
18．【正確答案】(1)
(2)①；②1，或.
【詳解】（1）因為是橢圓上的一點，所以，即，
又，又，所以，
故的方程為
（2）
①若A，B分別為橢圓與x，y軸的正半軸的交點，則，
則直線的方程是，即，
代入橢圓的方程，消去并整理得，解得或，
因為，所以，則，即，
直線的方程是，即，
代入橢圓的方程，消去并整理得，解得或，
因為，所以，則，
即， 所以.
②
因為直線AB的斜率為，所以可設(shè)直線AB的方程為，
代入消去并整理得，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，
，
又點到直線AB的距離，
所以的面積，等號僅當，即時成立，
顯然滿足，所以面積的最大值是1.
此時，直線AB的方程是，即或
19．【正確答案】(1)證明見解析
(2)①；②證明見解析
【詳解】（1）證明：設(shè)不過原點的直線的方程是都是常數(shù)，且a，b不同時為，則曲線的方程是，且，即，因為都是常數(shù)，且a，b不同時為，
所以曲線是一條直線，且與直線平行
（2）①解：伸縮比時，曲線通過關(guān)于原點的“伸縮變換”得到的曲線是，所以曲線的方程是，即.
與軸的兩個交點A，B的坐標分別是，因為直線點，斜率為，所以直線的方程為，代入，
消去并整理得， 設(shè)，
則，，
因為與在軸的右側(cè)有兩個交點，所以，且，解得或，
所以的取值范圍是.
②證明:由①知或，所以，
， ，
所以為定值.

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